Solvency II，或如何掩盖下行风险

设定α=1/5，我们计算随机变量X的hxf，其中P（X=log 10）=1/10，P（X=0）=9/10。那么hX（m）=log E（eX-R4/5（X）下的m·1V≥十） =对数（elog 10+e-m） =对数（1+e-m） m级→∞-→ 0>-∞.（ii）相反，任何畸变风险度量ρgw的畸变函数g使得g（x）<1或x<1在任何水平d>0时都是强盈余敏感的。另一个示例是expectileswith acceptance setnX∈ L∞:E（X-)E（X+）≥ γ或γ>0。定理22。让X∈ L∞ρ，ρ，ρnbeV@R-具有参数α，α，…，的类型风险度量，αn.集d=Pni=1αi.如果ρn+1在d级具有强盈余敏感性，则n+1i=1ρi（X）=-∞.证据见A.6节。备注23。定理14可以看作是定理22的推论。但是，第A.4节中第14项的直接证明还明确计算了分配的确切总风险，这些总风险被认为限制了上述风险分担问题（3）的价值。与定理18相比，定理22的实际相关性可能受到以下事实的限制：所需的分配与任意大的损失和收益相关，即杠杆是无限的。然而，与定理14一样，它强调了当V@R-类型风险度量和杠杆率相结合。4结论在过去二十年中，非一致性风险度量经常受到批评。本文提出了资本监管的另一个挑战，即非一致性风险度量V@R-类型：通过设计可接受的网络内传输，有远见的公司可能能够在corporatenetworks中隐藏其下行风险。在本文中，这些网络转换被指定为网络随机资产负债表上的衍生工具。

未来的研究需要将其表示为可交易证券的或有权益（或者，至少是企业管理者无法轻易操纵的数量）。发现的资本削减战略的可行性取决于f法案，即资本要求对网络的每个实体分别收费。如果根据合并资产负债表确定总资本要求，则网络内部转移不会减少总资本要求。Solvency II本质上要求企业集团采取这种做法，但它似乎很难定义一个超越欧洲经济区的通用法律框架。同时，Embrechts等人（2017）的结果表明，中央控制是不必要的。然而，即使跨国公司网络的整合方法能够在全球成功实施，严重的问题仍然存在。网络由法律上独立的有限责任公司组成。如果资本要求是在合并资产负债表的基础上计算的，集团可以利用与其子实体相关的多个有限责任期权，通过适当的战略违约，以ird方为代价，通过事先的集团内部转让优化自身收益。合并资产负债表并未反映这些可能性。我们的论点表明，合并资产负债表应附有集团的连带责任，而不是与子实体的有限责任合并。总之，从监管角度来看V@R-r类风险措施与法律上独立实体的公司网络不完全兼容。

如果有人回忆起其他众所周知的非一致性风险度量的不足之处，V@R-类型风险措施似乎不是保险公司监管的最佳成分。A证据A。1定理9的证明证明方法主要基于Dhaene等人（2012）。根据Embrechts等人（2017）所述的相同策略，将下行风险分配到不同的头寸，以便“可以在地毯上扫荡”。剩余部分的分配受Embrechts et al.（2017）第5号提案的启发，该提案侧重于科摩诺酮的分配，同样源于Cui、Yang和Wu（2013）。证据存在均匀分布在[0，1]上的随机变量U，因此Y=V@RU（Y）是逆变换方法的一个版本，参见Glasserman（2004）中的第2.2.1节。我们注意到Pni=1ri（λ）=1，Nxi=1ri（λ）^gi（1- λ） =f（1- λ） （6）对于λ∈ [0，1]。首先，我们观察到nXi=1Xi=Y·nXi=1{Pi-1l=1αl≤U<Pil=1αl}+nXi=1Xi+essin f X=Y·1{U<d}+ZYnXi=1ri（λ）dλ+essinf X=Y·1{U<d}+Y·1{U≥d} +essinf X=X。对于任何i=1，2，n，Y·1{Pi-1l=1αl≤U<Pil=1αl}≥ V@Rd（Y）≥Xi，P（i-1Xl=1αl≤ U<iXl=1αl）！=αi.因此，对于λ≥ αi我们得到V@Rλ（Xi）=V@Rλ-αi（～Xi）+essinf Xn。（7） 类似地，对于λ≥ d我们有V@Rλ（Y）=V@Rλ-d（Y·1{U≥d} ），（8）和λ≥ 1.- d、 V@Rλ（Y·1{U≥d} ）=0。（9） 接下来，我们回顾Dhaene等人（2012）的一些事实。让Z≥ 0是非负随机变量。我们用FZ表示Z的分布函数。Z的caglad分位数函数由[0，1]给出→ [0，∞], λ7→ F-1Z（λ）=in f{z:FZ（z）≥ λ} ，其cadlag风险值函数为[0，1]→ [0，∞], λ7→ V@Rλ（Z）=F-1Z（1- λ） 。对于任何左连续畸变函数g，我们从Dhaene等人（2012）的定义3中获得：ρg（Z）=Z∞g（1- FZ（s））ds。（10） 回想备注7，ρg（Z）=RV@Rλ（Z）g（dλ），即使Z不是非负的。Dhaene等人。

