具有随机界的不确定波动率模型

凹面），因为上确界和期望保持凸性（分别为凹面），可以看到最坏情况下的价格pδ（t，x，z）=exp(-r（T- t） ）ess supq。∈[d，u]E（t，x，z）[h（XT）]，是凸（或凹）的xxPδ>0（分别<0），因此q*,δ=u（分别=d）。在这两种情况下，我们又回到了文献[5]中讨论的布莱克-斯科尔斯价格的扰动。在本文中，我们研究一般的终端payoff函数，既不是凸函数也不是凹函数。插入优化器q*,δ由引理2.8给出，BSB方程（10）可以重写为tPδ+（q*,δ） zx公司xxPδ+√δ（q*,ΔρzxxzPδ）+δ（zzzPδ+κ（θ-z）zPδ）=0，（16），终端条件Pδ（T，x，z）=h（x）。这份手稿仅供审查之用。8 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NING。图2：。q的推导说明*,δ： 如果xxPδ≥ 0，是否^q*,δ为正或负，要求q∈ [d，u]，q*,δ=u；否则q*,δ=d.2.2.3。启发式扩展和近似精度。我们将展开式（11）插入到主BSB方程（16）中，并收集下列项的连续幂√δ。假设2.6 q*,δ→ q*,0asδ→ 0，在不损失精度的情况下，选择一阶校正项Pis作为线性方程的解：tP+（q*,0）zxxxP+q*,0ρzxxzP=0，P（T，x，z）=0，（17），其中q*,0由（14）给出。由于（17）是线性的，光滑解的存在性和唯一性结果可以通过改变变量x来实现→ ln x，然后使用[7]中的经典结果求解微分系数为dz>0的抛物方程（17）。注意，源项与参数ρ成正比。我们将在下面展示，在对Pand P的导数施加额外的正则条件下，近似误差| Pδ- P-√δP |的阶数为O（δ）。假设2.10。

我们假设Pand的以下导数的多项式增长。本手稿仅供审查之用。随机界为9P：（18）的不确定波动率模型|xzP（s，x，z）|≤ a（1+xb+zc）|zP（s，x，z）|≤ a（1+xb+zc）|xxP（s，x，z）|≤ \'a（1+x\'b+z\'c）|zP（s，x，z）|≤ \'a（1+x\'b+z\'c）|zzP（s，x，z）|≤ \'a（1+x\'b+z\'c），其中ai，bi，ci，\'ai，\'bi，\'cia是i的正整数∈ （20、11、01、02）。定理2.11（主要定理）。在假设2.2、2.6和2.10下，由（19）Eδ（t，x，z）定义的残差函数Eδ（t，x，z）：=Pδ（t，x，z）- P（t，x，z）-√δP（t，x，z）的阶数为O（δ）。换句话说，（t、x、z）∈ [0，T]×R+×R+，存在一个正常数，使得| Eδ（T，x，z）|≤ Cδ，其中C可能取决于（t，x，z），但不取决于δ。回想一下，函数fδ（t，x，z）的阶数为O（δk），表示为fδ（t，x，z）~ O（δk），用于（t、x、z）∈ [0，T]×R+×R+，存在一个正常数C依赖于（T，x，z），但不依赖于δ，因此| fδ（T，x，z）|≤ Cδk。类似地，我们表示fδ（t，x，z）~ o（δk），iflim supδ→0 | fδ（t，x，z）|/δk=0.3。主要定理2.11的证明。

