均值-方差准则下超额损失再保险的最优性

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英文标题：
《Optimality of Excess-Loss Reinsurance under a Mean-Variance Criterion》
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作者：
Danping Li, Dongchen Li, Virginia R. Young
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we study an insurer\'s reinsurance-investment problem under a mean-variance criterion. We show that excess-loss is the unique equilibrium reinsurance strategy under a spectrally negative L\\\'{e}vy insurance model when the reinsurance premium is computed according to the expected value premium principle. Furthermore, we obtain the explicit equilibrium reinsurance-investment strategy by solving the extended Hamilton-Jacobi-Bellman equation.
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中文摘要：
本文研究了均值-方差准则下保险人的再保险投资问题。我们证明了在谱负L{e}vy保险模型下，当根据期望值保费原则计算再保险保费时，超额损失是唯一的均衡再保险策略。此外，通过求解扩展的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们得到了显式均衡再保险投资策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Optimality_of_Excess-Loss_Reinsurance_under_a_Mean-Variance_Criterion.pdf (312.4 KB)

2022-5-31 05:47:38 上传

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关键词：再保险 Applications Quantitative reinsurance equilibrium

均值-方差准则下超额损失再保险的最优性*李东臣+弗吉尼亚R.杨2018年9月13日摘要本文研究了均值方差准则下保险人的再保险投资问题。研究表明，当按照期望值保费原则计算再保险保费时，超额损失是在特定负L'evy保险模型下唯一的均衡再保险策略。此外，通过求解扩展的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们得到了保险投资策略的显式均衡。JEL代码：C730、G220。关键词：均值-方差准则；均衡再保险投资策略；超额损失再保险；列维保险模式。1简介综合再保险和投资策略通常由保险公司（分出）采用，以提高其承保能力，稳定承保结果，保护自身免受灾难性损失，并实现财务增长。在精算学文献中，对保险人最优再保险投资策略的研究在各种标准下都受到了相当大的关注，包括最小化破产概率（例如，见Promislow和Young【22】、Zhang等人【31】和Chen等人【9】），最大化终端财富的预期效用（例如，见Liu和Ma【18】、Bai和Guo【3】、Gu et al。

[11] ，Liang和Bayraktar[15]），以及在方差约束下最大化预期终端财富，即所谓的平均方差标准（例如，参见B¨auerle[6]和Zeng和Li[27]）。均值-方差准则与终端财富的预期效用最大化密切相关。事实上，Pratt[21]观察到“小”随机增益Y低于预期效用理论的确定性等价近似等于（Y）-γVar（Y），（1.1）*滑铁卢大学统计与精算科学系，滑铁卢，ON，N2L 3G1，加拿大(d268li@uwaterloo.ca)+加拿大滑铁卢市滑铁卢大学统计与精算学系，邮编N2L 3G1(d65li@uwaterloo.ca)通讯作者。密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡，48109，美国(vryoung@umich.edu)其中γ是效用最大化者的绝对风险厌恶。请注意，最大化（1.1）准确地说是平均方差标准。此外，在相当一般的条件下，最优保险可从风险规避效用最大化者的保险中扣除（例如，见Arrow【1】、van Heervarden【25】、Moore and Young【20】）。因此，当最大化（1.1）（或解决相关博弈）时，Y等于保险公司的最终财富，我们期望最优（或均衡）再保险将是可扣除或超额损失的再保险，我们在定理3.2中证明了这一点。此外，由于风险规避γ是常数，因此免赔额与保险人的盈余无关。在均值-方差准则下，再保险投资问题是时间不一致的，因为Bellman的最优性原则失败了。为了解决时间一致性问题，我们将问题描述为一个非合作博弈，并求解一个子博弈完美纳什均衡。

