完全耦合FBSDE的投资组合特征

特别是E[Mb*c*TRT^π·d^Wθ]位于脂肪0的次梯度中，由于f是凹的，在0处最大，在0处可微分，因此等于0。下面是“Mb”*c*TZT^π·d^Wθ#=0表示所有^π∈^bmo。因为M=E[Mb*c*T | F·]是H中的严格正鞅，根据m a rtingale表示定理，它遵循m=m+ZM^H·d^W+ZMH·dWF，使用与引理3.3中证明相同的论证方法，H在bmo中。因此，它认为mtmθt=M+ZtM^HMθ·d^W+ZtM▄HMθ·d▄W+ZtM^θMθ·d^W+ZtM^θMθdt+ZtM^HMθdt=M+ZtM^H+^θMθ·d^Wθ+ZtMHMθ·dW.Hence0=E“Mb*c*TZT^π·d^Wθ#=EθZTM公司^H+^θMθ·^πdt对于所有^π∈^b表示^H=-^θ，Pdt-几乎可以肯定，因此，t=MexpZH·dW-Z▄Hdt-Z^θdt-Z^θ·d^W！。自Mb起*c*T=MT，我们推断-ZTb公司*+（c）*)!dt公司-ZTc公司*·dW=ln（M）+ZTH·dW-ZTHdt-ZT^θdt-ZT^θ·d^W。定义V=（^c*-^θ，~H）Ut=-ln（米）-Zt（^c*-^θ）-（￠H）+^θ·^c*-^θ!ds公司-Zt公司^c*-^θ·d^W-ZtH·dw表明（U，V）满足辅助倒向随机微分方程（3.5），该方程通过引理3.3允许唯一解。因此^θ+^V=^c*= ^zg（X*+ Y*,Z*+^π*) P几乎可以肯定的是，通过点wize解的唯一性^η（y，z，^v）意味着^π*=^η（X*+Y*,Z*,^V）P几乎可以肯定。备注3.7。最优策略的存在性*使得U（F+X^π*T）≥ U（F+X^πT）对于^bmo中的每一个^π，通常使用函数分析和对偶方法显示，有关预期效用的情况，请参见示例【27，38】。由于对偶表示[10]，BSDE的最大子解给出的现有泛函也足以保证最优策略的存在，如[21]所示。

关于最优解^π的方向可微性条件*, 有必要确保用其逐点版本确定最佳解决方案。通常会根据具体情况检查该条件，例如确定等效条件。4、财务应用和示例在下文中，我们将对不同案例研究的理论3.1的特征进行说明。我们给出了在完全和不完全情况下，指数效用最大化的最优策略的显式解，并应用该解说明了在面对不完全市场与完全市场时，不完全性的成本差异。最后，我们讨论了在梯度条件下具有某种特殊性的递归效用优化问题。4.1。插图：完整市场与不完整市场我们将使用的运行示例来自于[10]中的双重表示，其中u（F）=infb∈D、 c类∈bmo（E“MbcTF+ZTMbcg*（b，c）ds#），F∈ L∞根据贴现和概率不确定性的双重表示，我们考虑以下简单示例：*（b、c）=γcif b=β∞ 否则，β是一个正有界的可预测过程；oγ也是一个正的可预测过程，严格以常数为界远离0；请注意，即使我们考虑贴现因子β，也没有关于他的不确定性。这是一个次级现金加性估值的例子，而不是经典的现金加性估值，参见【12】。如果β=0且γ为常数，则我们有一个经典的指数效用优化问题。因此，g（y，z）=βy+z2γ，（y，z）∈ R×Rd（4.1）为了简化完全市场和不完全市场之间的比较，我们假设我们有一个简单的市场，其中d个股票遵循动态ss=udt+σ·dw，其中σ=Id（d×d）是恒等式。

