粗波动率：来自期权价格的证据

这里，正如在[19]中的数值实验中一样，我们考虑以下参数形式：对于一些非负常数β、φ、λ和ψ，b（σt）=βσφt，λ（σt）=λσψt。设σ为即期波动率，^σ=^σ（τ）为到期时间为τ的期权的实际隐含可用性。根据文献[19]，我们分两步构建了基于期权的现货波动率代理。首先，使用我们在整个时间段内的所有期权价格，根据[19]中命题7中的近似公式校准所选模型。为了检索即期波动率的代理，我们考虑如下展开式，τ变为零，如【19】所示：σ=^σ- I（0，^σ）√τ+I（0，^σ）I（0，^σ）σ- I（0，σ）+ρb（σ）E[J]λ（^σ）στ+O（τ√τ） 。（3） 函数i和i在[19]中明确定义，仅依赖于β、ρ、φ、λ、ψ和E[J] 。3.3重新审视标度特性我们现在希望根据近似公式（3）研究现货波动率代理的标度特性。我们考虑两种情况：Heston情况，其中φ=0，λ=0，和一般情况，其中所有参数都已校准。校准结果如表1所示。参数Heston一般情况βρ-0.18（0.00）-3.27（0.08）ρ-0.48（0.00）-0.39（0.00）φ0 1.79（0.02）λE(J） 0个-0.6924（0.03）E(J）-- -- -0.17（0.00）ψ-- -- 1.11（0.01）表1:2001年9月5日至2012年1月31日，根据标普500期权报价校准的参数。一旦获得了参数，我们就可以使用方程（3）来计算每日的现货波动率代理。请注意，在方程式（3）中，我们取^σ为到期时间最短的隐含波动率。然后，我们进行与第2.2节相同的分析。

图4给出了赫斯顿模型的结果，图5给出了一般情况下的结果（符号与第2.2节中的符号相同）。0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4log（）-7-6-5-4-3-2-10log（m（q，））q=0.5q=1q=1.5q=2q=30 0.5 1.5 2 2.5 3q00.10.20.30.40.50.60.70.80.91q0.33。qFigure 4：基于Hestonproxy时，对数波动率增量的缩放特性。在第二幅图中，H等于0.33.0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4log（）-8-7-6-5-4-3-2-10log（m（q，））q=0.5q=1q=1.5q=2q=30 0.5 1.5 2 2.5 3q00.20.40.60.811.2q0.34。图5：基于一般情况代理的对数波动率增量的缩放特性。在第二幅图中，H等于0.34。结果与第2.2节中的结果非常相似。在这里，我们可以再次确认波动性是粗糙的这一事实。虽然在计算代理的模型中，波动率是布朗型的，因此并不粗糙，但这一点甚至可以得到。4关于估计HurstParameters时的向上偏差，我们在本节中解释了为什么使用隐含波动率度量作为点波动率代理会导致Hurstparameter估计中的向上偏差。我们从这一现象的数值研究开始。4.1蒙特卡罗研究为了了解估计赫斯特参数时偏差的范围，我们在粗糙波动率模型中模拟期权价格。然后根据这些模拟数据计算出赫斯特参数。让T>0。我们考虑了以下在时间间隔[0，T]内没有杠杆效应的模型：d log St=σtdZt，d logσT=ηdWHt。这里Zt是一个布朗运动，当分数布朗运动独立于Zt且η>0.4.1.1分数布朗运动的模拟我们考虑时间间隔[0，T]和fix等距分区0=T<T<…<tn=T。我们首先希望模拟（WHt，…，WHtn）。

