随机模型的经济不平等和流动性

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英文标题：
《Economic inequality and mobility for stochastic models with
  multiplicative noise》
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作者：
Maria Letizia Bertotti, Amit K Chattopadhyay, Giovanni Modanese
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this article, we discuss a dynamical stochastic model that represents the time evolution of income distribution of a population, where the dynamics develop from an interplay of multiple economic exchanges in the presence of multiplicative noise. The model remit stretches beyond the conventional framework of a Langevin-type kinetic equation in that our model dynamics is self-consistently constrained by dynamical conservation laws emerging from population and wealth conservation. This model is numerically solved and analyzed to interpret the inequality of income as a function of relevant dynamical parameters like the {\\it mobility} $M$ and the {\\it total income} $\\mu$. In our model, inequality is quantified by the {\\it Gini index} $G$. In particular, correlations between any two of the mobility index $M$ and/or the total income $\\mu$ with the Gini index $G$ are investigated and compared with the analogous correlations resulting from an equivalent additive noise model. Our findings highlight the importance of a multiplicative noise based economic modeling structure in the analysis of inequality. The model also depicts the nature of correlation between mobility and total income of a population from the perspective of inequality measure.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们讨论了一个动态随机模型，该模型代表了人口收入分配的时间演化，其中动态是在存在乘性噪声的情况下，由多种经济交换的相互作用发展而来的。模型范围超越了朗之万型动力学方程的传统框架，因为我们的模型动力学自洽地受到人口和财富守恒产生的动力学守恒定律的约束。通过对该模型的数值求解和分析，将收入不平等解释为{流动性}M$和{总收入}mu$等相关动力学参数的函数。在我们的模型中，不平等通过{\\it基尼指数}$G$来量化。特别是，调查了流动性指数M$和/或总收入$\\ mu$与基尼指数G$之间的相关性，并与等效加性噪声模型得出的类似相关性进行了比较。我们的研究结果强调了基于乘性噪声的经济建模结构在不平等分析中的重要性。该模型还从不平等测度的角度描述了人口流动性与总收入之间的相关性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Economic_inequality_and_mobility_for_stochastic_models_with_multiplicative_noise.pdf (628.86 KB)

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关键词：随机模型 流动性 不平等 correlations Quantitative

具有乘性噪声的随机模型的经济不平等和流动性Maria Letizia Bertotti，Amit K.Chattopadhyay，GiovanniModaneseFree Bozen Bolzano大学科技学院，39100 Bolzano，IAston University，Engineering and Applied Science，伯明翰，B4 7ET，英国邮箱：marialetizia。bertotti@unibz.it，a.k。chattopadhyay@aston.ac.uk，乔瓦尼。modanese@unibz.itAbstract.在这篇文章中，我们讨论了一个动态随机模型，该模型代表了人口收入分配的时间演化，其中动态是在存在乘性噪声的情况下，由多种经济交换的相互作用发展而来的。模型范围超越了朗之万型动力学方程的传统框架，因为我们的模型动力学自洽地受到人口和财富守恒产生的动态守恒定律的约束。通过对该模型进行数值求解和分析，将收入不平等解释为流动性M和总收入u等相关动力学参数的函数。在我们的模型中，不平等通过基尼指数G进行量化。特别是，研究了流动性指数M和/或总收入u中任何两个与基尼指数G之间的相关性，并将其与等效的离散噪声模型得出的类似相关性进行比较。我们的发现突出了基于乘性噪声的经济建模结构在不平等分析中的重要性。该模型还从不平等测度的角度描述了流动性与人口总收入之间的相关性性质这项研究的一部分资金来自Bozen Bolzano自由大学的“随机模型21的经济不平等和流动性防御项目”。

简介近年来，受统计物理学和动力学理论的启发，人们提出了各种方法来描述经济交易所和市场社会，例如[1、2、3、4、5、6、7]。在这些方法中，相互交易的个体被识别为经历碰撞的粒子或气体分子。基于物理学的方法和工具在这样的社会经济背景下也被证明是有用的，可以从整个微观相互作用中研究宏观特征的出现。从这个角度来看，一些数学上建立的市场经济模型，其特点是能够同时纳入税收和再分配过程，已经在[8，9]中提出和研究。在这些论文中，社会被等同于一个由大量异质个体组成的系统，这些异质个体通过二进制和其他非线性交互进行货币交换，并被划分为有限数量的n个收入阶层。这些模型由n个动力学离散化Boltzmann型非线性常微分方程组表示，涉及相对于个体从一个类跳到另一个类的转移概率。这些概率和确定交易规则的参数（包括针对不同收入类别和系统其他属性的税率）的规定决定了动态。收入比例等集体特征和基尼指数等相关指标（这里是衡量经济不平等的指标）是一系列此类相互作用的结果。

