加法均值-方差套期保值的一种闭式表示

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英文标题：
《A closed-form representation of mean-variance hedging for additive
  processes via Malliavin calculus》
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作者：
Takuji Arai and Yuto Imai
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We focus on mean-variance hedging problem for models whose asset price follows an exponential additive process. Some representations of mean-variance hedging strategies for jump type models have already been suggested, but none is suited to develop numerical methods of the values of strategies for any given time up to the maturity. In this paper, we aim to derive a new explicit closed-form representation, which enables us to develop an efficient numerical method using the fast Fourier transforms. Note that our representation is described in terms of Malliavin derivatives. In addition, we illustrate numerical results for exponential L\\\'evy models.
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中文摘要：
我们主要研究资产价格服从指数加性过程的模型的均值-方差套期保值问题。已经提出了跳跃型模型的均值-方差套期保值策略的一些表示，但没有一种表示方法适合开发任何给定时间到到期的策略值的数值方法。在本文中，我们的目标是导出一种新的显式闭式表示，这使我们能够利用快速傅立叶变换开发一种有效的数值方法。请注意，我们的表示是用Malliavin导数描述的。此外，我们还举例说明了指数L趵evy模型的数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_closed-form_representation_of_mean-variance_hedging_for_additive_processes_via.pdf (312.24 KB)

2022-5-31 04:53:31 上传

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关键词：套期保值 Presentation Mathematical Quantitative Presentatio

基于Malliavin calculusTakuji Arai的可加过程均值方差套期保值的闭式表示*和Yuto Imai+2021年6月28日摘要我们关注资产价格遵循指数加性过程的模型的均值-方差套期保值问题。跳跃型模型的均值-方差对冲策略的一些表示已经被推荐，但没有一种适合于开发任何给定时间到到期的策略值的数值方法。在本文中，我们旨在推导一种新的显式闭合形式表示，这使我们能够利用快速傅立叶变换开发一种有效的数值方法。请注意，我们的表示是用Malliavin导数描述的。此外，我们还说明了指数L'evy模型的数值结果。关键词：均值-方差对冲、加性过程、Malliavin演算、快速傅立叶变换。AMS 2010主题分类：91G20,60H07,91G60.1简介不完全市场中或有权益的套期保值问题是数学金融的核心。事实上，针对不完全市场提出了许多套期保值方法。最重要的是，我们关注均值-方差套期保值（MVH）问题，这一问题已经被很好地研究了大约三十年。然而，由于MVH策略的任何现有表示都不适合计算，因此尚未开发出跳跃型模型在任何给定时间之前的MVH策略值的数值方法。因此，我们的目标是推导指数加性模型的一种新表示，这使得开发有效的MVH数值方法成为可能*庆应义塾大学经济系，2-15-45 Mita，Minato ku，Tokyo，108-8345，Japan(arai@econ.keio.ac.jp，电话：+81-3-5427-1411，传真：+81-3-5427-1578）+早稻田大学数学系，3-4-1 Okubo，Shinjyuku，Tokyo 169-8555，Japan（y。imai@aoni.waseda.jp)战略。

此外，在【11】中获得的封闭形式表示也不适合为任何给定时间t开发有效的数值模式∈ [0，T]有以下两个原因：首先，它们的闭式表示是使用一般随机指数作为反馈形式的直接扩展，也就是说，为了计算θHt，仍然需要一个涉及的递归计算。其次，关于S的二次变化的随机积分包含在其闭合形式表示中，但S的二次变化是不可观测的。因此，为了开发一种有效的数值方法，我们需要导出一种新的显式闭式表示，其中不包括关于不可观测数据的随机积分。这是本文的第一个主要目的。为此，利用[4]的结果，我们得到了L'evy过程的Malliavin演算的EθHbymeans表示。此外，我们依赖于[1]的参数，该参数基于与FSdecomposition不同的H分解。作为我们表示的另一个优点，如例3.5和3.6所示，涵盖了路径依赖，而[11]排除了它们。利用获得的EθH的闭合形式表示，我们将开发基于anFFT的数值方法来计算任意给定t∈ [0，T]对于指数L'evy模型。有一些关于跳跃型模型的MVH策略数值分析的文献，如De Franco等人[8]、[9]、[11]等，所有这些文献都计算了初始套期保值或MVH策略引起的套期保值误差，或两者都单独计算，但没有人针对任何给定的∈ 据我们所知。最困难的是EθHtis取决于S到时间t的整个轨迹-. 然而，从实用的角度来看，我们无法连续观察S的轨迹。

