动态高斯copula模型的不变性*

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英文标题：
《Invariance properties in the dynamic gaussian copula model *》
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作者：
St\\\'ephane Cr\\\'epey (LaMME), Shiqi Song (LaMME)
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We prove that the default times (or any of their minima) in the dynamic Gaussian copula model of Cr{\\\'e}pey, Jeanblanc, and Wu (2013) are invariance times in the sense of Cr{\\\'e}pey and Song (2017), with related invariance probability measures different from the pricing measure. This reflects a departure from the immersion property, whereby the default intensities of the surviving names and therefore the value of credit protection spike at default times. These properties are in line with the wrong-way risk feature of counterparty risk embedded in credit derivatives, i.e. the adverse dependence between the default risk of a counterparty and an underlying credit derivative exposure.
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中文摘要：
我们证明了Cr{}pey、Jeanblanc和Wu（2013）的动态高斯copula模型中的默认时间（或其任何极小值）是Cr{pey和Song（2017）意义上的不变性时间，相关的不变性概率测度不同于定价测度。这反映了与沉浸属性的背离，即存续名称的违约强度，因此信用保护的价值在违约时间达到峰值。这些属性符合信用衍生工具中嵌入的交易对手风险的错误方向风险特征，即交易对手违约风险与基础信用衍生工具风险之间的不利依赖关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Invariance_properties_in_the_dynamic_gaussian_copula_model_*.pdf (450.98 KB)

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关键词：Copula opula 不变性 counterparty Applications

ESAIM：会议记录和调查，卷？，2021，1-10编辑器：将由动态高斯COPULA模型中的publisher-variance属性设置*斯特凡·克雷佩扬和施奇松摘要。我们证明了克雷佩伊、Jeanblanc和Wu（2013）的动态高斯copula模型中的默认时间（或其任何极小值）是克雷佩伊和宋（2017）意义上的不变性时间，相关不变性概率测度不同于定价测度。这反映了与immersionproperty的背离，即存续名称的默认强度，因此信用保护的价值在默认时间达到峰值。这些属性符合交易对手风险嵌入信用衍生工具的错误方式风险特征，即交易对手违约风险与基础信用衍生工具风险之间的不利依赖关系。关键词：交易对手信用风险、错误方向风险、高斯copula、动态copula、浸入性、不变性、CDS。数学学科分类：91G40、60G07.1。简介本文论述了Crépey、Jeanblanc和Wu（2013）的动态高斯copula（DGC）模型的数学（另见Crépey、Bielecki和Brigo（2014，第7章）以及Crépey和Nguyen（2016））。正如Crépeyet al.（2014年，第7.3.3节）所述，该模型对次级抵押贷款危机之前，交易员使用CDS合约对冲CDO份额的特殊波动敏感性产生了动态意义。从更具主题性的角度来看，它可用于CDS投资组合的交易对手风险计算。

相关模型包括FermaniandVigneron的单周期Merton模型（2015年，第6节）或信贷和交易对手风险软件中常用的其他变体。在以前的工作中，已经从工程角度对动态高斯copula模型进行了评估，但详细的数学研究，包括主要模型原语的显式计算，推迟到了本论文。1.1。不变性时间和概率度量我们在过滤概率空间上工作(Ohm, G、 A，Q）。给定满足通常条件的G停止时间τ和G、F和G的子滤波F，让J和S表示τ的生存指标过程及其可选投影，称为τ的Azéma上鞅，即Jt=1{τ>t}，St=oJt=Q（τ>t | Ft），t≥ 0.Crépey和Song（2015、2017）研究了以下条件。*这项研究得益于“转型中的椅子市场”（Fédération Bancaire Francaise）和ANR项目11-LABX0019的支持。法国埃松大学数学与建模实验室和UMR CNRS 8071、91037埃松塞德克斯大学。法国埃松大学数学与建模实验室和UMR CNRS 8071、91037埃松塞德克斯大学。(c)EDP Sciences，SMAI 20212 ESAIM：会议记录和调查情况（B）。任何G可预测过程U都允许F可预测缩减，即F可预测过程，用U表示，在K0，τK上与U重合。对于任何左极限过程Y，我们用Yτ表示-= JY+（1- J） Yτ-进程Y在τ之前停止。条件（A）。给定一个常数时间范围T＞0，存在一个与Q等价的概率测度P，即（F，P）局部鞅在τ之前停止，是[0，T]上的（G，Q）局部鞅。如果条件（B）和（A）满足，那么我们说τ是不变性时间，P是不变性概率测度。