定义以下运算符lδ（q）：=t+qzxxx号+√δqρzxxz+δ（zzz+κ（θ-z）z） =L（q）+√δL（q）+δL，（20），其中运算符L（q）、L（q）和lar定义为：L（q）：=t+qzxxx，L（q）：=qρzxxz，L：=zzz+κ（θ-z）z、 注意：oL（q）包含时间导数，是Black-Scholes算子LBS（q√z） .o由于X和Z之间的协变量，L（q）包含混合导数。oδLis是过程Z的最小生成元，也用δLCIR表示。主方程（16）可以重写为lδ（q*,δ） Pδ=0，Pδ（t，x，z）=h（x）。（21）本手稿仅供审查之用。10 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NING方程（12）becomesLBS（q*,0）P=0，P（T，x，z）=h（x）。（22）方程式（17）变为Lbs（q*,0）P+L（q*,0）P=0，P（T，x，z）=0。（23）应用运算符Lδ（q*,δ） 对于误差项，它遵循lδ（q*,δ） Eδ=Lδ（q*,δ） （Pδ- P-√δP）=Lδ（q*,δ） Pδ|{z}=0，等式（21）。-Lδ（q*,δ） （P+√δP）=-磅（q*,δ）+√δL（q*,δ） +δLCIR（P+√δP）=- 磅（q*,δ） P-√δhL（q*,δ） P+磅（q*,δ） Pi- δhL（q*,δ） P+LCIRPi- δ[LCIRP]=- 磅（q*,0）P{z}=0，等式（22）。-（磅（q*,δ）- 磅（q*,0）P-√δ“L（q*,0）P+磅（q*,0）P{z}=0，等式（23）。+（L（q*,δ）- L（q*,0）P+（磅（q*,δ）- 磅（q*,0）P#- δhL（q*,δ） P+LCIRPi- δ（LCIRP）=- （磅（q*,δ）- 磅（q*,0）P-√δ“（L（q*,δ）- L（q*,0）P+（磅（q*,δ）- 磅（q*,0）P#- δhL（q*,δ） P+LCIRPi- δ（LCIRP）=-[（q*,δ）- （q）*,0）]zxxxP型-√δρ（q*,δ- q*,0）zxxzP公司+（q）*,δ）- （q）*,0）zx公司xxP型- δρ（q*,δ） zx公司xzP+zzzP+κ（θ-z）zP公司- δzzzP+κ（θ-z）zP公司,其中q*,0和q*,δ分别在（14）和（15）中给出。Eδ的终端条件为δ（T，x，z）=Pδ（T，x，z）- P（T，x，z）-√δP（T，x，z）=0。这份手稿仅供审查之用。随机界的不确定波动率模型113.1。Feynman–错误项的Kac表示。对于δ非常小的情况，最佳选择q*,引理2.8明确给出了主BSB方程（10）的δ。

相应地，最坏情况下的资产价格是一个随机过程，满足SDE（1）（qt）=（q*,δ） r=0，即（24）dX*,δt=q*,δpZtX*,δtdWt。给出了X的存在唯一性结果*,δt如附录C所示，我们通过Feynman–Kac公式得到了Eδ（t，x，z）的以下概率表示：Eδ（t，x，z）=I+δI+δI+δI，其中I：=E（t，x，z）“ZTt（q）*,δ）- （q）*,0）Zs（X*,δs）xxP（s，X）*,δs，Zs）ds#，I：=E（t，x，z）“ZTt（q*,δ- q*,0）ρZsX*,δsxzP（s，X*,δs，Zs）+（q）*,δ）- （q）*,0）Zs（X*,δs）xxP（s，X*,δs，Zs）！ds#，I：=E（t，x，z）“ZTtq*,ΔρZsX*,δsxzP（s，X*,δs，Zs）+ZszzP（s，X*,δs，Zs）+κ（θ-Zs）zP（s，X*,δs，Zs）！ds#，I：=E（t，x，z）“ZTtZszzP（s，X*,δs，Zs）+κ（θ- Zs）zP（s，X*,δs，Zs）！ds#。请注意，对于q*,0在（14）和q中给出*,δ在（15）中给出，我们有（25）q*,δ- q*,0=（u- d）({xxPδ≥0}-{xxP型≥0}）和（26）（q*,δ）- （q）*,0）=（u- d）({xxPδ≥0}-{xxP型≥0}）。还要注意{q*,δ6=q*,0}=Aδt，zd定义在（13）中。为了证明Eδ是O（δ）阶，必须证明Iis是O（δ）阶，iiso是O阶(√δ） ，i和i在δ中一致有界。显然，Iis是直接决定误差项Eδ顺序的主项。这份手稿仅供审查之用。12 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NING3.2。控制项I。在本节中，我们将处理过程X的δ依赖关系*,δ通过时间变化参数。定理3.1。在假设2.2、2.4和2.6下，存在一个正常数M，即| I |≤ Mδ，其中Mmay取决于（t，x，z），但不取决于δ。也就是说，Iis的阶数为O（δ）。证据

