粗波动率：来自期权价格的证据

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英文标题：
《Rough volatility: evidence from option prices》
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作者：
Giulia Livieri, Saad Mouti, Andrea Pallavicini and Mathieu Rosenbaum
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  It has been recently shown that spot volatilities can be very well modeled by rough stochastic volatility type dynamics. In such models, the log-volatility follows a fractional Brownian motion with Hurst parameter smaller than 1/2. This result has been established using high frequency volatility estimations from historical price data. We revisit this finding by studying implied volatility based approximations of the spot volatility. Using at-the-money options on the S&P500 index with short maturity, we are able to confirm that volatility is rough. The Hurst parameter found here, of order 0.3, is slightly larger than that usually obtained from historical data. This is easily explained from a smoothing effect due to the remaining time to maturity of the considered options.
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中文摘要：
最近的研究表明，粗随机波动率类型动力学可以很好地模拟现货波动率。在这些模型中，对数波动率遵循分数布朗运动，赫斯特参数小于1/2。这一结果是利用历史价格数据的高频波动率估计得出的。我们通过研究基于隐含波动率的现货波动率近似值来重新审视这一发现。使用短期到期的标准普尔500指数的货币期权，我们可以确认波动性是粗糙的。此处发现的赫斯特参数为0.3级，略大于通常从历史数据中获得的参数。这很容易从所考虑的期权的剩余到期时间所产生的平滑效应来解释。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Rough_volatility:_evidence_from_option_prices.pdf (457.25 KB)

2022-5-31 03:56:11 上传

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关键词：波动率 Mathematical Quantitative volatilities Applications

粗波动率：来自期权价格的证据Giulia LivieriScuola Normale Superiore，Pisagiulia。livieri@sns.itSaad穆蒂大学皮埃尔和玛丽·居里（巴黎6）saad。mouti@upmc.frAndrea帕拉维辛帝国学院（PallaviciniImperialCollege London）和伊曼安德里亚银行（Banca Imandrea）。pallavicini@imperial.ac.ukMathieu罗森鲍姆理工学院。rosenbaum@polytechnique.edu92017年2月摘要最近的研究表明，现货波动率可以很好地用粗糙随机波动率类型动力学建模。在这些模型中，对数波动率遵循分数布朗运动，赫斯特参数小于1/2。这一结果是利用历史价格数据的高频波动率估计得出的。我们通过研究基于隐含波动率的短期波动率近似值来重新审视这一发现。使用短期到期的标准普尔500指数的货币期权，我们能够确认波动性是粗糙的。此处发现的赫斯特参数为0.3级，略大于通常从历史数据中获得的参数。这很容易从所考虑的期权剩余的到期时间产生的不良影响中得到解释。关键词：粗糙波动率、分数布朗运动、隐含波动率、梅德韦杰夫-斯凯莱近似。1简介自Black和Scholes的开创性工作【4】以来，建模金融资产价格行为的最经典方法是使用形式为d log St=utdt+σtdWt的连续半鞅动力学，以及uta漂移过程和Wta布朗运动。系数σt称为波动过程。众所周知，当人们对衍生品定价和对冲感兴趣时，这是模型中的关键因素。历史上，遵循[4]的开创性方法，从业者首先考虑了过程σ为常数或确定性的情况，即Black和Scholes模型。

