具有随机界的不确定波动率模型

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Uncertain Volatility Models with Stochastic Bounds》
---
作者：
Jean-Pierre Fouque and Ning Ning
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  In this paper, we propose the uncertain volatility models with stochastic bounds. Like the regular uncertain volatility models, we know only that the true model lies in a family of progressively measurable and bounded processes, but instead of using two deterministic bounds, the uncertain volatility fluctuates between two stochastic bounds generated by its inherent stochastic volatility process. This brings better accuracy and is consistent with the observed volatility path such as for the VIX as a proxy for instance. We apply the regular perturbation analysis upon the worst case scenario price, and derive the first order approximation in the regime of slowly varying stochastic bounds. The original problem which involves solving a fully nonlinear PDE in dimension two for the worst case scenario price, is reduced to solving a nonlinear PDE in dimension one and a linear PDE with source, which gives a tremendous computational advantage. Numerical experiments show that this approximation procedure performs very well, even in the regime of moderately slow varying stochastic bounds.
---
中文摘要：
本文提出了具有随机界的不确定波动率模型。与常规的不确定波动率模型一样，我们只知道真正的模型存在于一系列渐进可测且有界的过程中，但不确定波动率不是使用两个确定性界，而是在其固有的随机波动率过程生成的两个随机界之间波动。这带来了更好的准确性，并与观察到的波动率路径一致，例如VIX作为代理。我们将正则摄动分析应用于最坏情形下的价格，并在慢变随机边界条件下推导了一阶近似。原始问题涉及求解最坏情况下价格的二维完全非线性偏微分方程，将其简化为求解一维非线性偏微分方程和带源的线性偏微分方程，这提供了巨大的计算优势。数值实验表明，即使在中等缓慢变化的随机边界条件下，这种近似方法也表现得很好。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Uncertain_Volatility_Models_with_Stochastic_Bounds.pdf (769.77 KB)

2022-5-31 04:34:17 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：波动率模型 波动率 不确定 Mathematical Perturbation

具有随机界的不确定波动率模型*Jean-Pierre Fouque+和Ning Ning+摘要。本文提出了具有随机界的不确定波动率模型。与正则不确定波动率模型一样，我们只知道真正的模型存在于一系列渐进可测量且有界的过程中，但不确定性波动率不是使用两个确定性边界，而是在其固有的随机波动率过程生成的两个随机边界之间波动。这带来了更好的准确性，并且与观察到的波动率路径（例如VIX作为代理）一致。我们将正则摄动分析应用于最坏情况下的价格，并在缓慢变化的随机边界条件下推导出一阶近似值。原始问题涉及求解最坏情况下价格的二维完全非线性偏微分方程，将其简化为求解一维非线性偏微分方程和带源的线性偏微分方程，这提供了巨大的计算优势。数值实验表明，即使在中等缓慢的变随机边界条件下，这种近似方法也表现得很好。关键词。不确定波动率、随机界限、非线性Black–Scholes–Barenblatt PDE、近似AMS主题分类。60H10、91G80、35Q931。介绍在期权定价的标准Black-Scholes模型[3]中，波动率被假定为已知且随时间而恒定，这似乎不切实际。

已经提出了Black-Scholes模型对模型模糊性的扩展，如随机波动率近似（10，11）、跳跃扩散模型（1，17）和不确定波动率模型（2，16）。在这些扩展中，不确定波动率模型在数学金融中受到了广泛的关注，以实现风险管理。在不确定波动率模型（UVM）中，波动率是不精确的，假设在常数的上下界σ和σ之间。这些界限可以从流动期权隐含波动率的极值，或从历史股票或期权隐含波动率的高低峰值推断出来。在风险中性度量下，风险资产的价格过程满足以下随机微分方程（SDE）：（1）dXt=rXtdt+αtXtdWt，其中r是恒定的无风险利率，（Wt）是布朗运动，波动过程（αt）属于一系列渐进可测和[σ，σ]值过程。在对到期日为T且支付金额为非负（XT）的风险资产的欧洲衍生工具进行定价时，合同卖方对最坏情况感兴趣。通过假设最坏的情况，如果已实现的波动率属于候选集，则可以保证卖方免受不利市场行为的影响。