根据命题2.5和Aδs，zbeing紧，存在一个常数Csuch|xxP（s，X）*,δs，Zs）|≤ C√δ、 对于X*,δs∈ Aδs，z.Then，因为0<d≤ q*,δ、 q*,0≤ u、 我们有我≤ E（t，x，z）“ZTt |（q*,δ）- （q）*,0）| Zs（X*,δs）|xxP（s，X）*,δs，Zs）| ds#≤u2dC√δE（t，x，z）ZTt{X*,δs∈Aδs，z}（q*,δ） Zs（X*,δs）ds.（27）为了显示O（δ）级的Iis，必须显示存在一个常数Csuch，即（28）E（t，x，z）ZTt{X*,δs∈Aδs，z}σsds≤ C√δ、 式中σs：=q*,δ√ZsX公司*,δ砂dX*,δs=σsdWsby（24）。确定停止时间τ（v）：=inf{s>t；hX*,δ>v}，其中hx*,δis=Zstσ（X*,δu）du。然后根据[13]的定理4.6（鞅的时间变化），我们知道X*,Δτ（v）=BV是上的标准一维布朗运动(Ohm, FBv，QB）。根据上述τ（v）的定义，我们有zτ（v）tσ（X*,δs）ds=v，这告诉我们τ（v）的反函数是（29）τ-1（T）=ZTtσ（X*,δs）ds。这份手稿仅供审查之用。随机界为13的不确定波动率模型接下来使用替代s=τ（v）和任何i∈ [1，m（v）]，我们有ztt{| X*,δs-xi |<C√δ} σ（X*,δs）ds=Zτ-1（T）T{| X*,Δτ（v）-xi |<C√δ} σ（X*,Δτ（v））dτ（v）=Zτ-1（T）T{| X*,Δτ（v）-xi |<C√δ} σ（X*,Δτ（v））σ（X*,Δτ（v））dv=Zτ-1（T）T{| X*,Δτ（v）-xi |<C√δ} dv=Zτ-1（T）T{| Bv-xi |<C√δ} dv。（30）注意，在集合{| Bv- xi |<C√δ} ，我们有（X*,δs）≤ （xi+C√δ）≤ D、 其中D是正常数，然后由（29）得到τ-1（T）=ZTt（q*,δpZsX*,δs）ds≤ DuT支持≤s≤坦桑尼亚先令。（31）然后从（30）和（31），通过在{supt≤s≤坦桑尼亚先令≤ M} 和{支持≤s≤TZs>M}对于任何M>z，我们得到（t，x，z）Zτ-1（T）T{| Bv-xi |<C√δ} dv~ O(√δ） 。（32）附录D中给出了最后一步的详细信息。通过xi的最终联合，我们推导出（28），定理如下。备注3.2。正如我们在备注2.7中所指出的，如果pw关于x的三阶导数在集合St，z上消失，则α的Iδiis的大小为O级（δα∈ （0，）。

在这种情况下，（27）仍然成立，但（32）将是O阶（δα），然后定理3.1的结果和主要定理2.11的精度将是O阶（δα+1/2）。3.3。术语I的控制。定理3.3。在假设2.2、2.4、2.6和2.10下，存在一个常数M，例如| I |≤ M√δ，其中Mmay取决于（t，x，z），但不取决于δ。也就是说，顺序为O的Iis(√δ） 。这份手稿仅供审查之用。14 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NINGProof。假设2.10和0<d≤ q*,δ、 q*,0≤ u、 我们有我≤ E（t，x，z）“ZTt | q*,δ- q*,0 |ρZsX*,δs|xzP（s，X*,δs，Zs）|+（q*,δ）- （q）*,0）| Zs（X*,δs）|xxP（s，X）*,δs，Zs）|！ds公司#≤ρudE（t，x，z）“ZTt{x*,δs∈Aδs，z}（q*,δ） ZsX公司*,δsa（1+（X*,δs）b+Zcs）ds#+u2dE（t，x，z）“ZTt{x*,δs∈Aδs，z}（q*,δ） Zs（X*,δs）(R)a（1+（X*,δs）’b+Z’cs）ds#。用同样的技巧证明定理3.1，结果是X*,δ砂Z在δ和X中均匀分布*,δs≤ C（X*,{X上的δs）*,δs∈ Aδs，z}，我们可以推导出O阶的Iis(√δ） 。根据定理3.1的结果，Iis为O阶（δ），定理3.3的结果为Iis为O阶(√δ） ，并且结果I和I在δ中一致有界，其中这些界的导数在附录E中给出，我们可以看到Eδ（t，x，z）=I+δI+δI+δI，为O（δ）阶，这完成了主要定理2.11.4的证明。数字插图。在本节中，我们使用了文献[6]中的一个重要示例，并考虑了一个对称的欧洲奶油面，其Payoff函数（33）h（x）=（x- 90）+- 2（x- 100）++（x- 110）+如图3所示。虽然该Payoff函数不满足本文中规定的条件，但我们可以考虑对其进行正则化，即为正则化引入一个小参数，然后在不改变精度估计的情况下渐近移除该小参数。