此外，如果ST>0几乎可以肯定，则F可预测约化在（0，T）上唯一定义，并且（0，τ）上两个G可预测过程之间的任何不等式意味着它们的F可预测约化在（0，T）上具有相同的不等式（见Song（2014a，引理6.1））；不变性概率测度是在FT上唯一定义的，因此人们可以谈论不变性概率测度P（作为FTis非实质性路径之外的不变性概率测度的规格）。2、动态高斯Copula模型在本文中，我们证明，给定一个常数时间范围T>0，GC模型中的默认时间τi（或其任何极小值）是不变性时间，相关的不变性概率测度P唯一定义且不等于Q onFT。这反映了与浸没属性的背离，即存续名称的违约强度和信用保护价值在违约时间出现峰值，正如实践中观察到的那样。这一特性使DGC模型适用于处理abank与其交易对手之间交易的信用衍生品（尤其是CDS合同组合）的交易对手风险，分别标记为-1和0，并引用信贷名称1到n，表示某些正整数。因此，我们引入={-1，0，1，n} 和n？={1，…，n}，我们关注τ=τ-1.∧τ。然而，模拟性质适用于τi的任何最小值，尤其是τi自身。2.1。该模型考虑了一系列独立的标准线性布朗运动Z和Zi，i∈ N、 对于%∈ [0，1），我们定义=√%Zt+p1- %青春痘。（2.1）设是R+上的连续函数，其中rr+（s）ds=1，α（t）=R+∞对于所有t，t（s）ds>0∈ R+。对于anyi∈ N、 设hibe为R的连续可微严格增函数*+对于R，导数用˙hi表示，这样lims↓0hi（s）=-∞ 和lims↑+∞hi（s）=+∞.

我们定义τi=h-1iZ+∞（u）dBiu= h类-1i√%Z+∞（u）dZu+p1- %Z+∞（u）dZiu, （2.2）对于i∈ N随机时间（τi）i∈n遵循Li（2000）的标准单因素高斯copula模型（简称DGC模型），相关参数为%，边际生存函数为Φo hiofτi，其中Φ（t）=Z+∞t型√2πe-xdx，t∈ Ris是标准的正常生存函数。注意，如果%<1，则τi彼此无效：Q（τi=τj）=0，对于N.ESAIM中的任何i 6=j：程序和调查32.2。密度属性通过多变量密度默认模型，我们指的是一个具有默认时间的F条件密度的模型（参见Pham（2010，第1800页）中的条件（DH），给出了g的一些参考子过滤F。这是密度时间概念的多变量扩展，在Jacod（1987年）的初始放大设置中首次引入，在Jeanblanc和Le Cam（2009年）（以初始时间的名义）以及El Karoui、Jeanblanc和Jiao（2010年、2015年a、b）的渐进放大设置中再次引入。首先，我们证明了DGC模型是一个关于自然过滤B=（Bt）t的多元密度模型≥布朗运动Z和Zi的0，i∈ N、 我们将介绍以下过程。mit=Zt（u）dBIU和'mit=Z∞t（u）dBiu=h（τi）- 麻省理工学院，i∈ N、 标准正态密度函数用φ（x）表示=√2πe-x、 x个∈ R、 定理2.1。动态高斯copula模型是一种违约时间的多元密度模型（关于过滤B），具有条件Lebesgue densitypt（ti，i∈ N） =t型-1.tnQ（τi<ti，i∈ τi，i的N | Bt）∈ N、 给定，对于任何非负ti，i∈ N和t∈ R+，bypt（ti，i∈ N） =ZRφ（y）Yi∈Nφhi（ti）- mit+α（t）√%yα（t）√1.- %˙hi（ti）α（t）√1.- %dy.（2.3）证明。由于过程Z、Zi、i增量的独立性，可以计算给定bt的条件密度函数p∈ N

