具有随机界的不确定波动率模型

从数值结果中，我们可以看到，即使Payoff函数不满足本文的要求，甚至当δ不太小（如δ=0.1）时，近似程序也能很好地工作。请注意，由于目前财务管理中的风险评估需要更高的准确性和效率，我们的近似程序极大地改进了估计，并且仍然保持与常规不确定波动率模型相同的效率水平。此外，对于参数κ、θ和δ的任何变化，必须重新计算最坏情况下的价格Pδ（10）。然而，Pand Pare的偏微分方程（12）和（17）与这些参数无关，因此近似只需要计算所有κ、θ和δ值的Pand Ponce。附录A.Zt和Xt的力矩。提案A.1。过程Z在0中均匀地具有任意阶的有限矩≤ δ≤ 1对于t≤ T证明由文献[5]中的引理4.9给出。因此，（34）E（t，x，z）ZTt | Zs | kds≤ E（0，z）ZT | Zs | kds≤ Ck（T，z），其中Ck（T，z）可能取决于（k，T，z），但不取决于δ。表示积分CIR过程的矩母函数，给定Zs | s=t=z asMδz（η）：=E（t，z）[exp（ηZtZsds）]，用于η∈ R、 然后我们有以下引理：命题A.2。对于η∈ R与δ和t无关，Mδz（η）一致有界于0≤δ≤ 1和t≤ T即| Mδz（η）|≤ N（T，z，η）<∞, 其中，N（T，z，η）与δ和T无关。证据综合CIR过程的矩母函数有一个明确的形式，见【15】第5节。

isMδz（η）=ψ（η，t）e-zΞ（η，t），本手稿仅供审查之用。随机界为21的不确定波动率模型，其中ψ（η，t）=\'\'beΔκt\'\'be\'\'bt+e-\'bt+Δκe\'bt-e-\'bt2κ，Ξ（η，t）=2ηe？bt-e-“bt”be“bt+e”-\'bt+Δκe\'bt-e-\'bt2κ，且'b=pb- 2ησ=pδκ- 2ηδ。在下面，我们将显示| Mδz（η）|≤ N（T，z，η）<∞, 式中，N（T，z，η）与δ和T无关。如果δκ- 2ηδ≥ 0，我们有\'b≥ 0和ψ（η，t）≤\'\'beΔκt\'\'be\'\'bt+e-\'bt2κ（Δκe’bt- e-\'bt≥ 0）≤ （eΔκt）2κ（e'bt+e-\'bt≥ （1）≤ （eκT）2κ。自Ξ（η，t）≥ 0，我们有e-zΞ（η，t）≤ 1.ThereforeMδz（η）=ψ（η，t）e-zΞ（η，t）≤ （eκT）2κo如果δκ- 2ηδ<0，设v=p2ηδ-δκ为正，则mδz（η）=ψ（η，t）e-zΞ（η，t）=iveΔκtiv cos（vt）+Δκi sin（vt）！2κexp-z（2ηi sin（vt）iv cos（vt）+Δκi sin（vt））2κ=veΔκtv cos（vt）+Δκsin（vt）！2κexp-z（2ηsin（vt）v cos（vt）+Δκsin（vt））2κ.– 在小v的范围内，因为2ηsin（vt）v cos（vt）+Δκsin（vt）2κ≥ 0），我们有此手稿仅供审阅。22 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NINGMδz（η）≤veΔκtv cos（vt）+Δκsin（vt）！2κ=veΔκtv（1+O（vt））+Δκ（vt+O（vt））！2κ=eδκt1+δκt+O（vt）！2κ。δ和t存在v依赖性，因此对于v<v，Mδz（η）≤eκT2κ。注意v<v对应于δ的开放区域，即δ∈ 我 [0，1]。-考虑δ∈ [0，1]\\I，然后考虑v cos（vt）+Δκsin（vt）在0的小邻域中。在这些点附近，请注意v不在0的小邻域中，这意味着sin（vt）不在0的小邻域中。Fromxne公司-斧头→ 0，作为x→ 0，对于应用于x=v cos（vt）+Δκsin（vt）的任何a>0，我们得出存在一个开放子集I [0，1]\\I，使得Mδz（η）≤ M（T，z，η），与δ和T无关。最后，关于[0，1]\\（I∪ 一） ，这是一个闭合区域，因此很紧凑，Mz（η）定义良好，并且相对于δ和t是连续的。