具体来说，在每个时间点，玩家都会通过将问题视为与自己的所有未来版本的游戏来解决均衡策略。因此，均衡策略是时间一致的。我们可以将这种方法追溯到Strotz【24】，最近Bj¨ork和Murgoci【7】进一步发展了这种方法，用于马尔可夫框架中的一类一般目标函数。由于时间一致性对于理性保险人的重要性，该方法已经被许多学者应用于解决再保险投资问题文献中的均衡策略（例如，见Zeng等人【28】和Lin and Qian【17】）。在均值-方差标准下的均衡再保险和投资文献中，最常研究两种类型的再保险政策：（1）比例（配额份额）再保险（例如，见Zeng和Li【27】，S hen和Zeng【23】，以及上一段附录d中给出的两种参考文献）和（2）超额损失再保险（例如，见Li等人【14】）。鉴于丰富的文献，自然会产生一个问题，为什么我没有得到太多的关注：在所有合理的再保险保单中，哪种再保险保单在均值-方差标准下为保险人产生均衡？在这个标准下，购买超额损失再保险是唯一的均衡策略。我们通过谱负L'evy过程对保险人的基本盈余过程，即无任何再保险投资策略的盈余过程进行建模。该模型广泛应用于精算文献中的风险理论（例如，见Yang和Zhang【26】、Chiu和Yin【10】、Avram等人【2】和Landr iault等人【13】）。

它是在再保险投资问题背景下研究的许多保险模型的推广，包括布朗运动模型（例如，见Promislow和Young[22]）、经典的Cram'er-Lundberg模型（例如，见Zeng等人[29]）和跳跃扩散模型（例如，见Z eng等人[28]）。我们证明了当按照期望值保费原则计算再保险保费时，超额赔付是时间一致性保险人在均值-方差准则下的唯一均衡策略。如上所述，这一结果与文献中的一些结论是一致的；特别是，在预期价值保费原则和各种目标函数下，超额损失（再保险）保险是最优的，包括最大限度地提高最终财富的预期效用（参见梁和郭【16】、曾g和罗【30】）和最小化破产概率（参见张等人【31】、孟和詹g【19】、白等人【4】、周和蔡【32】）。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了我们的模型，并确定了保险人面临的均衡问题。在第三节中，我们证明了超额损失再保险是唯一的均衡策略，并得到了均衡再保险投资策略的显式表达式和相应的均衡价值函数。我们还讨论了与均值-方差准则密切相关的两个问题：（1）最大化终端财富的预期指数效用；（2）最大化承诺时间-0均值-方差准则。在第4节中，我们给出了一些数值例子来说明我们的发现，第5节总结了本文。2模型公式集Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P是一个满足通常条件的过滤的完全概率空间，并且让T>0是一个有限的时间范围。

考虑一个保险人的基本盈余过程，该过程由一个基于该概率空间定义的谱负L'evy过程建模，动态UT=c dt+σdB（1）t-Z∞z N（dz，dt），U>0，其中c>0是溢价率，σ>0是波动率，B（1）tt型≥0是F适应的标准布朗运动，N（dz，dt）是泊松随机测度，表示时间段（t，t+dt）内大小为（z，z+dz）的保险索赔数量。B（1）和N是独立的。有关列维过程的更多信息，请参见Kyprianou【12】。用N（dz，dt）=N（dz，dt）表示N（dz，dt）的补偿度量- ν（dz）dt，其中ν是L'evy度量，使得r∞zν（dz）<∞; ν（dz）表示单位时间间隔内规模（z，z+dz）的预期保险索赔数量。保险人的保费c根据预期价值原则确定，即c=（1+θ）R∞zν（dz），其中θ>0是保险人的比例安全负荷。保险公司通过购买带有保留索赔的再保险保单（策略）来管理其保险负债{lt} t型∈[0，T]，仅限0≤ lt型≤ zt当索赔等于Ztat timet时∈ [0，T]。注意，reinsu rer覆盖了额外损失Zt- lt、 我们将寻找反馈表中给出的再保险策略lt=l（Zt，t），其中我们通过使用l在这个等式的两边。从技术上讲，我们应该先验地假设保留策略取决于盈余，但在下面的定理3.2中，我们将发现平衡保留是盈余的一部分。因此，为了简单起见，我们省略了l’它可能依赖盈余。再保险单的时间t保险费率由（1+η）Z给出∞（z）- l（z，t））ν（dz），根据期望值原则再次确定，其中η是再保险人的比例安全负荷。