（2012）意味着S<V@Rλ（Z）<=> FZ（s）<1- λ。（11） 最后，我们得到nXi=1ρi（Xi）=nXi=1ZV@Rλ（Xi）dgi（λ）等式（7）=essinf X+nXi=1Z[αi，1]V@Rλ-αi（~Xi）dgi（λ）=essinf X+nXi=1Z[0,1-αi]V@Rλ（~ Xi）d^gi（λ）=essinf X+nXi=1ZV@Rλ（~ Xi）d^gi（λ）（因为λ的^gi（λ）=1≥ 1.- αi）=essinf X+nXi=1ZV@Rλ（Ri（~Y））d^gi（λ）=essinf X+nXi=1ZRi[V@Rλ（~Y）]d^gi（λ）（因为Rimonotone增加）=essinf X+nXi=1ZZ∞[0，V@Rλ（~Y））（s）ri（s）dsd^gi（λ）=essinf X+nXi=1Z∞Z[0，V@Rλ（~Y））（s）d^gi（λ）ri（s）ds（根据Fubin i定理）等式（11）=essinf X+nXi=1Z∞gi[（1- FY（s））-]ri（s）ds=essinf X+Z∞nXi=1gi（1- FY（s））ri（s）ds（自gileft连续）等式（6）=essinf X+Z∞f（1- FY（s））dseq。（10） 和Rem.7=essinf X+ZV@Rλ（Y·1{U≥d} ）df（λ）公式（9）=essinf X+Z1-dV@Rλ（Y·1{U≥d} ）df（λ）式（8）=essinf X+ZV@Rλ（Y）dg（λ）=essinf X+ZV@Rλ（X- essinf X）dg（λ）A.2推论10的证明。明显地ni=1ρi（X）≤对于方程式（4）中定义的分配，nXi=1ρi（Xi）。因此，这两种主张都遵循定理9。A、 3定理的证明11证明。首先注意1=gi（1- d+αi）=bgi（1- d） 对于i=1，2，n、 因此g（1）=f（1- d） =最小值{bg（1- d） ，bg（1- d） ，cgn（1- d） }=1。观察不平等“≤” 从推论10得出，因为g（1）=1和V@Riscash不变性。我们为不平等提供了一个预防措施”≥”.我们通过导出畸变函数g，g，…，的个数n来证明这一陈述，gn。考虑前两个畸变函数gi，i=1，2，即n=2。在这种情况下，d=α+α。给定任意X，X∈ L∞用X+X=X，我们构造Y，Y∈ L∞使得ρ（X）+ρ（X）（12）=ρbg（Y）+ρbg（Y）（13）≥ ρf（Y）+ρf（Y）这一证明的初稿可以在本文作者指导的理学学士论文Agirman（2016）中找到。（14）≥ ρf（Y+Y）（15）≥Z[0,1]V@Rλ（X+X）g（dλ）。观察Dhaene等人的定理6。