由于上述转移概率的存在，这个过程是随机的，但控制类中个体吸引力进化的微分方程是确定性的。然而，在现实世界中，经济系统的时间演化不仅受固定规则和参数的制约：它还受到不可预测的干扰因素的影响。为了考虑这些因素的影响，我们最近引入了aLangevin型动力学模型【11】，将Ito型加性噪声项纳入动力学方程组。一些数值模拟提供了确定性问题中已经建立的模式持续存在的证据【12】，也与之前探索的实证结果【13、14、15】不一致：特别是，它们显示了经济不平等与社会流动之间的负相关。在没有收入保护的情况下，他们报告了基尼指数与总收入之间的正相关关系。我们认为这是模型可靠性的标志。然而，噪音的可加性是一个明显的缺点，因为它不能防止无法控制的大流量与阶级人口进行比较，这是不现实的。本文的目的是通过考虑多复制噪声项来克服这一局限性。这需要一个比[11]中提出的更微妙的程序。然后重点关注以下第3节所述不同条件下收入不平等、流动性和总收入之间的相关性。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将介绍朗之万型动力学模型的结构。构建随机模型的噪声经济不等式和流动性的不同选择3该结构的条款允许制定不同的模型。

特别是在这里，我们定义了其中的两个：一个是在第一小节中，只有总人口的守恒才成立；另一个是在第二小节中，总人口和总收入的守恒都成立。第3节讨论了这两个模型解的时间演化特征。如果总收入u在时间上保持不变且不太大，则基尼指数与量化社会流动性的指标之间的相关性为负。在存在加性噪声的情况下，在[11]中获得了相同的负性，唯一的区别是对u的值没有任何限制。当收入守恒不成立时，总收入和基尼指数之间的相关性可以是正的，也可以是负的，这取决于u的大小，当噪声是乘性的（本文中的情况）。另一方面，当噪声是可加性的（如[11]中的情况）时，相关性为正。结论部分总结了这些事实，并对未来的研究方向进行了展望。2、从确定性到朗之万型动力学模型一个简单的模型描述了一个分为n个收入阶层的社会中成对的个人之间的货币交换，可以通过一个微分方程系统来表示，公式dxidt（t）=nXh，k=1Cihkxh（t）xk（t）-nXh，k=1Chikxi（t）xk（t），i=1。。。n、 （1）这里，xi（t）表示在t时属于第i类和常数系数Cihk的个体的分数∈ [0，1]，对于任何固定的h和k，Nxi=1Cihk=1，表示第h类个体在与第k类个体直接交互后属于第i类的概率。这些系数的表达式，适用于平均收入由j=j给出的情况r、 （2）带r>0，首先在【16】中推导，然后使用，例如。

同样在[6，8，9]中，以紧凑形式写入时读取：Cihk=Srδhi卢比- （1）- δin）（1- δk1）pki- （1）- δi1）（1- δkn）pik+Srδh，i+1（1- δkn）pi+1，k+δh，i-1（1- δk1）pk，i-1.（3） h，k，i=1。。。，n、 此处，S<<r表示货币单位，δhk表示克罗内克三角洲，pHK表示在第h类和第k类个体之间的相遇中，支付者是前者的概率。这里取phk=4nmin{h，k}（1- δhk）（1- δ1k）（1- δ1h）（1- δnh）（1- δnk）随机模型4+h2nδhk（1）的经济不平等和流动性- δ1k）（1- δnk）+k2nδnh（1- δnk）（1- δ1k）+2nδ1k（1- δ1h）（1- δnh）+2nδhnδk1，（4）并扩展phkin（4）的值，通过定义pn+1，k=0，k=0，k=0，k=0。我们强调，如果总收入守恒必须对所有≥ 一旦t=0成立，则为0（参见[16]中定理4.2的证明）。相比之下，phk的选择有一定程度的随意性。具体公式（4）对应于[9]中的一个选择，这一选择是由观察得出的，即穷人通常比富人支付和接受更少。实际上，指数h和k与1和n不同的phkin（4）等于{rh，rk}rnh=k的等于{rh，rk}rn. 对指数为h、k=1或n的系数进行特殊处理是因为不可能从第一类转移到更高级，也不可能从第n类转移到更高级。Langevin型动力学模型【18】现在可以构建为dxi=D（1）i（x）dt+nXj=1D（2）ij（x）ξj形式的随机方程系统√Γdt，i=1。。。n、 （5）式（5）中r.h.s.上的第一项表示“确定性”贡献，第二项对应于噪声。方程式（5）的解释如下。