因此存在与δ和T无关的M（T，z，η），因此| Mδz（η）|≤ M（T，z，η）。总之，取N=max{（2eκT）2κ，M，M}，它与δ和T无关，我们得到| Mδz（η）|≤ N（T，z，η）（均匀界限），根据需要。根据这个结果，我们有以下命题：命题A.3。过程X在0中均匀地具有任意阶的有限矩≤ δ≤ 1对于t≤ T证据对于满足SDEdXt=rXtdt+qtpZtXtdWt的过程XT，其中qt∈ [d，u]和Ztis是CIR过程满足SDE（4），对于每个特定的∈ Z、 我们有xns+t=xnexp尼泊尔卢比-nZs+tt（qvpZv）dv+nZs+ttqvpZvdWv=xnexp公司nrs+n- nZs+tt（qvpZv）dv×经验值-nZs+tt（qvpZv）dv+nZs+ttqvpZvdWv≤xnexp公司nrs+n- nZs+ttuZvdv×经验值-nZs+tt（qvpZv）dv+nZs+ttqvpZvdWv,这份手稿仅供审查之用。随机边界为23且最后一步为不等式qv<u的不确定波动率模型。Novikov条件满足命题A.2，即E（t，x，z）经验值Zs+tt（nqpZv）dv≤ E（t，x，z）经验值NUZ+ttZvdv= Mδz（nu）<∞.现在我们知道∧s=exp-nZs+tt（qvpZv）dv+nZs+ttqvpZvdWv是鞅。因此，E（t，x，z）[Xns+t]≤ xnexp（nrs）E（t、x、z）exp（（n- n） uZs+ttZvdv）= xnexp（nrs）Mδz（n）- n） u型≤ xnexp（nrs）N（T，z，（N- n） u），≤ xnexp（nrs）N（T，z，（N- n） u），（命题a.2），其中上界xnexp（nrs）n（T，z，（n-n） u）与δ和t无关。因此，（35）E（t，x，z）[ZTt | Xs | kds]≤ E（0，x，z）[ZT | Xs | kds]≤ Nk（T，x，z），其中Nk（T，x，z）可能依赖于（k，T，x，z），但不依赖于0≤ δ≤ 附录B.命题2.1的证明。

积分SDE（5）和SDE（6），我们得到（36）Xδt=X+ZTtrXδsds+ZTtqspZsXδsdWsand（37）XT=X+ZTtrXsds+ZTtqs√zXsdWs。（36）和（37）的差值由xδT给出- XT=ZTtr（Xδs- Xs）ds+ZTtqs（pZsXδs-√zXs）dWs=ZTtr（Xδs- Xs）ds+ZTtqs√z（Xδs- Xs）dWs+ZTtqs（pZs-√z） XδSDW。（38）本手稿仅供审查之用。24 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NINGLet Ys=Xδs- Xs，然后Yt=0和（39）Yt=ZTtrYsds+ZTtqs√zYsdWs+ZTtqs（pZs-√z） XδSDW。因此，E（t，x，z）[YT]≤3E（t，x，z）[（ZTtrYsds）+（ZTtqs√zYsdWs）+（ZTtqs（pZs-√z） XδsdWs）]≤ZTt（3T r+3uz）E（t，x，z）[Ys]ds+3uZTtE（t，x，z）[（pZs-√z） （Xδs）]ds |{z}R（δ）。（40）请注意，只使用了q的上界，这使得q一致收敛。同时，使用Xt和Zt在δ中具有一致的有限矩的结果，我们可以显示| R（δ）|≤ Cδ，其中C=C（T，θ，u，d，z）与δ无关。表示f（T）=E（T，x，z）（YT），λ=3T r+3uz>0，则方程（40）可以写成f（T）≤ZTtλf（s）ds+Cδ≤ δZTtCλeλ（T-s） 因此，通过Gronwall不等式，E（t，x，z）（xδt- XT）=E（t，x，z）YT=f（t）≤ Cδ，命题如下。附录C（X）的存在性和唯一性*,δt）。关于x的存在唯一性*,δt，我们考虑变换*,δt：=对数X*,δt，对于任何t<τ, 哪里有 > 0，τ: = inf{t>0 | X*,δt= 或X*,δt=1/}= inf{t>0 | Y*,δt=对数 或Y*,δt=-日志}.根据It^o公式，过程Y*,δt系指以下SDE：（41）dY*,δt=-（q）*,δ） Ztdt+q*,δpZtdWt。请注意，差异系数满足度Q*,δpZt≥ dpZt>0，此手稿仅供审阅。随机界为25且远离0的不确定波动率模型，因此根据[14]第2.6节中的定理1和[20]的结果7.3.3，SDE（41）具有唯一的弱解。因此，我们得到了SDE（24）的唯一解，直到τ对于任何 > 0