（2012）我们得到rv@Rλ（X+X）g（dλ）=ρg（X+X），因为g（1）=1。我们将首先指定Y，然后验证不等式（12）–（15）。首先，观察▄X=X- essinf X≥ 0，~X=X- essinf X≥ 0、如果ρ（~X）+ρ（~X）≥ ρg（～X+～X），我们将essinf X+essinf Xto加到两边，以便通过现金不变性得到ρ（X）+ρ（X）≥ ρg（X+X）。因此，我们可以称之为e w.l.og。那个X，X≥ 0，并将从此执行此操作。设u和Ube随机变量，在[0，1]上均匀分布，使得X=V@RU1（X）和X=V@RU2（X）。集合Y=X·1{α≤U} ，Y=X·1{α≤U} 。ThenV@Rλ（Yi）=V@Rαi+λ（Xi），λ<1- αi，0，1- αi≤ λ。Dhaene et al.（2012）中的定理6表明，ρ（X）+ρ（X）=ZV@Rλ（X）dg（λ）+ZV@Rλ（X）dg（λ）=ZV@Rα+λ（X）d^g（λ）+ZV@Rα+λ（X）d^g（λ）=ZV@Rλ（Y）d^g（λ）+ZV@Rλ（Y）d^g（λ）=ρbg（Y）+ρbg（Y），即方程（12）。现在请注意，通过定义BGI≥ f，i=1，2。因此，ρbg（Y）+ρbg（Y）≥ ρf（Y）+ρf（Y），即不等式（13）。由于f是凹的，因此ρf（Y）+ρf（Y）≥ ρf（Y+Y），即不等式（14）。设Ai：={αi>Ui}，i=1，2。那么P（Ai）=αi，i=1，2。观察Ai的组成元素i=Xion，i=1，2。对于x∈ R我们得到p{Y+Y>x}≥ P（{Y+Y>x}∩ （A）∪ A） c）=P（{X+X>X}∩ （A）∪ A） c）≥ P{X+X>X}- P（A∪ （A）≥ P{X+X>X}- （α+α）=P{X+X>X}- d、 因为P{Y+Y>x}≥ 0，我们得到p{Y+Y>x}≥ （P{X+X>X}- d）∨ 0=（P{X+X>X}∨ d）- d、 我们有Y+Y≥ 构造为0，因此ρf（Y+Y）=Z∞f（P{Y+Y>x}）dx≥Z∞f（[P{X+X>X}∨ d]- d） dx（16）=Z∞g（P{X+X>X}）dx（17）=ρg（X+X），其中我们观察到（16）f（（y∨d）-d） =g（y），对于（17），X+X≥ 假设为0。这显示了（15）。接下来，我们证明了该声明适用于n+1畸变函数，如果它适用于多达n畸变函数。假设归纳假设为真，让g，g，参数为α，α，…，的gn+1be畸变函数，αn+1∈ [0，1）和凹面活动部件。在这种情况下，d=Pn+1i=1αi。