文献中通常假设η>θ，这表明再保险单比主险更昂贵，通过使用此假设，通常可以避免琐碎的结果。根据保留条款l, 剩余过程的动态由DRT=dUt控制- （1+η）Z∞[z]- l（z，t）]ν（d z）dt+z∞[z]- l（z，t）]N（dz，dt）=（1+θ）z∞zν（dz）dt+σdB（1）t- （1+η）Z∞[z]- l（z，t）]ν（dz）dt-Z∞z N（dz，dt）+z∞[z]- l（z，t）]N（dz，dt）=z∞（（θ）- η） z+ηl（z，t））ν（dz）dt+σdB（1）t-Z∞l（z，t）~N（dz，dt）。此外，假设保险人投资于一个金融市场，该市场由一个无风险资产组成，其固定利率r>0，以及一个由几何布朗运动控制的风险资产，动态St=uStdt+σStρdB（1）t+p1- ρdB（2）t, S> 0，其中u>r，σ>0，ρ∈ (-1、1）和B（2）tt型≥0是一个F适应的标准布朗运动，与B（1）和N无关。设πtdenote为t时投资于therisky资产的盈余的美元金额，并设{Xut}t∈[0，T]表示再保险投资策略下相应的保险盈余过程u：=(l（Zt，t），πt）t∈[0，T]。剩余过程{Xut}t的动力学∈[0，T]由dxut=πtdStSt+（Xut）给出- πt）r dt+dRt=rXut+（u- r） πt+Z∞（（θ）- η） z+ηl（z，t））ν（dz）dt+qσ+2ρσσπt+σπtdBt-Z∞l（z，t）~N（dz，dt），（2.1），其中{Bt}t≥0是一个F适应的标准布朗运动，与N无关，由bt=σ+ρσπtpσ+2ρσσπt+σπtB（1）t+p1定义- ρσπtpσ+2ρσσπt+σπtB（2）t。为了便于记法，设Ex，t[·]=E·Xut=x和Varx，t[·]=Var·Xut=x.定义2.1（容许策略）。

A策略u=(l（Zt，t），πt）t∈[0，T]如果满足以下条件，则称为可容许：（1）u是F-渐进可测；（2） 对于所有t∈ [0，T]和Zt≥ 0，0≤ l（Zt，t）≤ Zt；（3） 适用于所有（x，t）∈ R×[0，T]，Ex，thRTt(l（Zs，s）+πs）dsi<∞ 概率为1；（4） 适用于所有（x，t）∈ R×[0，T]，随机微分方程（2.1）有唯一的强解。本文的主要目的是研究均值-方差准则下保险人的再保险投资问题，即希望最大化Ju（x，t），其中Ju由Ju（x，t）=Ex，t[XuT]给出-γVarx，t[XuT]，（x，t）∈ R×[0，T]，（2.2），其中γ>0衡量投资者的（绝对）风险规避程度。最大化Ju（x，t）是一个时间不一致的问题，因为Bellman的最优原则失败了。我们通过定义非平衡策略及其相应的平衡值函数，从非合作博弈的角度来解决这个问题；例如，参见Basak和Chabakauri【5】、Bj¨ork和Murgoci【7】和Bj¨ork等人【8】。可接受策略的定义2.2 u*= （）l*（Zt，t），π*t） t型∈[0，T]，对于ε>0，对于T∈ [0，T]，定义策略uε，tbyuε，ts=（“”l（z，s），’π），t≤ s<t+ε，u*s、 0个≤ s<t或t+ε≤ s≤ T、 （2.3）其中‘l（z，s）是一个可接受的保留策略，(R)π是一个实常数。如果，对于所有（x，t）∈R×[0，T]，lim infε↓0Ju*（x，t）- Juε，t（x，t）ε≥ 0，然后是u*是一种均衡策略和Ju*（x，t）是相应的平衡值函数。3均衡再保险投资策略3.1验证理论我们首先提供了一个验证定理，我们省略了该定理的证明，因为它与Bj¨ork和Murgoci[7]中的版本定理、定理4.1的证明相似。此外，请参见Bj¨orket al中的讨论。