第一个术语考虑了直接货币交换、规范和行为态度，这些对于属于同一阶级的个人来说都是一样的。第二项表示随机发生的不确定性，也会影响人口分布的变化。下面我们取（1）中的算子D（1）ias，D（1）i（x）=Xh，kCihkxhxk-Xh，kChikxixk，也就是说，我们用D（1）来模拟[6，8]中模型的那个部分，它只描述了没有税收和再分配的直接货币交换。对于随机部分，ξidenote n是独立的高斯随机变量，而Γ表示噪声强度。算子D（2）ij的形式取决于我们希望模型遵守的守恒要求。2.1。总人口守恒的乘性噪声强制总人口守恒，我们必须得到xi，jD（2）ij（x）ξj=0，（6）随机模型5的经济不等式和流动性对于{ξj}的任何选择。满足条件（6）的一种方法是，从随机ξi开始，确定新的变化ξi=xiξi，以及类总体中随机变化与总体本身之间的比例条件-xiPkxkξk，或矩阵形式ξi=XjD（2）ij（x）ξj，带d（2）ij[pop-常数]（x）=（xi（1- xi），如果i=j-xixj，如果i 6=j.（7），则公式（7）提供了运算符D（2）ij[pop-常数]它允许从随机变量开始构造一个与总人口守恒相容的乘性噪声项（“pop-const”）。顺便说一句，我们注意到，在下面的例子中，正如在[6，8，12]中一样，我们将总人口标准化为1。

相反，我们强调允许与随机噪音量相关的总收入变化，例如，考虑一个也与“外部世界”相互作用的社会：由于货物进出口、旅游进出口、投资和股票交易，可能会发生资本流入或流出。2.2。对于总人口守恒且不可计量的乘性噪声，我们可以考虑一个封闭系统，对于该系统，我们要求总收入u=Pirixi§守恒。然后我们指出，从现在起，我们将注意力限制在usatisfyingr<u<rn的值上。（8） 由于不平等（8），所有个人都属于最贫穷或最富有收入阶层的情况下，可能发生的情况可以排除在外。如果你想处理现实情况，类似的奇怪情况就不值得关注了。换句话说，采用（8）中的u并不代表一个强有力的假设。除了（6）之外，现在还必须施加另一个条件，即对于{ξj}的任何选择，jriD（2）ij（x）ξj=0（9）。为了构造同时满足（6）和（9）的微分矩阵，我们首先证明以下命题。提案1。给定一个向量x=（x，…，xn），所有i的xi>0，以及n个正常数ri，从任何向量η=（η，…，η0n）得到，η0i |≤ 1对于所有i，可获得新的向量“η=（“η，…，”ηn），其满足估计值“ηi”≤ XI对于i=1。。。请注意，由于人口的1正常化，总收入与人口本身的平均收入一致。随机模型6的经济不平等和流动性，以及两个条件xi'ηi=0和xiri'ηi=0。（10） 证明：我们首先将ηa向量η=（η，…，ηn）=（xη0,1C，…，xnη0，nC），（11）其中C≥ 1是一个常数，将在以下公式中确定。

