对数正态分式SABR模型的概率密度

然后，根据[16]中的第2.2节和第5.2节，Xt和Yt的Malliavin导数如下所示：DθYt=0，DθYt=yνeνBHtKH（t，θ）1[0，t]（θ）和DθXt=°ρyθ[0，t]（θ）=ρye BHθ[0，t]（θ），DθXt=ρYθ+ZtθρDθYsdBs+Ztθ′ρDθYsdWs-ZtθYsDθYsds[0，t]（θ）=ρyeνBHθ+ρyνZtθeνBHsKH（s，θ）dBs+(R)ρyνZtθeνBHsKH（s，θ）dWs[0，t]（θ）-yνZtθe2νBHsKH（s，θ）ds 1[0，t]（θ）。8 AKAHORI JIRO，SONG XIAOMING AND TAI-HO Wanghus，（Xt，Yt）的Malliavin矩阵γ由γ给出=γγγ,式中，γ=Zt（DθXt）Dθ+Zt（DθXt）Dθ=Zt？ρye2νBHθDθ+ZtρyeνBHθ+ρyνZtθeνBHsKH（s，θ）dBs+(R)ρyνZtθeνBHsKH（s，θ）dWs- yνZtθe2νBHsKH（s，θ）dsdθ，γ=γ=ZtDθXtDθYtdθ+ZtDθXtDθYtdθ=yνeνBHtZtKH（t，θ）ρyeνBHθ+ρyνZtθeνBHsKH（s，θ）dBs+(R)ρyνZtθeνBHsKH（s，θ）dWs- yνZtθe2νBHsKH（s，θ）dsdθ，γ=Zt（dθYt）dθ+Zt（dθYt）dθ=yνe2νBHtZtKH（t，θ）dθ。然后，根据Cauchy-Schwarz不等式，几乎可以肯定γ<yνe2νbhtzkh（t，θ）dθ×ZtρyeνBHθ+ρyνZtθeνBHsKH（s，θ）dBs+(R)ρyνZtθeνBHsKH（s，θ）dWs- yνZtθe2νBHsKH（s，θ）dsdθ≤ γ·γ，这意味着Malliavin矩阵γ是可逆的a.s。。因此，通过引理2.1，（Xt，Yt）的lawof对于R上的Lebesgue测度是绝对连续的。接下来，我们计算（Xt，Yt）的联合概率密度p（t；x，y），如下所示。对于R上定义的任意有界连续函数f，我们有E[f（Xt，Yt）]=Efx+yZteνBHs（ρdBs+(R)ρdWs）-yvt，yeνBHt. （2.7）对数正态FSABR的概率密度9注意，在FBt的条件下，由于W和BHareindependent，y′ρRteνBhsdws是正态分布的。

此外，Ey′ρZteνBHsdWsFBt公司= 0，E“y′ρZteνBHsdWsFBt#=y'ρZte2νBHsds=y'ρvt。从（2.7）开始，它后面是fbthate上的条件[f（Xt，Yt）]=EEfx+y？ρZteνBHsdWs+yρZteνBHsdBs-yvt，yeνBHtFBt公司= EZfx+ξ+yρZteνBHsdBs-yvt，yeνBHte-ξ2y′ρvtp2πy′ρvtdξ= EZp2πy′ρvtfx、 yeνBHt公司e-x个-x个-yρRteνBHsdBs+yvt！2y？ρvtdx公司=ZRf（x，y）Ep2πy′ρvte-x个-x个-yρRteνBHsdBs+yvt！2y？ρvtBHt=ln（年/年）ν×y√2πνt2He-（年）-ln y）2νt2Hdx dy.（2.8），使用标识-u2y′ρvt=ry′ρvt2πZReiuξe-y′ρvtξdξ，让u=x- x个- ρyRteνBHsdBs+yvt，我们有p2πy′ρvte-2y？ρvtx个-x个-yρRteνBHsdBs+yvt=2πZeix个-x个-ρyRteνBHsdBs+yvtξe-y′ρvtξdξ。