众所周知，最坏的情况是*2017年2月15日提交。资助：由NSF资助的研究DMS-1409434。+加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110(fouque@pstat.ucsb.edu，则，ning@pstat.ucsb.edu)。这份手稿仅供审查之用。2 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NINGprice在时间t<t时由（2）P（t，Xt）给出：=exp(-r（T- t） ）ess supα∈AEt【h（XT）】，其中Et[·]是针对风险中性度量给出的条件期望。根据随机控制理论中的参数，P（t，Xt）是以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的粘性解，这是金融数学中的广义Black-Scholes-Barenblatt（BSB）非线性方程，tP+r（xxP系统- P）+supα∈[σ，σ]xαxxP型= 0，P（T，x）=h（x）。（3） 众所周知，对于凸（凹）型支付函数，最坏情况下的价格等于其具有恒定波动率σ（分别σ）的Black-Scholes价格（例如，参见[19]）。

对于一般的终端支付函数，当波动率区间退化为一个点时，最坏情况下期权价格的渐近分析如【6】所示。事实上，对于期限较长的或有权益，假设界限是恒定的（例如通过查看波动年份，这是衡量标准普尔500指数期权隐含波动性的常用指标）与观察到的波动性不再一致。因此，与在两个确定性边界之间建模αt fluction不同，σ≤ αt≤ σ、 对于0≤ t型≤ T、 我们考虑不确定波动率在两个随机界之间移动的情况，σT：=dpZt≤ αt≤ σt：=upZt，对于0≤ t型≤ T、 其中u和d是两个常数，使得0<d<1<u，并且zt可以是任何其他正随机过程。本文考虑了一般的三参数CIR过程，其演化（4）dZt=Δκ（θ- Zt）dt+√δpZtdWZt。这里，κ和θ是具有Feller条件θκ的严格正参数≥为了确保Zt保持正，δ是一个小的正参数，表征了过程Zt的缓慢变化，而（WZt）是一个可能与（Wt）驱动股价相关的布朗运动，其中dhW，WZit=ρdt，ρ|<1。这些过程的一个实现如图1所示，δ=。05、表示αt：=qt√Zt，则波动率中的不确定性可以吸收在不确定自适应斜率中≤ qt≤ u、 对于0≤ t型≤ T、 为了研究渐近行为，我们强调δ的重要性，并将风险资产价格过程的SDE重新参数化为（5）dXδT=rXδtdt+qtpZtXδtdWt。这份手稿仅供审查之用。随机边界为30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.20.250.30.350.40.450.5倍于随机边界的不确定波动率模型Squareroot Zt下限上限。图1：。

模拟随机边界[0.75√Zt，1.25√Zt]其中，Zt是（缓慢）均值回复过程（4）。当δ=0时，请注意CIR过程zt冻结在z，然后风险资产价格过程遵循动态（6）dXt=rXtdt+qt√zXtdWt。Xδ和X都从同一点X开始。假设X是针对风险资产的欧洲衍生品，到期日为T和payoff（XT）。我们表示其在时间t<Tas（7）Pδ（t，x，z）：=exp时的最小无风险售价（最坏情况）(-r（T- t） ）ess supq。∈[d，u]E（t，x，z）[h（xδt）]，其中E（t，x，z）[·]是给定的条件期望，xδt=x，Zt=z。当δ=0时，我们表示最小无风险售价为（8）P（t，x，z）=exp(-r（T- t） ）ess supq。∈[d，u]E（t，x，z）[h（XT）]，其中E（t，x，z）[·]中的下标也意味着给定相同的过滤ft，XT=x和Zt=z。注意，P（t，Xt，z）对应于（2）中的P（t，Xt），具有由d确定的常数波动性边界√z和u√z、 论文的其余部分如下。在第2节中，我们首先解释了最坏情况下价格Pδ及其二阶导数的收敛性xxPδ，δ变为0。然后我们写下定价非线性抛物线偏微分方程（10），它描述了期权价格。本手稿仅供审查。4 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NINGPδ（t，x，z）作为当前时间t、标的资产价值x和波动驱动过程水平z的函数。最后，我们介绍了Pδ的Firstorder近似为P的主要结果+√δp精度为O（δ），其中我们分别定义了销（12）和销（17）。第3节给出了主要结果的证明。在第4节中，给出了一个数值说明。我们在第5节中得出结论。附录中给出了一些技术建议。2、主要结果。