对于i，j∈{1，…，n}，我们有[WHtiWHtj]=t2Hi+t2Hj- | ti公司- tj | 2H.然后我们可以使用协方差矩阵∑（WHt，…，WHtn）∑=LLT的Cholesky分解，其中L=（lij）i，j∈{1，n}是下三角形。因此，可以在时间（ti）模拟分数布朗运动的样本路径，生成独立标准高斯随机变量的向量X=（X，…，Xn），并设置（WHt，…，WHtn）=LX。4.1.2在粗略波动率下模拟期权价格我们将自己置于时间ti>0，并假设过去的现货波动率和价格在时间t，ti。我们想计算一个到期日为tk=ti+τ的期权在时间tio的价格，其中有些τ>0。程序如下：o我们在区间[ti+1，tk]上生成波动过程的M条路径。这是通过模拟（WHtj）ti+1完成的≤tj公司≤TK过去信息的条件，即（Xt，…，Xti）生成的过滤。使用L的下三角形式，在ti+1时分数布朗运动的这些新值≤ tj公司≤ TkC可以通过以下方式获得：写入jj=iXp=1ljpXp+jXp=i+1ljpXp。第一个变量xp是用于模拟时间ti之前的分数布朗运动的变量，而（Xi+1，…，Xj）是独立标准高斯随机变量的样本，与过去的值无关。取指数，我们得到现货波动率样本路径。我们为第m个波动率轨迹编写σmf货币期权到期时间为τ时的价格通过计算mmxm=1CBS获得Sti，τ，vuutτkXp=i+1（σmtp）,其中，CBS（Sti，τ，σ）是在Black-Scholes模型中，波动率σ、零利率和基础价值Sti为到期时间τ的货币期权的价格最后，我们将Black-Scholes公式倒置，以获得隐含波动率。4.1.3结果我们考虑以下一组参数：H=0.04，η=1.0，t=1000天。

这些参数与[1，13]一致。我们取τ∈ {1，…，20}天，运行M=10次模拟。图6显示了即期波动率的样本路径以及与5天和20天相关的隐含波动率。0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100000.20.40.60.810 100 200 300 400 500 600 800 900 10000.10.20.30.40.50.6imp=50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.20.30.40.5imp=20图6：τ=5和τ=20的即期波动率和隐含波动率的样本路径。在视觉层面上，已经很清楚，隐含波动率轨迹并不像现货波动率轨迹那么粗糙。此外，成熟时间越长，平滑效果越大。与第2节和第3节一样，我们现在考虑方程（1）。根据我们的模拟，对于q的几个值，我们在图7中绘制了m（q，)相对于的对数. 这在两种情况下完成：当m从即期波动率值中获得时，以及当m从隐含波动率值中获得时，τ=5天。0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4log（）-9-8-7-6-5-4-3-2-10log（m（q，））sim q=0.5sim q=1sim q=1.5sim q=2sim q=3est q=0.5est q=1est q=1.5est q=2est q=3图7：对数波动增量的标度特性：现货波动率和τ=5的隐含波动率。我们看到，对于给定的q，当m（q，) 根据隐含波动率计算，坐标点（log(), 对数（m（q，))) 保持在同一条线上。然而，这条线的斜率比m（q，) 由现货波动率计算（提供了真实的基本H，但统计误差很小）。

因此，由于所考虑期权的剩余到期时间，确实存在平滑效应。最后，我们在图8中给出了使用模拟中的隐含可用性时，不同成熟时间的H估计值。0 2 4 6 8 10 12 14 16 200.050.10.150.20.250.3图8：使用隐含挥发性作为成熟时间函数的赫斯特参数估计值。在我们的模拟框架下，我们可以看到，使用成熟度为1day的期权，我们可以获得相当精确的H值0.06，而真实参数等于0.04。延长到期日会导致越来越大的偏差。20天到期后，估计赫斯特参数约为0.27。这些结果与第2节和第3.4.2节“向上偏差的分析说明”中的结果一致。根据【13】附录C的精神，我们最终希望在根据隐含波动率估计赫斯特参数时，对观察到的向上偏差提供更定量的理解。为此，我们考虑一个非常粗略的近似值。事实上，我们假设到期时间τ>0的期权的按货币计算的隐含方差t，由^vτ（t）表示，由^vτ（t）=τZt+τtEt[vu]du给出，其中vu是时间u和Et[]的即期方差关于时间t之前的信息的条件期望算子。此外，我们采用了一个简化的粗糙波动率模型，假设对于u>0，vu=v+νWHu，对于某些v>0和ν>0。这些近似值实际上可能不足以阐明偏差现象。事实上，这是由于隐含波动率中出现的条件期望和积分算子的影响。在这种简化的设置中，我们的目标是说明导致向上偏差的平滑效果。

