加法均值-方差套期保值的一种闭式表示

备注【1】处理了以下最小化问题，而不是（3.1）：minθ∈ΘEh（H- GT（θ））i.（3.5）现在，我们介绍一下[1]中的论点大纲，作为准备步骤。回想一下，假设2.1下，命题2.4成立。这一事实确保我们的设置满足[1]中的假设1。因此，（3.5）的解存在，我们用bθH表示它∈ Θ。我们定义了一个新的概率度量asdeQdP*=eZTeZ=ET-Z·λudSu.如【1】的（4.7）所示，H允许以下分解：H=EP*[H] +GT（bηH）+bNHT，（3.6），其中bηH∈ Θ，和B这是一个P*-bnh=0的鞅。此处表示为BNHT=ZteZu-dbLHu+[eZ，bLH]t（3.7），带平方可积鞅bLH。注意，processesblhandblh两者都是P*-鞅。请注意，分解（3.6）在我们的设置中既不是渡边功也不是FS。此外，[1]中的（4.5）规定bθHis由bθHt=bηHt+EP给出*[H] λtEt-+bLHt公司-λteZt-. （3.8）步骤2：将H替换为（3.5）中的常数1，我们考虑以下最小化问题：minθ∈ΘEh（1- GT（θ）i.（3.9）出租bθt：=λtEt-, 我们有∈ Θ，自E[RT（bθ）uSu-du]≤ CE【ZT】<∞对于某些C>0。此外，我们还有1个- GT（bθ）=ET，E[ETGT（θ）]=eZ-1E[eZTGT（θ）]=eZ-1EP*[GT（θ）]=0表示任何θ∈ Θ，E[ET]=E[ET（1- GT（bθ））]=E[ET]。因此，我们得到[（1- GT（θ））]=E[（GT（θ）- GT（bθ））]+2E[ET（1- GT（θ））]- E[（1- GT（bθ））]≥ 2E【ET】- E[（1- GT（bθ））]=E[（1- GT（bθ））]适用于任何θ∈ 这意味着bθ是（3.9）的解。因此，Hou和Karatzas【10】的定理4.2意味着ech=EP*[H] ，和BθH-c=bθH- cbθ对于任何c∈ R、 其中bθH-cis以下最小化问题的解决方案：minθ∈ΘEh（H- c- GT（θ））固定c∈ R、 因此，我们从（3.8）eθHt=bθH-ecH=bθH- EP公司*[H] bθ=bηHt+bLHt-λteZt-. （3.10）步骤3：我们所要做的就是导出bηHandbLH的表示。为此，我们准备了一些符号。

Girsanov定理意味着（WeQt：=WP*t+RtλuSu-βudueNeQ（dt，dz）：=eNP*（dt，dz）+λtSt-γt，zνP*t（dz）dt分别是eq下的一维布朗运动和N的补偿泊松随机测度。从Eq（Jacod和Shiryaev[12]的定理III.4.34）下的鞅表示性质来看，bLHis描述为，对于任何∈ [0，T]，bLHt=ztblwudeq+ZtZRblNu，zeNeQ（du，dz）（3.11），对于一些可预测的过程blwandbln。由于产品工艺在P*, 我们得到了βtblWt+ZRγt，zblNt，zνP*t（dz）=0（3.12），对于任何t∈ [0，T]。因此，我们可以重写（3.11）为BLHT=ZtblWudWP*u+ZtZRblNu，zeNP*（du，dz）。（3.13）接下来，（3.7）提供BNHT=ZTeZu-blWudWP公司*u+ZTZReZu-blNu，z（1- λuSu-γu，z）eNP*（du，dz），（3.14），因为条件（3.12）和（2.5）意味着[eZ，bLH]T=-ZTλueZu-d【S，bLH】u=-ZTλueZu-苏-βublWudu+ZRγu，zblNu，zN（du，dz）= -ZTλueZu-苏-ZRγu、zblNu、zeNP*（du，dz）。然后，（3.6）与（2.5）和（3.14）一起提供H=EP*[H] +ZT（bηHuSu-βu+eZu-blWu）dWP*u+ZTZRbηHuSu-γu，z+eZu-blNu，z（1- λuSu-γu，z）eNP公司*（du，dz）。（3.15）将（3.15）与（2.6）进行比较，我们得到∈ [0，T]，（bηHtSt-βt+eZt-blWt=It，bηHtSt-γt，z+eZt-blNt，z（1- λtSt-γt，z）=Jt，z，（3.16），其中yieldsblWt=eZt-（It-bηHtSt-βt），和blnt，z（1- λtSt-γt，z）=eZt-Jt，z-bηHtSt-γt，z.使用（2.4）和（3.12）求解方程（3.16）onbηHby，wehavebηHt=βtIt+KtSt-（βt+Γt）。（3.3）意味着BηHcoincides with EξH，这是H的LRM策略。因此，我们得到BLWT=eZt-ΓtIt- βtKtβt+Γtas以及blnt，z（1- λtSt-γt，z）=eZt-Jt，z-βtIt+Ktβt+Γtγt，z.因此，（3.13）意味着DBLHT=eZt-ΓtIt- βtKtβt+ΓtdWP*t+eZt-ZRJt，z-βtIt+Ktβt+Γtγt，z1- λtSt-γt，zeNP*（dt，dz）。