在本节中，我们首先证明了最坏情况下价格Pδ相对于参数δ的Lipschitz连续性。然后，我们推导出最坏情况下价格应遵循的主要BSB方程，并进一步确定δ足够小时的一阶近似值。我们将原来求解二维全非线性偏微分方程（10）的问题简化为求解一维非线性偏微分方程（12）和带源线性偏微分方程（17）。本文的主要定理定理2.11给出了这种近似的精度。2.1。Pδ的收敛性。附录A中确定，XT和ZT在δ中有统一的元素，这导致以下结果：命题2.1。设Xδ满足SDE（5），X满足SDE（6），然后，在（q·），E（t，X，z）（Xδt- XT）≤ Cδ，其中Cis是一个独立于δ的正常数。证据见附录B.假设2.2。我们对终端函数h施加了更多的正则性条件，即Lipschitz连续性、四阶可微性以及h的前四个导数的多项式增长条件：（9）|h（x）|≤ K、 | h（x）|≤ K（1+| x | m），| h（x）|≤ K（1+| x | n），| h（4）（x）|≤ K（1+| x | l），| h（x）- h（y）|≤ K | x- y |。Kifor i在哪里∈ {0，1，2，3，4}，m，n和l是正常数。定理2.3。在假设2.2下，Pδ（t，·，·，·）作为x和z的函数族，以δ为指数，以速率一致收敛到P（t，·，·，·）in（q·）√δ、 对于所有（t、x、z）∈ [0，T]×R+×R+。证据

对于（7）给出的Pδ和（8）给出的Pδ，使用h（·）的Lipschitz连续式，本手稿仅供审查之用。具有随机界的不确定波动率模型5通过Cauchy-Schwartz不等式，我们得到了| Pδ- P |=经验值(-r（T- t） ）| ess supq。∈[d，u]E（t，x，z）[h（xδt）]- ess supq。∈[d，u]E（t，x，z）[h（XT）]|≤经验值(-r（T- t） ）| ess supq。∈[d，u]E（t，x，z）[h（xδt）]- E（t，x，z）[h（XT）]|≤经验值(-r（T- t） ）ess supq。∈[d，u]| E（t，x，z）[h（xδt）- h（XT）]|≤Kexp(-r（T- t） ）ess supq。∈[d，u]E（t，x，z）| xδt- XT公司|≤Kexp(-r（T- t） ）ess supq。∈[d，u][E（t，x，z）（xδt- XT）]1/2。因此，根据命题2.1，我们有| Pδ- P|≤ C√δ，其中，根据需要，Cis是独立于δ的正常数。2.2。非线性偏微分方程的定价。现在，我们推导出Pand P，最坏情况下价格Pδ近似值的前序项和第一次修正，这是与广义DBSB非线性方程给出的相应控制问题相关的HJB方程的解：tPδ+r（xxPδ- Pδ）+supq∈[d，u]{qzxxxPδ+√δ（qρzxxzPδ）}+δ（zzzPδ+κ（θ-z）zPδ）=0，（10），终端条件Pδ（T，x，z）=h（x）。为简单起见，在不损失一般性的情况下，本文其余部分假设r=0。在本节中，我们使用正则摄动方法将值函数Pδ（t，x，z）形式化展开如下：（11）Pδ=P+√δP+δP+·····。将此展开式插入到主BSB方程（10）中，根据定理2.3，前导序项Pis是tP+supq∈[d，u]{qzxxxP}=0，P（T，x，z）=h（x）。（12） 在这种情况下，z只是一个正参数，我们可以得到（12）的一个mooth解的存在唯一性，这在文献[7]和[19]的经典工作中都有提及。2.2.1。收敛性xxPδ。关于一致抛物方程正则性的主要参考文献有[4]、[21]和[22]。为了使用这些结果，我们必须进行日志转换，将变量x更改为ln x。