（2.9）将（2.9）插入（2.8）的右侧，我们得到[f（Xt，Yt）]=y√2πνt2H2πZRf（x，y）e-（ln（y/y））2νt2H×ZRE“eix个-x个-ρyRteνBHsdBs+yvtξe-y′ρvtξBHt=ln（y/y）ν#dξdx dy.10 AKAHORI，SONG XIAOMING AND TAI-HO Wang最后，我们得到了密度的以下桥梁表示（2.6）。通过转换回原始变量（s，a）=（ex，y），我们得到了（2.3）中（St，αt）的节理密度q（t；s，a）的桥表示。推论2.1。对数正态分数SABR模型（2.3）的节理密度q（t；s，a）具有以下桥梁表示q（t；s，a）=e-（ln（a/a））2νt2Ha√2πνt2H2πs（2.10）×ZR不锈钢iξE“ei-ρRtaeνBHsdBs+avtξe-ρavtξBHt=ln（a/a）ν#dξ。3、围绕确定性路径展开为了获得更多的直觉，尤其是更实用的形式，用于获得隐含波动率的近似值，本节致力于围绕正确选择的确定性路径导出桥表示（2.6）的最低阶展开式。

在推导第4节中隐含波动率的小时间近似值时，该扩展将显示出有用性。回想一下，（Xt，Yt）的节理密度p具有（2.6）asp（t；x，y）=y中给出的表示形式√2πνt2He-（ln（y/y））2νt2H×2πZRE“eix个-x个-ρyRteνBHsdBs+yvtξe-ρyvtξBHt=ln（y/y）ν#dξ。让我们从以下几个简单的计算开始。我们围绕确定性路径ms展开上述条件期望，对于0≤ s≤ t、 这是由BHS的条件期望决定的，其终点BHt=ln（y/y）ν。准确地说，ms：=E行李处理系统BHt=ln（年/年）ν= R1，stln（y/y）ν，对数正态FSABR 11的概率密度，其中R在（2.2）中定义。根据泰勒展开式，我们得到，对于n≥ 0，e-iρξRtyeνBHsdBse-（(R)ρξ）-i） ξRtye2νBHsds≈ e-iρξRtyeνmsdBse-（(R)ρξ）-i） ξRtye2νmsds×nXk，`=0(-iρξ）kk！中兴通讯eνBHs- eνms星展银行k×`！-（(R)ρξ）- i） ξZtye2ν行李处理系统- e2νmsds公司`.因此，即使要获得一个naive展开式，我们也需要一种系统的方法来计算形式的条件期望，对于k≥ 1或`≥ 1，E“E-iρξRtyeνmsdBsZt公司eνBHs- eνms星展银行kZt公司e2ν行李处理系统- e2νmsds公司`BHt=ln（y/y）ν#，如果不是不可能的话，这是相当复杂的。然而，就前导阶而言，节理密度p向最低阶（即k=`=0）的小时间扩展仍然是可控的。结果总结在以下定理中。在下面的续集中，为了简化符号，我们使用Eην[·]来表示E·|BHt=ην,其中η=ln（y/y）。函数g用g（t）=O（ta）表示为t→ 0+如果满足极限支持→0+| g（t）| ta<∞.定理3.1。满足（2.4）的过程（Xt，Yt）的联合概率密度p对最低阶p（t；x，y）（3.1）=2πy具有以下渐近性√νt2He-η2νt2Hyptψ（η）e-2yψ（η）x个-x个√t+y√tCeR（η）-ρyt-HCRK（η）ην1+O√t型,式中，crk（η）：=ZeR（1，u）ηνKH（1，u）du，CeR（η）：=Ze2R（1，u）ηνdu，ψ（η）：=CeR（η）- ρCRK（η）。证据