换句话说，驱动股票i的随机性是布朗运动i。因此θ=u是一致有界的。在完全情况下，代理人可以投资所有股票，而在不完全情况下，代理人只能投资第一批股票。完整市场：对于等式（4.1）中给出的发电机g，可以得出^η（y，z，v）=γ（v+θ）-z、 特别地，z+^η（y+x，z，v）=γ（v+θ）。因此，为了找到优化问题的最佳解决方案，由于yg=D中的β，可以求解以下耦合的正向反向随机微分方程Xt=x+Ztγ（V+θ）-\'\'Z·θds+Ztγ（V+θ）-\'\'Z·dW，(R)Yt=F-ZTt公司β（X+(R)Y）+γ五、-θ+\'Z·θds公司-ZTt？Z·dW，Ut=ZTβds+ZTtV+V·θ！ds+ZTtV·dW，带解决方案X*,是的*,\'\'Z*,U、 V满足oπ*= γ（V+θ）-\'\'Z*在bmo中；o（b）*,c*) 在PGB中，其中b*= β和c*= V+θ；oRMbc人民币\'\'Z*+ π*-十、*+是的*c*·dW位于Pg中所有（b，c）的Hf中。可以很容易地推断，由于β的假设，最后一个倒向随机微分方程允许在bmo中有V的唯一解，参见【23】。为了提供明确的解决方案，我们进一步假设Mθ有界。备注4.1。如果（Y，θ）是以下二次倒向随机微分方程的解Y=H+ZTtθds+ZTtθ·dw，对于某些H∈ L∞. 实际上，在这种情况下，MΘT=exp（H- Y） 这是有界的。如果加上h=f（WT），其中f:Rd→ R是有界Lipschitz函数，那么θ是有界的，请参见[5]。相反，由于θ有界，因此在bmo中，如果Mθ有界，（lnMθ，θ）是以下反向随机微分方程lnMθt=lnMθt+ZTtθds+ZTtθ·dW的唯一解。

定义文本：=DβTC+ZTDβγ（V+θ）dt+ZTDβγ（V+θ）·dW！-Fand注意到ztdβV+DβθV！dt+ZTDβV·dW=U+ZTβDβUdt-DβTZTβdtZTDβθdt+ZTDβθ·dW=ZTβDβlnMθdt-DβlnMθTit遵循XTis有界，我们选择常数C，使得Eθ[XT]=x。因此，根据鞅表示定理，bmo中存在一个可预测过程，使得XT=x+RTΓ·dWθ。定义十、*:= x+Zθ·Γdt+Z·dW'Y*:=DβC+ZDβγ（V+θ）ds+ZDβγ（V+θ）·dW！-十、*\'\'Z*:= γ（V+θ）-ΓisC=EθD-βTx+Eθ[F]-EθDβTZTDβγ（V+θ）dt+ZTDβγ（V+θ）·dW！.因此（X*,是的*,\'\'Z*,U、 V）是正倒向随机微分方程的解。我们将检查此解决方案是否满足可积性条件。第一，π*= Γisin bmo。第二，b*= β有界，因此b∈D、 第三，c*∈ bmo和G*（b）*,c*) =γ（c*)=γ（V+θ）≥ 因此，它认为≤ E“ZTMb*c*g级*（b）*,c*)dt#=E“ZTMc*数据库* γ（c*)dt#=E“ZT-Mc公司*c*·dWZT公司-γDb*c*·dW#=E“Mc公司*T-1.ZT公司-γDb*c*·dW#<+∞.因此（b*,c*) ∈ 最后，为了证明RMBC\'\'Z*+ π*-十、*+是的*c*· 根据R emarkA的说法，对于Pg中的所有（b，c），dW都是HF。1，我们只需要检查每个（b，c）∈ Pg，sup0≤t型≤T | Mbct（X*t+？Y*t） |在L中，它直接遵循与Lemma2.4中类似的技术，注意到X*+是的*=DβC+ZDβγ（V+θ）ds+ZDβγ（V+θ）·dW！。因此，π*= Γ=γ（V+θ）-Z*是优化问题的最优解。备注4.2。在效用优化方面，由于U（F+XπT）=Y*+ x、 接下来就是你F+Xπ*T=是的*+ x=C=EθD-βTx+Eθ[F]-EθDβTZTDβγ（V+θ）dt+ZTDβγ（V+θ）·dW！（4.2）备注4.3。如果β与不完全市场中的一样具有确定性，那么我们不必假设Mθ是有界的，我们仍然可以得到一个显式解，我们将给出获得该解的详细方法。

