金融系统中的传染：贝叶斯网络方法

如果两家公司都实现了营业资产增值至X（T）=X（T）=5美元（T=T），则方程（2.2）和（2.3）有两种不同的解决方案：（1）D={1，2}，S= E（T）=E（T）=-$5和（2）D=, S={1，2}和E（T）=E（T）=5美元。前一个例子中出现的多种解决方案突出了我们模型中剩余的不确定点：在多大程度上允许困境企业之间进行清算，或者更准确地说，允许相互索赔净额结算？在示例2.2的第一个解决方案中，禁止净额结算，两家公司都违约，因为它们都无法向另一家公司发起承诺付款。在第二种解决方案中，允许净额结算，因此两家公司都放弃了索赔，并以每家5美元的价格生存下来。当然，索赔净额结算的程度取决于许多外部因素，如短期资金的可用性或交易对手的匿名程度。然而，正如我们将在第3节中看到的那样，始终可以通过最大或最小的存活企业数量来丰富和描述（2.2）和（2.3）的解决方案，这与始终允许或禁止净额结算的情况相对应。示例2.2中遇到的非唯一性问题在具有破产成本的级联模型中很常见，参见Rogers和Veraart（2013）、Elliott等人（2014）和Hurd（2016）。文献中似乎缺少唯一性与非唯一性的一般标准，如果需要对X（T）（ω）的所有可能结果保持ω-wise，则毫无希望，XN（T）（ω）。然而，我们将证明，在唯一性最确定的情况下，刻画所有模型是可能的。最有效的方法是通过非文字结构表示公司间负债。

在本文中，我们只考虑有向图G=（V，E），其中V是一些有限的顶点集，E {（i，j）：i，j∈ 五、 i 6=j}一些没有自循环的边集。以下公司间负债的图示在上述公司网络的违约分析中起着至关重要的作用。定义2.3简写为[N]：={1，…，N}，我们将救赎图G=（V，E）定义为顶点集V：=[N]上的图，边E：={（i，j）∈ 【N】：Lji>0}。因此，当我在t=0时向j借钱，并且必须在t=t时偿还后者时，从i到j就有一个优势。用图形表示，这由i表示→Gj ori公司∈ paG（j），我们说，i是G中j的父序列→G→Ginwithn公司≥ 然后，2被称为来自ito in的（有向）路径，如果i=in，则称为（有向）循环。如果G包含无向圈，则称G为有向无环图（DAG）。为了将来的参考，我们还将介绍一些更进一步的术语。顶点i称为j的祖先，j称为i的后代，简称i∈ anG（j）和j∈ deG（i），如果存在关联：贝叶斯网络方法7a从i到j的有向路径。ndG中的节点（i）：=V \\（{i}∪ deG（i））被称为i的非衰减项。给定额外的序列（xi）i∈五、 我们还编写了paG（xi）：=（xj:j∈ paG（i）），并以类似方式定义anG（xi）、deG（xi）和ndG（xi）。如果我 五、 我们设置paG（I）：=Si∈IpaG（i），deG（i）：=Si∈IdeG（i），ndG（i）：=Ti∈IndG（i）和xI：=（xI：i）∈ 一） 。回到（2.2）和（2.3）解的唯一性问题，我们的第一个主要结果表明，可以通过单独检查赎回图来做出决策。定理2.4。设G为所考虑的金融网络下的赎回图。（1） 如果G是DAG，则概率为1的（2.2）和（2.3）存在唯一解，因此D，S和（T）。

，EN（T）对于X（T），…，的几乎所有实现都是唯一确定的，XN（T）。（2） 如果G不是一个DAG，但包含一个有向环，则存在实现X（T），…，的严格正概率，XN（T）使得（2.2）和（2.3）具有多个解决方案。3如定理2.4所示，金融系统中的有向循环（如例2.2所示）对（2.2）和（2.3）的解的唯一性造成了阻碍。如果赎回图G是DAG，则随机变量D，数据定义良好，在这种情况下，节点分布具有特别方便的结构。定义3.1给定DAG G=（V，E），集合{Xi：i∈ 五} 在一个有限集合中取值的随机变量中，E被称为在G上形成贝叶斯网络，如果所有E=（ei:i∈ 五）∈ E | V | we have p[XV=E]=易∈VP[Xi=ei | paG（Xi）=paG（ei）]。（3.1）关于贝叶斯网络的详细处理，我们参考了Lauritzen（1996）和Koller and Friedman（2009）的专著。一个等价的特征是（见定理3.27 Inlaritzen（1996））：{Xi：i∈ 五} 在G上形成贝叶斯网络当且仅当对于每个i∈ 五、 变量xi在给定XpaG（i）的条件下独立于XndG（i）。因此，贝叶斯网络结构可以理解为变量之间的条件独立声明的集合。定理3.2。如果赎回图G是DAG，则变量{D。

