信号游戏中的学习和类型兼容性

从信号s的经验频率π（k）（·|θ）得出*π（k）（s）的差值*|θ） 超过2. 同样，writeZθ，kt∈ {0，1}表示第t次绘制是否导致信号s*, 对于EhZθ，kti=π（k）（s*|θ） ，并输入Sn，k：=Pbnλ（θ）ct=1Zθ，kt表示s的总数*超出jnλ（θ）kdraws。我们有E[Sn，k]=jnλ（θ）k·π（k）（s*|θ） ，但是π（k）（s）*|θ）- π*（s）*|θ）<  每当k≥ K、 也就是说，ebias，kn，θ：=PSn，kjnλ（θ）k- π*（s）*|θ）≥ 2.≤PSn，kjnλ（θ）k- π（k）（s）*|θ）≥ 如果k≥ K=P|序号，k- E[锡，钾]|≥nλ（θ）· ≤2经验值-2·（jnλ（θ）k·)jnλ（θ）k霍夫丁的不平等。设Nbiasθ：=P∞n=12 exp-2·（bnλ（θ）c·)bnλ（θ）c, Nbiasθ<∞ 因为总和以与经验相同的速率趋于0(-n） 。这个论点表明，每当k≥ K、 我们有∞n=1偏差，kn，θ≤Nbiasθ。现在让Nbias：=Pθ∈ΘNbiasθ。最后，由于g是正则的，我们引用Fudenberg、He和Imhof（2017）的命题1，以发现存在一些N，因此每当接收器具有大小为N的数据集时≥ N关于θ型的发挥，他的贝叶斯后验概率是θ发挥s的概率*与经验分布的差异不超过. Put Nage：=2Nminθ∈Θλ（θ）。考虑带k的任何稳态ψ（k）≥ K、 概率不小于1-Pθ∈Θebias，kn，θ，一个年龄n的接受者，在每个θ中至少看到了nλ（θ）个θ类型的实例∈ Θ将具有经验分布，以便每种类型的播放概率*与π的差异*（s）*|θ） 作者：lessthan 2. 此外，如果n≥ Nage，则实际上nλ（θ）≥ N表示每个θ，因此相同的概率界适用于接收器在每种θ播放时的贝叶斯后验概率*iscloser小于3 至π*（s）*|θ） 。

通过建造, 播放*s之后*是对这样一个后路唯一最好的回应。因此，对于k≥ K、 发送方群体执行除*s之后*inψ（k）以nage（1）为界- γk）+（1- γ（k）·∞Xn=0γnk·Xθ∈Θeobsn，θ+ebias，kn，θ.为了解释这个表达式，年龄大于或小于Nage的接收者不超过Nage（1-γk）。在n龄受试者中，不超过pθ∈对于任何类型的θ，θ分数的样本大小小于nλ（θ），而θθ∈Θebias，kn，θ是有足够大样本的有偏样本概率的上界，因此某个类型的经验播放频率*差异超过2 自π*（s）*|θ） 。但由于γk∈ [0，1），∞Xn=0γnk·Xθ∈Θeobsn，θ<∞Xn=0Xθ∈Θeobsn，θ≤ Nobsand公司∞Xn=0γnk·Xθ∈Θebias，kn，θ<∞Xn=0Xθ∈Θebias，kn，θ≤ Nbias。我们得出结论，每当k≥ K、 π（K）（a）*|s*) ≥ 1.- （1）- γk）·（Nage+Nobs+Nbias）。最后，观察到Nage、Nobs、nbias都不依赖于序列π（k），因此N的选择与序列π（k）无关。引理A.2。假设g是正则的。假设有一些*∈ A和v∈ 所以u（θ，s*, 一*) >v、 然后，存在C∈ （0，1），C>0，以便在每个发送方历史记录中yθ，#（s*, 一*|yθ）≥C·#（s）*|yθ）+Cimplies E[u（θ，s*, π（·s）*))|yθ>v.Proof。写入u：=mina∈Au（θ，s*, a） 。存在q∈ （0，1）使得q·u（θ，s*, 一*) + （1）- q） ·u>v.找到一个足够小的 > 0使0<q1-< 1、由于g是正则的，Fudenberg、He和Imhof（2017）的命题1告诉我们存在这样的情况，即历史为yθ的发送者的后验平均信念不小于（1- ) ·#（s）*, 一*|yθ）#（s*|yθ）+C。每当此表达式至少为q时，预期的payoff toθplaying s*超过v。也就是说，必须有（1- ) ·#（s）*, 一*|yθ）#（s*|yθ）+C≥ q<==> #（s）*, 一*|yθ）≥第一季度- #（s）*|yθ）+q1- · C、 放置C：=q1-和C：=q1-· C移除引理。引理A.3。让Ztbe i.i.d。

