不同主观预测的交易者群体行为

托克，《定量金融》15，795（2015），http://dx.doi.org/10.1080/14697688.2014.963654.[12] J.M.凯恩斯，《经济学季刊》51209（1937）。[13] F.Allen、S.Morris和H.S.Shin，《金融研究评论》19719（2006）。[14] R.Carmona和F.Delarue，《暹罗控制杂志》0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0012345p0：初始市场β：随机效应梯度至θ1-4.5-3.0-1.501.53.04.5图。7、0时θ的梯度(-α（p）p+α（p）（1-p） ）在（p，β）-平面上。我们开始了θ=1，ρ=0.9，c=0.03，α=5。和优化，《暹罗控制与优化杂志》512705（2013）。[15] R.Carmona和D.Lacker，Ann。应用程序。概率。251189（2015年）。[16] J.-M.Lasry和P.-L.Lions，“平均场比赛”（2015年）。[17] A.Lachapelle、J.-M.Lasry、C.-A.Lehalle和P.-L.Lions，arXiv预印本arXiv:1305.6323（2013）。[18] O.Gu’eant、J.-M.Lasry和P.-L.Lions，《2010年普林斯顿数学金融讲座》（Springer，2011）第205-266页。[19] V.A.Dobrushkin，《应用微分方程：初级课程》（Chapman and Hall/CRC，2014）。[20] R.Hassin和M.Haviv，《排队与否：排队系统中的均衡行为》，第59卷（SpringerScience&Business Media，2003）。【21】V.N.Kolokoltsov，《非线性马尔可夫过程和动力学方程》，第182卷（剑桥大学出版社，2010年）。[22]E.F.Fama，《商业杂志》38，34（1965年）。[23]L.Kleinrock，《排队系统》第1卷（约翰·威利·安德森，1975）。补充材料预计等待时间E【W】和E【W】在这里，我们总结了分析LOB所需的M/M/1优先级队列的已知结果（见【11、20、23】）。具有泊松到达率（λ）和指数服务时间（therateu）的M/M/1队列的等待时间为1/（u）-λ） ，当ρ=λ/u<1且队列处于静止状态时。

在LOB模型中，服务时间对应于执行最优惠订单所需的时间，这等于买方市场订单的到达时间。设p为下θ订单的交易者的比率，并假设优先级队列处于平稳状态。由于低优先级θ顺序不会影响高优先级θ队列，后者可以用到达率λp的M/M/1队列来建模。因此，E[W]=1/（u-λp）。此外，θ和θ队列的聚合平均等待时间为1/（u），可由到达率为λ的非热/米/1队列估计- λ） ，因为总等待时间（工作量）与是否采用优先级无关（一个订单的优先级总是由其他订单的延迟来补偿）。因此，根据工作量守恒定律，我们有u- λ=pE【W】+（1- p） 东[西]。重新安排条款，我们得到了预期的等待时间，单位为θasE【W】=u（u- λ） （u- λp）。市场预测的类Picard迭代在这里，我们证明了类Picard迭代x在有限区间[0，T]上一致收敛于唯一函数x，如（3）所示。设g（p，c）为g（p，c）=ρc/u（1）定义的函数- ρ） （1）- ρp）- θ、 如（1）所示。那么，g（p，c）在p中是Lipschitz连续的∈[0，1]。实际上，因为g（p，c）是凸的g级p（p，c）≤g级p（1，c）=ρc/u（1- ρ） ，我们有| g（p，c）- g（q，c）|≤ρc/u（1- ρ） | p- q |。设a（p）=- {α（p）+α（p））}=-2β- α| g（p，c）|和b（p）=α（p）=β+αg+（p，c）。

因为g（p，c）是p的lipchitz连续有界函数∈ [0，1]，函数a（p）和b（p）也是如此。给定一个任意可测函数x（t），其值在[0，1]中，考虑一个非齐次微分方程：ddtu（t）=a（x（t））u（t）+b（x（t）），（5）初始条件为u（0）=p，它等价于积分方程：u（t）=peRta（x（s））ds+Ztb（x（s））eRtsa（x（s））dsds。我们给出了一个有用的引理来评估（5）的解的差异。引理1。给定两个任意函数x（t）和y（t），考虑两个微分方程：ddtu（t）=a（x（t））u（t）+b（x（t）），ddtv（t）=a（y（t））u（t）+b（y（t）），具有共同的初始条件u（0）=v（0）=p。然后，存在一个常数L>0，使得对于所有t∈ [0，T]，| u（T）- v（t）|≤ LZt | x（s）- y（s）| ds。证据由于a（p）和b（p）都是[0，1]上的Lipchitz连续有界函数，我们有ddt | u（t）- v（t）|≤ L | u（t）- v（t）|+L | x（t）- y（t）|，对于某些正常数Land L。通过Gronwall不等式，我们得到了| u（t）- v（t）|≤ |u（0）- v（0）| eLt+ZtL | x（s）- y（s）| eL（t-s） ds公司≤ LZt | x（s）- y（s）| ds，其中L=LeLT。给定初始值为x（0）=p的任意初始可测函数x（t），我们定义了类Picard迭代xnbyxn（t）=peRta（xn-1（s））ds+Ztb（xn-1（s））eRtsa（xn-1（s））DSD，相当于toddtxn（t）=a（xn-1（t））xn（t）+b（xn-1（t）），初始条件xn（0）=p。注意，原始Picard迭代源自dxn（t）/dt=a（xn-1（t））xn-1（t）+b（xn-1（t））（例如参见[19]），这与我们的略有不同。由于值x（t）和x（t）始终在[0，1]中，| x（t）- x（t）|≤ 1.

引理1，| x（t）- x（t）|≤ LZt | x（s）- x（s）| ds≤ Lt.感应式，我们可以显示| xn+1（t）- xn（t）|≤（Lt）kk！，对于所有t∈ [0，T]，∞Xn=0 | Xn+1（t）- xn（t）|≤ 英语教学。因此，通过Weierstrass M-test，有限集水坑∞n=0（xn+1（t）- xn（t））在[0，t]上一致收敛。那么，xn（t）=x（t）+nXk=0（xk+1（t）- xk（t））→ x（t）+∞Xk=0（Xk+1（t）- xk（t））=x（t），在[0，t]上一致为n→ ∞. 函数x（t）由该极限定义。通过x到x的一致收敛，我们可以推断极限x满足x（t）=peRta（x（s））ds+Ztb（x（s））eRtsa（x（s））dsds，相当于toddtx（t）=a（x（t））u（t）+b（x（t）），初始条件u（0）=p。这证明了极限x从x开始的存在。考虑两个不同的迭代x和y从两个不同的函数x和y开始，共同的初始条件：x（0）=y（0）=p。通过事实| x（t）-y（t）|≤ 引理1，我们有| x（t）- y（t）|≤ LZt | x（s）- y（s）| ds≤ Lt.因此，通过类似的归纳论点，我们得到了有限和的界：∞Xn=0 | Xn（t）- yn（t）|<eLT，表示| xn（t）- yn（t）|→ 因此，| x（t）- y（t）|≤ |x（t）- xn（t）|+| xn（t）- yn（t）|+| yn（t）- y（t）|→ 这表明Picard迭代x的极限与初始函数x的选择无关。