然而，在80年代末，很明显，这种波动性规范是不够的。特别是，Black和Scholes模型与观察到的液化欧洲期权价格不一致。实际上，隐含波动率，即应插入Black-Scholes公式中以检索市场期权价格的波动率参数，在实践中取决于所考虑期权的行使和到期日，而在Black-Scholes框架中它是恒定的。因此，引入了更复杂的模型。Dupire【7】和Derman及Kani【6】提出的第一种可能的扩展是采用σtasa时间和资产价格的确定性函数。这种模型称为局部波动率模型，使我们能够完美地再现给定的隐含波动率曲面。然而，在局部波动性下，其动态性通常是不现实的。另一种方法是将波动率σtitself视为一个由额外的布朗运动驱动的ITO过程，通常是相关的toW。这样一来，隐含波动率表面的静态拟合就不那么准确，但更适合动态。这些随机波动率模型中最著名的是赫尔-怀特模型（17）、赫斯顿模型（16）和萨博模型（15）。最近的市场实践是使用所谓的局部随机波动率模型，该模型既能精确拟合市场，又能产生合理的动态。在上述所有布朗波动率模型中，波动率的样本路径的光滑度与布朗运动的样本路径的光滑度相同，即1/2- εH–对于任何ε>0的情况，都是连续的。然而，文献[13]表明，在实践中，现货波动率比这要剧烈得多。这一结果【13】基于使用复杂的高频估计方法对历史数据进行的统计分析。

更准确地说，在[13]中可以确定，对数波动过程的动力学非常接近于分数布朗运动的动力学，Hurst参数小于1/2。用Hurst参数H重新定义分数布朗运动∈ （0，1）具有平稳增量的isa Gaussian过程=|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H.WHis的H¨older规律-对于任何ε>0且H=1/2的情况，我们检索到经典布朗运动。因此，由H<1/2的分数布朗运动驱动的挥发性模型被称为粗糙挥发性模型。除了几乎完美地拟合历史波动率时间序列外，粗糙波动率模型使我们能够再现流动期权价格的重要样式化行为，而局部/随机波动率模型通常会产生这些行为。特别是，当到期日为零时，可以很容易地获得货币倾斜（隐含波动率相对于罢工的导数）的爆炸式期限结构，参见【1，11】。关于粗波动率模型的其他发展，请参见[2、3、8、9、10、12、14、18、21]。本文的目的是利用隐含的挥发数据重新审视[13]中的发现。事实上，在[13]中，作者利用基础数据中的历史价格数据来估计现货波动率。这里我们使用现货波动率代理，它不是基于历史数据，而是基于隐含波动率。更准确地说，我们通过短期到期的at-the-moneyliquid期权（或其重新定义的版本）的隐含波动率来近似即期波动率。在大多数模型中，随着到期日变为零，at-the-money-impliedVolability倾向于即期波动率，这一事实证明了这一观点，例如，参见[20]。

我们的主要结果证实了[13]：当使用基于期权价格的替代现货波动率测量方法时，我们仍然可以得出波动率是粗糙的结论。本文的组织结构如下。在第2节中，我们研究了标准普尔500指数货币期权隐含波动率（到期日为一个月）给出的现货波动率近似时间序列的粗糙度。在第3节中，我们没有使用原始隐含波动率，而是通过梅德韦杰夫·斯凯莱（Medvedevand Scaillet）提出的修正公式计算隐含波动率的点波动率，见【19】。然后，我们进行与第2节相同的分析。第2节和第3节中的结果与[13]中的结果非常相似。然而，Hurst参数的估计值虽然小于1/2，但实际上大于[13]中得到的值。我们在第4节的数字和分析中表明，这种向上偏差来自于所考虑期权的剩余到期时间所产生的正则化效应。2在导言中解释的短期货币隐含波动率作为现货波动率代理时，我们的目标是研究现货波动率的行为，并表明其很好地近似于一个粗略的过程。当然，这是一项艰巨的任务，因为波动性是一个潜在的、未观察到的变量。在[13]中，作者使用基于超高频价格数据的最新估计方法来估计现货波动率。在这项工作中，我们希望使用期权价格数据，而不是使用文献[13]中的历史数据。如果我们使用到期时间短的货币期权，这一想法是合理的。