伯努利随机变量，其中E[Zt]=1- . 写入序号：=Pnt=1Zt。对于0<C<1和C>0，存在‘, G、 G>0，使得每当0< < \'\',P[序号≥ Cn+Cn≥ G]≥ 1.- G.证据我们利用了Fudenberg和Levine（2006）的引理，这反过来又扩展了Billingsley（1995）的一些不等式。FL06引理A.1：假设{Xk}是一系列i.i.d.Bernoulli随机变量，E[Xk]=u，并确定每个n的随机变量SN：=| Pnk=1（Xk- u）| n。然后，对于任何n，(R)n∈ N、 P马克斯≤n≤(R)nSn>≤·n·u.对于每G>0和每0< < 1，P[Sn≥ Cn+Cn≥ G] =1- P“(n≥ G） nXt=1Zt<Cn+C#=1- P“(n≥ G） nXt=1（Xt- ) > （1）-  - C） n个- C#，其中Xt：=1- Zt。让‘:=（1）- C） 和G：=2C/“”. 假设0< < \'\'. 那么对everyn来说≥ G、 （1）-  - C） n个- C≥ \'\'n- C≥\'\'n、 因此，P[Sn≥ Cn+Cn≥ G]≥ 1.- P“(n≥ G） nXt=1（Xt- ) >\'\'n#根据FL06引理A.1，右侧的概率最多为G 带G：=/（3G’).我们现在证明定理3。定理3：假设π*对接受者严格且耐心稳定。然后满足强兼容性标准。证据让一些人/∈ BR公司(（▄J（s，π*)), s） h>0。我们将显示π*（a | s）≤ 3小时。步骤1：确定常数ξ、θJ、aθ、sθ、C、C、G、G和Nrecv。（i） 对于每个ξ>0，定义ξ-近似值（▄J（s，π*)) 在￠J（s，π）以外的类型上，作为权重不大于ξ的概率分布*),ξ（~J（s，π）*)):=np公司∈ （Θ）：p（θ）≤ ξθ/∈~J（s，π）*)o、 由于最佳响应对应具有闭合图，因此存在一些ξ>0，因此a/∈ BR公司(ξ（~J（s，π）*)), s） 。（ii）自▄J（s，π）*) 是非空的，我们可以x一些θJ∈~J（s，π）*).（iii）对于各平衡主导型θ∈ Θ\\~J（s，π*), 识别一些路径信号sθsothatπ*（sθ|θ）>0。根据接收机的路径严格性假设，存在一些aθ∈ A sothatπ*（aθ| sθ）=1，此外，aθ是π中sθ的严格最佳响应*.