相应的畸变风险度量再次表示为ρ，ρ，ρn+1。定义（j）=最小值{bg，bg，…，bgj}，d（j）=jXi=1αi，g（j）（x）=0，0≤ x个≤ d（j），f（j）（x- d（j）），d（j）<x≤ 1（j=n，n+1）设X，X，Xn+1∈ L∞这样Pn+1i=1Xi=X.Seth（X）=0，0≤ x个≤ d、 f（x- d） ，d<x≤ 1，f=min{dg（n），[gn+1}。然后，使用两次归纳假设，我们得到ρh（X）≤ ρg（n）（nXi=1Xi）+ρn+1（Xn+1）≤n+1Xi=1ρi（Xi）。（18） 最后注意，d=d（n）+αn+1=Pn+1i=1α，f=min{dg（n），[gn+1}=min{bg，bg，…[gn+1}，因此h=g（n+1）。根据Dhaene et al.（2012）中的定理6，我们最终将方程式（18）的左侧改写为ρh（X）=ρg（n+1）（X）=Z[0,1]V@Rλ（X）g（n+1）（dλ）。这证明了这一说法。A、 4定理的证明14证明。由于风险度量的现金不变性，我们可以假设X≥ 设Ua随机变量，均匀分布在[0，1]上，使得V@RU（X）=X。对存储函数和风险度量重新编号，我们假设g（1- d+α）<1。对于m∈ N we setX1，m：=X·1{U<α}+X·1{d≤U}- m·1{α≤U<d}，Xi，m：=（X+m）·1{Pi-1l=1αl≤U<Pil=1αl}（i=2，3，…，n）。显然，通过构造pni=1Xi，m=X。因为gi是参数αi>0和X的畸变函数≥ 因此X+m>0，我们得到ρi（Xi，m）=0，i=2，3，n、 我们计算v@Rλ（X1，m）=V@Rλ（X），λ<α，V@Rλ+d-α（X），α≤ λ<1- d+α，-m、 1个- d+α≤ λ。根据Dhaene et al.（2012）中的定理6，我们得到ρ（X1，m）=Z[0,1]V@Rλ（X1，m）g（dλ）=c- m·（1- g（1- d+α），其中常数c≥ 0由c=Z[0,1]V@Rλ（X）·1[0，α）（λ）+V@Rλ+d给出-α（X）·1[α，1-d+α）（λ）g（dλ）<∞.根据假设，1- g（1- d+α）>0，因此ρ（X1，m）→ - ∞ 作为m→ ∞.A、 5定理的证明18证明。使用定理9的符号，我们定义i=1，2，n随机变量szi=Y·1{Pi-1l=1αl≤U<Pil=1αl}。

然后Zi≡ 集合{V@Rαi（Zi）上的0≥ Zi}和V@Rαi（Zi）=0。因此，ρi（Xi）=ρiZi+essinf Xn= ρi（Zi）+essinf Xn=ρiZi·1{V@Rαi（Zi）≥Zi}+V@Rαi（Zi）·1{V@Rαi（Zi）<Zi}+essinf Xn=ρi（0）+essinf Xn这意味着Pni=1ρi（Xi）=Pni=1ρi（0）+essinf X。备注24。除了直接证明定理18，我们还可以观察到ρi≤ ρi（0）+V@Rαi，并且inf卷积相对于风险度量是一个月增长的，并且最终应用V@Rαi的相应结果，i=1，2，n、 正如Embrechts et al.（2017）中给出的n。A、 6定理的证明22证明。使用定理9的符号，我们定义i=1，2，n- 1和d m>0随机变量xi，m=（Y+m）·1{Pi-1l=1αl≤U<Pil=1αl}+essinf XnandXn，m=（Y+m）·1{Pn-1l=1αl≤U<d}+Y·1{d≤U} +essinf XnXn+1，m=-m·1{d>U}。由于ρ，ρ，ρnareV@R-具有参数α，α，…，的类型风险度量，αn，我们计算ρi（Xi，m）=ρi（0）+essinf Xn，i=1，2，n- 1，ρn（Xn，m）=ρnV@Rd（Y）·1{Pn-1l=1αl≤U<d}+Y·1{d≤U} +essinf Xn≤ ρn（0）+V@Rd（Y）+essinf XnSinceρn+1在d级具有强盈余敏感性，我们得出ρn+1（Xn+1，m）≤ ρn+1（U- m·1{V@R1-d（U）≥U} ）m→∞-→ -∞.因此，n+1Xi=1ρi（Xi，m）≤nXi=1ρi（0）+V@Rd（Y）+essinf X+ρn+1（Xn+1，m）m→∞-→ -∞.参考Sagirman，Sipan（2016），Risikoteilung und Repr¨asentationen von Risikomassen mittelsChoquet integraten。B、 汉诺威莱布尼茨大学理学学士论文。顾问：斯特凡·韦伯。Choquet，Gustave（1954），“能力理论”，安。仪器Fourier 5131–295。Christiansen，马库斯C。

