对数正态分式SABR模型的概率密度

我们进一步离散了分数布朗运动的自方差asR（ti，tj）=E布提布提=Zti公司∧tjKH（ti，s）KH（tj，s）ds≈我∧jXk=0KH（ti，tk）KH（tj，tk）t=KKt、 其中K表示上三角矩阵xkij=KH（ti，tj），如果i≥ j0，否则。因此，R-1个=tK公司-1（K）-1、设b=（bt，····btn）为线性系统ην=Kb的解t、 对数正态FSABR 21的概率密度如下：2νηR-1η=tbKR公司-1Kbt=bbt=nXk=1btkt型-→ZTbtdt组件n→ ∞.也在限制范围内，如n→ ∞, 我们得到ηt=νRtKH（t，s）BSD。另一方面，对于（5.3）右侧的第一个术语，我们有log EnYk=1p2πy′ρvtke公司-2y′ρ可视化工具包xtk公司-yρRtktk-1eνBHsdBs+y可视化工具包νBH=η≈nXk=1E-2y′ρ可视化工具包xtk公司- yρZtktk-1eνBHsdBs！νBH=η.注意，在νBH=η的条件下，我们有vtk=Ztktk-1e2νBHsds≈ e2ηtk-1.t=e2νPk-1j=0KH（tk-1，tj）btjt型助教以及xtk公司- yρZtktk-1eνBHsdBs≈ xtk公司- yρeηtk-1btk公司-1.t型=xtk公司t型- yρeνPk-1j=0KH（tk-1，tj）btjtbtk公司-1.t、 因此，（5.3）中的第一项limitnXk=1E-2y′ρ可视化工具包xtk公司- yρZtktk-1eνBHsdBs！νBH=η≈ -nXk=02y？ρe2νPk-1j=0KH（tk-1，tj）btjt型xtk公司t型- yρeνPk-1j=0KH（tk-1，tj）btjtbtk公司-1.t型-→ -中兴通讯？ρe2νRtKH（t，s）bsds˙xt- yρeνRtKH（t，s）bsdsbtdtas编号→ ∞.22 AKAHORI JIRO、SONG XIAOMING和TAI-HO Wang将这两个极限放在一起，我们启发式地得到了T≈ 0即-对数P[Xt=Xt，Yt=Yt，对于t∈ [0，T]]≈中兴通讯？ρe2νRtKH（t，s）bsds˙xt- yρeνRtKH（t，s）bsdsbtdt+ZTbtdt=ZT？ρyt（˙xt- ρytbt）dt+ZTbtdt=ZT？ρ˙xtyt- ρbtdt+ZTbtdt，（5.4），其中b∈ L[0，T]满足积分方程log yt- 对数y=νZtKH（t，s）bsdsfor all t∈ [0，T]。我们注意到，（5.4）应作为（Xt，Yt）的样本路径小时间大偏差原则的速率函数。

此外，可以将fSABR平面中从起点（x，y）到终点（xT，yT）的“测地线”定义为路径（x*t、 y型*t） 将函数（5.4）最小化，即（x*t、 y型*t） ：=argmint7→（xt，yt）ZT′ρ˙xtyt- ρbtdt+ZTbtdt，其中bt再次通过求解积分方程log yt确定- 对数y=νZtKH（t，s）BSD。（5.5）此外，极小值可以视为连接（x，y）和（xT，yT）的“测地线”。备注5.1。请注意，btis确实由逆运算符K确定-1快乐的托洛基。特别是，当H=时，该逆算子将退化为通常的导数。因此，当H=时，bt=滴滴涕logyty公司=˙年初至今。函数（5.4）变为\'ρ˙xtyt- ρbtdt+ZTbtdt=ZT′ρ˙xtyt- ρ˙ytytdt+ZT˙ytytdt=ZT？ρyt˙xt- 2ρ˙xt˙yt+˙ytdt。最后一个表达式是与黎曼度量ds=(R)ρy（dx）相关的能量泛函（直到常数因子-2ρdxdy+dy）。