因此，我们使用S的离散观测数据近似计算θhts。本文发展的数值方法具有以下三个特点。首先，我们的方法不需要任何涉及的递归计算，尽管需要一个简单的递归计算来计算离散指数。其次，我们仅使用S的离散观测数据，换句话说，我们的方法不需要任何不可观测的数据。第三，我们利用Arai等人[3]的结果，该结果利用[4]的结果为指数L'evy模型开发了基于FFT的LRM策略数值方案。原则上，计算MVH策略非常耗时，因为它的表达式包含随机积分。然而，基于FFT的方法使我们能够实现高速计算。本文概述如下：第2节给出了模型描述和数学预备知识。特别地，我们介绍了L'evy过程的方差最优鞅测度和Malliavin演算。第3节介绍了主要结果及其证明。第3.2小节介绍一些示例。第4节致力于发展数值格式并介绍数值结果。2准备工作2.1模型描述我们考虑的整个金融市场由一个风险资产和一个无风险资产组成，有限时间范围T>0。为简单起见，我们假设市场利率为0，即无风险资产集的价格始终为1。让(OhmW、 FW，PW）是[0，T]上的一维维纳空间；和Wits坐标映射过程，即W=0的一维标准布朗运动。(OhmJ、 FJ，PJ）表示具有L'evy测度ν的纯跳跃L'evy过程J在[0，T]上的正则L'evy空间，即，OhmJ=∪∞n=0（[0，T]×R）n，其中Jt（ωJ）=∑ni=1zi{ti≤t} 对于t∈ [0，T]和ωJ=（（T，z）。

，（tn，zn））∈ 注意，（[0，T]×R）表示一个空序列。有关正则L'evy空间的更多详细信息，请参见Sol'e等人【20】。现在，我们假设rrzν（dz）<∞; 并表示(Ohm, F、 P）=(OhmW×OhmJ、 FW×FJ、PW×PJ）。设F={Ft}t∈[0，T]是P完成的规范过滤。设X是以平方可积为中心的L'evy过程(Ohm, F、 P）表示为XT=Wt+Jt- tZRzν（dz）。用N表示定义为N（t，A）的泊松随机测度：=∑s≤助教(Xs），A∈ B（R）和t∈ [0，T]，其中Xs：=Xs- Xs型-, 我们有Jt=RtRRzN（ds，dz）。此外，我们定义了其补偿度量aseN（dt，dz）：=N（dt，dz）-ν（dz）dt。因此，X表示为xt=Wt+ZtZRzeN（du，dz）。（2.1）假设风险资产的波动由以下随机微分方程的解给出：dSt=St-αtdt+βtdWt+ZRγt，zeN（dt，dz）, S> 0，（2.2）其中α和β是[0，T]上的确定性可测函数，γ是[0，T]×R上的确定性联合可测函数。此外，我们表示ΓT：=ZRγT，zν（dz），λT：=αtSt-（βt+Γt）表示t∈ [0，T]。现在，我们在本文中假设如下：假设2.1 1。γt，z>-任何（t，z）为1∈ [0，T]×R.2。支持∈[0，T]（|αT |+βT+ΓT）<C，对于某些C>0.3。存在ε>0，使得λtSt-γt，z<1- ε和βt+Γt>ε，（t，z，ω）-a.e.备注2.2 1。在假设2.1下，（2.2）有一个解S满足所谓的结构条件（SC），即S具有以下三个性质：（a）S是空间S的半鞅，即一个特殊的半鞅，其正则分解S=S+M+a[M] 1/2T+ZT | dAs|L（P）<∞, （2.3）其中dMt=St-（βtdWt+RRγt，zeN（dt，dz））和dAt=St-αtdt。（b） 我们有A=RλdhMi。（c） 均值-方差权衡过程bkt：=Rtλsdhmis fite，即bKTis fite P-a.s。SC与无套利条件密切相关。有关theSC的更多详细信息，请参见[18]和[19]。2.

processbK和A是连续的。特别是，bK是确定性的。3.（2.3）表示支持∈[0，T]| St |∈ L（P）根据Protter的定理V.2【16】。假设2.1中的第1项确保了S的正性。因此，在假设2.1下，S是加性过程的指数，即其对数对数对数具有以下特性：（a）（概率连续）：对数没有固定的不连续时间。（b） （独立增量）：对数（St）- log（St）独立于Ftfor0≤ t<t≤ T、 2.2方差最优鞅测度在本小节中，我们讨论了方差最优鞅测度，这是讨论MVH策略必不可少的。粗略地说，方差最优鞅测度定义为一个等价鞅测度，其密度最小化其L（P）-范数。我们从可接受策略的定义开始。我们用所有R值可预测S-可积过程的空间表示，这些过程的随机积分是空间S的半鞅。在本文中，weregard是所有可容许策略的集合。备注假设2.1：=θR值可预测S-可积过程：EZTθuSu-杜邦< ∞接下来，我们将方差最优鞅测度定义如下：定义2.3（Schweizer[17]第1节）1。签名度量Q on(Ohm, F）称为有符号Θ-鞅测度，如果Q(Ohm) = 1，Q P、 dQ/dP∈L（P）和dQdP·GT（θ）= 0对于任何θ∈ 式中，GT（θ）=RTθudSu。我们用Ps（Θ）表示所有有符号的Θ-鞅测度集，Ds（Θ）：={dQ/dP | Q∈ Ps（Θ）}。2、Q∈ 如果Ps（Θ）是与P.3等价的概率测度，则称其为等价鞅测度。

