随机模型的经济不平等和流动性

我们强调，下面几行中讨论的唤醒是按顺序进行的。在每个步骤中，假设在每个时间tkwith k=0，1，2。。。，选择一个向量ξ，如果i=1。。。n是高斯随机数，范围为-1到1。这里，ξ在命题1中扮演η的角色。命题1的向量x=（x，…，xn）在过程开始时给出，即在时间t，由“确定性”系统（1）的平稳分布xeq（长期达到）给出，而在随后的步骤中，即在时间tkw，k=1，2。。。，根据下面描述的标准，它由系统（5）或系统（1）的解x（tk）给出。有两种可能性：对于所有i=1，要么xi>0。。。n或至少存在索引i*xi随机模型的经济不等式和迁移率*消失。*算法中的控制循环检查这两种可能性中的哪一种是真的。因此，要应用的程序如下。（i） 如果所有i=1的时间tkit为xi>0。。。n、 有人计算Ohm 根据公式s（16）和（17），然后定义，应用公式（18），该值为Ohm, “中间”向量η。然后，一个应用于η变换（12），其具有如（14）中所示的aij。通过这种方式，如命题1所示，我们得到了一个向量，该向量的成分与阶级人口成比例，当插入方程（5）中时，可以保证人口和总收入守恒（“pop inc const”）。这个向量可以用d（2）表示-股份有限公司-常数（x）ξ。（19） （5）的数值解可通过计算（19），插入噪声项d（2）ij[pop-股份有限公司-常数]（x）ξj√Γdt进入方程（5），得到相应的解x（tk+1）。

如果所有i=1的xi（tk+1）>0。。。n和所有k∈ N、 一个人一遍又一遍地重复这一切。（ii）对于某个整数k和某个指数i*, 组件xi*（tk）消失，即表示tk=t*一个有xi*（t*) = 0，则只允许系统（1）进化，而不添加任何噪声，直到所有i=1的xi>0。。。n、 从那时起，必须再次应用1中描述的算法。为了深入了解为什么所有xi>0的情况会重新出现，我们提出以下论点。首先，我们想排除所有个人都属于最贫穷阶级或最富有阶级的情况（这两种情况都是系统（1）的平衡）。由于前一种情况下的总收入值为u=R，而后一种情况下的总收入值为u=rn，因此假设（8）保证这些情况不会发生，从而确保“中等收入”汇款。然后我们观察到，利用xi*（t*) = 0一个来自（1），dxi*dt（t*) =Xh6=i*Xk6=i*Ci公司*hkxh（t*)xk（t*) ≥ 0.（20）当然，除了xi之外，其他xi*在时间t消失*. 那么，让m是最小的正整数，这样xi*-m（t*) 6=0或xi*+m（t*) 6=0（21）为真。这样的数字当然存在。在不丧失一般性的情况下，假设两个不等式（21）中的第二个等式成立。另一种情况也可以类似地处理。现在，要么我*+ m<n或i*+ m=n为真。*事实上，第二种选择极不可能发生。然而，我们也把它考虑在内了。随机模型的经济不平等和流动性10oIf i*+ m<n，观察Ci-1ii>0（以及Ci+1ii>0）如果1<i<n，我们得出结论，Ci*+m级-1i*+m，i*+m> 0和henceddtxi*+m级-1（t*) ≥ Ci公司*+m级-1i*+m，i*+mxi公司*+m（t*) > 因此，xi*+m级-1（t*+ 1） >0。

将过程迭代m次，oneobtainsxi*（t*+ m） >0如果我*+ m=n，我们知道，根据（8），存在一个正整数p，满足1≤ 我*- p、 这样xi*-p（t*) 6=0。如果我*- p>1，然后，与上面一样，我们注意到DDTxi*-p+1（t*) ≥ Ci公司*-p+1i*-p，i*-pxi*-p（t*) > 0，来源：whichxi*-p+1（t*+ 1） >0，然后是xi*（t*+ p） 随后出现>0。如果我*- p=1，那么可以利用C1n>0和ddtxi这一事实*-p+1（t*) ≥ C1nx（t*)xn（t*) > 0重新介绍刚刚处理的案件。如有必要，通过重复此处所示的过程，对于所有i=1，…最终得到xi（tk+q）>0。。。n、 对于一些q∈ N、 3。仿真结果为了研究第2节中设计的两个模型的随机过程，我们数值求解了方程（5），并取了大量随机实现的各种量的平均值。当然，在目前的情况下，不必期待任何平衡。为了得出一些结论，我们需要回顾一下【12】中引入的社会流动性指标的定义——更准确地说，是它的一个变体，适用于目前的情况。该指标表示所有班级从第2名晋升到（n）名的集体概率- 1） -th一，由m=（1）给出- x个- xn）n-1Xi=2nXk=1S（ri+1- ri）pk，ixkxi。我们计算了沿方程（5）的几个解的时间演化的一系列等距瞬间{tj}的M值。同样，根据相同的数据，我们计算了基尼指数G]。一个重要的发现涉及G和M之间的相关性，即经济不平等和社会流动之间的相关性。对于总收入u的值，当总收入守恒时，该值不会太大，当总收入不守恒时，该值既不会太大也不会太小，G和M之间的相关性符号的统计值为负值。

