均值-方差准则下超额损失再保险的最优性

（3.16）通过将V和g fr om（3.6）的表达式代入（3.2），并使用（3.15）和（3.16）的结果，我们得到了l,πBt+Cl,π（t）er（t-t）-γe2r（T-t）σ+2ρσσπ+σπ+Z∞l（z，t）ν（dz）= 0。（3.17）（3.17）中的表达式相对于π是凹的；因此，我们从一阶条件中获得π的最佳值。具体而言，π*（t） =u- rγσe-r（T-t）- ρσ。（3.18）接下来，考虑以下条款：l 在（3.17）中，即Z∞ηl（z，t）-γer（T-t）l（z，t）ν（dz）。（3.19）对于给定的t，如果我们使（3.19）z-x-z中的积分中的被积函数最大化∈ [0，T]，那么我们将使积分本身最大化。关于l, f的图(l) := ηl -γer（T-t）l是通过原点（0，f（0））=（0，0）增加的凹抛物线；因此，f的最大化子l*∈ [0，z]是givenbyl*（z，t）=ηγe-r（T-t）∧ z、 （3.20）如果我们将u替换为*= (l*, π*) 转化为（3.17）并求解B（t）（通过使用终端条件B（t）=0），然后我们得到（3.12）中的表达式。同样，如果我们求解方程A中的b（t）（具有相同的条件b（t）=0）l*,π*er（T-t） x+b（t）= 0，则得到（3.14）中的表达式。因此，u*, （3.10）、（3.11）和（3.13）中分别定义的V和g满足定理3.1中的条件（1）–（3）。要完成此证明，请注意u*是一种可接受的策略，如定义2.2所述。备注3.1引理3.1和定理3.2证明了在均值-方差准则下，超额损失再保险是时间一致性保险人的唯一均衡策略；从这个意义上说，我们认为它是最优的。请注意，均衡策略独立于状态变量x。这种独立性是因为风险规避γ是一个常数。参见（1.1），其中效用确定性等价物的平均方差近似中的γ表示效用的绝对风险厌恶。

回想一下，如果效用表现出恒定的绝对风险厌恶，那么效用函数的形式是指数型的，指数效用下的决策结果与状态变量无关。参见Basak和Chabakauri【5】和Bj¨ork等人。[8] 供进一步讨论。此外，均衡超额损失策略独立于风险资产的参数和保险人的安全负荷，而均衡风险策略独立于保险人和再保险人的安全负荷。换句话说，均衡再保险策略不受金融市场的影响，而均衡投资策略不受再保险价格的影响，两种策略都不受初级保险价格的影响。下面的推论给出了均衡策略的行为。证明是向前延伸的，因此省略了。我们将在下一节的数值分析中讨论平衡策略行为背后的直觉。推论3.1平等保留请求权l*（z，t）η和t增加，r、γ和t减少，与x、θ、ρ、σ和σ无关；投资于风险资产的均衡金额π*（t） u和t增加，r、γ、ρ和t减少，与x和z无关。3.3相关问题在本节中，我们将定理3.2中的平衡策略与两个相关问题的最优策略进行比较。3.3.1指数效用首先，正如我们在引言和备注3.1中所观察到的，均值-方差标准与恒定绝对风险厌恶γ下终端财富的预期效用最大化有关。

对于后一个问题，一个标准验证定理指出，如果我们找到一个经典的解决方案l,πAl,πU（x，t）=0，终端条件U（x，t）=-e-γx，那么U等于su pl,πEx，t[u（XuT）]，在wh ich u（x）=-e-γx.此外，最优策略由A的最大值以反馈形式给出l,πU（x，t）。对于本文中的模型，很容易证明最优策略是(lu、 πu），其中luandπuare由给出lu（z，t）=ln（1+η）γe-r（T-t）∧ z、 πu（t）=u- rγσe-r（T-t）- ρσ。（3.21）注意，对于η的较小值，luis近似等于l*, 但πu等于π*.这一结果进一步证实了在风险规避参数γ为常数的平均方差准则中找到均衡策略与在绝对风险平均值γ为常数的情况下最大化终端财富的预期效用之间的密切关系。3.3.2预承诺第二，如果保险人在整个期间[0，T]的时间0预先承诺其策略，以最大化（2.2）中的时间0均值方差目标函数，则最优投资策略与π不同*, 如Basak和Chabakauri【5】所示。此外，最优再保险策略也不同于l*. 我们将在本节中演示后一种说法。预承诺问题由UP给出l,πEx，0[XT]-γVarx，0[XT]。（3.22）通过遵循周和李[33]的工作，我们首先解决了以下辅助问题u（x，t）=supl,πEx，thαXT-γXTi，（3.23），反馈形式中给出的最优策略为^π（α，Xt，t），^l（α，z，Xt，t）. 通过将α设置为溶液α*下式α=1+γEx，0X^π（α，Xt，t），^l（α，z，Xt，t）t,（^π，^）l) α=α*等于（3.22）中承诺前问题的最优策略。断开对照l 将取决于状态变量x和wr itel = l（z，x，t）在反馈模式中。