为此，我们计算一个与m（2，),即^mτ（2，) = E[（^vτ）() - ^vτ（0））]。事实上，在我们的假设下，如果隐含波动率等于spot，那么这个数量将与2小时。然而，我们现在表明，由于在^m（2）中使用隐含波动率，), 这种关系不再成立，尤其是对于大τ/.我们回忆起分数布朗运动的Mandelbrot和Van Ness表示：WHt=cHZt（t- s） H类-1/2dWs+Z-∞（t- s） H类-1/2- (-s） H类-1/2dWs公司,其中WT是一个双边布朗运动，cHis使得其方差等于1。我们很容易得到^vτ() = v+ντcHZτZ-∞( + u- s） H类-1/2- (-s） H类-1/2dWsdu+ντcHZτZ( + u- s） H类-1/2dWsdu。利用随机Fubini定理，给出了^vτ() - ^vτ（0）=ντcHZ-∞Zτ( + u- s） H类-1/2- （u）- s） H类-1/2dudWs+ντcHZZτ( + u- s） H类-1/2 UDW。因此，我们很容易从Ito等距推断出^mτ（2，) = A.h类(, τ） +小时(, τ）,a=cHν（H+1/2），H(, τ） =τZ-∞( + τ- s） H+1/2- ( - s） H+1/2- （τ）- s） H+1/2+(-s） H+1/2ds，h(, τ） =τZ( + τ- s） H+1/2- ( - s） H+1/2ds。我们写h(, τ） 在形式τ下2H+2Z-∞（1+τ）-s） H+1/2-（1）-s） H+1/2-（τ）-s） H+1/2+(-s） H+1/2ds。设置θ=τ/, 我们获得(, τ） =2Hf（θ），其中f（θ）=θZ-∞（1+θ-s） H+1/2-（1）-s） H+1/2-（θ-s） H+1/2+(-s） H+1/2ds。同样，我们有(, τ） =2Hf（θ），其中f（θ）=θZ（1+θ-s） H+1/2- （1）- s） H+1/2ds。So^mτ（2，) = A.2小时f（θ）+f（θ）.现在注意limθ→0f（θ）=（H+1/2）Z-∞（1）- s） H类-1/2- (-s） H类-1/2dsandlimθ→0f（θ）=（H+1/2）Z（1- s） 2小时-因此，limθ→0（f（θ）+f（θ））=（H+1/2）cH。因此，当θ很小时，μmτ（2，) ~ ν2小时。这意味着，当考虑到足够小的到期时间的隐含波动率时，与短期波动率相关的相同标度关系基本满足。否则，应加上乘性因子rf（θ）=cH（H+1/2）f（θ）+f（θ）在上述关系的右侧。

这会破坏scalingproperty，并意味着对Hurst参数的有偏估计。我们在图9中绘制了H=0.04.0 2 4 6 8 10θ0.20.40.60.81.0f（θ）的函数f图。图9：H=0.04的函数f。对于固定τ（如第2节所示），函数f随. 因此，在使用坐标（log）对点云进行回归分析时(), 对数（^mτ（2，))), 这意味着Hdue的估计存在向上偏差，倾向于更高的斜率。致谢我们感谢Jim Gatheral和Olivier Scaillet提出的有益意见和建议。我们还感谢米兰第十七届量化金融研讨会的与会者进行了富有成效的讨论。朱利娅·利维耶里（Giulia Livieri）感谢高等师范学院（Scoula Normale Superiore）的研究支持。参考文献【1】C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatherel。粗略波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887–9042016年。[2] M.Bennedsen、A.Lunde和M.S.Pakkanen。布朗半平稳过程的混合格式。arXiv预印本arXiv:1507.030042015。[3] M.Bennedsen、A.Lunde和M.S.Pakkanen。解耦随机波动率的短期和长期行为。2016年，SSRN2846756提供。[4] F.Black和M.Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81:637–6541973年。[5] 彭博社。新彭博社的引入意味着挥发性计算。2008年【6】E.Derman和I.Kani。微笑着骑马。风险，7（2）：139–1451994年。[7] B.杜皮尔。微笑定价。风险，7（1）：18–20，1994年。[8] O.El Euch、M.Fukasawa和M.Rosenbaum。杠杆效应和粗波动性的微观结构基础。arXiv预印本XIV:1609.051772016。[9] O.El Euch和M.Rosenbaum。拉夫赫斯顿模型的特征函数。arXiv预印本arXiv:1609.021082016。[10] M.Forde和H.Zhang。粗糙随机波动率和L'evy模型的渐近性。

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