与对数正态FSABR 23概率密度相关的扩散过程该黎曼度量由SDEsdXt=YtdWt，dYt=YtdZt控制，其中WT和ZT将布朗运动与常数相关ρ相关联，直到线性变换，这是庞加莱空间的上平面模型。换言之，h=，泛函（5.4）恢复经典Poincar'e空间的能量泛函，该空间与SABR平面等距。最后，借助于样本路径大偏差原理（5.4），通过应用拉普拉斯渐近公式，几乎可以得出这样一个普遍的结论，即短时间内缺钱通话的对数溢价的渐近为→ 0-对数C（k，t）≈ -日志P[文本≥ k]≈ZT′ρ˙x*泰*t型- ρb*t型dt+ZTb*tdt，其中（x*t、 y型*t、 b类*t） 表示使受约束x约束的函数（5.4）最小化的最佳路径*t=k和y*t、 b类*t求解积分方程（5.5）。因此，通过应用（4.2），很容易获得小时间内隐含波动率的近似值。

我们在以下命题中总结了结果，其中H=，恢复了SABR公式（1.3）。然而，对于H 6=，与（4.3）相比，（5.6）的数值实现更为复杂，因为与一维优化问题相反，它需要解决二维约束变分问题。提案5.1。（fSABR公式）设k=对数堪萨斯州做个有钱人。小时间内的隐含波动率σBS（k，t）具有渐近性σBS≈千吨级ZT公司(R)ρy*t（˙x*t型- ρy*tb*t） +b级*t型dt公司-1，（5.6）其中（x*t、 b类*) 是变分问题（x）的最小值*, b*) = argmin˙x，b∈ L[0，T]：ZTρyt（˙xt- ρytbt）+btdt公司xT=k和y*tsatisfyinglog y*t型- 对数y=νZtKH（t，s）b*sdsfor t∈ [0，T]。注意，（5.6）恢复了SABR公式（1.3），H=。24赤浩次郎、宋晓明和王大浩6。结论与讨论本文给出了一般ρ的对数正态分数阶SABR模型在Fourier空间中的桥表示和联合概率的小时间渐近性∈(-1，1）。联合密度的渐近性的一个应用是小时间内隐含波动率的近似。由于方法的不同性质，当赫斯特指数H等于一半时，新获得的小时间内隐含波动率近似值无法恢复隐含波动率的公认的ABR公式（零阶）。为了恢复SABR公式，我们提出了对数正态分数SABR模型的样本路径大偏差原理的启发式推导方法，该方法通过多周期联合密度引导。我们再次强调，同样的技巧也适用于一般的分数SABR模型，即在基础资产的过程中包含局部波动性成分。我们将在未来的工作中对分数SABR模型的样本路径大偏差原理进行严格的证明。

最后，桥表示法也适用于波动过程受指数分数Ornstein-Uhlenbeck过程控制的情况，因为分数Ornstein-Uhlenbeck过程也是高斯过程。然而，随着到期时间接近于零，均值反转部分在大偏差制度中并没有真正发挥作用。致谢我们非常感谢与以下会议的与会者进行了有益的讨论：英国爱丁堡国际数学科学中心的量化金融前沿会议和德国奥伯沃尔法赫（Oberwolfach）Chungsinstituteoberwolfach数学研究所的量化金融数学会议。JA得到了JSPS KAKENHI赠款编号23330109、24340022、23654056和25285102以及REVE-318984项目（FP7Marie Curie IRSES）的支持。THW部分得到了中国自然科学基金会拨款116018.7的支持。附录-技术证明在附录中，我们对（3.1）的渐近展开式进行了详细的误差分析，并提供了一个版本的拉普拉斯渐近公式，该公式很容易适用于我们的情况。对数正态FSABR 257.1的概率密度。错误分析。让C∞（R） 是在R上定义的平滑函数空间，具有紧凑的支持。对于给定的f∈ C∞（R） ，回顾η=ln（y/y），从（2.6）我们得到了e[f（Xt，Yt）]=ZZf（x，y）p（t；x，y）dx dy=2πZZZf（x，y）e-η2νt2Hy√2πνt2Hei（x-x） ξEην“ei-ρRtyeνBHsdBs+yvtξe-ρyvtξ#dξdxdy=2πZZe-ixξ^f（ξ，y）e-η2νt2Hy√2πνt2HEην“ei-ρRtyeνBHsdBs+yvtξe-ρyvtξ#dydξ=2πZe-ixξE“^f（ξ，Yt）ei-ρRtyeνBHsdBs+yvtξe-ρyvtξ#dξ，（7.1），其中^f（ξ，y）=Zeiξxf（x，y）dx是f相对于x的傅里叶变换。注意，（3.1）的右侧等于（3.2）的右侧。