，DN}在G上形成条件概率P[Di=1 | paG（Di）]=Φ（i，∑i，T），P[Di=0 | paG（Di）]=1的贝叶斯网络-Φ（i，∑i，T），i∈ [N]，（3.2），其中∑i：={j∈ paG（i）：Dj=0}，（3.3）Φ（i，∑i，T）：=Φ-对数（Q（i，∑i））+（ui- σi/2）Tσi√T（3.4）Q（i，∑i）：=XierTFi+PNj=1erjitji- 埃尔特基-Pj公司∈∑ierijTLij+, （3.5），Φ为标准正态分布函数，x+：=最大值（x，0），a/0：=∞ 对于>0，记录(∞) := ∞, 和Φ(-∞) := 传染：贝叶斯网络方法8尤其适用于所有∑ [N] 我们有p[S=∑，D=[N]\\∑]=Yi∈[N] \\Φ∑（i，∑，T）Yi∈∑（1-Φ（i，∑，T））。（3.6）让我们给出一个非正式的解释，为什么非循环赎回图会导致Bayesiannetwork结构为D，DN。实际上，每一个DAG G都会产生一个偏序。Gon通过关系i创建顶点集。Gj:<==> 我∈ 因此，anG（j）或i=j.（3.7），从最小的机构开始。G（即，没有向任何其他人借钱的机构），我们可以确定D的价值，D沿偏序迭代。G、 贝叶斯网络结构现在根据观察得出，该迭代过程是关于的“马尔可夫”的。G： 对于每个i∈ [N] ，变量i与给定的（Dj:j.Gi）无关（Dj:j∈ paG（i）），或等效地，为了确定i的违约行为，必须知道其债务人是否有偿付能力。定理3.2的形式见附录。当赎回图具有定向周期时，必须为D、…、设置（2.2）和（2.3）的附加规则，DN需明确。这些规则可能在每个周期有所不同，也可能因企业而异。然而，以下结果适用于（2.2）和（2.3）的所有一致扩展（即，值X（T）的可测映射），XN（T）至D，（2.2）和（2.3）有效）。

回想一下，由I导出的G=（V，E）的子图 V是图gi：=（I，EI）和EI：=I∩ E、 提案3.3。如果诱导子图G∑和G[N]\\∑都不包含有向圈，则公式（3.6）是有效的。在一般情况下，（3.6）仍然适用于“≤”-签名而不是相等。除了命题3.3外，对于（2.2）和（2.3）的特定氯氰溶液，我们已经没有什么可说的了。然而，对于两种“极端”情况，也就是存活企业的数量分别为最大或最小的情况，可以获得进一步的结构结果。定义3.4轻度违约规则以以下方式规定了集合S和D。o如果某家公司的经营资产和现金持有量过低，即使其所有债务人都偿还了，也无法在t=t时履行其义务，那么我将违约并被称为第一轮违约公司。在这种情况下，我们写i∈ D、 如果没有一家公司属于这一类，则所有公司都能生存，D= S=【N】。o对于n∈ {2，…，N}我们称之为i∈ [编号]\\Sn-1m=1Dma第n轮违约确认，表示di∈ Dn，如果在时间t=t时，公司i无力偿债，因为它收到了所有合同付款，但债务人inSn支付的款项除外-1米=1米Dn=, 我们设置Dn+1=…=DN=, D=序号-1m=1要求S=[N]\\D定义3.5根据严格的默认规则，集合S和D的确定如下：在t=t时，其经营资产和现金持有量足以偿付其债权人（无论是否收到其他公司的付款）的每一家公司都能生存下来。在这种情况下，我们称i为第一轮幸存的公司，并写i∈ S、 如果没有企业符合此标准，则所有企业默认值为：S= D=【N】。o对于每n∈ {2。

