金融系统中的传染：贝叶斯网络方法

在本节中，我们阐述了系统风险分析的贝叶斯网络结构的好处。4.1独立性检测对于相关机构和监管机构来说，重要的是要确定不同企业的违约是否相互依赖，以及其他企业的状态如何影响这种关系。潜在的贝叶斯网络结构允许我们将这个问题简化为图论分析。更准确地说，根据Dk，k的证据∈ K、 对于某些子集K [N] ，可以通过对'G的单独检查来确定，从定义3.7中删除图G的扩充，是否{Di:i∈ 一} 和{Dj:j∈ J} 对于另外两个子集I、J 是否相互依赖。这里的关键概念称为d-分离，见Lauritzen（1996）：定义4.1中的第48页，让G=（V，E）是一个图。（1） 我们叫我G每个j的土地和inif之间的Gina链∈ [n-1] 我们有ij→Gij+1或ij+1→Gij（或两者兼有）。（2） 对于三个成对不相交的子集V，V，Vof V，Vand Vare的集合称为d-separatedin G给定V（或如果V=) 如果每条链iGGinin G fromsome i∈ Vto一些输入∈ V阻止的Vis，即对于某些j=2，n- 1我们有oij-1.→Gij公司→Gij+1和ij∈ V（I型结构），或oij-1.←Gij公司←Gij+1和ij∈ V（II型结构），或oij-1.←Gij公司→Gij+1和ij∈ V（III型结构），orContagion：贝叶斯网络方法13oij-1.→Gij公司←Gij+1和ij/∈ Vand deG（ij）∩V= （IV型结构）。例如，如果G是DAG，那么对于每个i∈ V集合{i}和ndG（i）在Ggiven paG（i）中是d-分离的。

如果随机变量{Xi：i∈ 五} 在G上形成贝叶斯网络，基本结果如下，参见Lauritzen（1996）中的推论3.23和命题3.25：如果Vand Vare d-在G中分离给定V，则两个随机变量集合{Xi：i∈ 五} 和{Xi：我∈ 五} 在给定{Xi：i时是条件独立的∈ 五} 。检查d-分离的数值算法已经建立并有效，见Koller和Friedman（2009）第3.3节。d-SeparationCriteria应用于赎回图的非循环增强G=（\'V，\'E），它提供了一个图形工具，用于检测不同类别的投资者之间的独立性，以避免他们的默认行为。事实上，d-分离对于独立性来说“几乎”是必要的（见Meek（1995）的定理7）：如果V，Vand Vare'V的子集，并且Vand Vare没有在给定的V下分离，那么对于几乎所有的波动率参数σi，随机变量{Di:i∈ 五} 和{Di:i∈ 五} 在给定{Di:i时是随机相关的∈ 五} 如果没有变量Di，i∈ 五、∪五、 在给定{Di:i时变为确定性∈ 五} 。下一个命题将d-分离与“G”命题4.2中的d-分离联系起来。设G为赎回图，G为非循环增广图。然后，以下断言适用于所有成对不相交子集V，Vand-Vof[N]。（1） G中的Vand-Vare d-分离当且仅当{（i，Ni）：i∈ 五} 和{（i，Ni）：i∈ 五} ared在G中分离（2）如果Vand Vare d在G中分离给定V，则{（i，n）：i∈ 五、 n个∈ [Ni]}和{（i，n）：i∈五、 n个∈ [Ni]}在给定{（i，n）：i的G中是d-分离的∈ 五、 n个∈ [倪]}。4.2系统性影响的衡量标准在系统性风险文献中，提出了一些对互联企业具有系统重要性的衡量标准。而有些方法如Acemoglu等人。