实际上，对于任何t≥ 0，我们可以写出τi=h-1i（麻省理工学院+√%ξ+p1- %ξi），i∈ N、 其中ξ是方差为αt的实正态随机变量，其中（ξj）j∈Nis是一个中心高斯向量，与ξ无关，具有齐次边缘方差α和零成对相关，其中族ξ、ξi、i∈ N、 独立于Bt。见Crépey等人（2014年，第172页）。2.3。强度过程的计算注意到τiare B∞可测量，但它们不是B停止时间。在DGC模型中，完整模型过滤G=（Gt）t≥0被视为布朗过滤B被τi，i逐渐放大∈ N、 为了满足通常条件而增加，即Gt=∩s> t（Bs∨_我∈Nσ（τi∧ s） ），t≥ 0。（2.4）在本节中，我们证明了τi是完全不可接近的G停止时间，其强度是我们显式计算的。或Crépey等人（2013年，第3页）发表在期刊版本中。4 ESAIM:I的诉讼和调查 N和j∈ N、 我们定义：ρI=%| I |%+1，（σI）=（1- %)|I |%+1 | I |%+1- %, λI=%（| I |- 1） %+1，Zj，It（u）=hj（u）- mjtα（t）- λIXi∈I'mitα（t）。对于t≥ 0，Leit={i∈ N：τi≤ t} （表示在时间t时违约的N个债务人的集合）并设ρt=ρIt，σt=σIt，Jt=N\\It。对于σ>0，ρ∈ [0，1]和J N、 我们定义了函数ΦJ，ρ，σ（zJ）=Q（ξJ>zJ，J∈ J） ，ψjJ，ρ，σzJ公司= -zjΦJ，ρ，σΦJ，ρ，σzJ公司, j∈ J、 （2.5）式中，zJ=（zJ）J∈Jis a实向量和（ξj）j∈Nis是一个具有齐次边缘方差σ和成对相关ρ的中心高斯向量。注：引理2.1。对于I=N\\J，随机变量族ξJ-ρ（| I |- 1） ρ+1Xi∈我ξ我！j∈Jde定义了一个独立于σ（ξi，i）的中心高斯向量∈ 一） ，具有齐次边际方差和成对相关，分别表示为σ（1- ρ） | I |ρ+1 | I |ρ+1- ρ和ρ| I |ρ+1。（2.6）引理2.2。对于u>0，E[1{uj<τj，j∈J} |英国电信∨ σ（τI）]=ΦJ，ρI，σI（Zj，It（uj），J∈ J） 。（2.7）证明。

对于j∈ J和uj∈ R、 条件uj<τjis相当于zj，It（uj）=hj（uj）- mjtα（t）- λIXi∈I“mitα（t）<”mjtα（t）- λIXi∈I'mitα（t）（2.8）注意到mjt∈ 英国电信，麻省理工学院∈ 英国电信∨ σ（τI），I∈ 一、 期望的结果随后是引理2.1的应用。引理2.3。对于每t>0和I 我们有，写J=N\\I和τI=（τI）I∈一： {τI≤ t<τj:i∈ 一、 j∈ J}∩ Gt={τi≤ t<τj:i∈ 一、 j∈ J}∩ （英国电信∨ σ（τI））。（2.9）证明。设τ（i）为τi的递增顺序，τ（0）=0，τ（n+1）=∞. 根据默认时间的任何多元密度模型中的OptionalSpliting公式（见Song（2014b）），对于任何G optionalprocess Y，都存在一个O（B） B（[0，∞]n） -可测函数Y（i），i∈ N、 y=nXi=0Y（i）（τ-1-τ（i），τn-τ（i））1[τ（i），τ（i+1）），（2.10）ESAIM：程序和调查5，其中a-b表示a，如果a≤ b和∞ 如果a>b，对于a，b∈ [0，∞]. 由于Gt=σ（Yt）和Y（i）（τ-τ（i），τnτ（i））1[τ（i），τ（i+1））是Bt和τ离子{τi）的函数≤ t<τj:i∈ 一、 j∈ J} ，这意味着（2.9）。定理2.2。对于任何j∈ N、 τjadmits a（G，Q）强度由γjt=1{t<τj}˙hj（t）α（t）ψjJt，ρt，σt给出Zj，Itt（t），j∈ Jt公司, t型∈ R+。（2.11）证明。让我∈ N对于有界bt可测函数F，对于可测有界函数F，对于0≤ t型≤ s<∞, welook atE[F F（τI）1{τI≤t<τj:i∈一、 j∈J} {t<τl≤s} 】。我们只需要考虑l∈ J