，N}我们称之为i∈ [N] \\Sn-1m=第n轮1Sma存活形式，表示为i∈ Sn，如果t=t时，其经营资产、现金持有量和从inSn公司收到的付款-1m=1足够高以偿还债务。传染：贝叶斯网络方法9o只要Sn=, 我们设置Sn+1=…=序号=, S=序号-1m=1要求D=[N]\\S。温和和严格的违约规则都是Eisenberg和Noe（2001）以及Rogers和Veraart（2013）的实际违约算法、inCont等人（2013）描述的损失级联、Elliott等人（2014）的级联层次或Kusnetov和Veraart（2016）的清算算法的变体。提案3.6。我们陈述了定义3.4和3.5的一些直接后果。（1） 温和或严格默认规则指定的集合S和D是（2.2）和（2.3）的一致扩展。（2） 对于（2.2）和（2.3）的每个一致扩展，生存集包含严格默认规则规定的扩展，并包含在温和默认规则给出的扩展中。类似地，一致扩展下的默认集始终是mild default规则下默认集的超集，以及严格默认规则下默认集的子集。（3） 在温和（严格）默认规则下，如果∑ [N] 并且G[N]\\∑（G∑）没有定向环，那么公式（3.6）是有效的。除了先前结果中讨论的特殊情况外，gp中循环的存在为我们提供了D，…，的联合概率分布的简明描述，D使用贝叶斯网络方法。然而，在温和或严格的违约规则下，如果我们以适当的方式“放大”赎回图，贝叶斯网络结构可以恢复。这里的想法是明确地将温和或严格默认规则背后的级联机制合并到图形结构中。

我们跟踪一整组变量Din，n，而不是一个确定是否默认的单变量dit∈ [N] ，这取决于我是否在第N轮中默认。事实上，为了尽可能减少新变量的数量，有必要将这一点单独考虑到Demption图G的强连通分量。这些是由等价关系I~Gj:<==> 我。Gj和j。Gi、i、j∈ [无]；或者从经济角度来看，这些是最大的企业子集，其中任何两个企业通过中间企业建立了直接或间接的借贷关系。定义3.7让C，Cmbe G中的强连接组件和i所属强连接组件的大小。G的无环增广是图G：=（\'V，\'E），顶点集V：={（i，n）：i∈ 【N】，N∈ [Ni]}（3.8）和边集'E：=（j，Nj），（i，n）: j∈ 第（i）页∩ndG（i），n=1，Ni公司∪N[i=1（i，n），（i，n+1）: Ni>1，n=1，Ni公司- 1.∪m[k=1（j，n），（i，n+1）: i、 j∈ Ck，j∈ 第（i）页，n=1，Ni公司- 1.∪m[k=1（j，n），（i，n+2）: i、 j∈ Ck，j∈ paG（i），Ni>2，n=1，Ni公司- 2.. （3.9）传染：贝叶斯网络方法10换句话说，我们首先为每个公司创建Nivertex副本∈ [N] ，编号从（i，1）到（i，Ni）。然后，（3.9）中的第一类边连接两个直接链接的企业i和j in G，它们属于不同的强连接组件：即，如果j必须在时间T偿还i，则j的最后一个副本连接到i的每个副本。第二类链接连接固定企业的连续副本。第三种（分别为第四种）边连接连续的（分别为。

下一个是两个公司的副本，它们在G中相互直接链接，属于同一个强连接组件。1 42 3（a）G11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44（b）图2：循环赎回图G及其非循环增广图G。图2显示了循环图及其非循环增广图的示例。正如我们所看到的，虽然G有一个有向圈（顶点{1，2，3，4}形成一个强连通的分量），但它的增广G没有圈。当然，这在一般情况下是成立的。引理3.8。赎回图G的无环增广G是一个DAG。接下来，我们将随机变量与G的顶点相关联，这样它们就包含我们感兴趣的变量D，DNA子集并在G上形成贝叶斯网络。我们首先假设温和违约规则；对于严格的违约规则，所有定义和结果都是类似的，将在事后提供。定义3.9让Nibe如定义3.7所示。对于i∈ [N] 和N∈ 【Ni】，我们定义Di0：=0，然后感应Din=1 ifXi（T）+erTKi+Xj∈第（i）页∩ndG（i）erijTLij{DjNj=0}+Xj∈第（i）页∩deG（i）erijTLij{Dj，n-1=0}- erTFi公司-NXj=1erjitji<0，（3.10），Din=0，否则。传染：贝叶斯网络方法11换言之，我们首先对G的强连接组件进行排序，使给定组件中的公司没有从之前组件中的公司借款。然后，从那些没有从任何其他组成部分借款的组成部分开始，当i公司违约时，我们将价值1直接分配给Dinex，假设其仅从之前强关联组成部分的存续公司和同一组成部分中未违约的j公司处收到付款（n- 1） -st阶跃，即Dj，n-1=0。定理3.10。