（3.17）步骤4：从（3.10）和（3.17）的观点出发，我们计算θhas如下：eθHt=bηHt+bLHt-λteZt-=eξHt+λteZt-Zt公司-埃祖-ΓuIu- βuKuβu+ΓudWP*u+Zt-兹雷祖-1.- λuSu-γu，zJu，z-βuIu+Kuβu+Γuγu，zeNP公司*（du，dz）=:eξHt+λteZt-（ΞWt-+ ΞNt-).我们有ΞWt-=Zt公司-埃祖-ΓuIu- βuKuβu+ΓudWP*u=Zt-IueZu公司-dWP公司*u-Zt公司-βuIu+Kuβu+ΓuβueZu-dWP公司*u=Zt-IueZudWP*u-Zt公司-eξ霍祖苏-βudWP*u、 （3.18）和ΞNt-=Zt公司-兹雷祖-1.- λuSu-γu，zJu，z-βuIu+Kuβu+Γuγu，zeNP公司*（du，dz）=Zt-兹雷祖-1.- λuSu-γu，z（Ju，z-eξHuSu-γu，z）eNP*（du，dz）=Zt-ZR（Ju，z-eξHuSu-γu，z）N（du，dz）eZu-νP*u（dz）dueZu-（1）- λuSu-γu，z）=Zt公司-ZR（Ju，z-eξHuSu-γu，z）eNP*（du，dz）eZu-λuSu-γu，zν（dz）dueZu-!=Zt公司-ZR（Ju，z-eξHuSu-γu，z）eNP*（du，dz）eZu+Zt-αuβu（ΓuIu- βuKu）eZu-（βu+Γu）du，（3.19），其中第三个等式由Zrezu给出-1.- λuSu-γu，zN（du，dz）=ZRN（du，dz）eZu。因此，从（3.18）和（3.19）中，我们得到ΞWt-+ ΞNt-=Zt公司-dHu-eξHudSueZu+Zt-αuβu（ΓuIu- βuKu）eZu-（βu+Γu）du。这就完成了定理3.1的证明。3.2示例示例3.5（看涨期权和亚洲期权）我们将两种代表性期权视为持续的对冲索赔：看涨期权（ST- K） +和亚洲选项（TRTSudu-K） +表示K>0。为了获得此类选项的eθhf的明确表示，我们只需从（3.2）的视图中显示Itan和Jt，zf的表达式。除了假设2.1之外，我们还假设以下条件：对于某些C>0，ZR{γt，z+| log（1+γt，z）}ν（dz）<C，这确保了假设2.7，如[4]第4节和第5节所示。对于K>0和T∈ [0，T]，我们有It=βtEP*[1{ST>K}ST | Ft-],Jt，z=EP*[（ST（1+γt，z）- K）+- （ST- K） +|英尺-]对于看涨期权（ST- K） +，和It=βtEP*[1{V>K}Vt | Ft-],Jt，z=EP*[（V+γt，zVt- K）+- （五）- K） +|英尺-],其中Vt=TRTtSudu，适用于亚洲期权（TRTSudu- K） +。例3.6（回望期权）买入期权的收益作为ST的函数给出。另一方面，亚式期权的收益取决于S的整个轨迹。这种期权被称为路径依赖型。

