对数正态分式SABR模型的概率密度

和Lu，B.，指数L'evy模型中的短期隐含波动率，国际理论与应用金融杂志，18（4），2015年。[7] El Euch，O.和Rosenbaum，M.，《粗糙赫斯顿模型的特征函数》，预印本，2016年。[8] Gao，K.和Lee，R.，《隐含波动率对任意顺序的渐近性》，《金融与随机》，即将出版，2015年。[9] Gathereal，J.、Jaisson，T.和Rosenbaum，M.，《波动性是粗糙的》，预印本，2014年。[10] Granger，C.W.J.和Joyeux，R.，《长记忆时间序列模型和分馏差异介绍》，时间序列分析杂志，1，pp.15-391980。[11] Guennoun，H.、Jaquier，A.和Roome，P.，《分数Heston模型的渐近性》，预印本，2014年。[12] Hagan，P.、Kumar，D.、Lesniewski，A.和Woodward，D.，管理微笑风险，Wilmott杂志，2002年9月，第84–108页。[13] Hagan，P.、Lesniewski，A.和Woodward，D.，《随机波动性SABR模型中的概率分布》，《数学与统计斯普林格学报》，《金融学中的大偏差和渐近方法》，110，pp.1–352015。[14] Hu，Y.，高斯空间分析。《世界科学》，新加坡，2017年。[15] 池田，N.和Matsumoto，H.，《双曲面上的布朗运动和Selberg迹公式》，泛函分析杂志，163，pp.63–1001999。[16] Nualart，D.，Malliavin微积分和相关主题。第二版。斯普林格2006。[17] 罗珀，M。

和Rutkowski，M.，关于Black-Scholes隐含波动率接近到期的行为的说明，国际理论与应用金融杂志，12（4），第427-4412009页。日本三藩大学数学科学系东野1-1-1，久松，志贺，525-8577，日本邮箱：akahori@se.ritsumei.ac.jpXiaomingSongDepartment of MathematicsDrexel University 32 nd and Market Streets，Philadelphia，PA 19096电子邮件地址：song@math.drexel.eduTai-Ho Wang纽约城市大学巴鲁奇学院数学系纽约市Bernard Baruch路1号，邮编：NY10010；日本三藩大学数学科学系东芝1-1-1，邮编：525-8577，日本邮政地址：tai Ho。wang@baruch.cuny.edu