（2015）、Battiston等人（2012）以及Diebold和Yilmaz（2014）纯粹基于基础网络结构和参数，其他人明确考虑了传染的概率性质。后一类的例子包括Cont等人（2013年）的传染指数、Adrian和Brunnermeier（2016年）的CoVaR度量、Acharya等人（2016年）和Brownlees和Engle（2017年）的SES和SRISK度量以及Biagini等人（2015年）和Feinstein等人（2016年）的一般系统风险度量。基于第2节和第3节中分析的结构级联模型，我们进一步提出了两个灵活的系统性风险概率度量（一个可以无条件或有条件地度量单个企业或一组企业对不同压力情景的影响），可行（可通过下一节中描述的方法计算）和稳健（持续依赖于基础模型参数）。在下文中，如果没有另行说明，可以考虑（2.2）和（2.3）的任何一致扩展，尤其是温和和严格违约规则。定义4.3对于[N]的两个不相交子集I和J，I对J的绝对和相对系统影响（ASI和RSI）定义为（我们使用1表示所有条目相等的向量：贝叶斯网络方法14对1）ASI（I，J）：=maxJJ、 e类∈{0,1}| J|P[DJ=e | DI=1]-P[DJ=e]（4.1）和RSI（I，J）：=最大值∈{0,1}| J | logP[DJ=e | DI=1]P[DJ=e]，（4.2）。在（4.2）中，我们设置log0=-∞, 如果分母为0，则0/0=1，作为一个序列，分子也为零。I对J的ASI等于dj的分布与给定DI=1的条件分布之间的总变化距离。此外，I对J的RSI是R’enyi阶差+∞ 在同一对分布之间。

当然，除了采取maximumin（4.1）和（4.2）之外，还可以研究Lp类型的措施。例如，可以基于互信息和Kullback-Leiblerdivergence定义ASI和RSI度量的Lanalogues。在这一点上，我们不深入讨论细节，只参考van Erven和Harremo¨es（2014）了解概率度量之间距离的更多信息。翻阅有关贝叶斯网络的文献，我们惊讶地发现，对网络中顶点的重要性度量进行研究的研究很少。最值得注意的是，在Pinto（1986）的第4章（参见Pearl（1988）第6.4章），作者提出通过一个函数来量化一个顶点Y与另一个顶点X的相关性，该函数取决于X的分布及其给定的条件分布Y。他们给出了ASI度量的一个版本作为示例。此外，Chan和Darwiche（2005）在贝叶斯网络敏感性分析的背景下采用了对称版本的RSI度量。接下来，我们收集了ASI和RSI度量的一些基本性质。提案4.4。以下断言适用于不相交集I，J [N] 。（1） ASI（I，J）∈ [0，1）和RSI（I，J）∈ [0，∞).（2） 如果J J、 然后ASI（I，J）≤ ASI（I，J）和RSI（I，J）≤ RSI（I，J）。（3） （4.1）isASI（I，J）=Xe的显式公式∈{0,1}| J|P[DJ=e | DI=1]- P[DJ=e]+=Xe公司∈{0,1}| J|P[DJ=e | DI=1]- P[DJ=e]. （4.3）（4）与（4.1）相比，没有必要考虑（4.2）中的J子集，因为（I，J）=maxJJ、 e类∈{0,1}| J | logP[DJ=e | DI=1]P[DJ=e]。

（4.4）（5）根据严格违约规则，如果I=I∪给定I，I和I和J在G中是d-分离的，thenASI（I，J）=ASI（I，J）和RSI（I，J）=RSI（I，J）。人们也会期望ASI（I，J）≤ ASI（I，J）和RSI（I，J）≤ RSI（I，J）保持I 因此，对于网络中另一家公司的生存而言，更大一组公司的违约知识应该更差，或者至少不是更好。然而，一个简单的反例表明这种直觉是错误的。传染：贝叶斯网络方法15例4.5我们考虑一个由N=5家机构组成的网络，赎回图如图3所示，利率为零。进一步假设F=F=K=K=0美元，也就是说，在t=t时，表3和表4既没有现金也没有外债。此外，我们对公司的经营业绩做出以下假设u=u非常高，σ=σ严格为正，但很小u和u为强负，σ和σ相比较小X=X这样X（T）和X（T）是独立的，具有相同的分布$20美元10美元10美元15美元15图3：示例4.5中企业网络的赎回图。由于第一个假设，公司1和2的违约概率非常小，但严格为正。此外，根据第二种假设，如果没有公司1和2的还款，公司3和4几乎没有生存和偿还公司5的机会。然而，当第一家公司存续时，第四家公司也会存续，当第一家公司和第二家公司都有偿付能力时，第三家公司也会有偿付能力。因此，我们得到：oP[D=1]≈ 0，因为第1家公司的存活率非常高，因此第4家公司也最有可能存活下来P【D=1 | D=1】≈ 1/2因为以第3家公司违约为条件，第1家公司和第2家公司中只有一家公司违约（两家公司存活的概率均为零，因为否则第3家公司不会违约，第1家和第2家公司共同违约的概率仍然相对较小）。