近年来，各种类型的路径依赖关系交易活跃，但在[11]中被排除在外。作为定理3.1中涉及的路径相关期权的一个更典型的例子，我们处理回溯期权，其收益取决于S的运行最大值。特别是，我们考虑H=（MS- K） +，其中MS：=支持∈[0，T]支架K>0。对于例3.4中引入的指数L'evy模型，【4】第6节暗示，在假设2.1和条件RR下z+（ez- （1）ν（dz）<∞,It=σEP*[MS{log（MS）>log（K/S）}{τ≥t} |英尺-],Jt，z=EP*supu公司∈[0，T]Suez1{t≤u}- K+- （毫秒- K）+英尺-,其中τ：=inf{t∈ [0，T]| St∨ St公司-= MS}。4数值分析我们将为任意给定时间t的MVH策略值制定一个简单的数值方案∈ [0，T]对于指数L'evy模型，并说明了第4.1节中的一些数值结果。据我们所知，尚未开发出Eθhts值的数值方法。请注意，EθHtis的值不仅取决于St-还有S从0到-. 然而，从实用的角度来看，不可能连续观察S的轨迹。因此，我们使用离散观测数据S、St、St……近似计算θhT。在本节中，我们考虑示例3.4中引入的指数L'evy模型；将时间间隔[0，t]等分为0=t<t<···<tn+1=t表示n≥ 1为了简单起见。标志Htk=EP*[H | Stk]，Itk=EP*[Dtk，0H | Stk-1] ，Ktk=RREP*[zDtk，zH | Stk-1] （ez- 1） ν（dz），eξHtk=σItk+KtkStk-1（σ+Γ）对于k=1，n+1。

注意，初始日期的MVH策略值由θHt给出；所有Htk、ITK和Ktkare可通过【3】中开发的基于FFT的方法计算。然后，从（3.4）aseθHt的角度近似eθHtis≈eξHt+uSEtnStn（σ+Γ）n∑k=1Htk公司-eξHtkStkEtk+n∑k=1uSσ（ΓItk- σKtk）Etk-1（σ+Γ）tk公司,（4.1）其中Xtk：=Xtk- Xtk公司-1对于任何序列{Xtk}，且Ht：=EP*[H] 。此外，我们使用递归计算将Etkus近似为E=1和Tk+1=Etk1.-uSσ+ΓStk+1Stk=k∏l=11.-uSσ+ΓStl+1Stl（4.2）对于k=1，n、 这是一个随机指数的离散化。备注4.1使用反馈形式表达式的近似值基本上是作为一般随机指数的离散化，定义为以下类型随机微分方程的解Y：Yt=Ut+ZtYu-dVu，其中U和V是半鞅。【16】中的定理V.52暗示，如果V是连续的，则Y被给定为asYt=Et（V）U+Zt0+Eu（V）-1（dUu- d[U，V]U）,这比普通的随机指数要复杂得多。因此，与（4.2）相比，涉及Y离散化的递归计算，这意味着反馈形式表达式不适合为H开发近似方法。备注4.2使用【11】获得的闭合形式表达式，几乎不可能开发出与（4.1）类似的近似方法，因为它们的表达式是以一般随机指数形式给出的，并且包含一个关于S的二次变化的随机积分，这是我们无法直接观察到的。4.1数值结果我们关注的是过程日志（=：LS）作为方差gamma过程给出，H是看涨期权H=（ST- K） +K>0。注意，方差伽马过程定义为服从伽马从属的时变布朗运动。

