动态高斯copula模型的不变性*

对于t>0，letI？t={i∈ N？：τi≤ t} ，J？t=N？\\我t、 ρ？t=ρI？t、 σ？t=σI？t、 引理3.1。对于任何k∈ N、 工艺“Wkt=Bkt”-Rtβksds，t≥ 0是F局部鞅，其中βkt=（t）α（t）{k∈我t} (R)mktα（t）+1{k/∈我t} bkJ？t（（Zj，I？tt（t），j∈ Jt） ，λI？tPi公司∈我t'mitα（t））ΦJ？t、 ρ？t、 σ？t（Zj，I？tt（t），j∈ Jt）, t型∈ R+。对于j∈ Nτjis an F完全不可接近的停止时间，过程d'Mjt=d1τj≤t型- γjtdt，t>0，是F局部鞅，其中γjt=1{t<τj}˙hj（t）α（t）ψjJ？t、 ρ？t、 σ？t型Zj，我？tt（t），j∈ Jt型, t型∈ R+。（3.3）工艺系列∈ N和？Mj，j∈ N具有过滤F.3.1中的鞅表示属性。Azéma上鞅我们的下一个目标是计算随机时间τ的Azéma上鞅-1.∧ 过滤F中的τ，即e[1{t<τ-1.∧τ} | Ft]，t≥ 引理3.2。随机时间τ的Azéma上鞅-1.∧ 过滤F中的τ由t=ΦJ给出？t型∪{-1,0}，ρ？t、 σ？t（Zj，I？tt（t），j∈ Jt型∪ {-1，0}）ΦJ？t、 ρ？t、 σ？t（Zj，I？tt（t），j∈ Jt） ，t≥ 0。（3.4）特别是，Azéma supermartingale S为正值。证据对于任何有界bt可测函数F和可测有界函数F，我们计算（cf.（2.12））E[F（τI）1{τI≤t<τj，i∈一、 j∈J} {t<τ-1.∧τ} ]=E[F F（τI）1{τI≤t： 我∈一} E[1{t<τj:j∈J} {t<τ-1.∧τ} |英国电信∨ σ（τI）]]=E[F F（τI）1{τI≤t： 我∈一} ΦJ∪{-1,0}，ρI，σI（Zj，It（t）：j∈ J∪ {-1，0}）]=E[F F（τI）1{τI≤t<τj:i∈一、 j∈J} ΦJ∪{-1,0}，ρI，σI（Zj，It（t）：j∈J∪{-1,0}）ΦJ，ρI，σI（Zj，It（t）：J∈J） ]=E[F F（τI）1{τI≤t<τj:i∈一、 j∈J} ΦJ？t型∪{-1,0}，ρ？t、 σ？t（Zj，I？tt（t）：j∈Jt型∪{-1,0}）ΦJ？t、 ρ？t、 σ？t（Zj，I？tt（t）：j∈Jt） ]，其中条件和塔式规则用于下一个倒数第二个标识。利用公式（3.2），我们得出了[1{t<τ-1.∧τ} | Ft]=ΦJ？t型∪{-1,0}，ρ？t、 σ？t（Zj，I？tt（t）：j∈ Jt型∪ {-1，0}）ΦJ？t、 ρ？t、 σ？t（Zj，I？tt（t）：j∈ Jt） 。设ν=S Sc，其中Sc表示（F，Q）Azéma supermartingale S.ESAIM的连续鞅分量：PROCEEDINGS AND SURVEYS 9Lemma 3.3。