对于最低阶，p由p（t；x，y）=e给出-η2νt2Hy√2πνt2H2πZRei（x-x） ξe-（(R)ρξ）-i） ξRtye2νmsdsEηνhe-iρξRtyeνmsdBsidξ。（3.2）12 AKAHORI JIRO、SONG XIAOMING和TAI-HO Wang我们在上述表达式中考虑了条件期望。请注意，rteνmsdbs和bhtar共同为高斯分布。我们应用以下恒等式来评估条件期望：如果X和Y联合正态且平均值为0，我们可以分解X asX=cov（X，Y）V（Y）Y+sV（X）V（Y）- cov（X，Y）V（Y）Z，其中Y和Z是独立的，Z是标准法线。因此，E[f（X）| Y=Y]=E“fcov（X，Y）V（Y）Y+sV（X）V（Y）- cov（X，Y）V（Y）Z！#。在我们的例子中，X=RteνmsdBsand Y=BHt，henceV（X）=Zte2νmsds=tZe2R（1，u）ηdu=CeR（η）t，V（Y）=t2H，cov（X，Y）=ZteνmsKH（t，s）ds=tH+ZeR（1，u）ηKH（1，u）du=CRK（η）tH+。因此，Eηνhe-iρξRtyeνmsdBsi=e-iρξyt-HCRK（η）ηνEe-iρξyn√t型√CeR（η）-CRK（η）oZ= 经验值-iρξyt-HCRK（η）ην-ρξytCeR（η）- CRK（η）.因此，通过将上述表达式代入（3.2），我们得到p（t；x，y）=2πy√νt2He-η2νt2H×√2πZRei（x-x） ξe-（(R)ρξ）-i） ξtyCeR（η）e-iρξyt-HCRK（η）ην-ρξyt{CeR（η）-CRK（η）}dξ=2πy√νt2He-η2νt2H×√2πZReix个-x+ytCeR（η）-ρyt-HCRK（η）ηνξe-ξyt{CeR（η）-ρCRK（η）}dξ=2πy√νt2He-η2νt2Hyptψ（η）e-2yψ（η）x个-x个√t+y√tCeR（η）-ρyt-HCRK（η）ην. （3.3）我们将详细的误差分析推迟到附录第7.1节。对数正态FSABR的概率密度13备注3.1。我们注意到，在对数标度中，（3.1）可以用更简洁的形式表示为ln p（t；x，y）=-2t2Hην+yψ（η）x- xt公司-H+ytH+CeR（η）- ρyCRK（η）ην！+ O（ln t）。备注3.2。在ν=1，ρ=0，H=的情况下，我们有cer（η）=Ze2R（1，u）ηdu=Ze2uηdu=2η（e2η- 1） =y- y2ηy。然后（3.1）减小到2π×y√te公司-η2t×ypCeR（η）te-2yCeR（η）tx个-x+ytCeR（η）=2πy√te公司-η2typCeR（η）te-（十）-x） 2yCeR（η）te-x个-x（1+O（t））=2πte-2吨η+2η（x-x） y型-ye-x个-xyypCeR（η）（1+O（t））。

（3.4）注意，在这种情况下（Xt，Yt）表示双曲平面上的布朗运动，其跃迁密度pH（关于黎曼面积测度）的前导项为小时间渐近aspH（t；x，y）=2πte-d（x，y；x，y）2t（1+O（t）），其中d表示双曲面上（x，y）和（x，y）之间的测地距离。为了便于读者参考，测地距离d（x，y；x，y）的双曲余弦具有闭式表达式cosh d（x，y；x，y）=（x- x） +y+y2yy。因此，在某种意义上，（3.4）~d（x，y；x，y）中的以下函数：=sη+2ηy- y（x- x） 可以看作是双曲测地距离的近似值。双曲测地距离的完全恢复如下文第5节所示。4、期权价格和隐含波动率的小时间近似在本节中，我们通过应用第3节中获得的概率密度的小时间渐近，推导出看涨期权溢价及其相关隐含波动率的小时间渐近，当H≤. exmaple在Ekstrom和14 JIRO AKAHORI、SONG XIAOMING和TAI-HO WANGLu【6】中记录到，如果标的资产受指数L'evy模型控制，如果存在跳跃，并且基础过程朝着走向跳跃，则非ATM期权的诱导波动性可能会爆炸。正如我们将在下面看到的，当H<时，隐含波动率的smalltime近似值也会爆炸；在基础流程中创建跳跃式行为。设k=ln k为对数货币，t为到期时间，并回忆一下St=eXt。同样地，我们将主要使用（2.4）中的（Xt，Yt）过程，而不是（2.3）中的（St，αt）过程。