那么，因为qt在A中以0为界，（10）是一致抛物线。注意，给定满足假设2.2的h，已知Pbelongs为C1,2p（p表示多项式增长）。我们推测，对于δ固定的情况，结果可以扩展为toPδ。由于完全证明超出了本文的范围，因此我们在此仅假设此性质。这份手稿仅供审查之用。6 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NING假设2.4。在本文中，我们对Pδ（t，·，·，·，·）做出以下假设：（i）Pδ（t，·，·，·）属于C1,2,2p（多项式增长的P），对于δ固定。（二）xPδ（t，·，·）和xxPδ（t，·，·）在δ中一致有界。那么在这个假设下，我们有以下命题：命题2.5。根据假设2.2和2.4，家庭由δ索引的x和z的函数的xxPδ（t，·，·），收敛于xxP（t，·，·）asδ随速率趋于0√δ、 对于t，x和z上的一致非紧集∈ [0，T）.证明。在假设2.2和2.4以及定理2.3下，可以通过遵循[8]的定理5.2.5中的参数来获得命题。表示零组xxPasSt，z：={x=x（t，z）∈ R+|xxP（t，x，z）=0}。定义集合，其中xxPδ和XXP取不同符号asAδt，z：={x=x（t，z）|xxPδ（t，x，z）>0，xxP（t，x，z）<0}∪ {x=x（t，z）|xxPδ（t，x，z）<0，xxP（t，x，z）>0}。（13） 假设2.6。我们作出以下假设：（i）有一定数量的零点xxP，适用于任何t∈ [0，T]。也就是说，St，z={x<x<···<xm（t）}和max0≤t型≤Tm（t）≤ n、 （ii）存在常数C，使得（13）中定义的集合aδt，zde包括在∪ni=1Iδi，其中iδi：=[xi- C√δ、 xi+C√δ] ，xi∈ 圣赞德1号≤ 我≤ m（t）。备注2.7。

在此，我们解释假设2.6（ii）的基本原理。假设Phas是关于x的三阶导数，它在集合St，z上不消失，由命题2.5得出，xxPδ（t，·，·）收敛到xxP（t，·，·），带费率√δ、 因此我们得出结论，存在一个常数C，使得(∪ni=1Iδi）c，xxPδ（t，·，·）和xxP（t，·，·）具有相同的符号，假设2.6（ii）将遵循。这在图7中以两个零点为例进行了说明xxP（t，·，·）。否则，对于α，IδI将具有更大的O阶半径（δα）∈ （0，），那么主定理2.11中的精度将是O（Δα+1/2），但在任何情况下都是O阶(√δ） 。2.2.2。优化器。P的非线性PDE（12）中的最优控制，表示为asq*,0（t，x，z）：=arg maxq∈[d，u]{qzxxxP}，由（14）q给出*,0（t、x、z）=uxxP型≥ 0d，xxP<0。主BSB方程（10）的优化器在以下引理中给出：本手稿仅供审查。具有随机边界的不确定波动率模型7引理2.8。在假设2.6下，对于δ足够小和x/∈ St，z，Pδ的非线性PDE（10）中的最优控制，表示为asq*,δ（t，x，z）：=arg maxq∈[d，u]{qzxxxPδ+√δ（qρzxxzPδ）}，由（15）q给出*,δ（t，x，z）=uxxPδ≥ 0d，xxPδ<0。证据查找优化器q*,δtosupq∈[d，u]{qzxxxPδ+√δ（qρzxxzPδ）}，我们首先放宽限制q∈ [d，u]至q∈ R、 表示f（q）：=qzxxxPδ+√δ（qρzxxzPδ）。根据命题2.5的结果xxPδ一致收敛于xxPasδ变为0，forx/∈ St，z，f（q）的优化器由^q给出*,δ=-ρ√δxzPδxxxPδ。由于Xt和Zt是严格正的，秦f（q）的系数的符号由xxPδ。我们在图2中展示了以下情况，从图中我们可以看出，对于δ足够小的情况，| q*,δ|≤ d、 优化器由byq提供*,δ=u{xxPδ≥0}+d{xxPδ<0}。备注2.9。当h（·）是凸的（分别为。