不完全市场：仍然使用等式（4.1）中给出的发电机g，但现在在不完全情况下，即n<d且^θ=^u，则^η（y，z，^v）=γ^v+^θ-^z.特别是，^z+^η（y+x，z，v）=γ^v+^θ. 再来一次yg=β，自~zg=~z/γ，为了获得优化问题的最优解，有必要求解以下耦合的前向反向随机微分方程Xt=x+Zt^θ·γ^V+^θ-^′Zds+Ztγ^V+^θ-^′Z·d^W，(R)Yt=F-ZTt公司β（X+(R)Y）+γ^V-^θ+^θ·^′Z+Z2γds公司-ZTt？Z·dW，Ut=Ut+ZTt^V-V+^θ·^V！ds+ZTtV·dW，UT=ZTβ+Z2γ溶液X的ds+ZT  Zγ·dW*,是的*,\'\'Z*,U、 V满足^π*= γ^V+^θ-^′Z*在bmo中；o（b）*,c*) ∈PG其中b*= β和c*= （^V+θ，￠Z*/γ） ；oRMbc（(R)Z*+ π*-（十）*+是的*)c*) ·dW在HF中表示所有（b、c）∈ Pg.为了提供完整市场中的明确解决方案o我们在此假设β是确定性的；首先，如果我们先验地假设c*=Z*/γ在bmo中，由于β是确定性的，最后一个后向随机微分方程允许V=（0，-c）在bmo中。实际上，下面的二次BSDE\'\'t=\'\'t-ZTt^θ·^∧+∧∧Dβ2γ！ds公司-ZTD∧·dW'T=DβT（F+x）+ZTDβγ^θdt允许在bmo中有∧的唯一解，因为'是有界的，请参见[23]。

因此Υt=Υt-Ztγ^θDβ-DβTds公司-ZtγDβ-DβT^θ·d^W^Γt=^∧t-γDβt-DβT^θt▄t=▄∧t表示以下二次BSDEΥt=Υt-ZTt^θ·^Γ+ΓDβ2γ！ds公司-ZTtΓ·dWΥT=DβT（F+x）+ZTDβγ^θdt-ZTγDβ-DβT^θdt-ZTγDβ-DβT^θ·d^wwhithΓin bmo。因此，系统的解决方案是^π*= γ^θ-^′Z*= γ^θ-^ΓDβT▄c=▄Z*γ=-<<V^>>Z*= γ^θ-^π*=^ΓDβT  Z*=^1ΓDβ^V=0X*= x+Z^π*·θdt+Zπ*·d^W'Y*=DβΥ+ZDβγ^θds+Z▄Dβ2γds+ZDβγ^θ·D^W+Z▄·D▄！-十、*定理3.1的条件已满足，这一事实与不完全市场的论点相同。备注4.4。再次，在效用优化方面，我们得到F+X^π*T=是的*+ x=DβTx+E^θ“DβTF+ZTDβγ^θdt-ZTΓDβ2γdt#（4.3）不完全性成本——计算明确的投资组合最优策略——允许我们进一步解决效用差异定价等经典金融问题。考虑到一个持续的索赔F，我们正在考虑起始财富x*使得u（F）=UF+x*+ZT^π*·d^W^θ！其中^π*是相应的最优策略。换句话说，x*代表一个人通过进入金融市场而愿意为达到相同效用而支付的差异定价价值。由于我们的函数只是上半连续的，为了区分完全市场和不完全市场，我们需要如下处理。x个*= inf（x∈ R：supπ∈bmoUF+x+ZTπ·dWθ！>U（F））=inf（x∈ R:UF+x+ZTπ·dWθ！>某些π的U（F）∈ bmo）y*= inf公司y∈ R：sup^π∈^bmoUF+y+ZT^π·d^Wθ！>U（F）= inf（y∈ R:UF+y+ZT^π·d^Wθ！>U（F）对于某些^π∈^bmo），分别表示在完全和不完全情况下，不同于F的财富效用差异量。直觉上，在不完全情况下，达到同一水平所需的财富量更高，即x*≤ y*.