&Andreas Niemeyer（2014），“Solvency II中Solvency资本要求的基金基本定义”，ASTIN公告44（3），501–533。Cont，Rama，Romain Deguest&Giacomo Scandolo（2010），“风险衡量程序的稳健性和敏感性分析”，定量金融10（6），593–606。崔伟，杨景平，吴岚（2013），“一般再保险保费原则下的最优再保险最小化扭曲风险测度”，保险：数学与经济学53（1），74–85。Denneberg，Dieter（1994），《非加性测度与积分》。，多德雷赫特：克鲁沃学院出版社。Dhaene，Jan，Alexander Kukus h，Dani¨el Linders&Qihe Tang（2012），“关于数量和扭曲风险度量的评论”，《欧洲精算杂志》第2期（2），319-328页。Dhaene，Jan，Steven Vandu Offel，Marc J.Goovaerts，Rob Kaas，Qihe Tang和David Vyncke（2006），“风险度量和共单调性：综述”，随机模型22（4），573-606。Embrechts，Paul，Haiyan Liu&Ruodo Wan g（2017），分位数风险分担。工作纸。菲利波维奇、达米尔和迈克尔·库珀（2008），“集团多元化的最佳资本和风险转移”，数学金融18（1），55–76。F¨ollmer，Hans&Alexander Schied（2011），《随机金融——离散时间导论》，研究生教科书系列，第三版，柏林德格鲁伊特。F¨ollmer，Hans&Stefan Weber（2015），“资本决定风险度量的公理化方法”，《金融经济学年鉴》第7期，第301–337页。Alfred Galchion（2010），“TheV@R《面临风险》，国际理论与应用金融杂志13（4），503–506。Glasserman，Paul（2004），《金融工程中的蒙特卡罗方法》。，纽约州纽约市：斯普林格。Greco，Gabriele H。

（1982），“Sulla rappresentazione di fu nzionali mediante integrali”，Rendicontidel Seminario Matematico della Univ ersita di Padova 66，21–42。海尔、Andreas、Ilya Molchanov和Michael Schmutz（2016），“集团内转移、集团内多元化及其风险评估”，《金融年鉴》12（3-4），363-392。Jouini，Ely\'es，Walter Schachermayer&Nizar Touzi（2008），“法律不变货币效用函数的最优风险分担”，数学金融18（2），269–292。Keller，Philipp（2007），“集团多元化”，关于风险和保险问题的日内瓦论文和实践32（3），382–392。Kr¨atschmer，Volker，Alexander Schied&Henryk Z¨ahle（2014），“法律不变风险度量的比较和量化稳健性”，金融与随机18（2），271–295。欧洲共同体理事会（1983年），“1983年6月13日第七届理事会指令83/349/EEC，基于《合并账户条约》第54（3）（g）条”。欧盟委员会（2009年），“欧洲议会和欧盟理事会2009年11月25日关于开展保险和保险业务（偿付能力II）的第2009/138/EC号指令”。第（64）号。Schmeidler，David（1986），“无可加性的积分表示。”，过程。是数学Soc。97255–261。宋永胜、严嘉安（2006），“两类趣味词的表征”∞(Ohm, F） 和L∞(Ohm, F、 《中国科学》A辑：数学49（10），1376–1382。Song，Yongsheng&Jia\'an Yan（2009a），“静态风险度量的表示定理概述”，Sci。中国，Ser。

A 52（7），1412–1422年。Song，Yongshen g&Jia\'an Yan（2009b），“具有共单调次加性或凸性且尊重随机顺序的风险度量”，保险：数学与经济学45（3），459–465。Wang，Ruodu（2016），“风险措施的监管套利”，量化金融16（3），337–347。Wang，Ruodu，Valeria Bignozzi&Andreas Tsanakas（2015），“风险度量的超加性如何？”，暹罗金融数学杂志6（1），776-803。Wang，Shaun（1996），“通过改变图层溢价密度计算溢价”，ASTINBulletin 26（1），71–92。