我们得到了νt=Pj∈Jt型-∪{-1,0}ψjJ？t型-∪{-1,0}，ρ？t、 σ？t型Zj，我？t型-t（t）：j∈ Jt型∪ {-1，0}dζj，I？tt-Pj公司∈Jt型-ψjJ？t型-,ρ？t、 σ？t型Zj，我？t型-t（t）：j∈ Jt型dζj，I？tt，where，for I Nζj，表示-α（t）dmjt+%（| I|-1） %+1Pi∈Iα（t）dmit在F.Proof中。为了获得dSct（然后除以St），有必要将it^o演算应用于每个随机区间上S的表达式（3.4），其中I？t型-是常量。注意，知道t在这样的区间内，τI？t型-也请注意，STS的跳跃是由I的跳跃触发的？t型-这里没有影响，因为SCI是一个连续的局部鞅。3.2。Fβk、γjLemma的减少3.4。三重态（τ-1.∧ τ、 F，G）满足条件（B）。证据为了检验条件（B），利用单调类定理，我们只需要考虑形式为U=νf（τ）的初等G可预测过程-1.∧ s、 τ∧ s） 1（s，t），对于F可测随机变量F和Borel函数F。由于U1（0，τ）=F（s，s）1（s，t）（0，τ），我们可以在条件（B）下取U=F（s，s）1（s，t）。接下来，我们考虑过程βk，γjin的减少过滤F。注意，对于t<τ-1.∧ τ、 It=I？t、 Jt=J？t型∪ {-1，0}。因此，下面的引理成立。引理3.5。γj，j的F约化∈ Niseγjt=1{t<τj}˙hj（t）α（t）ψjJ？t型∪{-1,0}，ρ？t、 σ？t型Zj，我？tt（t），j∈ Jt型∪ {-1，0}, t型∈ R+。（3.5）类似地，βk，k的F减少∈ N、 iseβkt=（t）α（t）×{k∈我t} (R)mktα（t）+{k/∈我t} bkJ？t型∪{-1,0}（（Zj，I？tt（t），j∈ Jt型∪ {-1，0}），λI？tPi公司∈我t'mitα（t））ΦJ？t型∪{-1,0}，ρ？t、 σ？t（Zj，I？tt（t），j∈ Jt型∪ {-1，0}）, t型∈ R+。注意，过程γj、eγjandβk、eβkare cádlág。下一个结果表明，过程βk（以及随后的β）通过过程ν与βkt相连。引理3.6。对于k∈ N，Zteβksds=Zt‘βksds+hBk，νit，t∈ [0，τ-1.∧ τ] 。证据请注意，bk是一个连续的过程。通过Jeulin–Yor公式（参见。

Dellacherie、Maisonneuve和Meyer（1992年，第77号Remarques b）），Bkt-Ztβksds- hBk，νit，t∈ [0，τ-1.∧ τ] ，定义了G局部鞅。但是，根据定理2.4，Bkin G isRtβksds的漂移，t≥ 我们得出结论，中兴通讯βksds=中兴通讯βksds=中兴通讯βksds+hBk，νit10 ESAIM:t的程序和调查∈ [0，τ-1.∧ τ] 。了解F的约化seβkand eγjofβkandγj，考虑到F中的鞅表示性质，也可以避免τ-1.∧ τ和τj，j∈ N构造不变性概率测度的策略非常明确。只要在FT上找到一个等于Q的概率测度P（给定一个常数T>0），那么Bk，k的（F，P）漂移∈ N、 iseβ和τj，j的（F，P）补偿器∈ N具有密度过程eγj。为了实现这一想法，以下估计将是有用的。引理3.7。存在一个常数C>0，使得hνit≤ C（Xi）∈Nsup0<s≤t | mis |+1）t（3.6）和0≤ r≤ t和j∈ Neγjr∨ \'γjr≤ C（Xi）∈Nsup0<s≤t | mis |+1），（3.7）eγjrln（eγjr∨ \'γjr）≤ CXi公司∈Nsup0<s≤t（| mis |+1）ln（| mis |+1）。证据将引理A.2应用于公式（3.3），并注意到函数α（连续且正）从0到[0，T]是有界的，我们得到，对于可能随位置变化的正常数C，hνit≤ CZt（XI）NXj公司∈N\\I | Zj，Is（s）|+1）ds≤ C（XI）NXj公司∈N\\Isup0<s≤t | Zj，是（s）|+1）t，它产生（3.6）。将引理A.2应用于eγj的γjand（3.5）的公式（3.3），我们得到了（3.7）中的第一行，其中第二行来自eγjrln（eγjr∨ \'γjr）≤ C（最大值∈Nsup0<s≤t | mis |+1）lnC（最大值∈Nsup0<s≤t | mis |+1）= maxi公司∈Nsup0<s≤tC（| mis |+1）ln（C | mis |+1）。请注意，进程γjare为正。考虑F局部鞅u=ν+Pj∈N（eγj-\'-γj-- （1）\'Mj。引理3.8。Doléans-Dade指数E（u）是真（F，Q）鞅。证据

