Solvency II，或如何掩盖下行风险

如果P是上的概率度量(Ohm, F） ，然后cg（A）：=g（P[A]），A∈ F、 定义容量。有关确切定义，请参见Kr¨atschmer，Schied&Z¨ahle（2014）。（ii）当且仅当gis凹时，相应的畸变风险测量值ρg（X）：=rxdcg是一致的。（iii）如果是递增函数g：[0，1]→ [0，∞) 当g（0）=0不满足g（1）=1时，方程cg（A）=g（P[A]），A∈ F、 仍然定义了单调集函数，但CGI未规范化。定义6。考虑畸变函数g的类别，使得g（x）=0，x个∈ [0，α]g（x）>0，x个∈ （α，1）对于某些α∈ [0，1）。nu mberα称为g的参数，而^g（x）=g（x+α），0≤ x个≤ 1.- α1，1- α<xis是g的有效部分。如果参数α>0，则ρgis称为aV@R-输入失真风险度量。V@R，则，AV@R和RV@R是变形风险措施。V@R和RV@R属于V@R-类型，AV@R不是。这显示在选项卡le 1中。风险度量V@RαAV@RβRV@Rα，βg（x）=0，0≤ x个≤ α1，α<xxβ，0≤ x个≤ β1，β<x0，0≤ x个≤ αx-αβ，α<x≤ α+β1，α+β<X型V@R-类型不是V@R-类型V@R-类型表1：风险度量的失真函数V@R，则，AV@R和RV@R对于α，β>0，α+β≤ 1、备注7。失真风险度量可以表示为V@R.Dhaene等人（2012）对任意畸变函数的精确结果进行了描述。在本文中，我们将只关注左连续情况。设ρgbe如注释5所示，对于左连续畸变函数g，则ρg（X）=Z[0,1]V@Rλ（X）g（dλ）。该方程右侧的积分是关于函数g的Lebesgue-Stieltjes积分。该表示法解释了V@R型畸变风险度量的畸变函数g的参数α。

在X处评估的失真风险度量∈ X可以写成ρg（X）=R[α，1]V@Rλ（X）g（dλ），表明该风险度量不依赖于X的尾部的任何性质，除了其V@R在α级。3网络风险最小化金融机构通常由有限责任股东所有。可以作为股息分配给股东的自由盈余是NAV减去SCR。因此，股东有兴趣通过适当的风险管理技术降低SCR。概括Embrechts等人（2017）的结果，我们表明，如果资本监管基于V@R-类型失真风险措施。这取决于这样一种假设，即将实体的各个SCR相加以获得网络的SCR；这尤其意味着，网络的偿付能力资本回报率不是在合并偿付能力资产负债表的基础上计算的。我们在备注8中讨论了这一假设。我们为corporatenetwork中的任何数量的实体提供了最优SCR的上界，并明确构建了达到该上界的网络投资组合分配。如果所考虑的畸变函数的活动部分是凹的，我们证明了边界是尖锐的，相应的分配是最优的。我们还证明，如果允许亏损和利润是无界的，那么只要其中一个风险度量对盈余非常敏感，网络的总资本需求可能会降低到任何水平。最后，我们证明，我们的主要结果并不局限于失真风险度量族。

事实上，将总SCR减少到最佳情况下的SCR是可能的V@R-在由大量实体组成的公司网络中输入风险度量；在我们将详细说明的条件下，可以将其降低到非常小的水平。3.1网络的风险分担问题考虑一家由n个实体组成的金融公司，这些实体均单独受到资本监管。然而，公司网络的合同结构使其服务于相同的股东。在短期内，实体数量n是固定的，但公司可以在更长的时间内调整其结构。假设t=0，1时的总合并资产和负债分别由Ata和Lt给出。因此，总NAV由Et=At给出- Lt.我们设置X=-E=L- A、 公司网络现在使用t=0时具有法律约束力的转让协议在t=1时修改NAV。与Filipovic&Kupper（2008）相比，我们不认为这些转移是作为有限系列标准化资本转移产品的线性投资组合构建的。相反，我们假设转让协议是或有债权，允许在网络的n个实体之间重新分配总资本。结果分配将由（Ei）i=1,2，。。。，n、 我们设置Xi=-Ei，i=1，2，n、 观察x=nXi=1Xi。我们假设实体i的偿付能力资本要求单=1，2，n之前已经讨论过，Embrechts等人（2017年）提出的论点是，这种假设可能没有必要。风险度量ρi的基础，即SCRi=Ei+ρi（Xi），其中Ei指时间0时实体i的资产净值。它认为pni=1Ei=E。