我们将调用的价格C写为k和t的函数asC（k，t）：=E（St- K）+= Eh（外部- ek）+i=ZZ（ex- ek）+p（t；x，y）dx dy。为了计算最后一个积分，我们通过定理3.1中获得的小时间渐近来近似关节密度p，然后，作为t→ 0+，将拉普拉斯渐近公式应用于所得积分。为方便读者，我们在第7.2节中提供了拉普拉斯不对称公式的一个变量，该公式是为我们自己的使用而定制的。引理4.1。让H≤. 对于缺钱看涨期权，即k>x，看涨价格C（k，t）的渐近式为t→ 0ln C（k，t）≈ -2t2H（η*ν+yψ（η*)k-xt公司-H- ρyCRK（η*)η*ν), （4.1）式中η*是最小η*= argmin（η∈ R：ην+yψ（η）k-xt公司-H- ρyCRK（η）ην).证据该证明是引理7.1中拉普拉斯渐近公式（7.12）的一个直接应用。设C={（x，η）：x≥ k} 兰德α=-H≥ 0、使用对数正态FSABR 15密度（3.1）的渐近概率密度，考虑c（k，t）=Z∞Z∞k（ex- ek）p（t；x，y）dxdy=2πZ∞Z∞kex公司- 埃克（y）√νt2He-η2νt2Hyptψ（η）×e-2ytψ（η）x个-x个-ρyCRK（η）ηνt-He-x个-x2ψ（η）CeR（η）1+O√t型)dxdy=2πνytH+ZZCex- ekpψ（η）！e-x个-x2ψ（η）CeR（η）×e-2吨ηνt2α+yψ（η）（x-x个-ρyCRK（η）ηνtα）1+O√t型dxdη。将拉普拉斯渐近公式（7.12）应用于最后一个表达式中的最低阶项，得到-ln C（k，t）≈2吨η*νt2α+yψ（η*)x个*- x个- ρyCRK（η*)η*νtα=2t2H（η*ν+yψ（η*)x个*- xtα- ρyCRK（η*)η*ν),其中，对于固定t，（x*, η*) 是函数（x）的最小值*, η*) = argmin（x，η）∈ C：ηνt2α+yψ（η）x个- x个- ρyCRK（η）ηνtα= argmin（（x，η）∈ C：ην+yψ（η）x个- xtα- ρyCRK（η）ην).由于目标函数在（x，η）中是连续的∈ 它是x中的二次函数，因此x*= k当t足够小时，因此η*= argmin（η：ην+yψ（η）k-xtα- ρyCRK（η）ην).备注4.1。

对于H>的情况，从渐近密度（3.1）来看，它意味着c（k，t）=Z∞Z∞k（ex- ek）p（t；x，y）dxdy=2πνytH+ZZCex- ekpψ（η）！e-2t2Hην+（x-x） tH公司-y√ψ（η）+yCeR（η）tH+√ψ（η）-ρCRK（η）η√ψ（η）ν！.当t足够小时，ην+（x）的最小值- x） tH公司-ypψ（η）+yCeR（η）tH+pψ（η）-ρCRK（η）ηpψ（η）ν！16 AKAHORI JIRO、SONG XIAOMING和Wangtai-HO未在C的边界处获得。因此，拉普拉斯渐近公式不能应用于这种情况。然而，当H>时，我们仍然可以表示最小点η的以下唯一性*在下面的备注中以图形方式显示。备注4.2。图1中的曲线图以图形方式显示了最小点η的唯一性*对于H=和H=。在这些特定示例中，轮廓在半平面x>k中是凸的，这对应于缺钱通话。对于无本金看跌期权，x<k，虽然轮廓不是凸的，但η的唯一性*维持。