此外，（^π，^）l) 显然取决于xthroughα*. 注意，（3.23）中的U相对于x是凹的，因为αx-γxis为凹形，剩余量与对照组成线性关系。如果我们找到一个经典的解决方案l,πAl,πV（x，t）=0，终端条件V（x，t）=αx-γx，然后V=U，是（3.23）中辅助问题的值函数。假设我们有这个边值问题的经典解；没有歧义，写为U。然后，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程中的项包括l 阿雷马克斯lZ∞（（1+η）l Ux（x，t）+U（x- l, t） ）ν（dz）。在定理3.2的证明中，我们通过最大化（x，t）的固定值的被积函数z-by-z来最大化积分l 使0≤ l（z、x、t）≤ z、 因为U相对于x是凹的，所以很容易证明最优再保险的形式为^l（z，x，t）=d（x，t）∧ z、 （3.24），其中d=d（x，t）由d（x，t）给出=lc、 如果lc∈ （0，z）s.t.（1+η）Ux（x，t）=Ux（x- lc、 t），∞, if（1+η）Ux（x，t）- Ux（x- lc、 t）>0，l > 00，如果Ux（x，t）≤ 时间T时为0。（3.25），U（x，T）=α*x个-γx和α*取决于x；因此，^l（z，x，T）=ηα*γ- x个+∧ z 6=ηγ∧ z=l*（z，T）。因此，对于时间一致性问题，最优承诺前再保险策略不同于均衡再保险策略。4数值示例示例4.1（均衡策略）在本示例中，我们检查了（3.10）中给出的均衡再保险投资策略对不同参数的敏感性。除非另有说明，参数值由r=0.05、u=0.10、σ=0.20、σ=0.30、η=0.60、ρ=0.50、γ=1和T=9给出。用（m）表示相应的均衡策略*, π*), 其中*（t） =ηγe-r（T-t） 。另请注意，如果我们在时间T开始预承诺问题- 对于>0小，则为LIM→0^l（z，x，T）=ηγ∧ z=l*（z，T）因为lim→0xT-=x，其中XT=x。

这种相等是有道理的，因为在一个非常小的间隔上预提交相当于在该间隔上保持时间一致。r0.02 0.03 0.04 0.05 0.06米*0.30.350.40.450.50.550.60.650.7t=0t=3t=6t=9r0.02 0.03 0.04 0.05 0.06π*-0.10.10.20.30.40.50.6t=0t=3t=6t=9图1。r.γ0.5 1 1.5 2m的影响*0.51.52.5t=0t=3t=6t=9γ0.5 1 1.5 2π*-0.50.51.52.5t=0t=3t=6t=9图2。γ的影响。在图1中，我们绘制了r在不同时间t对再保险投资策略f的影响*和π*随着无风险利率的增加而减少，m除外*当t=t时，它是常数。当发生大额索赔时，保险人可能会向无风险资产借款，以帮助恢复偿付能力；回想一下，投资于无风险资产的金额等于x- π*（t） ，当盈余x为负时，为负。因此，随着借款成本越来越高，保险公司承担的保险风险也越来越小。此外，随着无风险资产变得更具吸引力，保险人减少对风险资产的投资金额是合理的。在图2中，我们绘制了γ对再保险投资策略的影响。请注意，随着保险人变得更加厌恶风险，它承担的保险风险和财务风险也会减少。η0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1m*0.10.20.30.40.50.60.70.80.9t=0t=3t=6t=9图3。η对m的影响*.ρ-0.5 0.5π*0.10.20.30.40.50.60.70.80.9t=0t=3t=6t=9σ0.1 0.15 0.2 0.25 0.3π*-0.2-0.10.10.20.30.4t=0t=3t=6t=9图4。ρ（左）和σ（右）对π的影响*.在图3中，我们绘制了η对保留水平m的影响*. 请注意，m*随η增加而增加。换言之，随着再保险单变得越来越昂贵，保险人保留了更多的保险风险。在图4中，我们绘制了ρ、σ对投资策略的影响。首先，我们从左边的面板上看到，随着ρ的增加，π*减少。