因此，网络的总solvencycapital需求由nXi=1SCRi=E+nXi=1ρi（Xi）给出。对于固定数量的n个实体，公司网络的问题在于设计最佳传输，使EPNI=1ρi（Xi）最小化。我们将特别展示V@R-类型风险度量和足够大的n，公司网络可以找到资本分配，例如nxi=1ρi（Xi）=essinf X=- esssup E，对应于最佳情况场景。如果其中一个风险指标是盈余敏感型的（我们稍后将确定这一属性），并且如果实体可能持有任意大的负债，那么总风险甚至可以任意小。备注8。资本监管，如Solvency II，可能需要根据合并数据计算集团SCR。例如，如果集团存在完整的内部模型，则需要集团层面的偿付能力资产负债表（见第三篇：集团保险和再保险业务监管，欧盟委员会（2009））。尽管集团的实体在法律上是独立的，但监管是在集团层面进行的；这通常被称为集团监管的法律实体。如果资本监管基于一致的风险度量，则该法人实体是无问题的。在这种情况下，单个SCR的总和始终至少与从合并数据计算的组SCR一样大。因此，一致的风险度量为公司集团提供了内在的激励，使其分析基于合并资产负债表。相反V@R-类型风险措施产生相反的激励。Solvency II就是通过这种风险度量计算SCR的一个例子，即。V@R.V@R型风险度量导致监管目标和公司理性行为的错位。

它们吸引保险公司探索其他网络结构，而不是将其归类为集团。成熟的公司可以建立一个复杂的公司网络，由多个其他实体拥有，这些实体部分位于欧洲经济区之外。如果设计得当，欧洲经济区监管当局可能无法对这些网络的部分进行监管。如果在构筑物的建造中适当反映了有关合并的法律义务（见欧洲共同体理事会（1983）），则可能无法适用指令2009/138/EC（欧盟委员会（2009））第262（2）条。但是V@R-类型风险度量超出了集中控制的网络。特殊情况下的市场均衡分析RV@REmbrechts等人（2017）指出，不需要中央治理来产生适当的分配。综上所述，目前Solvency II集团针对一般公司网络的监管支持似乎不合理。3.2V@R-类型失真风险度量为了简化技术参数，我们在无原子概率空间上工作(Ohm, F、 P）。这意味着在该空间上定义了一个统一的随机变量。我们现在考虑最优风险分担问题ni=1ρi（X）：=in f（nXi=1ρi（Xi）：nXi=1Xi=X，X，X，Xn公司∈ L∞). （3） 以下定理提供了解决方案的上界和达到该上界的分配。定理9。让X∈ L∞和n∈ N、 由g，g，gnwe表示参数为α，α，…，的左连续畸变函数，αn∈ [0，1），定义d=Pni=1αi。我们设置ρi=ρgi，即ρii与畸变函数gi相关的畸变风险度量，i=1，2，…，n。定义左连续函数sf=min{bg，bg，…，cgn}，g（x）=0，0≤ x个≤ d∧ 1，f（x- d） ，d∧ 1<x≤ 1注意g≡ 0，如果为d≥ 1.