事实确实如此，因为^bmo是bmo的子集。在前一个例子中，明确的解决方案就在眼前，我们有以下明确的进入金融市场的限制成本。实际上，在β是确定性的情况下，根据等式4.2和4.3，我们得到了uF+x*+ZTπ*·dWθ！=DβTx*+ Eθ“DβTF+ZTDβγθdt#。另一方面，根据（4.3），它保持suf+y*+ZT^π*·d^W^θ！=DβTy*+ E^θ“DβTF+ZTDβγ^θdt-ZTΓDβ2γdt#。我们推断x个*=U（F）DβT-DβTEθ“DβTF+ZTDβγθdt#y*=U（F）DβT-DβTE^θ“DβTF+ZTDβγθdt+DβTE^θ”ZTΓDβ2γdt 4.2。不确定性的跨时间分辨率我们用一个在梯度特征方面具有一些有趣特殊性的经典效用函数来总结。为了解决不确定性的跨时间解决方案，Kreps和Porteus【28】引入了一类新的跨时间效用，将即时消费与后来的消费和随机支付进行加权。爱泼斯坦（Epstein）和津恩（Zin）[15]在离散情况下对这一想法进行了扩展，随后杜夫（Du of e）和爱泼斯坦（Epstein）[11]在连续情况下对倒向随机微分方程进行了扩展。给定累积消耗流c、正增长函数和右连续函数，递归效用的时间内生成器的一个常用示例为f（c，y）=βρcρ-（αy）ρ/α（αy）ρ/α-其中ρ，α∈ （0,1）和β≥ 我们参考[11]了解此生成器的解释、属性和推导以及相应的常数。请注意，如果ρ，则此生成器在y方向为凹面≤ α≤ 1、假设我们会遵守。在经典情况下，发电机在倒向随机微分方程中用一个正号表示效用。

在我们的背景下，成本为0<ρ≤ α≤ 1和β≥ 0我们定义（y）=βρ（αy）ρ/α-cρ（αy）ρ/α-1=βαρy-γy1-ρ/α如果y≥ 0∞ 换句话说，这是y中的c凸函数，其中γ=cρ/αρ/α。就成本而言，考虑到确定性权利持续增长的消费流c，代理人的权重基本上是今天消费的机会，用一个参数ρ加权，该参数的最大确定性相当于明天消费的功率ρ/α，相对于明天等待和不消费的确定性等价的成本。具有终端支付F的执行效用U（F）作为Ys公司≤ 年初至今-Ztsg（Y）ds-ZtsZ·dWYT=在这种情况下，给定随机报酬F、起始财富x和消费流c，代理根据其消费选择c在投资策略π方面优化其递归效用U（F+xπT）。为了简单起见，我们考虑复杂市场的简单情况。递归实用程序的特殊性在于生成器通常不依赖于z。因此，条件zg=0=v+θ根据辅助反向随机微分方程强制条件ut=ZTyg（X+(R)Y）ds-ZTtθds-ZTtθ·dW。自从yg（X+(R)Y）=βαρ1.-γ1.-ρα（X+Y）-ρ/α我们可以假设X+(R)Y=Φ，其中t 7→ Φ（t）是一个确定性函数。然后得出'Yt=F-ZTtβαρΦ-γΦ1-ρ/α-π*·θ！ds公司-ZTt'Z·dw表示f='Y+ZTβαρΦ-γΦ1-ρ/α-π*·θ！dt+ZT'Z·dW。背景π*= -\'\'ZX*= x+Zπ*·θdt+Zπ*·dW年*=\'Y+ZβαρΦ-γΦ1-ρ/α-π*·θ！dt+Z'Z·dW'Z*=从X+，Y=Φ，我们推断，如果Φ是普通微分方程的解Φ′=βαρΦ-γΦ1-ρ/α当系统有最优解时，Φ（T）=Eθ[F]+x。A、 极大imal子解的存在唯一性证明（定理2.3）。