意大利统计学家科拉多·基尼（Corrado Gini）在一个世纪前提出了该系数下的u值。它取[0，1]中的值，定义为一个比率，分子由分布的洛伦兹曲线和均匀分布线之间的面积给出，分母由均匀分布线下区域的面积给出。随机模型的经济不平等和流动性11考虑++从现实的角度来看是合理的（参见例如[17]），因为它们与大多数人口属于中低阶层的个人分布相一致。我们得到的相关性的负性与大量经验数据【13，14】一致，并提供了一些证据，证明了在【12】中针对无噪声系统建立的相应性质的抗随机扰动的稳健性。对于总收入不变的情况，表1给出了一些相关样本RGM（基尼和流动性指数），对于总收入变化的情况，表2给出了一些相关样本RGM（基尼和流动性指数）。在我们的模拟中，我们考虑了差异等级平均收入等于10，噪声振幅Γ等于0.001之间的r。相关性是50次实现的平均值，每次超过5000个积分步骤。在这些样本中，考虑了与总收入值分别等于24.5、27和29.5的三个初始条件（表1和表2中相同）（图1显示了与无噪声系统（1）的渐近平稳分布相对应的初始条件，u=27）。对于每个初始条件，报告了三个不同的平均结果。我们在此还强调，在5000次积分步骤后得到的分布实际上与它们演化的分布非常“接近”，如果没有噪声，这些分布就是平衡的。

我们通过计算每个实现的不相关性（进化过程中获得的5000个值的平均值）与相应初始值xi（0）之间的差异来衡量“接近度”；此外，我们还计算了各成分xi的标准偏差σxio。我们发现，xi的差异- xi（0）取的值的数量级通常在10之间-5和10-σxitake值的量级通常在10-4和10-6，而相对标准变化σxi/xi的值通常为10级-4、uRGMRGMRGM24.5-0.980±0.002-0.984±0.001-0.983±0.00227.0-0.967±0.003-0.970±0.003-0.968±0.00329.5-0.913±0.007-0.923±0.008-0.920±0.007表1。在总收入u守恒的九种情况下计算的相关性RGM（基尼和流动指数），噪声振幅Γ=0.001。平均实现50次，每次5000个集成步骤。在非保守情况下，我们可以探讨的另一个问题是基尼指数与总收入之间的相关性RGu。

这方面的差异取决于噪声是加法还是乘法：虽然数值模拟提供的RGu值在第一种情况下为正值，但结果是++例如，如果我们取n=10并乘以rifor i=1的值。。。，n从r=10线性增长到r=100，u的值≤ 保守情况下为30，u∈ [24，30]在非保守的情况下，符合该标准。随机模型的经济不平等和流动性12u（0）RGMRGMRGM24.5-0.150±0.061-0.204±0.056-0.220±0.06227.0-0.276±0.064-0.475±0.051-0.450±0.05229.5-0.610±0.044-0.611±0.034-0.605±0.047u（0）RG RGuRG RG 24.5 0.096±0.061 0.043±0.059±0.045 06327.0-0.068±0.067-0.271±0.059-0.239±0.05829.5-0.465±0.052-0.443±0.043-0.466±0.054表2。在总收入u不守恒的九种情况下计算的相关性RGM（基尼指数和流动性指数）和RGu（基尼指数和总收入），noiseamplitudeΓ=0.001。平均实现50次，每次5000个集成步骤。图1：。总收入为常数u=27的“确定性”系统的渐近平稳解。根据初始总收入u的价值，第二个项目有时为负，有时为正。对于加法情况下正号的可能解释，一个直观的论点如下：在存在加法噪声的情况下，富阶级的变化通常比噪声为乘法时大得多（相对于中低阶级的变化）。这导致总收入变化较大。由于u的增加主要影响较富裕的阶层，这带来了不平等的增加，即G的增加。然而，我们无法解释乘法情况下相关性RGu的行为。

还必须注意的是，当总收入不固定时，表2中报告的值证明RGu具有很大的可变性（甚至可能是命名意义）。然而，我们注意到，流动性和总收入之间存在着很强的正相关关系。表3中报告了其中的一些样本。此外，从图2中显示G、M和u时间序列的三个面板中，可以清楚地看到G和M之间的负相关性以及M和u之间的正相关性。如表2和表3所示，G、M和u之间的相关性取决于u的值。由于平衡时u和G的值相互关联，相关性取决于G。为了进一步检查这种依赖性，我们在100个不同u的循环上进行了模拟，结果如图3所示。u是随机模型的各种经济不等式和流动性13u！！MG（a） G与tu！！MG（b） M vs tu！！MG（c） uvs t图2。三种情况下G、M和u的时间序列样本，u（0）分别等于24.5、27和29.5。这里M的值乘以800，u的值除以80，以获得更清晰的比较。特别是，G和M之间的负相关以及M和u之间的正相关是显而易见的。（a） RMGversus G（b）RuGversus G图3。第（a）部分：总收入u与基尼指数G之间的相关性。第（b）部分：流动性M与基尼指数G之间的相关性。图4。总收入u和流动性之间的相关性M.随机模型的经济不平等和流动性14u（0）22.0 24.5 27.0 29.5 32.0RMu0.951±0.007 0.950±0.006 0.960±0.006 0.972±0.005 0.981±0.004表3。五种情况下计算的相关系数RMu（流动指数和总收入）与初始总收入u的不同值。