这可以通过考虑P（T- , x） 作为RegulatizedPayo FF（参见【18】了解Black-Scholesequation上下文中此正则化程序的详细信息）。最初的问题是在最坏情况下求解二维全非线性偏微分方程（10），这在实际中是不可解析解的。在下文中，我们使用了文献[9]中加权有限差分法的Crank-Nicolson版本，这与求解销一维的情况相对应。为了将原算法扩展到二维情况，我们在时间和两个状态变量上应用离散网格。表示uni，j：=P（tn，xi，zj），vni，j：=P（tn，xi，zj）和wni，j：=Pδ（tn，xi，zj），其中n=0，1，··，n表示时间指数，i=0，1，··，i表示资产价格过程指数，j=0，1，···，j表示波动过程指数。接下来，我们将构建大小为100×100的auniform网格，并使用20个时间步。这份手稿仅供审查之用。具有随机边界的不确定波动率模型15。图3：。对称的欧洲黄油摊铺的支付函数。我们使用连续导数的经典离散近似：x（wni，j）=wni+1，j- wni公司-1，j2x个zz（wni，j）=wni，j+1+wni，j-1.- 2wni，jzxx（wni，j）=wni+1，j+wni-1，j- 2wni，jx个z（wni，j）=wni，j+1- wni，j-12zxz（wni，j）=wni+1，j+1+wni-1，j-1.- wni公司-1，j+1- wni+1，j-14x个zt（wni，j）=un+1i，j- uni，j为了简化我们的算法并便于通过矩阵运算实现，我们不需要任何参数就可以使用以下运算符：Lxx=zxxxLzz=zzzLxz=xzxzLx=xxLz1=zLz2=zz4.1。Pand P的模拟。注意，在P的PDE（17）中，q*,0必须在P的PDE（12）中求解。

因此，我们在每个100×100空间网格中求解Pand-Ptogether，并迭代返回到开始时间。算法1求解Pand P1的算法：集uNi，j=h（xI）和vNi，j=0.2：求解uNi，j（预测器）un+1i，j- uni，jt+[（qn+1i，j）Lxx]（un+1i，j+uni，j）=0本手稿仅供审阅。16 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NINGwithqn+1i，j=u{uLxx（un+1i，j）≥dLxx（un+1i，j）}+d{uLxx（un+1i，j）<dLxx（un+1i，j）}3：求解uni，j（校正器）un+1i，j- uni，jt+[（qni，j）Lxx]（un+1i，j+uni，j）=0，qni，j=u{uLxx（un+1i，j+uni，j）≥dLxx（un+1i，j+uni，j）}+d{uLxx（un+1i，j+uni，j）<dLxx（un+1i，j+uni，j）}4：求解vni，jvn+1i，j- vni，jt+（qni，j）Lxx（vn+1i，j+vni，j）+ρ（qni，j）Lxx（un+1i，j+uni，j）=0在所有实验中，我们设定X=100，Z=0.04，t=0.25，r=0，d=0.75，u=1.25。因此，由σ=d给出的Pare的两个确定性界限√Z=0.15，σ=u√Z=0.25，这是标准的不确定波动率模型界限设置。从图4中，我们可以看到，在Black-Scholes价格之上的PI始终具有0.15和0.25的恒定波动率，这与我们在面临模型模糊时需要额外现金来超级复制期权的事实相对应。正如所料，当Pis为凸型（分别为凹型）时，康斯坦特沃尔系数为0.25（分别为0.15）的布莱克-斯科尔斯价格是一个很好的近似值。4.2。Pδ的模拟。考虑（10）给出的主要BSB方程，如果我们放宽限制q∈ [d，u]至q∈ R、 优化器关闭（q）：=qzxxxPδ+qρzx√δxzPδ由^q给出*,δ=-ρ√δxzPδxxxPδ，f（q）的最大值由f（^q）给出*,δ） =-ρδz(xzPδ）2xxPδ。因此，supq∈[d，u]f（q）=f（u）∨ f（d）∨ f（^q）*,δ） 。为了简化算法，我们表示la=uLxx+uρ√δLxz，LB=dLxx+dρ√δLxz，LC=-ρδ（Lxz）2Lxx。算法2求解Pδ1的算法：集wNi，j=h（xI）。这份手稿仅供审查之用。具有随机边界的不确定波动率模型17。图4：。