然后我们想把向量η转换成扰动向量η=η+aη，分量ηi=ηi+nXj=1aijηji=1。。。n（12）满足守恒条件（10）。在（10）中插入（12），我们发现（同时考虑η0的任意性，iI），条件（10）为1+nXj=1aji=0，i=1时，ri+nXj=1ajirj=0。。。n、 如果我们在三对角矩阵K集合中选择矩阵A，则这些条件为P1+i+1Xj=i-1aji=0，ri+i+1Xj=i-1ajirj=0（13），对于i=1。。。n、 公式（13）表示2n约束，其中3n- 矩阵A的2个元素Aijo必须满足+。然后最小化3n的函数-2变量Saji，f=nXi=1i+1Xj=i-1服从2n约束（13）。为此，我们引入拉格朗日乘子λianduifor i=1。。。n、 考虑拉格朗日方程=nXi=1i+1Xj=i-1aji+nXi=1λi1+i+1Xj=i-1aji公司+nXi=1uiri+i+1Xj=i-1ajirj.寻找L的临界点（作为变量aji、λi和ui的函数）特别是在直接计算后，aji=Nirirj+Ti- 里里- 里尔杰里- NiTi，（14）k原因是，在这种选择下，当从η传递到η时，第i分量的变化只涉及ηi-1、ηi和ηi+1。P在这里和以后，只有具有有意义索引的索引术语才会被视为存在。例如，如果i=1，一个hasPi+1j=i-1aji=a+a+假设n是很自然的≥ 3此处。随机模型7的经济不平等和流动性，对于i=1。。。n、 j=i- 1，i，i+1（剩余的ajib等于零），其中n=2，Ni=3表示i=2。。。n- 1，Nn=2，andRi=i+1Xk=i-1RK和Ti=i+1Xk=i-1rk。考虑到式（2）中所述的rjin j的线性，可以很容易地看出，具有式（14）中所示元素的矩阵A的形式为=-1.-1/3 0 0。。。0 0 0 0 00-1/3-1/3 0。。。0 0 0 0 00-1/3-1/3-1/3 0。。。0 0 0 0 00 0-1/3-1/3-1/3。。。0 0 0 0 0。。。

。。。0 0 0 0 0。。。-1/3-1/3-1/3 0 0 0 0 0 0。。。0-1/3-1/3-1/3 00 0 0 0 0。。。0 0-1/3-1/3 00 0 0 0 0。。。0 0 0-1/3-1..现在我们观察到，将变换（12）应用于刚刚找到的矩阵A，我们得到了ηixi=ηixi+Pi+1j=i-1aijηjxi对于i=1。。。n、 （15）即，(R)ηx=-3Cxxη0,2，’ηx=3Cη0,2-3Cxxη0,3，’ηixi=3Cη0，i-3Cxi-1xiη0，i-1.-3Cxi+1xiη0，i+1，对于i=3。。。n- 2，’ηn-1xn-1=3Cη0，n-1.-3Cxn-2xn-1η0，n-2，’ηnxn=-3Cxn-1xnη0，n-对于此处和（11）中出现的常数C的选择，我们首先计算最小值=最大值=2，。。。nnxixi-1和Mplus=最大值=1，。。。n-1nxixi+1o，（16）和setOhm = maxn1、Mminus、Mpluso。（17） 随机模型的经济不平等和流动性8然后，我们将（11）中的常数C固定为Ohm. 因此，根据（11），我们与随机选择的向量η关联，向量η=（η，…ηn）=（xη0,1Ohm, ...,xnη0，nOhm). （18） 现在，用aijs对η进行变换（12），如（14）所示，我们得到了ηx=-xx号Ohmη0,2,(R)ηx=Ohmη0,2-xx号Ohmη0,3,(R)ηixi=Ohmη0，i-xi-1十一Ohmη0，i-1.-xi+1xiOhmη0，i+1, 对于i=3。。。n- 2，’ηn-1xn-1个=Ohmη0，n-1.-xn公司-2xn-1.Ohmη0，n-2.,(R)ηnxn=-xn公司-1xnOhmη0，n-1.,这反过来意味着(R)ηx≤|η0,2 |≤ 1.(R)ηx≤|η0,2 |+|η0,3 |≤ 1.(R)ηixi≤|η0，i |+|η0，i-1 |+|η0，i+1 |≤ 1，对于i=3。。。n- 2.(R)ηn-1xn-1.≤|η0，n-1 |+|η0，n-2 |≤ 1.ηnxn≤|η0，n-1 |≤ 1、总之，向量“η”满足式（10）中给出的守恒条件以及估计值“ηi”≤ XI对于i=1。。。n为了从随机变量ξ构造一个满足人口和收入守恒的乘性噪声项，可以离散时间并重复迭代命题1的过程，如下所示。