在整个证明过程中，我们使用符号a=（Y，Z）∈S×L：（Y，Z）满意度（2.1）ZMbc（Z-Yc）·dW是every（b，c）的次鞅∈ Pg公司回想一下，（Y，Z）是一个子解，当且仅当K=0时存在一个自适应的cádlág递增过程K，使得yt=F-ZTtg（Y，Z）ds-（千吨-Kt）-ZTtZ·dw，由kt=Yt给出-Y-Ztg（Y，Z）ds-ZtZ·dW。（A.1）我们在几个步骤中证明了定理步骤1：对于A（F）中的任何（Y，Z）和Pg中的任何（b，c），定义Y=MbcY+RMbcg*（b，c）dt和ˇZ=Mbc（Z-Y c），则sup0≤t型≤T| |Yt |∈ 五十、 事实上，使用伊藤公式，可以得出（Y，Z）满足ˉYs≤ˇYt-Ztsˇg（ˇY，ˇZ）du-ZtsˇZ·dWˇYT=MbcTF+ZTMbcg*（b，c）DTG（y，z）：=Mbcg级ˇy-RMbcg公司*（b，c）dtMbc，ˇz+ˇy-RMbcg公司*（b，c）dtcMbc公司-bˇy-RMbcg公司*（b，c）dtMbc-c·ˇz+ˇy-RMbcg公司*（b，c）dtcMbc+g*（b、c）≥ 0。（A.2）一方面，由于g是正的，而rˇZ·dW在H中，因此它保持了y≥ˇY+Ztˇg（ˇY，ˇZ）du+ZtˇZ·dW≥ˇY- sup0≤t型≤TZtˇZ·dW∈ 另一方面，由于假设rˇZ·dW，E[MbcF | F·]以及asE[RTMbcg]，g再次为正*（b，c）dt | F·]在H中，我们有≤ E“MbcTF+ZTMbcg*（b，c）dt-ZTtˇg（ˇY，ˇZ）du-ZTtˇZ·dW英尺#≤ sup0≤t型≤TEhMbcFFti公司+ sup0≤t型≤TE“ZTMbcg*（b，c）dt英尺#∈ l显示sup0≤t型≤T | Yt |在L中。步骤2：设（Yn，Zn）为a（F）中的序列，τ为停止时间，（Bn）为Fτ中的分区。假设YτBn≤ YnτBn，对于ll n=1,2，。。。，然后，Y：=Y[0，τ）+XYn[τ，T]BnZ：=Z[0，τ]+XZn（τ，T]bn是这样的，（Y，Z）在A中。很明显，（Y，Z）满足子解系统（2.1）。让我们证明它在A的意义上是可容许的。对于Pgwe中的（b，c），我们表示ˇYn=MbcYn+RMbcg*（b，c）dt和ˇZn=Mbc（Zn-Ync）对于每n=0,1，。。。。根据前面的计算，我们得到了≤ 每n=1,2，…，H，。。。

其中H=sup0≤t型≤TEhMbcFFti公司+ sup0≤t型≤TE“ZTMbcg*（b，c）dt英尺#∈ 我们从m（A.1）推导出ztˇZ·dW≤ˇYt-ˇY≤ H-Y∈ 因此，Land'ZdW是一个次鞅。步骤3：当序列（Yn，Zn）在Asince中取时，可以进行相同的论证。我们只看次鞅性质。因此，Ais在向上粘贴时是稳定的。步骤4：按照定理4.1的[9，步骤2和8]中的构造，我们得到Asuch中元素的序列（Yn，Zn），其中Yn↑ Y沿A的并矢剖分的时间方向本质上确界的cádlág版本。此外，在Pg中，我们可以按照定理4.1的[9，步骤3 7]在渐近凸包中构造一个子序列，使得Zn→ ZP公司dt几乎可以肯定。根据定理4.1的步骤9的步骤8和步骤9的第一部分，我们可以验证（Y，Z）是系统（2.1）的子解。我们剩下来验证Z的可容许性条件。步骤5：注意，在构造近似序列（Yn，Zn）时，其中Yn↑ Y、 由于A（F）是非空的，我们可以假设（Y，Z）在A（F）中，并且它保持Y≤ Y、 设（b，c）在pg中，用ˇY=MbcY+RMbcg表示*（b，c）dt和ˇZ=Mbc（Z- Yc）以及ˇYn=MbcYn+RMbcg*（b，c）dt和ˇZn=Mbc（Zn-Ync）对于所有n=1,2，。。。。一方面，由于第一步（A.2）中定义的g为正，因此RˇZndW是一个次鞅，E[MbcF | F·]以及asE[RTMbcg*（b，c）dt | F·]在H中，我们有≤ E“MbcTF+ZTMbcg*（b，c）dt-ZTtˇg（ˇYn，ˇZn）du-ZTtˇZn·dW英尺#≤ sup0≤t型≤TEhMbcFFti公司+ sup0≤t型≤TE“ZTMbcg*（b，c）dt英尺#∈ 因此，根据（A.1），它保持ZˇZ·dW≤ˇYt-ˇY=支持ˇYnt-ˇY≤ sup0≤t型≤TEhMbcFFti公司+ sup0≤t型≤TE“ZTMbcg*（b，c）dt英尺#-ˇY=：H∈ LIn尤其是rrˇZ·dW是一个次鞅，因此（Y，Z）在a中。另一方面，在（a.1）之后，定义At=Kt+Ztˇg（Y，Z）ds=Yt-ˇY-ZtˇZ·dWIt认为ˇA是一个从0开始的递增的cádlág过程。