特别地，g不一定是g（1）=1的失真函数。我们为λ设置V@Rλ：=V@R=essinf≥ 1.（i）存在X，X，Xn公司∈ L∞Pni=1Xi=X，Nxi=1ρi（Xi）=Z[0,1]V@Rλ（X- essinf X）g（dλ）+essinf X.如果d≥ 1，这个方程可以简化，我们得到nxi=1ρi（Xi）=essinf X.（ii）分配（Xi）i=1,2，。。。，NCA的构造如下。寿命：=X- essinf X≥ 未来的研究可能会试图调查我们在本文中考虑的风险度量类别的市场均衡，即。V@R-类型失真风险度量和一般V@R类型风险度量。存在一个均匀分布在[0，1]上的随机变量U，使得Y=V@RU（Y）。对于i=1，2，n、 we setri（λ）=1，i=inf{j：^gj（1- λ） =f（1- λ） }，0，否则，（λ∈ [0，1]），且Ri（y）=Ryri（λ）dλ。我们定义Y=Y·1{U≥d} 和▄X=Ri（▄Y）。对于i=1，2，n、 我们认为tXi=Y·1{Pi-1l=1αl≤ U<Pil=1αl}+～Xi+essinf Xn（4）如果d≥ 1，这个方程可以简化，我们得到xi=Y·1{Pi-1l=1αl≤ U<Pil=1αl}+essinf Xn（5）证明。见A.1节。推论10。假设定理m 9的条件成立。最优风险分担问题（3）的解有界于ni=1ρi（X）≤Z[0,1]V@Rλ（X- essinf X）g（dλ）+essinf X。特别是，如果d≥ 1，该界等于通过任意标准化风险度量评估的最佳情形essinf X of X的总风险，即。ni=1ρi（X）≤ essinf X.证明。见A.2节。现在，让我们指定其他假设，以便推论10的上界同时是下界，因此等于最优风险分担问题的值。定理11。假设定理9的条件成立。此外，假设d<1和gi（1- d+αi）=1，对于i=1，2，n、 畸变函数的有效部分g，g，锯齿状凹面。然后在等式中定义分配。

（4） 提供最佳风险分担问题的解决方案（3）和ni=1ρi（X）=Z[0,1]V@Rλ（X）g（dλ）。证据见A.3节。备注12。在Wang、Bignozzi和Tsanakas（2015）的示例3.3中，在对一致风险度量进行稳健修改的背景下，讨论了凹形活动部件和参数α>0的畸变风险度量。定理9、推论10和定理11为资本监管提供了一个重要的视角V@R-类型失真风险措施。他们表明（如果风险是通过标准化风险度量来衡量的，并且网络由足够多的实体组成），则总资本要求可以等于网络最佳情况下的资本要求，即essinf X=-该数量是最优风险分担问题解的上界。因此，Downsid e风险可以完全隐藏在CorporateneWork结构中。V@R是V@R-输入失真风险度量，我们的观察结果适用于Solvency II。相比之下，它们不适用于使用一致风险度量的瑞士偿付能力测试AV@R作为资本监管的基础。观察等式（5）中的分配（Xi）从下到下以essinf Xn为界，从上到下以ESSUP Y+essinf Xn为界。因此，我们可以将允许的分配限制在由合适的固定常数限定的范围内，并且仍然可以获得上述结果。如果不加限制，从资本监管的角度来看，情况可能会更加严重。我们将在示例13、定理14和备注15中说明，如果对网络实体的可容许利润和损失没有限制，则网络的总资本要求可以进一步降低。在这些情况下，风险分担可用于使总风险pni=1ρi（Xi）对于适当选择的分配任意小，即小于-m代表任意m∈ N

在示例13和定理14中，一个实体可能因与另一个实体签订转让协议而发生巨大损失，而另一个实体在相应的场景中经历了巨大的损失。相反，注释15与定理9和推论10的结果相似，但在e X本身是无界的情况下。示例13。让(Ohm, F、 P）是一个没有原子的概率空间。考虑一个由n=2个实体组成的公司，风险度量ρ=ρ=RV@R，。我们将展示i=1ρi（0）=-∞.为此，让A，A Ohm 是的分区Ohm 使得P（A）=，P（A）=。让m∈ Nbe任意，设置X：=6m·1A，X：=-6m·1A。那么X+X=0，ρ（X）=0，ρ（X）=-6m··=-m、 因此，i=1ρi（0）≤ -m代表任意m∈ N、 现在，我们提供了一个定理，该定理在总体水平上描述了前面示例的情况。定理14。假设定理9的条件成立，并假设存在∈ {1，2，…，n}这样gi（1- d+αi）<1。然后ni=1ρi（X）=-∞.证据见A.4节。从监管的角度来看，在最后一个定理的条件下，资本监管可以在公司网络中完全规避：总下行风险度量不再受到下方的限制。然而，应该注意的是，网络分配在inf卷积上的一般结果是RV@REmbrechts et al.（2017）中给出了，这意味着示例中给出的结果。任意小的总风险与网络中某些实体的任意大的损失和利润相关。对于保险网络，如果允许的杠杆率对每个实体都有限制，那么实施所需的转让协议可能不现实。这意味着在实践中，定理14与资本监管的相关性不如定理9、定理10和定理11。