其次，我们从右图中看到，随着保险市场变得更加动荡，投资于金融市场的金额减少，因为这两个市场之间存在正相关性（ρ=0.50）。例4.2（比例与超额损失再保险）在本例中，我们假设基本盈余过程遵循经典的Cram'er Lundberg模型dut=c dt- dNtXi=1Yi，U=U，其中{Yi}∞i=1是一个独立且同分布的指数随机变量序列，具有共同的生存函数S（y）：=e-k yfor y>0表示个人索赔金额，且{Nt}t≥0是一个泊松过程，强度λ>0表示Claims数，与{Yi}无关。保险费率c=（1+θ）λκ。通过应用等式（3.11），其中ν（dz）=λF（dz），σ=0，σ=σ，Cram'er-Lundbergmodel下的相应值函数由v（x，t）=er（t）给出-t） x+B（t），（x，t）∈ R×[0，T]，其中b（T）=ZTt（2γu- rσ+ er（T-s） “（θ- η） λE[Y]+ηλZηγE-r（T-s） s（y）dy#-γλe2r（T-s） Zηγe-r（T-s） yS（y）dy）ds。此外，我们有g（x，t）=Ex，thXu*Ti=er（T-t） x+b（t），（x，t）∈ R×[0，T]，其中b（T）=ZTt（γu- rσ+ er（T-s） “（θ- η） λE[Y]+ηλZηγE-r（T-s） s（y）dy#）ds和Varx，t（Xu*T） =γ（g（x，T）- V（x，t））。其他参数值等于r=0.05、u=0.10、σ=0.30、γ=0.50、T=3、θ=0.50、η=0.60、λ=1和κ=0.50。在该模型下，我们将价值函数V与Zeng等人[28]确定的均衡比例再保险V下的价值函数进行比较。我们从图5中的顶部面板可以看出，V在边界t=t处表示Vexcept，其中V（x，t）=V（x，t）=x。

换言之，均衡比例再保险政策在更大类别（即广义再保险政策）中显然不是最优的l 其中0≤ l（Zt，t）≤ Zt。我们还从图5的底部面板中看到，与均衡比例再保险相比，当平均值和方差分开查看时，尽管均衡超额损失政策产生了更大的终端平均值，但相关的终端风险也更大。t0.5x1.5-1V（t，x）VVt0.5x1.5E（t，x）EEt0.5x1.5Var（t，x）V arV arV图5。超额损失vs.比例再保险。5未来研究在未来的研究中，我们将从两个方向扩展本文的工作。首先，我们将允许绝对风险平均系数取决于盈余，如Bj¨ork等人[8]。风险规避通常被认为随着财富的增加而减少，因此选择γ（x）作为x的递减函数是合理的。γ（x）的一个自然选择=δx，其中δ是一个正常数，可以解释为相对风险规避。其次，我们将考虑再保险人的预期价值保费原则以外的保费原则。例如，对于标准差、方差或Wang保费原则，我们不一定期望超额损失再保险是最优的。参考文献[1]Arrow，Kenneth J.（1963）。不确定性与医疗福利经济学。《美国经济评论》（AmericanEconomic Review），53941-973。[2] Avram、Florin、Zbigniew Palmowski和Martijn R.Pistorius（2007年）。关于谱负L'evy过程的最优分割问题f。《应用概率年鉴》，17（1），156180。[3] 白、李华、郭俊义（2010）。最优动态超额损失再保险与多维投资组合选择。《科学中国数学》，53（7），1787-1804年。[4] 白、李华、蔡军和周明（2013）。

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