然后，使用（2.7）传递到第三行，并与towerrule一起调节传递到第四行：E[F F（τI）1{τI≤t<τj，i∈一、 j∈J} {s<τl}]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} E[1{t<τj，j∈J} {s<τl}| Bt∨ σ（τI）]]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} ΦJ，ρI，σI（Zj，It（uj），J∈ J） 其中uj=t，ul=s除外，=E[F F（τI）1{τI≤t<τj，i∈一、 j∈J} ΦJ，ρI，σI（Zj，It（uj），J∈J） ΦJ，ρI，σI（Zj，It（t），J∈J） ]=E[F F（τI）1{τI≤t<τj，i∈一、 j∈J} ΦJt，ρt，σt（Zj，Itt（uj），J∈Jt）ΦJt，ρt，σt（Zj，Itt（t），j∈Jt）]。（2.12）通过公式（2.9），我们得出以下结论：≤s} | Gt]=E[1{t<τl}| Gt]- E[1{s<τl}| Gt]=1{t<τl}（1-ΦJt，ρt，σt（Zj，Itt（uj），j∈ Jt）ΦJt，ρt，σt（Zj，Itt（t），j∈ Jt））。所述结果随后应用了Dellacherie的拉普拉斯公式（1972年，第五章，定理T54）（另请参见Dellacherie和Doléans Dade（1971）或Knight（1991））。2.4。布朗运动漂移的计算接下来我们研究了过程Bi，i∈ N、 在过滤G中，由于定理2.1，DGC模型是一个多变量模型。根据Jacod（1987），这意味着：引理2.4。过程Bi、i∈ N、 是G半鞅。根据Jeanblanc和Song（2013年，定理6.4），多元密度特性的另一个结果是马丁格尔表示特性。定理2.3。让我，因为我∈ N、 表示Bi的G中的鞅部分。LetdMit=d1τi≤t型- γitdt，t>0，其中过程γ定义于（2.11）。然后，鞅表示性质对于（Wi，Mi，i）在G中成立∈ N） 。本节专门讨论鞅Wi的计算。我们从以下关于高斯过程Bi的评论开始（参见引理2.1）。6 ESAIM：会议记录和调查引理2.5。