蓝色曲线代表通常的不确定波动率模型价格P，具有两个确定性界限0.15和0.25，红色曲线以“-”标记，代表黑色-斯科尔斯价格，σ=0.25，绿色曲线以“-”标记代表Black-Scholes价格，σ=0.15.2：预测值：wn+1i，j- wni，jt+[（qn+1i，j）Lxx+（qn+1i，j）ρ√δLxz+δ（Lzz+κθLz1- κLz2）]（wn+1i，j+wni，j）=0，qn+1i，j=u{LA（wn+1i，j）=max{LA，LB，LC}（wn+1i，j）}+d{LB（wn+1i，j）=max{LA，LB，LC}（wn+1i，j）}-ρ√δLxzLxx（wn+1i，j）{LC（wn+1i，j）=max{LA，LB，LC}（wn+1i，j）}3：校正器：wn+1i，j- wni，jt+[（qni，j）Lxx+（qni，j）ρ√δLxz+δ（Lzz+κθLz1- κLz2）]（wn+1i，j+wni，j）=0带qni，j=u{LA（wn+1i，j+wni，j）=max{LA，LB，LC}（wn+1i，j+wni，j）}+d{LB（wn+1i，j+wni，j）=max{LA，LB，LC}（wn 1i，j+wni，j）}-ρ√δLxzLxx（wn+1i，j+wni，j）{LC（wn+1i，j+wni，j）=max{LA，LB，LC}（wn+1i，j+wni，j）}我们设置κ=15，θ=0.04，满足本文要求的Feller条件。这份手稿仅供审查之用。18 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NING4.3。错误分析。为了将近似值可视化为δ消失，我们绘制了Pδ，PandP+√δp取δ的十个等距值，从0.05到0，并考虑相关系数ρ=-0.9（见【12】）。在图5中，我们看到，对于δ的不同值，一阶价格反映了最坏情况下价格的主要特征。可以看出，对于δ非常小的情况，近似值表现得非常好，值得注意的是，即使δ非常小，如0.1，它仍然表现得很好。。图5：。标有“--”的红色曲线表示最坏情况下的价格Pδ；蓝色曲线表示前导项P；标有“-.”的黑色曲线表示近似值P+√δP。为了研究我们的近似误差随着δ减小而收敛，我们计算出这篇手稿仅供审查。具有随机边界的不确定波动率模型19。图6：。

δ不同值的误差。图7：。标有“--”的红色曲线表示xxPδ；蓝色曲线表示xxP。每个δ的近似误差如下：误差（δ）=supx，z | Pδ（0，x，z）- P（0，x，z）-√δP（0，x，z）|。如图6所示，正如我们的主要定理2.11所预测的那样，误差随着δ的减小而线性减小（至少对于δ足够小的情况）。这份手稿仅供审查之用。20 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NINGRemark 4.1。在备注2.7中，对于Phas是关于x的三阶导数的情况，它在集St，z上不消失，我们有假设2.6（ii）作为直接结果。在图7中，我们可以看到xxPδ和xxPare不是0，因此，对于这种对称的黄油流分布，假设2.6（ii）是可以满足的。5。结论在本文中，我们提出了由CIR过程驱动的具有随机边界的不确定波动率模型。我们的方法不局限于CIR过程，并且可以用于任何其他正随机过程，例如输出过程的正函数。我们进一步研究了慢变随机边界条件下最坏情形下期权价格的渐近行为。这项研究不仅有助于理解具有随机边界的不确定波动率模型比具有恒定边界的不确定波动率模型在期权定价和风险管理方面更灵活，而且还为边界变化缓慢的最坏情况下的期权价格提供了近似程序。