为了显示（24）有一个独特的解决方案，它需要改进thatlim↓0Q（τ< T）=0，对于任何T>0。首先，对于任何t∈ [0，T]，Y*,δt=Zt-（q）*,δ） Zsds+Ztq*,δpZsdWs。然后是| Y*,δt|≤ EZt（q*,δ） Zsds+ EZtq公司*,δpZsdWs= A+B。对于A项，根据方程式（34），我们有A≤uZtE[Zs]ds≤uC（T，z）。对于术语B，我们有，B≤EZtq公司*,δpZsdWs!1/2（Cauchy–Schwartz不等式）=中兴通讯（q）*,δ） Zs公司ds公司1/2（It^o等距）≤ZtuE（Zs）ds1/2（d≤ q*,δ≤ u）≤ upC（T，z）（方程式（34））。因此，存在一个常数D=D（T，z，u），使得E | Y*,δt|≤ D、 此外，Q（支持∈[0，T]| Y*,δt |>|对数|) = 1.- Q（| Y*,δt|≤ |日志| 对于所有0≤ t型≤ T）≤ 1.- Q|Y*,δt- E【Y】*,δt]|≤ 日志|| - |E【Y】*,δt]|对于所有0≤ t型≤ T这份手稿仅供审查之用。26 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NINGHere，拿着 足够小，取决于T、z和u，例如Q（支持∈[0，T]| Y*,δt |>|对数|) ≤ 1.- Q|Y*,δt- EY公司*,δt|≤日志||对于所有0≤ t型≤ T= Qsupt公司∈[0，T]| Y*,δt- EY公司*,δt |>对数||!≤Var（Y*,δt）（对数||),最后一步是Doob-Kolmogorov不等式。最后，Var（Y*,δt）=EZtq公司*,δpZsdWs=中兴通讯（q）*,δ） Zs公司ds（It^o等距）≤ uC（T，z）（d≤ q*,δ≤ u和方程式（34））。最后，作为 ↓ 0，我们可以得出结论LIM↓0Q（τ< T）=0，对于任何T>0，根据需要。附录D.证明（32）。

