动态高斯copula模型的不变性*

因此，设置y=(R)y+1=σ√ρ最大值∈J | zl |+σ√ρσ√1.- ρy+1，Z∞tΓ（t）dt=ZytΓ（t）dt+Z∞ytΓ（t）dt≤ yZyΓ（t）dt+2Γ（y）≤ yZyΓ（t）dt+4′αyZ∞yΓ（t）dt≤ （1+4′α）Z∞Γ（t）dt，即Z∞twρ，σ（z，t）dt≤ （1+4α）y.（A.4）现在，由（A.3）和（A.1）中的右侧不等式得出，0≤ σp1- ρψjρ，σz≤锆Φ（y）{zj+σ√ρyσ√1.-ρ≤y} +czj+σ√ρyσ√1.- ρ{zj+σ√ρyσ√1.-ρ> y}wρ，σ（z，y）dy=Φ（y）+czjσ√1.- ρ+cσ√ρσ√1.- ρZR{σ√ρy>σ√1.-ρy-zj}ywρ，σ（z，y）dy≤Φ（y）+czjσ√1.- ρ+cσ√ρσ√1.- ρZ∞ywρ，σ（z，y）dy，（A.5），因此通过将（A.4）替换为（A.5）0≤ σp1- ρψjρ，σz≤Φ（y）+czjσ√1.- ρ+cσ√ρσ√1.- ρ（1+4′α）y.Lemma A.3。设mt=Rt（s）dBs，其中B是一个单变量标准布朗运动，而是一个单位为Lnorm的平方可积函数。对于任何q>0的常数，eq sup0≤s≤对于足够小的t证明，TMS是可积的。工艺（mt）t≥0在定律上等于时变布朗运动（W't）t≥0，其中W是一个单变量标准布朗运动，t=Rt（s）ds随t变为0。因此，有必要用m代替W来显示结果。设Rt为sup0定律的密度函数≤s≤t | Ws |且设Rt（y）=R∞yrt（x）dx，y>0，因此e[等式sup0≤s≤tWs]=Z∞等式（y）dy=-【Rt（y）等式】∞+ 2qZ∞yRt（y）eqydy（A.6）和（使用布朗运动的反射原理）Rt（y）=Q[sup0≤s≤t（W+s+W-s） >y]≤ Q[支持0≤s≤tW+s>y][Q[支持0≤s≤tW公司-s> y]=2Q[sup0≤s≤tWs>y]=2Q[| Wt |>y]=2Q[| W |>y√t] =4Φ（y√t） ，16 ESAIM：程序和调查，其中左侧为（A.1）Φ（y√t） y型√t型≤ cφ（y√t） =c√2πe-y8t，y√t> 因此，对于8t>q，这两个术语在（A.6）的右侧都是有限的，这显示了结果。参考Crépey，S.、T.R.Bielecki和D.Brigo（2014）。交易对手风险和融资：两个谜团的故事。查普曼和霍尔/华润金融数学系列。Crépey，S.、M.Jeanblanc和D.L.Wu（2013年）。信息动态高斯copula。《国际理论和应用金融杂志》16（2），1350008（29页）。克雷佩伊，S。

和T.M.Nguyen（2016）。信用衍生品交易对手风险的非线性蒙特卡罗方案。《衍生品市场的挑战》，《斯普林格数学学报》，第53-82页。斯普林格。Crépey，S.和S.Song（2015年）。反对党的BSDE。随机过程及其应用125（8），3023–3052。Crépey，S.和S.Song（2016年）。交易对手风险和融资：沉浸式和超越式。《金融与随机》20（4），901–930。Crépey，S.和S.Song（2017年）。不变性时间。概率年鉴。即将出版（预印本onhttps://math.maths.univ-evry.fr/crepey)。Delbaen，F.和W.Schachermayer（1994年）。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen，463–520。Dellacherie，C.（1972年）。随机过程与能力。斯普林格。Dellacherie，C.和C.Doléans Dade（1971年）。拉普拉西恩方法问题的联合国实例。在Séminaire deProbabilitéS V，《数学课堂讲稿》第191卷，第127-137页。斯普林格·维拉格。Dellacherie，C.、B.Maisonneuve和P.-A.Meyer（1992年）。《概率与潜力》，第XVII-XXIV章。赫尔曼。El Karoui，N.、M.Jeanblanc和Y.Jiao（2010年）。默认设置后会发生什么：条件密度方法。随机过程及其应用120（7），1011–1032。El Karoui，N.、M.Jeanblanc和Y.Jiao（2015a）。建模连续默认值的密度方法。暹罗金融数学杂志6（1），1-2。El Karoui，N.、M.Jeanblanc和Y.Jiao（2015b）。随机环境中多变量缺省系统的动力学。arXiv:1509.09133。埃默里，M.（1980年）。非本地处理的补偿。在Séminaire de ProbabilitéS XIV中，讲师讲授数学。784，第152-160页。斯普林格。Fermanian，J.-D.和O.Vigneron（2015年）。盈亏平衡相关性：通过应用为结构性信贷衍生品定价的方法。定量金融15，829–840。Fujii，M.和A.Takahashi（2012a）。

非线性FBSDE摄动格式的解析近似。《国际理论与应用金融杂志》15（5），1250034（24页）。Fujii，M.和A.Takahashi（2012b）。具有随机波动性的不完全市场中FBSDE的摄动扩张。《金融季刊》2（3），1250015（24页）。何、S-W、J-G.Wang和J-A.Yan（1992年）。半鞅理论与随机微积分。CRC。Jacod，J.（1987）。Grossissement首字母，hypochèse（H）et théorème de Girsanov。数学课堂讲稿1118。斯普林格。Jacod，J.和A.N.Shiryaev（2003年）。随机过程的极限定理（第二版）。斯普林格。Jeanblanc，M.和Y.Le Cam（2009年）。随着初始时间的推移，过滤逐渐扩大。随机过程及其应用1192523–2543。Jeanblanc，M.和S.Song（2013年）。逐步扩大滤波中的鞅表示定理。随机过程及其应用125（11），4242–4271。Jeulin，T.（1980）。半鞅与广义过滤。数学课堂讲稿833。斯普林格。ESAIM：会议记录和调查17Jeulin，T.和M.Yor（1979年）。Inégalitéde Hardy，半鞅，et faux amis。在1977/78年的《概率十三》（Séminaire de ProbabilitéS XIII）中，数学讲稿。721，第332-359页。斯普林格。Knight，F.（1991年）。计算补偿器：方法和示例。在研讨会Stoc中。过程。1990年，《数学课堂讲稿》，第241-252页。巴塞尔：Birkh"auser。Lepingle，D.和J.Mémin（1978年）。Sur l\'intégrabilitéuniformed des鞅指数。Zeitschrift füwahrscheinlichkeitsforerie und verwandte Gebiete 42，175–203。Li，D.（2000）。关于默认相关性：copula函数方法。《固定收益杂志》9（4），43–54。Pham，H.（2010年）。逐步扩大过滤条件下的随机控制及其在多重违约风险管理中的应用。

随机过程及其应用1201795–1820。Song，S.（2014a）。在st之前的默认时间stor停止的资产流程的局部鞅定义-.arXiv:1405.4474。Song，S.（2014b）。逐步扩大过滤的可选拆分公式。ESAIM概率统计18829–853。