我们将（7.1）与（3.1）中使用近似节理密度得到的以下表达式进行比较，得到2πZZZf（x，y）e-η2νt2Hy√2πνt2H×ei（x-x） ξe-（(R)ρξ）-i） ξRtye2νmsdsEηνhe-iρξRtyeνmsdBsidξdxdy=2πZZe-ixξ^f（ξ，y）e-η2νt2Hy√2πνt2H×Eην“ei-ρRtyeνmsdBs+yRte2νmsdsξe-ρyξRte2νmsds#dξdxdy=2πZe-ixξE“^f（ξ，Yt）ei-ρRtyeνmsdBs+yRte2νmsdsξe-ρyξRte2νmsds#dξ。（7.2）对于简化，表示λ（t）=ei-ρRtyeνBHsdBs+yvtξe-ρyvtξ和λ（t）=ei-ρRtyeνmsdBs+yRte2νmsdsξe-ρyξRte2νmsds。则（7.1）和（7.2）之间的差值模量等于2πZe-ixξEh^f（ξ，Yt）（λ（t）- λ（t））idξ. （7.3）26 AKAHORI，SONG XIAOMING和TAI-HO Wang目标是证明（7.3）以tas t的顺序收敛到零→ 0，对于everyf∈ C∞（R） 。通过应用以下不等式，对于任何z，w∈ C、 | ez- ew |≤e<（z）+e<（w）|z- w |，其中<（z）表示z的实部，我们有|λ（t）- λ（t）|≤e-ρyvtξ+e-ρyξRte2νmsds×我-ρZtyeνBHsdBs+yvtξ-ρyvtξ-我-ρZtyeνmsdBs+yZte2νmsdsξ+？ρyξZte2νmsds≤ 2 | Rt+iIt |（7.4）自e起-ρyvtξ+e-ρyξRte2νmsds≤ 2对于所有t和ξ。

显然，这是byRt给的=-vt+Zte2νmsdsρyξ，It=-ρZtyeνBHsdBs+yvt+ρZtyeνmsdBs-yZte2νmsdsξ。在下文中，K表示一个通用常数，其值可能在不同的上下文中有所不同。然后，通过（7.3），（7.4）和H¨older不等式，我们得到2πZe-ixξEh^f（ξ，Yt）（λ（t）- λ（t））idξ≤ 2ZEh |^f（ξ，Yt）| Rt+iIt | idξ≤ 2.EZ |^f（ξ，Yt）|（1-)pdξpZEh |^f（ξ，Yt）|q | Rt+iIt | qidξq≤ KEZ |^f（ξ，Yt）|（1-)pdξpZEh |^f（ξ，Yt）|q（| Rt | q+| It | q）idξq、 （7.5）对于一些 ∈ （0，1）和p+q=1，p，q>0。自f起∈ C∞（R） ，很容易显示^f的以下性质：（i）对于任何R≥ 0，sup（ξ，y）∈Rξr^f（ξ，y）< ∞;（ii）对于任何r≥ 0和p>0，Z |ξ| rsupy∈R |^f（ξ，y）| pdξ<∞.请注意，属性（ii）可以通过属性（i）轻松获得。对数正态FSABR 27的概率密度通过上述性质（ii），我们可以表明LIM支持→0+EZ |^f（ξ，Yt）|（1-)pdξ<∞. （7.6）我们分别计算（7.5）中的第二项，如下所示。