从（30）和（31），通过在{supt≤s≤坦桑尼亚先令≤ M} 和{支持≤s≤TZs>M}对于任何M>z，我们有e（t，x，z）Zτ-1（T）T{| Bv-xi |<C√δ} dv≤ E（t，x，z）ZDuT支持≤s≤TZst{| Bv-xi |<C√δ} dv.= 1+2。（42）然后1≤E（t，x，z）ZDuT Mt{| Bv-xi |<C√δ} {支持≤s≤坦桑尼亚先令≤M} dv≤E（t，x，z）ZDuT Mt{| Bv-xi |<C√δ} dv=ZDuT MtQB{| Bv- xi |<C√δ} dv≤ZDuT Mt2C√δ√2πvdv≤√δ（4C√2π√DuT M）。（43）本手稿仅供审查之用。具有随机界的不确定波动率模型27LetΓs=Rst√δ√ZvdWZv，并将过程Z的SDE积分到s的[t，s]上∈ [t，t]，weobtainZs=z+Zstδκ（θ- Zv）自Zt起dv+Γs≥ 0和0≤ δ≤ 1、我们有SUPT≤s≤坦桑尼亚先令≤ （z+κθT）+支持≤s≤TΓs，（44），然后让M=z+κθT+1，我们有（45）{supt≤s≤TZs>M}≤{支持≤s≤TΓs>1}。因此，通过（44）和（45），2≤E（t，x，z）ZCuT支持≤s≤TZst{支持≤s≤TZs>M}dv≤E（t，x，z）{支持≤s≤TZs>M}切割支撑≤s≤坦桑尼亚先令=切割E（t、x、z）{支持≤s≤TZs>M}支持≤s≤坦桑尼亚先令≤切割（E（t，x，z）（z+κθT）{supt≤s≤TΓs>1}+ E（t，x，z）（支持≤s≤TΓs）{支持≤s≤TΓs>1}).=切割（2.1+2.2）。注意，Γ是一个鞅，因此Γ是一个非负的子鞅，因此通过Doob\'smartingale不等式，并且由于过程Z在δ中具有一致的有限矩，（46）2.1=（Z+κθT）Q{supt≤s≤TΓs>1}≤ （z+κθT）E（T，x，z）[ΓT]≤ Lδ，其中L可能依赖于z，κ，θ，T，但不依赖于δ。接下来，通过Lform中的Doob鞅不等式，我们得到了（47）2.2≤ E（t，x，z）支持≤s≤TΓs≤ 2E（t，x，z）[Γt]≤ Lδ。这份手稿仅供审查之用。28 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NING最后，通过不等式（32）、（43）、（46）和（47），我们得到了（t，x，z）ZTt{X*,δs∈Aδs，z}σ（X*,δs）ds≤nXi=1E（t，x，z）ZTt{| X*,δs-xi |<C√δ} σ（X*,δs）ds≤n【1+2.1+2.2】≤n个[√δ（4C√2π√DuT M）+Lδ+Lδ]≤C√δ、 式中，Ca为正常数，与δ无关。附录E.Iand离子δ一致有界性的证明。

借助于假设2.10、Cauchy–Schwarz不等式和附录A中给出的Xtandzt过程的一致有界矩，我们将证明Iand i一致有界于δ。首先回忆一下i=E（t，x，z）“ZTtρ（q*,δ） ZsX公司*,δsxzP（s，X*,δs，Zs）+ZszzP（s，X*,δs，Zs）+κ（θ- Zs）zP（s，X*,δs，Zs）！ds#，并表示i=I（1）+I（2）+I（3），那么我们有I（1）≤E（t，x，z）ZTtρuZsX*,δs|xzP（s，X*,δs，Zs）| ds≤ρuE1/2（t，x，z）ZTt公司ZsX公司*,δsds公司· E1/2（t、x、z）ZTt公司xzP（s，X*,δs，Zs）ds公司≤ρuE1/4（t，x，z）ZTt（Zs）ds· E1/4（t、x、z）ZTt（X*,δs）ds· \'aE1/2（t、x、z）ZTt公司1+| X*,δs | b+| Zs | cds公司≤ρu（C（T，z））1/4·（N（T，x，z））1/4·'A[C'b（T，z）+N2'C（T，x，z）]1/2，I（3）≤E1/2（t、x、z）ZTt（Zs）ds· E1/2（t、x、z）ZTt公司zzP（s，X*,δs，Zs）ds公司≤（C（T，z））1/2·A[C2b（T，z）+N2c（T，x，z）]1/2本手稿仅供审查之用。具有随机界的不确定波动率模型29andI（4）≤ κE1/2（t，x，z）ZTt（θ- Zs）ds]·E1/2（t，x，z）[ZTtzP（s，X*,δs，Zs）ds公司≤ κE1/2（t，x，z）ZTtθ+Zsds· E1/2（t、x、z）ZTt公司zP（s，X*,δs，Zs）ds公司≤C（T，z）+θ（T- t）1/2·A【C2b（T，z）+N2c（T，x，z）】1/2，其中‘A，’A和‘A’为正常数。下一步回想i=E（t，x，z）“ZTtZszzP（s，X*,δs，Zs）+κ（θ- Zs）zP（s，X*,δs，Zs）ds#，表示i=I（1）+I（2）。那么我们有（1）≤E1/2（t、x、z）ZTt（Zs）ds· E1/2（t、x、z）ZTt公司zzP（s，X*,δs，Zs）ds公司≤（C（T，z））1/2·'A[C'b（T，z）+N2'C（T，x，z）]1/2 ANDI（2）≤ 2κE1/2（t，x，z）ZTtθ+Zsds· E1/2（t、x、z）ZTt公司zP（s，X*,δs，Zs）ds公司≤ 2κ[θ（T- t） +C（t，z）]1/2·'A[C'b（t，z）+N2'C（t，x，z）]1/2，其中'A，'A是正常数。参考文献【1】L.Andersen和J.Andreasen，《跳跃差异过程：波动微笑和期权定价的数值方法》，《衍生品研究评论》，4（2000），第231-262页。[2] M.Avellanda，A.Levy和A.Par'as，《波动性不确定市场中衍生证券的定价和对冲》，应用数学金融，2（1995），第73-88页。[3] F.黑色和M。