一个等价鞅测度P*∈ Ps（Θ）称为方差最优鞅测度，如果其密度dP*/dP使整个D中的kDkL（P）最小化∈Ds（Θ）。我们将证明方差最优鞅测度是由概率测度P给出的*定义的asdP*dP=ET-Z·λudMu式中，E（Y）表示Y的随机指数，即，随机微分方程dEt（Y）=Et的解-（Y） dYtwith E（Y）=1。从今以后，我们表示D*:=数据处理*dp和Zt：=Et(-R·λudMu）。注意，Z是假设2.1下的正平方可积鞅，如[4]的示例2.8所示，即P*是一个等价的鞅测度。我们证明以下命题，以确保我们的设置满足[1]中的所有标准假设。命题2.4在假设2.1下，我们有以下内容：1。P*是方差最优鞅测度。2.Z满足反向H¨older不等式R（P），即存在常数C>0，因此，对于任何停止时间τ≤ T、 “我们有”ZTZτFτ#≤ C、 3。存在一个C>0，这样Zt-≤ CZT适用于任何t∈ [0，T]。证据要查看第1项，我们定义为：=EP*[D]*|英尺]。注意EZT=D*andeZ=E[（D*)]. 现在，我们计算Ez如下：eZt=EP*ET公司-Z·λudMu英尺= 经验值ZTλudAuEP公司*ET公司-Z·λudSu英尺= 经验值ZTλudAuEt公司-Z·λudSu= E[（D*)]Et公司-Z·λudSu对于任何t∈ [0，T]，sinceR·∧udau由备注2.2确定。请注意，eZ是以下方程式的解：eZt=eZ-茨特祖-λudSu。对于任何Q∈ Ps（Θ），我们有dQdPL（P）=dQdP- D*L（P）+2EdQdPD公司*- 杜兰特*kL（P）≥ 2尺寸dQdPET-Z·λudSu-eZ=eZ，第1项紧随其后。从Choulli等人的命题3.7来看，第2项是正确的。此外，由于我们可以找到ε>0，因此λtMt<1- ε对于任何t∈ [0，T]由于假设2.1的第3项，我们有Zt/Zt-= 1.- λtMt>1- （1）- ε） =ε，其中第3项紧随其后。备注2.5上述证明的本质在于RTλudAu（=bKT）是确定性的。

一般来说，在确定性条件下，方差最优鞅测度与最小鞅测度重合，最小鞅测度被定义为等价鞅测度，在此等价鞅测度下，与M正交的任何平方可积P-鞅都是鞅。实际上，[4]中的示例2.8表明*是最小鞅测度。注意，在LRM方法中，最小鞅测度是必不可少的。现在，我们准备了一些符号以供以后使用。Girsanov定理意味着wp*t： =Wt+ZtλuSu-P下的一维标准布朗运动*. 此外，表示νP*t（dz）：=（1- λtSt-γt，z）ν（dz），（2.4）和NP*（dt，dz）：=N（dt，dz）- νP*t（dz）dt用于t∈ [0，T]和z∈ R、 我们有EP*亨普*（A，B）对于任何A，i=0∈ B（[0，T]）和B∈ B（R）。因此，我们可以重写随机微分方程（2.2）asdSt=St-βtdWP*t+ZRγt，zeNP*（dt，dz）, S> 0。（2.5）2.3 Malliavin演算本文的目的之一是根据L'evy过程的Malliavin演算获得MVH策略的闭式表示。现在，我们介绍一些与Malliavin微积分相关的符号和定义。我们采用了[20]提出的规范L'evy空间框架，这是（2.1）中给出的L'evy过程X上的Malliavincalculus。首先，我们定义了[0，T]×R asq（E）：=ZEδ（dz）dt+ZEzν（dz）dt，和Q（E）：=ZEδ（dz）dWt+ZEzeN（dt，dz），其中E∈ B（[0，T]×R），δ是0处的狄拉克测度。对于n∈ N、 我们用LT，q，N乘积可测的确定性函数集f表示：（[0，T]×R）N→ R满足k f kLT，q，n：=Z（[0，T]×R）n | f（（T，Z），··，（tn，zn））| q（dt，dz）···q（dtn，dzn）<∞.对于n∈ N和f∈ LT，q，n，we定义（f）：=Z（[0，T]×R）nf（（T，Z），··，（tn，zn））q（dt，dz）··q（dtn，dzn）。形式上，我们表示LT，q，0：=R，I（f）：=f表示f∈ R