通过改变变量，我们得到zeh |^f（ξ，Yt）|q | Rt | qidξ≤ K′ρ2qy2qZE|^f（ξ，Yt）|qvqt+Zte2νmsdsqξ2qdξ=K'ρ2qy2qtqZE|^f（ξ，Yt）|qZe2νBHtuduq+Zte2R（1，u）ηduqξ2qdξ=K'ρ2qy2qtq（L+L），（7.7），其中L：=Zξ2qE|^f（ξ，Yt）|qZe2νBHtuduqdξ，L：=Zξ2qE|^f（ξ，Yt）|qZe2R（1，u）ηduqdξ。根据^f的性质（ii），很容易看出→0+1≤Ze2R（1，u）ηduqZξ2qEh |^f（ξ，Yt）|qidξ<∞. （7.8）对于L，通过Jensen不等式和H¨older不等式，我们得到了L≤Zξ2qE|^f（ξ，Yt）|qZe2qνBHtududξ≤Zξ2qnEh |^f（ξ，Yt）|qpiop公司EZe2qνBHtuduqqdξ≤Zξ2qnEh |^f（ξ，Yt）|qpiop公司ZEhe2qqνBHtuiduqdξ=Zξ2qnEh |^f（ξ，Yt）|qpiop公司Ze2（qqν）（tu）2Hduqdξ。其中p+q=1，p，q>0。因此，再次使用属性（ii），我们可以很容易地显示LIM supt→0+1≤ lim支持→0+Zξ2qnEh |^f（ξ，Yt）|QpipodξZe2（qqν）（u）2Hduq<∞.

（7.9）因此，它意味着从（7.7）-（7.9）thatZEh |^f（ξ，Yt）|q | Rt | qidξ=O（tq），（7.10）对于任何q>1，作为t→ 0+。28 AKAHORI，SONG XIAOMING和TAI-HO Wang同样，我们可以写出|^f（ξ，Yt）|q | It | qidξ≤ KZ |ξ| qEh | f（ξ，Yt）|q×ρZtyeνBHsdBsq+yvt公司q+ρZtyeνmsdBsq+yZte2νmsdsqdξ=K（J+J+J+J），其中J：=|ρ| qZ |ξ| qE|^f（ξ，Yt）|qZtyeνBHsdBsqdξ，J：=Z |ξ| qE|^f（ξ，Yt）|qyvt公司qdξ，J：=Z |ξ| qE|^f（ξ，Yt）|qρZtyeνmsdBsqdξ，J：=Z |ξ| qE|^f（ξ，Yt）|qyZte2νmsdsqdξ。我们通过JS分别估算如下：J： 通过H¨older不等式、BurkholderDavis-Gundy不等式、Jensen不等式和变量变化，选择p>0，使Qq>1，我们注意到J≤ |ρ| qyqZ |ξ| qnEh | f（ξ，Yt）|qpiop公司E中兴通讯νBHsdBsqqqdξ≤ |ρ| qyqZ |ξ| qnEh | f（ξ，Yt）|qpiop（E）Zte2νBHsdsqq#）qdξ=|ρ| qyqtqZ |ξ| qnEh | f（ξ，Yt）|qpiop（E）Ze2νBHtuduqq#）qdξ≤ |ρ| qyqtqZ |ξ| qnEh | f（ξ，Yt）|qpiop公司ZEheqqνBHtuiduqdξ=|ρ| qyqtqZ |ξ| qnEh | f（ξ，Yt）|qpiop公司Ze（qqν）（tu）2Hduqdξ。按属性（ii）我们有有限的支持→0+Z |ξ| qnEh | f（ξ，Yt）|qpiop公司Ze（qqν）（tu）2Hduqdξ≤ lim支持→0+Zξ2qnEh |^f（ξ，Yt）|QpipodξZe2（qqν）（u）2Hduq<∞.对数正态FSABR 29的概率密度因此，我们可以看到J=O（tq）作为t→ 0+。oJand J：Jand Jis的渐近行为与tqL的渐近行为相同，因此，J，J=O（tq）作为t→ 0+。oJ： 通过对J使用相同的技术，我们得到了J≤ |ρ| qyqtqZ |ξ| qnEh | f（ξ，Yt）|qpiop（E）Ze2R（1，u）ηduqq#）qdξ和J=O（tq）作为t→ 0+。因此，将Ji的所有估计加在一起，我们得到Zeh |^f（ξ，Yt）|q | It | qidξ=O（tq），（7.11）对于任何q>1，作为t→ 0+。因此，从（7.5）、（7.6）、（7.10）和（7.11）可以看出2πZe-ixξEh^f（ξ，Yt）（λ（t）- λ（t））idξ= O（t），即，（7.3）按照tas t的顺序收敛到零→ 0，每f∈ C∞（R） 。7.2。拉普拉斯渐近公式。