事实上，众所周知，在大多数模型中，随着到期日变为零，at-the-MoneyImplemented波动率收敛于即期波动率，参见示例【20】。2.1数据描述在本节中，我们使用彭博社的数据集，该数据集是对2006年1月5日至2011年5月5日期间标普500指数一个月到期的期权隐含波动率的每日观察数据。请注意，数据实际上已经由数据提供者内部推断（在下午4点使用引用的选项），不一定与交易数据完全对应，请参见【5】。在第3节中，我们提出了一种方法，使我们能够从观察到的不同期限的期权价格中扣除即期波动性。在这里，我们依靠数据提供者的方法来获得具有相同到期日的期权价格。这不是一个问题，因为我们在这项工作中的目的是展示从任何合理的spotvolatility代理中获得的波动率的粗略动态。2.2标度特性σimpt。。。，σimptNbe是从我们的数据库中提取的隐含波动率的时间序列。我在这里≥ 0，ti+1- t对应一个工作日。本着【13】的精神，我们希望回顾所谓的结构函数m（q，) 给定bym（q，) =Nb（N-（1）/cXk=0 |对数（σimpt（k+1））) - 对数（σimptk) |q对于各种q>0和滞后 从1天到大约40天。通过数量m（q，), 我们的目标是重新审视[13]中的发现，（现货）对数波动率很好地近似于分数布朗运动，Hurstparameter H小于1/2。在这种情况下，假设spot和impliedvolatilities重合，我们应该观察以下关系：m（q，) ~ cq公司qH，（1）cqa常数取决于q。事实上，对于t≥ 0和 > 0E[| WHt+- WHt | q】=▄cqqH，从AXA集团风险管理部门获得的数据。每月第三个星期五（结算日）左右的数据将从数据库中删除。

我们总共有1166分。当然，当计算m（q，) 事实上，我们还对可能的起始点t，…，求平均值。。。，t型-1.cq为标准高斯随机变量q阶的绝对力矩。为了研究（1）的有效性，我们在图1中绘制了m（q，)相对于的对数, 对于q.0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4log（）-7-6-5-4-3-2-10log（m（q，））的几个值，q=0.5q=1q=1.5q=2q=3图1：对数波动率增量的标度特性。对于每个q，具有坐标的点（对数(), 对数（m（q，))) 几乎完全在同一条线上. 图1实际上与[13]中的历史波动率测量结果非常相似。因此我们可以推断，对于给定的q，m（q，) ~ cq公司ζ（q），对于某些ζ（q）。现在，我们想检查ζ（q）是否可以按照[13]中的建议，采用qH的形式。这将导致与带有赫斯特参数H的分数布朗运动相同的单分形标度。为了回答这个问题，我们在图2中绘制了坐标为（q，ζ（q））的点，其中，ζ（q）是图1中对应于幂q的直线的斜率，以及坐标为（q，0.32q）的点。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3q00.10.20.30.40.50.60.70.80.91q0.32。图2：单分形缩放。我们看到，图2上的两个图很难区分。这意味着（1）几乎完全成立，H约为0.32。请注意，H的此类值对应于粗糙波动率，因为它小于1/2。然而，它比文献[13]中报道的要大。这实际上是因为我们的期权还有一个月的剩余到期时间。这导致赫斯特参数估计中出现平滑现象。

这种影响与【13】中描述和解释的性质相同，其原因是短期内即期波动率和综合波动率之间存在差异。我们在第4.2.3节对数波动率增量分布中对这种测量进行了双对数和分析量化。我们认为，在[13]中，对数波动率过程由分数布朗运动很好地建模，赫斯特参数小于1/2。这意味着如上所述的单分形标度，但也意味着对数波动率增量的高斯行为。当使用历史估计值作为即期波动率的衡量指标时，这一特征确实令人满意，见【13】。在这里，我们希望研究当波动率（volatilityproxies）由我们的短期货币隐含波动率给出时，这种属性是否也成立。为此，我们在图3中显示了不同时间间隔的对数波动率增量直方图，以及高斯密度fit和与分数布朗运动增量相关的高斯密度，Hurst参数等于0.32-1 0 100.511.522.533.544.5（a）=1天-1 0 100.511.522.5（b）=5天-1 0 100.20.40.60.811.21.41.61.82（c）=20天图3：使用隐含波动率作为即期波动率代理时的对数波动率增量分布。高斯函数为蓝色，与Hurstparameter等于0.32的分数布朗运动增量相关的密度为红色。从这些图中，我们得出对数挥发率增量的经验分布合理地近似于高斯定律。然而，我们可以注意到，经验分布稍微集中在其中心周围。