继Lepingle和Mémin（1978，定理III.1）之后，我们考虑Pj∈N（1+（eγjτj-γjτj-- 1） ）ln（1+（eγjτj-γjτj-- 1） （）- （eγjτj-γjτj-- （1）{τj≤t} ，及其F可预测对偶投影mt=Pj∈NRt公司（1+（eγjs-\'-γjs-- 1） ）ln（1+（eγjs）-\'-γjs-- 1） （）- （eγjτj-\'-γjs-- （1）\'-γjs-ds=Pj∈NRt公司eγjs-（ln（eγjs-) - ln（(R)γjs-)) - （eγjτj-- \'-γjs-)ds。结合引理3.7和引理A.3，我们证明了对于足够小的t=t>0，ehνit+Mtis Q可积。根据toLepingle和Mémin（1978年，定理III.1），我们得出结论E[E（u）t]=1。用条件概率Q[·| Ft]代替Q应用相同的公式证明了E[E（u）2t | Ft]=1。通过迭代，对于任何大于0的整数k，我们得出E[E（u）kt]=1。ESAIM：会议记录和调查113.3。不变性概率测度证明了E（u）是（F，Q）真鞅。然后，我们可以定义一个新的概率度量P=E（u）。Q onFT。定理3.1。概率测度P是DGC模型（τ）的不变性概率测度-1.∧τ、 F，G，Q），对于任何常数T>0。证据根据Girsanov定理，τi，i的强度∈ NP下的in F为eγi，而Bk，k的漂移∈ N、 在F中，底部为（°βk λ+hBk，νi）。给定一个常数T>0，让我们证明概率测度P使得dpdq=E（u）是四重态（τ）的不变性概率测度-1.∧ τ、 F、G、Q）。根据Crépey和Song（2017，推论C.1），我们只需要考虑条件（A）中的局部有界（F，P）局部鞅P。We writecWk=Bk-βk λ- hBk，νi k∈ N、 andcMj=1[τj，∞)- eγj λ、 k级∈ N、 j∈ N由于引理3.6，停止过程（cWk）τ-1.∧τ-= （黑色- βk λ） τ-1.∧τ=（Wk）τ-1.∧τ是（G，Q）局部鞅。（cMj）τ的（G，Q）局部鞅性质-1.∧τ-= （1[τj，∞)- γj λ） τ-1.∧τ=（Mj）τ-1.∧τ（cf。

引理3.5）是明确的。正如我们在引理3.1中所做的那样，在概率Q下，可以证明processskk，k∈ N、 andcMj，j∈ N在P下的filtion F中具有鞅表示性质。因此，任何（F，P）局部鞅P都是过程的F中的anstochastic积分，而在概率测度P下，则是过程的F中的anstochastic积分-1.∧τ-是过程G中的随机积分（Wk）τ-1.∧τ和of（Mj）τ-1.∧τ在概率Q下，所以pτ-1.∧τ-它本身是一个（G，Q）局部鞅。然而，了解Jeulin和Yor（1979）关于“仿amis”的讨论，关于过滤和随机积分的扩大，我们必须小心。更准确地说，我们需要区分半鞅意义上的随机积分和局部鞅意义上的随机积分，回顾埃梅里（1980）（参见Delbaen和Schachermayer（1994，定理2.9）），关于局部鞅的半鞅意义上的随机积分不必是局部鞅。我们可以争论如下。我们分别考虑了连续P和纯间断P的情况。当P是连续（F，P）局部鞅时，P是F可预测（n+2）维过程H=（Hk，k）在局部鞅意义下的（F，P）随机积分∈ N）关于（N+2）维过程（cWk，k∈ N）。自矩阵（dhcWk，cWkitdt，k，k∈ N）为均匀正定义，对于每k∈ N、 局部鞅意义下一维布朗运动的Hkis（F，P）可积（见Jacod和Shiryaev（2003，第三章，第4节））。此外，作为hHkcWk，νi存在于P下（注意HkcWkis连续），根据Girsanov定理（见He、Wang和Yan（1992，定理12.13）），hHkcWk，νi是Q下局部可积的全变分。