我们证明了以下形式的拉普拉斯渐近公式，该公式用于推导出钱通知价格的小时间渐近。引理7.1。（拉普拉斯渐近公式）设C是R中的闭凸集，具有非空光滑边界C、 假设θ（t，x）：=θ（x）+tαθ（x）+t2αθ（x），0≤ 2α<1，在x中具有连续的二阶偏导数∈ C、 并且，对于每一个非常小的t，函数θ（t，x）在C中是局部凸的，并且在x处唯一地达到其最小值*（t）∈ C、 此外，还有> 0使任何0< < , 存在tandδ>0，其中θ（t，x）≥ θ（t，x*（t） ）+δ，（t，x）∈ [0，t]×（C\\B（十）*（t） ）），其中B（十）*（t） ）={x：| x- x个*（t） |<} 是半径的开放球 以x为中心*（t） 。假设f在C中有连续的二阶偏导数，在C上是可积的（即RC | f（x）| dx<∞) f在C和边界上完全消失C但f在x处的内向法向导数*（t） 为非零。30 AKAHORI，SONG XIAOMING和TAI-HO Wang然后，我们得到了渐近展开式，作为t→ 0+，ZCe-θ（x，t）tf（x）dx=√2πte-θ（t，x*（t） ）tptanθ（t，x*（t） （）|θ（t，x*（t） （）|f（x*（t） ）·θ（t，x*（t） （）|θ（t，x*（t） （）|+tanf（x*（t） （）tanθ（t，x*（t） ）+o（1）,（7.12）其中tanf（x*) 和tanθ（t，x*) 是f和θ在x处与C的切向上的二阶导数*.证据对于任何0< < , 我们将（7.12）左侧的积分分成两部分asZCe-θ（t，x）tf（x）dx=ZCTB（十）*（t） ）e-θ（t，x）tf（x）dx+ZC\\B（十）*（t） ）e-θ（t，x）tf（x）dx。（7.13）我们分别处理（7.13）右侧的两个术语。对于第一项，由于积分区域仅限于小球B的子集（十）*（t） ，它可以通过y=（y，y）进行参数化，以便在y坐标中，集合{y:y=0}对应于C和向量{yy} 围绕x形成局部正交框架*（t） 。

为简单起见，我们进一步假设在y坐标中*（t） 位于原点。注意，在中，它们坐标向量Yi平行于θ（x*（t） ）以及x处的向内法向量*（t） 。我们将使用重复指数在各自范围内求和的惯例。用子指数表示偏导数，对于y∈ B（十）*（t） ）θ（t，y）=θ（t，0）+θ（t，0）y+θij（t，0）yiyj+o（| y |），f（y）=fi（0）yi+fij（0）yiyj+o（| y |），因为θ（0）=0在边界点x处达到其最小值*（t） 。因此，在y坐标中，（7.13）readsZCTB右侧的第一个积分（十）*（t） ）e-θ（t，x）tf（x）dx≈ZZ-e-t（θ（t，0）+θ（t，0）y+θij（t，0）yiyj）fi（0）yi+fij（0）yiyj戴迪。（7.14）现在，通过变量=√tz，y=tz，对数正态FSABR的概率密度31我们可以在（7.14）ase的右侧写出上述积分-θ（t，0）ttZtZ公司√t型-√te公司-（θ（t，0）z+θ（t，0）（z）+θ（t，0）zz√t+θ（t，0）（z）t）×f（0）z√t+f（0）zt+f（0）（z）t+f（0）zzt+f（0）（z）tdzdz。