由于只有表1的失败才会触发4的违约，并且X（T）和X（T）的分布是相同的，因此如果违约3，则条件违约概率为4的概率约为1/2P【D=1 | D=D=1】≈ 0，因为2的失败已经解释了3的失败，所以后者几乎没有提供关于1（因此也没有4）的额外信息。因此，ASI（{2，3}，{4}）≤ ASI（{3}，{4}）和RSI（{2，3}，{4}）≤ RSI（{3}，{4}）。4.3违约概率的计算除了找出互联网络之间的依赖关系外，风险管理的另一个中心目标是确定企业的违约概率或企业违约对其他企业的影响，例如根据前一小节的ASI和RSI进行衡量。被称为人工智能社区（arti-ficial intelligencecommunity）中的概率推理问题，该主题在贝叶斯网络（Bayesian Network）的文献中得到了广泛的研究，并为此开发了各种精确或近似算法（有关此主题的深入论述，请参见Koller和Friedman（2009））。为了说明结果和传染：贝叶斯网络方法16。。。。。。。。。。。。。。。图4：核心-外围结构化赎回图。在前面章节的概念中，我们通过一个数值示例演示了如何将这些推理算法应用到我们的设置中。以下所有数值计算均使用开放源码的Bayes Net工具箱（Murphy，2001）中的连接树算法进行。我们考虑一个共有N=100家银行的金融网络，其中赎回图如图4所示。该网络具有核心-外围结构，即第一批银行形成了一个完整的网络，其中存在所有可能的借贷关系，并且这些核心银行中的每一家都从19家不同的外围银行进一步借款。

我们参考了Elsinger等人（2006年）、Cont等人（2013年）、Craig和von Peter（2014年）以及Lang field等人（2014年）的论文，以获取真实银行网络中此类结构的经验证据。我们示例中的时间范围为T=1年，所有利率均为零，我们假设所有核心银行和所有外围银行之间的统计相等：uC=0.1，σC=0.2，XC=2000，FC=500，LCC=1600/（N- 1） =400，uP=0.05，σP=0.1，XP=80，FP=90，LPC=35（如果C→ P） 。这里的下标C（P）表示任意的核心（外围）银行。图5显示了ILD和严格违约规则下最终金融系统中违约数量的概率分布。虽然温和违约规则和严格违约规则的违约分布形状相同，但实际概率相差很大。在温和规则下，无违约发生的概率为99.39%，但在严格规则适用时，该概率降至31.15%。这种差异是由于一家核心银行只有11.13%的机会在没有其他核心银行还款的情况下生存，但如果它接受全额还款，则有99.90%的机会生存。因此，在所考虑的例子中，相互索赔净额结算的可能性决定了传染级联是否释放。从图5中，我们可以观察到默认分布的几个突出的定性特征。首先，分布是多模态的，对应于核心银行数量不一致：贝叶斯网络方法17图5：轻度违约规则（实线）和严格违约规则（虚线）下的违约概率。违约事实上，以一家核心银行违约为条件，每个向该核心银行贷款的外围银行（独立）违约的概率为76.66%。