最后，高斯函数几乎与分数布朗运动相关的函数完全一致，Hurst参数等于0.32。综上所述，使用到期日为一个月的现货隐含波动率作为现货波动率的代理，我们得出对数波动率很好地近似于粗糙分数布朗运动。这证实了[13]中的发现。3基于隐含波动率的短期波动率的重新定义代理在本节中，我们希望研究第2节中获得的结果的稳健性。为此，我们使用另一种基于短期货币期权的现货波动率代理。更准确地说，我们使用了梅德韦杰夫和斯凯莱的近似公式，见【19】。该修正公式使我们能够从任何（短期）到期的现货隐含波动率计算现货波动率代理。与第2节中只考虑一个月到期的期权相比，这是一个优势。梅德韦杰夫·斯凯莱公式的缺点是，它被证明仅在一类有限的随机波动率模型中有效，而这类模型不包括粗糙的波动率模型。然而，我们的目标是观察从布朗波动率模型获得的代理是否仍然表现出粗糙的行为。混合各种到期日而不进行任何更正将是非常有争议的。3.1数据描述和处理我们的数据集由OptionMetrics提供，包括2001年9月5日至2012年1月31日期间标普500指数欧洲看跌期权和看涨期权的每日收盘价/卖出价，以及每日交易量。我们放弃价格低于2.5美分或交易量为零的期权。此外，如第2节所述，与结算日期相对应的价格被删除，从而去除明显的异常值。然后，我们要计算看跌期权和看涨期权价格的隐含波动率。

因此我们必须（每天）颠倒布莱克-斯科尔斯公式。因此，我们需要确定任何到期时间τ的基础远期价格F（τ）和零息票债券价格D（τ）。为此，我们使用以下基于put调用奇偶校验的经典方法。取F（τ）和D（τ）的值作为极小化问题的解（Cai- Pbi）+（Cbi- Pai）- D（τ）（F（τ）- Ki）o、 其中，Ca、BIAN和Pa、biare分别为执行水平为Ki的买入和卖出市场价格（a代表买入，b代表买入）。权重wi为qmin{VCi，VPi}（Cai- Cbi）+（Pai- Pbi），与VCiand Vpith在strike Ki的看涨期权和看跌期权交易量。最后，我们的隐含波动率被视为买入价和卖出价之间的中间价的看涨期权。回想一下，为了使我们的近似值有效，我们将重点放在短期内的货币隐含波动率上。根据[19]，我们只选择到期时间在15至60天之间的期权的隐含波动率。短期期权被放弃，因为报价可能会很嘈杂。此外，我们限制数据记录属于区间的远期货币[-0.03，0.03]。这样的程序在2569天内产生了34842个隐含波动率。3.2梅德韦杰夫·斯凯莱修正公式【19】中，作者考虑了一个包含大多数经典参数价格模型的通用建模框架。他们使用双因素跳跃扩散随机波动率模型（dSt=（r-u（σt））Stdt+σtStdZt+StdJtdσt=a（σt）dt+b（σt）ρdZt+p1- ρdWt,（2） 其中，Ztand和Wt是两个独立的布朗运动，jt是一个泊松型跳跃过程，与Ztand和Wt无关。r和相关系数ρ均假定为常数。预期跳转大小E[J] 也是常数，但跳跃强度λ（σt）可能以确定性方式取决于挥发度。