斯科尔斯，《期权定价与公司负债》，政治经济学杂志，81（1973），第637-654页。[4] M.G.Crandall、M.Kocan和A.Swiech，《完全非线性一致抛物方程的Lp理论：抛物方程》，《部分微分方程中的通信》，25（2000），pp.1997–2053。[5] J.-P.Fouque、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna，《股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动》，剑桥大学出版社，2011年。[6] J.-P.Fouke和B.Ren，《不确定波动率下期权价格的近似值》，《暹罗金融数学杂志》，5（2014），第360-383页。这份手稿仅供审查之用。30 JEAN-PIERRE FOUQUE和NING NING【7】A.Friedman，《随机微分方程与应用》。第1卷。aca#demic出版社，纽约，（1975年）。[8] M.-H.Giga、Y.Giga和J.Saal，《非线性偏微分方程：解的渐近行为和自相似解》，第79卷，斯普林格科学和商业媒体，2010年。[9] J.Guyon和P.Henry Labord\'ere，《非线性期权定价》，CRC出版社，2013年。[10] S.L.Heston，《随机波动期权的封闭式解及其在债券和货币期权中的应用》，《金融研究评论》，6（1993），第327-343页。[11] J.Hull和A.White，《随机波动资产期权定价》，《金融杂志》，42（1987），第281-300页。[12] K.In\'t Hout和S.Foulon，heston模型中期权定价的有限差异方案与相关性，国际数值分析与建模杂志，7（2010），第303-320页。[13] I.Karatzas和S.Shreve，《布朗运动与随机微积分》，第113卷，斯普林格科学与商业媒体，2012年。[14] N.V.Krylov，《受控扩散过程》，第14卷，斯普林格科学与商业媒体，2008年。[15] T.Lepage、S.Lawi、P.Tupper和D。

Bryant，《进化率变化的连续和可处理模型》，数学生物科学，199（2006），第216-233页。[16] T.J.Lyons，《不确定波动率和衍生品的无风险合成》，应用数学金融，2（1995），第117-133页。[17] R.C.Merton，《基础股票收益不连续时的期权定价》，《金融经济学杂志》，3（1976），第125-144页。[18] G.Papanicolaou、J.-P.Fouque、K.Solna和R.Sircar，《期权定价中的奇异扰动》，暹罗应用数学杂志，63（2003），第1648-1665页。[19] H.Pham，《金融应用中的连续时间随机控制与优化》，第61卷，斯普林格科学与商业媒体，2009年。[20] D.W.Stroock和S.S.Varadhan，《多维扩散过程》，Springer，2007年。[21]L.Wang，关于完全非线性抛物方程的正则性理论：I，《纯粹与应用数学通讯》，45（1992），第27-76页。[22]L.Wang，《关于完全非线性抛物方程的正则性理论：Ii》，《纯粹与应用数学通讯》，45（1992），第141-178页。这份手稿仅供审查之用。