因此，Hk相对于hcWk，νi在Q下是可积的。此外，Hk的（F，Q）鞅部分是（F，Q）布朗运动，因此Hk相对于该鞅部分的（F，Q）可积性降低为（Hk）的a.s.不确定性 λ、 在半鞅意义下，Hkis（F，Q）可积。假设（H’）在F之间成立 G在Q下（见（3.2）之后），Jeulin（1980，命题2.1）暗示了Hkis（G，Q）在半鞅意义下可积。Jeanblanc和Song（2013，引理2.1），在（F，Q）半鞅和（G，Q）半鞅意义下的随机积分是相同的，henceP=Pk∈NHk公司cWkalso在（G，Q）半鞅的意义上成立。引理3.6，（cWk）τ-1.∧τ=（Wk）τ-1.∧τisa（G，Q）局部鞅。应用He、Wang和Yan（1992，定理9.16），我们得出结论，事实上，Hkis（G，Q）12 ESAIM：关于（cWk）τ的程序和测量集成-1.∧τ在局部鞅意义下。亨塞普τ-1.∧τ-=Xk公司∈N（香港cWk）τ-1.∧τ-=Xk公司∈N（香港 Wk）τ-1.∧τ是（G，Q）局部鞅。现在考虑P完全不连续的情况。在不丧失一般性的情况下，我们假设局部有界过程P实际上是有界的。那么，P是F可预测n维过程K=（Kj，j）的（F，P）随机积分（在局部鞅的意义上）∈ N？）关于n维过程（cMj，j∈ N？）。过程CMJ，j∈ N跳转幅度为1的跳转时间不相交。这意味着Kjis可以单独对tocmj积分。此外，当P有界时，随机变量Kτj，j∈ N是有界的，因此K本身是有界的（参见He等人（1992年，定理7.23））。因此，K自动（G，Q）可积于（cMj，j∈ N？）在局部鞅的意义上。

Jeanblanc和Song（2013，Lemma 2.1）再次指出，Pτ-1.∧τ-=Xj公司∈N（千焦cMj）τ-1.∧τ-=Xj公司∈N（千焦 Mj）τ-1.∧τ、 这是一个（G，Q）局部鞅。3.4。条件（A）定理3.1的替代证明给出了DGC模型中不变性概率测度P的显式构造。如果我们只想建立条件（A），即P的存在，则可以根据Répey和Song的充分性条件（2017，定理5.1）得到一个简短的证明。引理3.9。随机时间τ的（G，Q）强度γ-1.∧ τ由γ=1给出[0，τ-1.∧τ] （γ-1+γ）。证据例如，这源于Crépey和Song（2016，Lemma 6.2）。定理3.2。DGC模型（τ）中的条件（A）成立-1.∧ τ、 F、G、Q）。证据根据Crépey和Song（2017，定理5.1），给定一个常数视界T>0，我们只需要证明rτ的指数可积性∧Tγsds，可以类似于引理3.8.4的证明。错误的方式风险正如（2.11）中所示，在DGC模型中，幸存名称的默认强度会在默认值时达到峰值。这与该模型中的浸入特性的偏离非常相关，即不变性概率度量不等于FT上的定价度量Q。这种“错误方式风险”特征（参见Crépey和Song（2016））使得该GC模型适合处理信用衍生品的交易对手风险，值得注意的是，银行与其交易对手之间交易的CDS合同组合，分别标记为-1和0，并与参考公司的关系i=1。

，n.为了从数字上说明这一点，在本文的最后一节中，我们研究了银行与其第三家参考公司的交易对手之间的一张CDS中嵌入的交易对手和融资风险的估值调整会计（总估值调整TVA）。在图1中，左图显示了在三个信贷名称（因此n=1）的DGC模型中，作为相关参数%的函数计算的TVA：银行、其交易对手和CDS的参考信贷名称。不同的曲线对应于银行不同级别的信贷利差λ：λ越高，银行的融资成本越高，导致TVAs越高。所有TVA数字都是通过在克雷佩伊和阮（2016年，第6.1节）中称为“3阶FT方案”的蒙特卡罗方案计算的。FT指藤井和高桥（2012a，b）。Crépey和Nguyen（2016年，第6.1节）中设定了数值参数，我们向读者介绍了CDS合同的完整描述，ESAIM：FT数值方案的程序和调查13以及涉及CDS投资组合的其他数值实验（与此处的单一合同相反）。图1的右面板显示了左图的模拟，但在一个虚假的DGC模型中，我们故意忽略了交易对手违约在时间τ对CDS估值的影响-1.∧ τ（从技术上讲，在Répey和Song（2016，方程式（6.7））的符号中，我们替换（ePet+eet）由Pt提供-在系数中），以消除DGC模型的错误路径风险特征。我们可以从图中看到，在很大程度上，相应的虚假TVA数字比左面板中显示的“真实”TVA水平小十倍。除了要小得多以外，右面板中的伪DGC TVA数字大多以%减少。