对于J N和I=N\\J，进程家族bj-%（| I |- 1） %+1Xi∈IBi！j∈J（2.13）是一个与σ（Bi，i）无关的连续Lévy过程（带漂移的多元布朗运动）∈ 一） 同质边际方差和成对相关性的，分别等于（σI）=（1- %)|I |%+1 | I |%+1- %ρI=%| I |%+1。（2.14）证明。然后计算连续局部鞅的括号并应用Lévy过程特征化。引理2.6。对于k∈ I和0≤ t型≤ s≤ s、 E[黑色]- Bks | Bt∨ σ（τI）]=（αtRssudu）(R)mkt。证据对于k∈ 一、 对于0≤ t型≤ s≤ s<∞,黑色- 黑色- （αtZssudu）mkt（2.15）是一个中心高斯随机变量，独立于mkt，方差（s- s）- 2αt（Zssudu）+αt（Zssudu）=（s- s）-αt（Zssudu）。因此，对于k∈ 一、 E[黑色]- Bks | Bt∨ σ（τI）]=E[Bks- Bks | Bt∨ σ（(R)mit，i∈ 一） ]=E[黑色- Bks | Bt∨ σ（(R)mkt）∨ σ（ξi，i∈ I \\{k}）]，其中ξ是独立于Bt的高斯族∨ σ（Bk），由（2.13），=E[Bks]构成- Bks |σ（\'mkt）]=（αtRssudu）\'mkt，因为（2.15）。在续集中，我们发现有时可以方便地通过以下方式表示随机积分（或针对度量的积分） 半直线上的Lebesgue测度为λ。定理2.4。对于J N和k∈ J、 定义函数bkj（z，x）=E[1{zj<ξJ，J∈J} （ξk+x）]，x∈ R、 z=（zj，j）∈ J） ，式中（ξJ，J∈ J） 是齐次边际方差（σI）和成对相关性ρI的高斯族。对于anyk∈ N、 确定过程βkt=（t）α（t）{k∈It}mktα（t）+1{k/∈It}bkJt（（Zj，Itt（t），j∈ Jt），λItPi∈It'mitα（t））ΦJt，ρt，σt（Zj，Itt（t），j∈ Jt）, t型∈ R+。那么，Wk=Bk- βkλ。ESAIM：诉讼和调查7证据。为了0≤ t型≤ s≤ s<∞, 对于任何有界bt可测函数F和可测有界函数F，我们计算[F F（τI）1{τI≤t<τj，i∈一、 j∈J} （黑色- Bks）]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} {t<τj，j∈J} E[（黑色- Bks）| Bt∨ σ（τN）]]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} {t<τj，j∈J} （αtRssudu）(R)mkt]。如果k∈ 一、 (R)市场∈ 英国电信∨ σ（τI）。

如果k/∈ 一、 E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} {t<τj，j∈J} （αtRssudu）(R)mkt]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} （α（t）Rssudu）E[1{t<τj，j∈J} (R)mktα（t）| Bt∨ σ（τI）]]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} （α（t）Rssudu）E[1{Zj，It（t）<mjtα（t）-λIPi∈I'mitα（t），j∈J} （(R)mktα（t）- λIPi∈I'mitα（t）+λIPi∈I'mitα（t））| Bt∨ σ（τI）]]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} （α（t）Rssudu）E[1{Zj，It（t）<ξj，j∈J} （ξk+λIPi∈I'mitα（t））]]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} （α（t）Rssudu）bkJ（（Zj，It（t），j∈ J） ，λIPi∈I'mitα（t））]=E[F F（τI）1{τI≤t、 我∈一} {t<τj，j∈J} （α（t）Rssudu）bkJ（（Zj，It（t），J∈J） ，λIPi∈I'mitα（t））ΦJ，ρI，σI（Zj，It（t），J∈J） ]结合公式（2.9），这意味着[（Bks- Bks）| Gt】=（α（t）Zssudu）×{k∈It}mktα（t）+1{k/∈It}bkJt（（Zj，Itt（t），j∈ Jt），λItPi∈It'mitα（t））ΦJt，ρt，σt（Zj，Itt（t），j∈ Jt）.bk的G漂移是上述关于Lebesgue测度的微分，即（t）α（t）{k∈It}mktα（t）+1{k/∈It}bkJt（（Zj，Itt（t），j∈ Jt），λItPi∈It'mitα（t））ΦJt，ρt，σt（Zj，Itt（t），j∈ Jt）dt。3.简化的DGC模型我们现在研究DGC模型的不变性。从这个角度来看，银行或其交易对手违约事件前的市场信息由过滤F=（Ft）t建模≥0，其中ft=∩s> t型学士学位∨_我∈Nσ（τi∧ s）,（3.1）增加以满足通常条件。因为（τj，j）族的多元密度特性∈ N？）关于过滤B（与定理2.1相同的证明），我们在前一节中在G中进行的计算可以在F中进行类似的计算。特别是，以下拆分公式适用（参见（2.9））：对于任何t>0和I N写入J=N？\\一、 {τI≤ t<τj:i∈ 一、 j∈ J}∩ Ft={τi≤ t<τj:i∈ 一、 j∈ J}∩ 英国电信∨ σ（τI）。（3.2）8 ESAIM：诉讼和调查。所谓的条件（H’）成立，即过程Bk，k∈ N、 是F半鞅，且随机时间τj，j∈ N是F完全不可接近的停止时间，如下面的引理所述。