根据平衡优势的定义，u（θ，sθ，aθ）>最大值∈Au（θ，s，a）=：vθ。通过对每个θ应用引理A.2∈ Θ\\~J（s，π*), 我们得到一些C∈ （0，1），C>0，所以前θ∈ Θ\\~J（s，π*) 在每个发送方历史中yθ，#（sθ，aθ| yθ）≥ C·#（sθ| yθ）+CimpliesE[u（θ，sθ，π（·| sθ））| yθ]>vθ。（iv）引理A.3，结束’, G、 G>0，如果E[Zt]=1-  i.i.d.Bernoulli和Sn：=Pnt=1Zt，然后每当0< < \'\',P[序号≥ Cn+Cn≥ G]≥ 1.- G.（v） 因为在π*, aθ是每个θ对sθ的严格最佳响应∈ Θ\\~J（s，π*), 来自LemmaA。1我们可以找到一个Nrecvso，对于每个序列π（k）∈ ∏*（g，δk，γk），其中γk→ 1，π（k）→ π*,有对应的Krecv∈ N所以k≥ Krecv隐含π（k）（aθ| sθ）≥ 1.- （1）- γk）·每θ的NRECV∈ Θ\\~J（s，π*).步骤2：确保除3h接收器外的所有接收器都相信ξ（~J（s，π）*)).考虑一些稳态ψ∈ ψ*（g，δ，γ）对于g正则，δ，γ∈ [0，1）.在Fudenberg、He和Imhof（2017）的定理2中，将c=ξ·maxθ∈λ（θ）λ（θJ）和δ=。我们得出结论，存在一些nrre（不依赖于ψ），因此每当π（s |θJ）≥c·π（s |θD）对于每种平衡支配型θD/∈~J（s，π）*) andn·π（s |θJ）≥ Nrare，（7）则处于稳态ψ的age-n接收器，其中π=σ（ψ）的概率至少为1- h保持后验信念g（·| y），使得θJis至少是每θD播放sasθDis的可能性的t倍/∈~J（s，π）*). 因此，历史y在s，p（·| s；y）之后产生了一个后验信念，使得p（θD | s；y）p（θJ | s；y）≤λ（θD）λ（θJ）·ξ·λ（θJ）maxθ∈Θλ（θ）≤ ξ。特别是，p（·| s；y）必须为不在| J（s，π）中的每种类型分配不大于ξ的权重*);因此，信仰属于ξ（~J（s，π）*)). 通过构造ξ，ais则不是历史y之后的最佳响应。年龄n满足方程（7）的接收器以小于h的概率播放a，提供π（s |θJ）≥ 每个θD的c·π（s |θD）/∈~J（s，π）*).

然而，为了将ain在稳态ψ中的整体概率限制在整个接收器总体内，我们确保方程（7）满足ψ中所有接收器的2h分数。我们认为，当γ足够大时，π=σ（ψ）满足π（s |θJ）的有效条件是≥ （1）- γ） N个*对于某些N*≥ Nrare/h。这是因为在这种情况下，任何老化的试剂≥h1-γ满足方程（7），而接收方的分数大于h1-γ为1-γh1-γ≤ 2h，γ接近1。总之，在步骤2中，我们发现了一个常数nRarea，并表明如果γ接近enoughto 1，那么π=σ（ψ）有π（a | s）≤ 3h如果满足以下两个条件：（C1）π（s |θJ）≥ c·π（s |θD）对于每种平衡支配型θD/∈~J（s，π）*)（C2）π（s |θJ）≥ （1）- γ） N个*对于某些N*≥ 在下一步中，我们证明存在一系列稳态ψ（k）∈ ψ*（g，δk，γk）和δk→ 1，γk→ 1，σ（ψ（k））=π（k）→ π*这样，在每个π（k）中，上述两个条件都满足。使用γk→ 1，我们得出结论，对于足够大的k，我们得到π（k）（a | s）≤ 3h，它依次显示π*（a | s）≤ 由于收敛π（k），3h→ π*.步骤3：提取一个合适的稳态子序列。在引理4的陈述中，把θ：=θJ。我们得到一些数字 函数‘（N），’γ（N，δ）。放置Nratio：=ξG·Nrecvmaxθ∈λ（θ）λ（θJ）和N*:= 最大值（Nratio，Nrare/h）。自π起*耐心是稳定的，它可以写为一些策略的极限π*=利姆→∞π（k），其中每个π（k）与δk是δk-稳定的→ 根据δ-稳定的定义，每个π（k）是极限π（k）=limj→∞π（k，j）与π（k，j）∈ ∏*（g，δk，γk，j）带limj→∞γk，j=1。假设每k≥ 1，δk≥\'\'δ（N*), π（k）和π之间的距离*小于/现在，对于每个k，找到一个足够大的指数j（k），以便（i）γk，j（k）≥ γ（N*, δk），（ii）π（k，j）和π（k）之间的距离小于min(,k） ，和（iii）limk→∞γk，j（k）=1。