（7.15）注意，对于任何实数a，a、 利用支配收敛定理，我们得到了极限→0ZtZ公司√t型-√te公司-（θ（t，0）z+θ（t，0）（z）+θ（t，0）zz√t+θ（t，0）（z）t）×az+az+a（z）+a（z）+azzdzdz=Z∞Z∞-∞e-（θ（0,0）z+θ（0,0）（z））×az+az+a（z）+a（z）+azzdzdz∈ (-∞, ∞).因此，（7.15）中的数量等于-θ（t，0）tt（ZtZ公司√t型-√te公司-（θ（t，0）z+θ（t，0）（z））×f（0）z√t+f（0）zt+f（0）（z）tdzdz+Ot型= e-θ（t，0）tth√t·I+t·II+t·III+Ot型i、 （7.16）式中i=ZtZ公司√t型-√te公司-（θ（t，0）z+θ（t，0）（z））f（0）zdzdz，II=ztZ公司√t型-√te公司-（θ（t，0）z+θ（t，0）（z））f（0）zdzdz，III=ztZ公司√t型-√te公司-（θ（t，0）z+θ（t，0）（z））f（0）（z）dzdz。作为t→ 0+，我们分别计算每个积分，如下所示。对于I，由于zi中的函数是奇数函数，且zi的积分区间关于原点对称，因此我们得到I=f（0）Zte公司-θ（t，0）zdz×Z√t型-√te公司-（θ（t，0）（z））zdz=0。

（7.17）32 AKAHORI，SONG XIAOMING和TAI-HO WANGFor II和III，注意θ（t，0）>0和θ（t，0）>0，因此，我们得到了II=f（0）Zte公司-θ（t，0）zzdz×Z√t型-√te公司-（θ（t，0）（z））dz≈ f（0）Z∞e-θ（t，0）zzdz×Z∞-∞e-θ（t，0）（z）dz=f（0）θ（t，0）×s2πθ（t，0），（7.18）andii=f（0）zte公司-θ（t，0）zdz×Z√t型-√te公司-（θ（t，0）（z））（z）dz≈f（0）Z∞e-θ（t，0）zdz×Z∞-∞e-θ（t，0）（z）（z）dz=f（0）2θ（t，0）×s2πθ（t，0）。（7.19）因此，从（7.14）-（7.19）可以看出，在y坐标中，ZCTB（十）*（t） ）e-θ（t，x）tf（x）dx≈ e-θ（t，0）tts2πθ（t，0）f（0）θ（t，0）+f（0）2θ（t，0）θ（t，0）+o（1）.（7.20）对于（7.13）右侧的第二项，我们得到ZC\\B（十）*)e-θ（t，x）tf（x）dx≤ZC\\B（十）*)e-θ（t，x*)+δt | f（x）| dx≤ e-δte-θ（t，x*)tZC | f（x）| dx。（7.21）因此，第二项是指数小的（速率δ），如t→ 0+与第一项得到的膨胀（7.12）相比，因此它对渐近膨胀没有贡献。最后，通过（7.13）、（7.20）和（7.21），我们通过在x坐标中重写（7.20）右侧的表达式，得到拉普拉斯展开式（7.12）。参考文献[1]Baillie，R.T.，Bollerslev，T.，和Mikkelsen，H.O.，分数积分广义自回归条件异方差，计量经济学杂志，74，pp.3-301996。[2] Cheng，X.和Wang，T.-H.，双曲空间中热核的贝塞尔桥表示，预印本，ArXiv，2016年。[3] Comte，F.和Renault，E.，《连续时间随机波动率模型中的长记忆》，数学金融，8（4），第291-3231998页。[4] Comte，F.、Coutin，L.和Renault，E.，《金融年鉴》，第8期，第337–3782012页。[5] Decreusefond，L.和–Ust–unel，A.S.《分数布朗运动的随机分析》。潜在分析。，10（2），第177–214页，1999年。对数正态FSABR的概率密度33[6]Ekstrom，E。