根据轻度违约规则，以下陈述有效。（1） 就我而言∈ 【N】和N∈ [倪]我们有Di，n-1.≤ 迪南迪=迪尼。（2） 随机变量{Din:i∈ [N] ，N∈ [Ni]}在G上形成一个贝叶斯网络，条件概率由P[Di1=1 | pa'G（Di1）]=Φ（i，∑mi1，T），P[Din=1 | pa'G（Din）]=1如果Di，n-1=1，Φ（i，∑min，T）-Φ（i，∑mi，n-1，T）1-Φ（i，∑mi，n-1，T）如果Di，n-1=0，n=2，Ni，（3.11），其中∑min：={j∈ 第（i）页∩ndG（i）：DjNj=0}∪{j∈ 第（i）页∩度（i）：Dj，n-1=0}，n∈ [倪]。尽管变量din不显式依赖于Di，n-2在定义3.9中，我们必须形成G中的下一条边（即（3.9）中四种边中的最后一条）。背后的原因是在事件Di，n-1=0，值Dj，n-2属于与i相同的长连接组件的父j包含关于Xi（T）的重要信息。例如，ifDj，n-对于许多这样的父母，2=1（因此我在第n轮中存活下来-1尽管其许多父母在第n轮中违约-2） ，与Dj，n相比，Xi（T）值必须超过更高的阈值-对于许多j，2=0。此外，差异Dj，n-1.-Dj，n-2影响可能性-1=Din=0或0=Di，n-1<Din=1。事实上，如果Dj，n-1.- Dj，n-2=0对于所有父母j，则必然出现第一种选择。相比之下，第二种选择的可能性随着Dj，n-1.- Dj，n-出现2=1。

公式（3.10）通过对∑mi，n的依赖性反映了这些考虑因素-1，其中涉及变量（Dj，n-2： j∈ 第（i）页∩deG（i））。接下来，我们将为严格缺省规则提供类似的语句，这在生存变量方面更容易表述。定义3.11根据严格的违约规则，我们定义为∈ [N] 和N∈ [Ni]如果xi（T）+erTKi+Xj，变量ssi0：=0，Sin：=1∈第（i）页∩ndG（i）erijTLij{SjNj=1}+Xj∈第（i）页∩deG（i）erijTLij{Sj，n-1=1}- erTFi公司-NXj=1erjiTLji≥ 0，（3.12）和Sin：=0，否则。定理3.12。根据严格的默认规则，以下语句有效。（1） 就我而言∈ 【N】和N∈ [倪]我们有Si，n-1.≤ Sinand Si=SiNi。传染：贝叶斯网络方法12（2）随机变量{Sin:i∈ [N] ，N∈ [Ni]}在'G上形成一个贝叶斯网络，条件概率为P[Si1=0'pa'G（Si1）]=Φ（i，∑Si1，T），P[Sin=0'pa'G（Sin）]=如果Si，n，则为0-1=1，Φ（i，∑sin，T）Φ（i，∑si，n-1，T）如果Si，n-1=0，n=2，Ni，（3.13），其中∑sin：={j∈ 第（i）页∩ndG（i）：SjNj=1}∪{j∈ 第（i）页∩度（i）：Sj，n-1=1}，n∈ [倪]。本节的精髓是默认变量D，在非循环赎回图的情况下，与金融机构相关的数据形成贝叶斯网络，在循环情况下，它们可以作为保证金嵌入到具有贝叶斯网络结构的更大随机向量中。当然，这些结果是根据第2节中关于金融系统的假设得出的。第5.4节贝叶斯网络结构的含义将讨论这些假设的修改如何影响贝叶斯网络结构的问题。我们在定理3.2、3.10和3.12中证明，与相互负债的公司相关的违约和生存随机变量在赎回图上形成了一个贝叶斯网络，并对其进行了适当的扩充。