近似距离函数xη等值线图-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5近似距离H=0.75xη的角图-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5图1。等高线图。参数ρ=-0.7，ν=1，y=1，t=0.5。右侧H=0.75；H=0.25，在左侧。只要我们通过使用[8]或[17]σBS（k，t）=| k中隐含波动率的以下小时间渐近，为k>x的对数价格lnc（k，t）建立一个渐近式-x | p2t | ln C（k，t）|+Oln | ln C（k，t）|√t | ln C（k，t）| 3/2, （4.2）隐含波动率的渐近公式如下所示。我们在下面的定理中总结了结果，但省略了它的证明。定理4.1。让H≤设k=ln k是对数货币，α=- H

缺钱买入（k>x）的隐含波动率σBS（k，t）在短时间内具有以下渐近性σBS（k，t）=σBSktα≈（k）-x） t2α（η*ν+yψ（η*)k-xtα- ρyCRK（η*)η*ν)-1.（4.3）对数正态FSABR的概率密度17最小点η*在4.1中给出引理。备注4.3。请注意，（4.3）在H=时不恢复SABR公式。SABR公式的推导在很大程度上依赖于与庞加莱平面等距的基础SABR平面的几何和对称性。图2显示了两个公式在到期时间t=1时的比较。选择参数是为了重现【12】中的图形。在这组参数中，对数货币性k的两条近似隐含波动率曲线之间的最大差值约为1%∈ [-1，1]。-1-0.5 0.0 0.5 1.00.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26隐含波动性对数货币性σfSABR与H=0.5SABR公式的比较-1-0.5 0.0 0.5 1.00.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012隐含波动率之间的差异LogMoneynessABR- FSA图2。左边的曲线图显示了SABR公式（1.3）（红色）（4.3）（蓝色）产生的近似隐含波动性曲线与对数货币性曲线，以及到期时间t=1。参数设置为ρ=-0.06867，ν=0.5778，a=0.13927。右侧的曲线图显示了两条曲线之间的差异。我们在本节结束时指出，随着到期时间t接近于零，近似隐含波动率σBS（k，t）随H>而变化；而整个表面σBS（k，t）随着H<爆炸，除了货币期权k=x。

图3显示了（4.3）中给出的近似隐含波动率σ与到期时间t=0.01和t=1的对数moneynessk以及各种赫斯特指数H的曲线图。如图2所示，参数选择为a=0.13927、ν=0.5778和ρ=-0.06867。η的数值确定*’s是相对有效的，因为它基本上是一个一维优化问题。18赤浩次郎、宋晓明和王太和-1-0.5 0.0 0.5 1.00.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26fSABR隐含波动率，t=0.01logmoneynessσ-1-0.5 0.0 0.5 1.00.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26fSABR隐含波动率，t=1负债σH=0.1H=0.3H=0.5H=0.7H=0.9图3。左侧t=0.01，右侧t=1的隐含波动率曲线。参数设置为ρ=-0.06867，ν=0.5778，a=0.13927。H=0.1（红色），H=0.3（橙色），H=绿色，H=0.7（蓝色），H=0.9（紫色）。5、启发式大偏差原则在本节中，我们通过将桥表示引导到多周期，在小时间内对（Xt，Yt）的样本路径大偏差原则进行启发式推导。为了简化符号，我们引入以下向量符号。