总之，LSI表示为LST=mGt+ΔBGT或t∈ [0，T]，其中δ>0，m∈ R、 B是一维标准布朗运动，GT是参数（1/κ，1/κ）为κ>0的伽马过程。其L'evy度量则表示为ν（dz）=C{z<0}e-G | z |+1{z>0}e-M | z|dz | z |，其中c：=κ>0，G：=δrm+2δκ+mδ>0，m：=δrm+2δκ-mδ>0。注意，Ls没有布朗分量，即示例3.4中的σ由0给出。因此，近似值（4.1）foreθHtsimpli fies toeθHt≈eξHt+uSEtnStnΓn∑k=1Htk公司-eξHtkStkEtk，其中uS=ZR（ez- 1） ν（dz），eξHtk=KtkStk-1Γ和Etk+1=Etk（1-uSStk+1StkΓ）。回想一下，Htkand-Ktkare是用[3]中开发的基于FFT的方案计算的。我们考虑2017年5月19日到期的标准普尔500指数的欧洲看涨期权，并将套期保值的初始日期设定为2016年5月20日。我们将T固定到1。自2016年5月20日起至2017年5月19日，共有251个营业日。因此，例如，2016年5月20日和2016年5月23日分别对应于时间0和1/250，因为2016年5月20日是星期五。我们于2016年11月10日计算了MVH战略的价值。由于2016年11月10日是2016年5月20日之后的第121个工作日，让t=121/250，我们计算EθHt的值。备注EθHtis于2016年11月9日建造。因此，使用2016年5月20日当天和之后至2016年11月9日（含）的标准普尔500指数的121个乳品收盘价作为离散观测数据进行计算。作为对冲的未定权益，我们考虑行使价格为1500、1550等的看涨期权，2500.此外，我们将模型参数设定为C=6.7910、G=30.1807和M=33.1507，这些参数由2016年4月20日标准普尔500指数上的欧洲看涨期权数据集校准。请注意，上述参数集用于Arai和Imai【2】，满足假设2.1和2.7。图1显示了EθHt的值。

图1中获得21个EθHton值的计算时间为28.85秒，这表明我们使用基于FFT的方法实现了快速计算，然而MVH策略的计算通常很耗时。此外，我们还计算了eθHt的值-eξHt，即MVH和LRM策略值之间的差异。图2显示差异非常小，更准确地说，是绝对值fθHt-eξHtare不大于0.0025。请注意，我们的数值实验是使用MATLAB（9.0.0.341360 R2016a）在Intel Core i7 3.4 GHzCPU上进行的，该处理器具有16 GB 1333 MHz DDR3内存。1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 K00.10.20.30.40.50.60.70.80.91e#HtFigure 1:t=121/250时认购期权的EθHTO值，而按50.1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500K-2.5-2.5-1-0.500.511.52e的步骤，履约价格K从1500到2500！e9Ht#10-3图2:EθHt值-eξHTV。敲定价格K.Acknowlements这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号15K04936的支持。参考文献【1】T.Arai，均值-方差对冲对不连续情况的扩展，Finance Stoch。，9（2005），第129-139页。[2] T.Arai和Y.Imai，关于指数L'evy模型的局部风险最小化和增量对冲策略之间的差异，日本J.Indust。应用程序。数学34（2017），第845858页。[3] T.Arai，Y.Imai和R.Suzuki，《指数Levy模型局部风险最小化的数值分析》，国际J.Theor。应用程序。《金融》，19（2016），1650008。[4] T.Arai和R.Suzuki，《利维市场的局部风险最小化》，国际金融杂志。工程，2（2015），1550015。[5] F.Benth、G.Di Nunno、A.Lokka、B.Oksendal和F.Proske，《由L’evyprocess驱动的市场中最小方差投资组合的显式表示》，数学。《金融》，13（2003），第55-72页。[6] A.ˇCern'y和J.Kallsen，关于一般均值-方差对冲策略的结构，Ann。

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