这表明，DGC模型的错误方向风险特征确实是左面板中观察到的“系统性”增长模式的原因。0.2 0.4 0.6 0.8 0.990.10.20.30.40.50.60.70.80.9%TVATVA one CDS不同相关性|Μ=0%¨λ=1%¨λ=2%¨λ=3%0.2 0.4 0.6 0.8 0.9900.050.10.150.20.25TVATVA one CDS不同的相关性|λ=0%|λ=1%¨λ=2%¨λ=3%。图1。左图：在一个具有三个名称的DGC模型中，一张CDS上的TVA作为相关参数%的函数，对于不同的银行信贷利差|||Μλ：银行、其交易对手和CDS的参考creditname。右图：模拟结果是一个虚假的DGC模型，没有错误的方向风险。A、 高斯估计在本附录中，我们推导了用于引理3.7和3.8证明的高斯估计。引理A.1。给定R+上的一个正递减连续可微函数，使得zr+tdΓ（t）dt<∞ 和限制↑∞td公司-1Γ（t）→ 0，对于某些整数d≥ 0，我们写g（y）=-Γ（y）Γ（y），G（y）=R∞年初至今（t）dt。让我来≥ 0和α， > 0.（i）如果g（y）≥ αy表示y＞y，则为g（y）≤α+yd码-1Γ（y）表示y>\'y∨r | d- 1个|(α+α）。（ii）如果g（y）≤ αy表示y＞y，则为g（y）≥α- yd码-1Γ（y）表示y>\'y∨r | d- 1个|(α-α） 。14 ESAIM：诉讼和调查证明。（i） 对于（0+∞),（G（y）- Д（y）Γ（y））=-ydΓ（y）- Д（y）Γ（y）+Д（y）g（y）Γ（y）=（Д（y）g（y）- yd码- Γ（y））Γ（y）≥ （αyД（y）- yd码- ^1（y））Γ（y）表示y≥ (R)y.对于Д（y）=（α+)yd码-1，αyИ（y）- yd码- ^1（y）=（1+α） yd码- yd码- （α+)（d）- 1） yd码-2=α码- （α+)（d）- 1） yd码-2=(αy- （α+)（d）- 1） ）码-2、因此，如果y＞y∨q | d- 1个|(α+α），然后（G（y）- ^1（y）Γ（y））≥ αyИ（y）-yd码-^1（y）≥ 0.Butlimy公司↑∞（G（y）- Д（y）Γ（y））=0，因此G（y）- ^1（y）Γ（y）≤ 0。（ii）我们再次从（G（y）开始- Д（y）Γ（y））=（Д（y）g（y）- yk公司- Γ（y））Γ（y）≤ （Д（y）（αy+α）- yk公司- ^1（y））Γ（y）表示y≥ 是。

我们根据ν（y）=（α）得出（i）中的结论- )yk公司-1，假设α> （否则（ii）显然成立）。我们使用符号（2.5）以及Φ和φ表示标准正态生存函数和密度函数。通过引理a.1的首次应用，对于标准正态密度Γ=φ，我们恢复了ψ=φΦ的以下经典不等式：对于任何常数c>1，c-1年≤ ψ（y）≤ cy，y>y，（A.1）对于某些y>0，取决于c。下面的估计，其中c和yare如这里所示，可以视为（A.1）中右侧不等式的多元扩展。引理A.2。存在常数a和b，对于每个j∈ J、 0个≤ ψjρ，σz≤ a+b | | z||∞.（A.2）证明。通过具有齐次成对相关%的多元高斯向量分量的条件独立性，我们得到了Φρ，σz=RRΓ（y）dy，其中Γ（y）=Ql∈JΦzl+σ√ρyσ√1.-ρφ（y）。因此ψjρ，σz=σ√1.- ρZRwρ，σ（z，y）ψzj+σ√ρyσ√1.- ρdy，（A.3），其中wρ，σ（z，y）=Γ（y）Φρ，σz. 直接计算yieldg（t）=-Γ（t）Γ（t）=Xl∈Jψ（zl+σ）√ρtσ√1.- ρ） σ√ρσ√1.- ρ+t≥ t、 而对于t>最大值∈Jσ√ρ（σ√1.- ρy- zl）和t>σ√ρ最大值∈Jzl，我们有G（t）≤Pl公司∈Jczl+σ√ρtσ√1.-ρσ√ρσ√1.-ρ+t≤ \'αt，ESAIM：程序和调查，其中\'α=Pl∈J2cσ√ρσ√1.-ρσ√ρσ√1.-ρ+1≥ 应用引理A.1（i），d=1，α=1和 = 1，分别为（ii），d=0，α=(R)α和 =2’’α，yieldsZ∞ytΓ（t）dt≤ 2Γ（y），y>0，分别为z∞yΓ（t）dt≥2’’αyΓ（y），y>’y∨√\'α，其中\'y=σ√ρ最大值∈J | zl |+σ√ρσ√1.- ρy。