同样，噪声振幅Γ等于0.001，并从50个实现中取平均值，每个实现5000个积分步骤。大约在21<u<28之间，对应于G到0.36<G<0.41。每个公式由50个随机实现组成，每个随机实现超过5000个步骤，从相同的平衡配置开始；图中的实心圆表示模拟数据。图3a显示，M-G相关性在区间0.36<G<0.38内为正；当G>0.38时，上述相关性变为负值。因此，根据我们的模型，《了不起的盖茨比定律》（Great Gatsby law）指出，不平等与经济流动之间的相关性为负，严格来说，G>0.38。这实际上是一个代表G税前价值的范围，其中包括大多数工业化国家。图3b显示，u-G相关性在0.36<G<0.395的区间内为正，但之后为负。因此，我们确定了一个G值窗口，在该窗口中，财富流入系统有助于减少不平等。最后，图4显示，总收入u和迁移率M始终具有很强的正相关关系，这表明随着G的增加，迁移率缓慢增加。这可以从一个已建立的热力学典故中理解：在正则系综中，对于任何合理的迁移率定义，我们预计迁移率和温度之间存在很强的正相关关系；反过来，温度变化将与自由能的变化密切相关（在我们的例子中，与收入相对应）。结论在本文中，我们提出了两种不同的模型来分析在存在乘性噪声（遵循Ito公式）的情况下，多重经济交换导致的收入分布的时间演化。

噪声的存在导致收入分配的持续动态调整，同时仍然相当接近在没有噪声的情况下可能达到的大时间稳态极限。在大量随机实现的集合平均中，我们观察到基尼不平等指数G和可测量的流动性指数M之间出现了相关性。流动性M与基尼指数G之间的相关性以及总收入u与基尼指数G之间的相关性，对于我们在此考虑的时变情况，描述了这些数量之间的关联。流动性M和总收入u均随G的增加而稳步下降，这反映了不平等加剧导致社会流动性下降的事实（图3）。另一方面，日益增加的不平等（反映为G值的增加）描述了随机模型15的社会流动性与总不经济不平等和流动性之间的相互作用强度，然后显示出边际稳定增长（图4）。并与等效加性噪声情况下的结果进行了相关比较。或许，一个更现实的模型应该包括一个加权的随机摄动和乘性随机摄动的组合。事实上，某些事件起到了加性噪声的作用，而其他事件则更适合用乘性噪声来表示。虽然经济学建模充满了加性噪声应用的例子【19、20】，但乘性噪声的实现也并非未知【21、22、23】。相关噪声谱，如用于材料科学其他分支的Ornstein-Uhlenbeck【24】，也可以考虑，这是我们正在进行的研究项目之一。

更复杂的噪声结构，类似幂律标度，在认知科学中发现了广泛的应用【25】，这是未来研究的另一种可能性。[11]中开发的模型的进一步扩展可能涉及研究CIHK系数本身随收入分配变化的影响。最后，研究整个动力学过程对振幅和噪声分布性质的依赖性将是非常有意义的，这在其他领域的一些早期参考文献中有所提及。参考文献【1】A.Chatterjee，B.K.Chakrabarti，《收入和财富分配的动态交换模型》，欧元。物理。J、 B，60，135–149（2007年）。[2] B.D¨uring、D.Matthes和G.Toscani财富再分配动力学方程建模：方法比较，Phys。修订版。E、 7805613（2008年）。[3] S.Sinha，B.K.Chakrabarti，《走向经济学物理学》，物理新闻（印度物理协会公告），39，33–46（2009）。[4] V.M.Yakovenko，J.Barklry Rosser Jr.，座谈会：货币、财富和收入的统计机制，Rev。摩登派青年物理。，811703–1725（2009）。[5] M.Patriarca、E.Heinsalu和A.Chakraborti，《基本动态财富交换模型：共同特征和开放性问题》，欧元。物理。J、 B、73、145–153（2010年）。[6] M.L.Bertotti，G.Modanese，《从微观税收和再分配模型到宏观收入分配》，Physica A，3903782–3793（2011）。[7] M.Patriarca，A.Chakraborti，《动力学交换模型：从分子物理学到社会科学》，美国物理杂志，81，8618–623（2013）。[8] M.L.Bertotti，G.Modanese，《利用税收和分配模型族的灵活性》，欧元。物理。J、 B、85、1-10（2012年）。[9] M.L.Bertotti，G.Modanese，《不存在和存在逃税情况下收入分配的微观到宏观模型》，应用。数学