在此设置下，任何F∈ L（P）具有唯一的表示F=∑∞n=0英寸（fn），带功能fn∈ 在n对（ti，zi）中对称的LT，q，nth，1≤ 我≤ n、 我们有=∑∞n=0n！k fnkLT，q，n。现在，我们定义了一个Malliavin导数算子Das如下：定义2.6 1。设D1,2denote随机变量集F∈ L（P）带F=∑∞n=0英寸（fn）满足∑∞n=1nn！k fnkLT，q，n<∞.2、对于任何F∈ D1,2，DF：[0，T]×R×Ohm → R由DT、zF定义=∞∑n=1nIn-1（fn（（t，z），·））表示q-a.e.（t，z）∈ [0，T]×R，P-a.s.Let H∈ L（P）是一个随机变量，表示对冲索赔的收益。除假设2.1外，我们还假设如下：假设2.7 1。ZTH公司∈ L（P）。2、H∈ D1、2和ZTDt、zH+HDt、zZT+zDt、zH·Dt、zZT∈ L（q×P）。请注意，假设2.7对H没有限制。事实上，许多典型的权利要求在第3.2小节所述的温和条件下满足假设2.7。在假设2.1和2.7下，【4】的示例3.9意味着H被描述为ash=EP*[H] +ZTItdWP*t+ZTZRJt，zeNP*（dt，dz），（2.6），其中：=EP*[Dt，0H | Ft-], 和Jt，z：=EP*[zDt，zH | Ft-] 对于t∈ [0，T]和Z∈ R、 现在，为了以后使用，我们另外表示Kt：=RRJt，zγt，zν（dz）和ht：=EP*[高|英尺]=EP*[H] +ZtIudWP*u+ZtZRJu，zeNP*（du，dz）用于t∈ [0，T]。3主要结果在本节中，我们得出了针对aclaim H的MVH策略的闭合表达式∈ L（P）在Malliavin导数方面。如引言所述，H的MVH策略定义为一对（ecH，eθH）∈ R×Θwhichminimizesminc∈R、 θ∈ΘEh（H- c- GT（θ））i。

（3.1）第3.1小节给出了以下定理，第3.2小节将介绍一些示例。定理3.1在假设2.1和2.7下，MVH策略（ecH，eθH）∈ R×Θ索赔H∈ L（P）以闭合形式表示，asecH=EP*[H] andeθHt=eξHt+λtEt-Zt公司-dHu-eξHudSuEu+Zt-αuβu（ΓuIu- βuKu）欧盟-（βu+Γu）du（3.2）对于t∈ [0，T]，其中Et：=eZt/eZ=Et(-R·λudSu）和ξHt：=βtIt+KtSt-（βt+Γt）。（3.3）备注3.2如【4】所示，（3.3）中定义的eξHde代表权利要求H的LRM策略，即，对于每个t∈ [0，T]，eξh给出了T时LRM策略中风险资产的份额。备注3.3 Benth等人[5]在假设S是鞅的情况下，使用Malliavin演算forL’evy过程处理MVH策略。这一假设非常有限，简化了问题。例3.4（指数L'evy模型）作为S的一个典型和简单的模型框架，我们考虑指数L'evy模型，即，log（St/S）是表示为log（St）的L'evy过程的情况- 对数=ut+σWt+ZRzeN（[0，t]，dz）表示t∈ [0，T]，其中u∈ R、 σ≥ 在假设2.1下，S是以下随机微分方程的解：dSt=St-uSdt+σdWt+ZR（ez- 1） eN（dt，dz）,式中，uS=u+σ+RR（ez- 1.- z） ν（dz）。另外假设假设2.7，根据定理3.1eθHt=eξHt+u集-苏-（σ+Γ）Zt公司-dHu-eξHudSuEu+Zt-uSσ（ΓIu- σKu）Eu-（σ+Γ）du,（3.4）式中，Γ：=RR（ez- 1） ν（dz）。如【4】所示，条件Zrnz+（ez- 1） oν（dz）<∞第3.2小节中引入的期权的担保假设2.7。此外，[3]还介绍了一种数值方法来计算H是全部期权的情况下的Kt，Htandeξht。3.1定理3.1的证明步骤1：[1]对于更一般的间断半鞅模型，得到了与[11]类似的反馈形式表示。在[1]中，他定义了一种新的H分解，它不同于FS分解。