然而，它强调了如果显著的杠杆作用和V@R-类型畸变风险测量一起使用。备注15。我们一直在考虑有界X的风险分担问题∈ L∞, 但这个限制是没有必要的。现在假设X是一个任意的随机变量。如果X从下方开始有界，即essin f X>-∞, 要验证定理9的结果是否仍然有效并不困难。这是因为在定理9中，V@Rd（X）区域以外的总损失X分配到位置（Xi）i=1,2，。。。，确保它们不影响风险度量（ρi（Xi））i=1,2，。。。，n、 接下来，我们假设X不再从下方有界，即essinf X=-∞.考虑以下情况：n足够大，d≥ 1、然后essinf（X∨ (-k） ）=-k代表k≥ 0、根据风险度量的单调性，ni=1ρi（X）≤ ni=1ρi（X∨ (-k） ）=-kk公司→∞-→ -∞.因此，我们得到了一个类似于定理14的结果：如果最好的情况是无界的，那么总的下行风险度量从下面是没有界的。3.3风险分担V@R-类型风险度量到目前为止，我们一直专注于失真风险度量。对于d<1，我们确实需要这个特定的结构来计算公式（4）中定义的分配的确切总风险。这种分配提供了最优风险分担问题总风险的上限，其次是凹形活动部件的解决方案。如果是d≥ 1等式（5）中定义的分配提供了一个界限，结果表明，该结果不限于失真风险度量的家族。n ext定理提供了一个精确的陈述。此外，我们还可以将定理14推广到失真风险度量之外。定义16。

基于分布的风险度量ρ：L∞→ R是aV@R-如果ρ（X）=ρ，则输入参数α>0的风险度量X·1{V@Rα（X）≥十} +V@Rα（X）·1{V@Rα（X）<X}（十）∈ L∞).备注17。显然，任何V@R-参数α>0的类型失真风险度量是V@Rtype具有相同参数的风险度量。这紧跟在备注7之后。此外，任何V@R-参数α>0的类型风险测度由ρ（0）+V@Rα控制，因为ρismonotone和X·1{V@Rα（X）≥十} +V@Rα（X）·1{V@Rα（X）<X}≤ V@Rα（X）代表X∈ L∞.定理18。让X∈ L∞, ρ、 ρ，ρnbeV@R-具有参数α，α，…，的类型风险度量，αn，分配（Xi）i=1,2，。。。，nbe根据方程式（5）给出n。如果d=Pni=1αi≥ 1，那么ni=1ρi（X）≤nXi=1ρi（Xi）=nXi=1ρi（0）+essinf X。特别是，如果风险度量ρi被归一化，即ρi（0）=0，i=1，2，n、 然后，最小总风险以通过任意标准化风险度量评估的最佳情形essinf X of X的风险为界。证据见第A.5节。备注19。类似于Re mark 15中的论点表明，定理18的结果不限于空间L中的位置∞, 但对于更大的随机变量空间，则适用。如果essinf X=-∞, 总风险度量可以任意小，以便进行适当的风险分担分配。我们最后展示了如何将eorem 14推广到失真风险度量之外。定义20。基于分布的风险度量ρ：L∞→ 如果ρ（X）>ρ（X），R在α>0级时是盈余敏感的- m·1{V@R1-α（X）≥十} ）=：hx（m）表示任何m>0。此外，如果hX（m）→ -∞ 作为m→ ∞, 那么ρ在α>0的水平上是强剩余敏感的。备注21。（i） 对盈余敏感的风险度量在同一水平上不一定对盈余高度敏感。熵风险度量就是一个例子。我们考虑特殊情况ρ（X）=log E（eX）。