t=（t，··，tn），xt=（xt，··，xtn），yt=（yt，··，ytn），BHt=（BHt，··，BHtn），xt=（xt，··，xtn），yt=（yt，··，ytn），ξt=（ξt，··，ξtn），ηt=（ηt，··，ηtn），ζt=（ζt，··，ζtn）。定理5.1。（Xt，Yt）p（x，y，···，xn，yn）的多周期节理密度p：=p[（Xt，Yt）=（x，y），··，（Xtn，Ytn）=（xn，yn）]具有以下桥表示p（x，y，··，xn，yn）（5.1）=EnYk=1p2πy′ρvtke公司-2y′ρ可视化工具包xtk公司-yρRtktk-1eνBHsdBs+y可视化工具包νBHt=ηt×PhyeνBHt=yti，对数正态FSABR 19的概率密度，其中ηt=log yt- 对数y，xtk=xtk- xtk公司-1，和vtk=vtk- 可视化工具包-1对于k=1，···，n。回想一下vt=RteνBHsds。证据

对于任何有界可测函数f:Rn×Rn→ R、 考虑期望值zzf（xt，yt）p（xt，yt）dxtdyt=E[f（xt，yt）]=EEf（Xt，Yt）| FBtn.设ξti=RtieνBHsdWs，ζti=Rtieνbhsdbs，因此ξti=ξti- ξti-1=Rtiti-1eνBHsdWs，ζti=ζti- ζti-1=Rtiti-1eνBHsdBs。注意，以FBtn为条件，随机变量ξti是均值为0且方差为0的独立正态分布vti。我们计算条件期望如下。Ef（Xt，Yt）| FBtn= Efx+ρyζt-yvt+？ρyξt，yeνBHtFBtn公司=采埃孚x+ρyζt-yvt+？ρyξt，yeνBHtnYk=1p2πvtke公司-(ξtk）2vtkdξt.（5.2）通过应用变量sxtk=x+ρyζtk的变化-yvtk+(R)ρyξtk，因此ξtk=(R)ρyxtk公司- ζtk-y可视化工具包.积分（5.2）变为szfxt，yeνBHtnYk=1p2πvtke公司-(ξtk）2vtkdξt=Zfxt，yeνBHtnYk=1p2π'ρyvtke公司-2〃ρy可视化工具包xtk公司-ρyRtktk-1eνBHsdBs-y可视化工具包dxt=Zfxt，yeνBHtnYk=1p2π'ρyvtke公司-2〃ρy可视化工具包xtk公司-ρyRtktk-1eνBHsdBs-y可视化工具包dxt20 AKAHORI大郎、宋晓明和王大浩自dXT和dxt1。因此，ZZF（xt，yt）p（xt，yt）dxtdyt=EE[f（Xt，Yt）| FBt= E采埃孚xt，yeνBHtnYk=1p2π'ρyvtke公司-2〃ρy可视化工具包xtk公司-ρyRtktk-1eνBHsdBs-y可视化工具包dxt公司=ZZdxtdytf（xt，yt）×EnYk=1p2π'ρyvtke公司-2〃ρy可视化工具包xtk公司-ρyRtktk-1eνBHsdBs-y可视化工具包νBHt=ηt×PhyeνBHt=yti。这就完成了桥表示（5.1）的证明，因为f是任意的。为了在短时间内对（Xt，Yt）的样本路径大偏差原理进行启发式推导，我们取（5.1）两侧的对数，并得到log p（Xt，Yt，····，xtn，ytn）=log EnYk=1p2πy′ρvtke公司-2y′ρ可视化工具包xtk公司-yρRtktk-1eνBHsdBs+y可视化工具包νBHt=η+ 日志PνBHt=ηt-Xlog yti。（5.3）在下文中，我们忽略（5.3）右侧的最后一项，并直观地将极限计算为n→ ∞ 前两个任期。注意，对于前导顺序，我们有log PνBHt=ηt≈ -2νηR-1η，其中R=[R（ti，tj）]是BHt的协方差矩阵。