这产生了一系列k指数稳态，ψ（k，j（k））∈ ψ*（g，δk，γk，j（k））。此后，我们将通过函数j（k）放弃依赖关系，只参考ψ（k）和γk。序列ψ（k）∈ ψ*（g，δk，γk）满足：（1）δk→ 1，γk→ 1.（2） δk≥\'\'δ（N*) 对于每个k；（3） γk≥ \'-γ（N*, δk）对于每个k；（4） π（k）→ π*; （5） ψ（k）与π之间的距离*不大于. 引理4表示，对于每个k，π（k）（s |θJ）≥ （1）- γk）N*. 因此，序列的每个成员都构造了满足条件（C2）。步骤4：平衡主导型试验概率的上限。有待证明的是，最终条件（C1）在步骤3中构建的序列中也得到满足。我们首先确定聚合接收器策略π（k）收敛到π的速率*.根据引理A.1，存在一些Krecvso，k≥ Krecv隐含π（k）（aθ| sθ）≥ 1.-（1）-γk）·Nrecvforeveryθ∈ Θ\\~J（s，π*). 找到下一个足够大的Kerrorso≥ KerroImples（1-γk）·Nrecv<\'（其中’ 在步骤1）中定义。我们声称当k≥ max（Krecv，Kerror），θ型/∈~J（s，π）*) 始终针对播放π（k）（·| sθ）的接收方群体发送信号sθ的发送方小于（1- γk）·Nrecv·g有一种后验信念，即在某些时间段n内，sθ的预期收益不大于vθ≥ G、 这是因为引理A.3，P[Sn≥ Cn+Cn≥ G]≥ 1.- G·π（k）（{a 6=aθ}| sθ）≥ 1.- G·（1）- γk）·nRecv，其中sn是指在发送sθ的前n次中，接收器总体响应sθ的次数。但引理A.2保证提供了Sn≥ Cn+C，发件人对sθ的预期付款严格高于vθ，因此我们已确定索赔。最后，找到足够大的Kgittinsk，以便k≥ Kgitts将有效贴现因子δkγkis如此接近1，以至于对于每个θ/∈~J（s，π）*), 如果sθ的使用时间不超过Gtimes，则信号sθ的Gittins指数不能低于vθ。

（这是可能的，因为先验知识是非教条主义的。）那么对于k≥ 最大值（Krecv、Kerror、KGittins），小于G·（1- γk）·nRecv平衡支配发送方θ的可能性/∈~J（s，π）*) 将玩七次。为了看到这一点，我们观察到，根据前面的说法，sθ的Gittins指数高于s的Gittins指数，而s的指数并不高于其可能的最高收益vθ。这意味着发送方在sθ的Gittins索引低于vθ之前不会播放SunTins。自k起≥ Krecv，在发送方至少播放θGtimes之前，这不会发生，因为k≥ max（Kerror，Krecv），之前的主张证明，在第G次播放sθ后，sθ的预期收益（更确切地说，sθ的Gittins指数）下降到vθ以下的可能性不大于G·（1- γk）·Nrecv。这表明，对于k≥ max（Krecv，Kerror，KGittins），π（k）（s |θ）≤ GNrecv·（1- γk）对于每个θ/∈~J（s，π）*). 但由于π（k）（s |θJ）≥ N*· （1）- γk）其中N*≥ Nratio=ξG·Nrecvmaxθ∈Θλ（θ）λ（θJ），我们看到当k≥ max（Krecv、Kerror、KGittins）。