[8] 关于在均值-方差准则下应用验证定理。对于任何可接受的保留l 对于任何常数π∈ R、 我们定义了一个积分微分算子Al,π如下：Al,πφ（x，t）：=limε↓0Ex，tφ（Xut+ε，t+ε）- φ（x，t）ε=φt（x，t）+rx+（u- r） π+Z∞（（θ）- η） z+（1+η）l（z，t））ν（dz）φx（x，t）+σ+2ρσσπ+σπφxx（x，t）+Z∞（φ（x- l（z，t），t）- φ（x，t））ν（dz），（3.1），其中φ（x，t）∈ C2,1（R×[0，T]）。在（3.1）的第一行中，u=(l, π） 其中，常数π表示保险人将常数π投资于风险资产的策略。定理3.1（验证定理）。假设存在V（x，t）和g（x，t）∈ C2,1（R×[0，T]），满足以下条件：（1）对于所有（x，T）∈ R×[0，T]，支持l,πnAl,πV（x，t）-γAl,πg（x，t）+γg（x，t）Al,πg（x，t）o=0。（3.2）出租(l*, π*) 表示达到（3.2）中最大值的对。（2） 适用于所有（x，t）∈ R×[0，T]，Al*,π*g（x，t）=0。（3.3）（3）对于x∈ R、 V（x，T）=x，g（x，T）=x.（3.4）然后，均衡再保险投资策略u*由U提供*t=（l*（Zt，t），π*（Xt，t））。（3.5）注意u*以反馈形式给出。V（x，t）=Ju*（x，t）是相应的平衡值函数，g（x，t）=Ex，t徐*T是对最终财富的期望。3.2均衡策略可以直接使用定理3.1获得均衡策略。然而，我们希望表明，这只是一种均衡策略；为此，我们有下面的引理，它类似于Basak和Chabakauri中的引理1。引理3.1平均方差准则下的价值函数V和终端财富g的期望在盈余x中是可分离的，并允许以下表示：V（x，t）=er（t-t） x+B（t），B（t）=0，g（x，t）=er（t-t） x+b（t），b（t）=0。（3.6）证明。

根据（2.1），我们已经er（T-t） Xut公司=（u- r） πt+Z∞（（θ）- η） z+ηl（z，t））ν（dz）er（T-t） dt+qσ+2ρσσπt+σπter（t-t） dBt公司-Z∞l（z，t）er（t-t） ~N（dz，dt）=：Gu（t）。（3.7）从（3.7）可以看出，t【XuT】=er（t-t） x+Ex，tZTt公司（u- r） πs+Z∞（（θ）- η） z+ηl（z，s））ν（dz）er（T-s） ds公司, （3.8）andVarx，t[XuT]=Varx，tZTtGu ds. （3.9）（3.8）和（3.9）中分别表示XuT的期望值和方差，这意味着平均方差标准的目标函数和期望函数在SURPLU s x中是可分离的，如（3.6）所示。在下一个定理中，我们给出了均衡策略和相应的均衡值函数。定理3.2均衡再保险投资策略u*= (l*（z，t），π*（t） ）的平均方差标准如下所示：l*（z，t）=ηγe-r（T-t）∧ z、 π*（t） =u- rγσe-r（T-t）- ρσσ，（3.10）和相应的值函数isV（x，t）=er（t-t） x+B（t），（3.11），其中B（t）=ZTt（2γu- rσ+ er（T-s）-（u- r） ρσ+Z∞（（θ）- η） z+ηl*（z，s））ν（dz）-γe2r（T-s）1.- ρσ+Z∞(l*（z，s））ν（dz）ds。（3.12）此外，Ex，thXu*Ti=g（x，t）=er（t-t） x+b（t），（3.13），其中b（t）=ZTt（γu- rσ+ er（T-s）-（u- r） ρσ+Z∞（（θ）- η） z+ηl*（z，s））ν（dz）)ds。（3.14）证明。我们验证u*, V和g分别在定理3.1的（3.10）、（3.11）和（3.13）满足条件（1）–（3）中定义。为此，fr om（3.1），我们计算teAl,πer（T-t） x+β（t）= βt+Cl,π（t）er（t-t） ，（3.15），其中C由C给出l,π（t）=（u- r） π+Z∞（（θ）- η） z+ηl（z，t））ν（dz）。此外，从（3.1）中，我们在简化后得到，呃(T)-t） x+b（t）A.l,πer（T-t） x+b（t）-A.l,πer（T-t） x+b（t）= -e2r（T-t）σ+2ρσσπ+σπ+Z∞l（z，t）ν（dz）.