因此，每当核心银行违约时，它就会触发平均19×76.66%=14.57个外围银行的违约，这就解释了为什么无论是温和规则还是严格规则，违约分布都有15或16个模式（一个核心银行加上14或15个外围银行）。此外，我们还观察到模式的概率也不是单调的。这是由核心银行之间的传染效应造成的。当足够多的核心银行违约时，更有可能出现更多的核心银行违约：违约核心银行数量的概率函数并不是单调的，如图6所示。最后但并非最不重要的一点是，超过最后一种模式的概率（78次违约）会落入大偏差状态，并以指数级的速度快速下降。前面小节中介绍的系统性影响度量也可以在我们的示例中计算。为简单起见，我们只报告轻度违约规则的数据；严格默认规则下的计算是完全类似的。为此，让C和Cbe两家任意核心银行和P和Pbe两家外围银行分别作为C和C的债权人。对于C的绝对系统影响，我们得到Asi（{C}，{C}）=P[DC=1 | DC=1]- P【DC=1】=36.21%- 0.14%=36.07%，ASI（{C}，{P}）=P【DP=1 | DC=1】- P【DP=1】=76.66%- 0.11%=76.55%，ASI（{C}，{P}）=P【DP=1 | DC=1】- P【DP=1】=27.76%- 0.11%=27.65%，相当于C asRSI（{C}，{C}）=7.97，RSI（{C}，{P}）=9.42，RSI（{C}，{P}）=7.96的相对系统影响。考虑到外围银行的ASI和RSI，我们确定了另一个外围银行P，如Tagion：贝叶斯网络方法18图6：温和规则（实心条）和严格规则（虚线条）下违约核心银行数量的分布。P、 也是C。

然后我们得到asi（{P}，{C}）=P[DC=1 | DP=1]- P【DC=1】=98.79%- 0.14%=98.65%，ASI（{P}，{C}）=P[DC=1 | DP=1]- P【DC=1】=35.78%- 0.14%=35.63%，ASI（{P}，{P}）=P【DP=1 | DP=1】- P【DP=1】=27.43%- 0.11%=27.32%，ASI（{P}，{P}）=P[DP=1 | DP=1]- P【DP=1】=75.74%- 0.11%=75.63%，RSI（{P}，{C}）=9.42，RSI（{P}，{C}）=7.96，RSI（{P}，{P}）=7.94，RSI（{P}，{P}）=9.40。正如ASI和RSI所揭示的那样，即使不是直接交易对手的银行也可能对彼此具有系统重要性。例如，如果核心银行违约，外围银行的违约概率将增加27.65%（或27.96倍）≈ 248）即使其没有向该违约核心银行贷款。另一个观察结果是，尽管外围银行没有从系统中的其他银行借款，但它们也具有很高的系统性影响。背后的原因很简单，就是由核心银行对手偿还的外围银行存活的概率大于99.99%。因此，如果一家外围银行违约，这很可能是由其核心银行交易对手违约造成的。5结论与展望在本文中，我们分析了一个金融传染模型，在该模型中，系统的联合违约概率分布可以通过由企业间负债确定的图上的贝叶斯网络来描述。我们进一步解释了如何利用这种图形结构来检测网络内的系统依赖性，确定机构的系统重要性度量，并计算其有条件或无条件违约概率。由于所涉及的方法适用于所有可能的网络，这项工作为分析和监测金融系统的系统性风险提供了一个有用的工具。传染：贝叶斯网络方法19自然，我们确实对金融网络施加了各种条件，所以让我们来评论可能的概括。

首先，关于概率假设，关于经营性资产演变的对数正态分布假设只是为了简单起见。如果我们假设资产回报的另一个分布，则默认变量的Bayesiannetwork结构将保持不变。只有定理3.2、3.10和3.12中所述的条件概率才需要调整。如果我们考虑金融机构的从属资产回报，情况就不同了。当然，如果人们只对使用蒙特卡罗技术计算违约概率感兴趣，那么只要可以模拟联合资产收益率分布，这仍然是可行的。然而，默认变量D，…，的贝叶斯网络结构，一般情况下，由于非后代机构的观察（关于赎回图）可能会揭示有关驾驶噪音的其他信息，因此DNA将丢失。但让我们假设，每个机构i都受到一定数量的常见市场噪音的驱动，WK加上它自己的特殊噪声Bi，假设Bi仍然独立，也独立于Wj。然后以Wj为条件，变量D，dn将具有贝叶斯网络结构。因此，我们的方法允许在各种市场情况下进行违约风险分析，这对于压力测试非常有用。其他概括可能涉及对金融系统本身和机构相互联系方式的假设。在我们的模型中，所有共同风险敞口都是期末具有两种可能价值的贷款（取决于交易对手是否破产）。更现实的做法是包括其他类型的风险敞口：例如，价值不断变化的风险敞口，如资产交叉持股（参见Gouri'eroux et al.（2012）和Elliott et al。