完全耦合FBSDE的投资组合特征

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英文标题：
《Characterization of Fully Coupled FBSDE in Terms of Portfolio
  Optimization》
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作者：
Samuel Drapeau, Peng Luo, Dewen Xiong
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We provide a verification and characterization result of optimal maximal sub-solutions of BSDEs in terms of fully coupled forward backward stochastic differential equations. We illustrate the application thereof in utility optimization with random endowment under probability and discounting uncertainty. We show with explicit examples how to quantify the costs of incompleteness when using utility indifference pricing, as well as a way to find optimal solutions for recursive utilities.
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中文摘要：
我们给出了基于全耦合正倒向随机微分方程的BSDE最优极大子解的一个验证和表征结果。我们举例说明了它在概率和折现不确定性下随机禀赋效用优化中的应用。我们用明确的例子说明了如何量化使用效用无差异定价时的不完全成本，以及如何找到递归效用的最优解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Characterization_of_Fully_Coupled_FBSDE_in_Terms_of_Portfolio_Optimization.pdf (295.06 KB)

2022-5-31 05:57:50 上传

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关键词：投资组合 BSDE FBS SDE Mathematical

投资组合优化的全耦合FBSDE中介的特征Samuel Drapaua，1，*, , Pen g Luob，2，§，Dewen Xiong，3，+2019年10月1日摘要我们提供了全耦合正反向随机微分方程中BSDEs的最优最大子解的验证和表征结果。我们举例说明了在概率和贴现不确定性条件下随机禀赋效用优化中的应用。我们通过明确的例子展示了如何量化使用效用差异定价时的不完全成本，以及为递归效用找到最优解决方案的方法。关键词：完全耦合的FBSDE、效用组合优化、随机禀赋、概率和贴现不确定性。作者InfoaSAIF/CAFR/CMAR和上海交通大学数学科学学院，中国滑铁卢大学统计与精算科学系，上海交通大学加拿大数学科学学院，Chinasdrapeau@saif.sjtu.edu.cnpeng.luo@uwaterloo。caxiongdewen@sjtu.edu.cn*中国国家科学基金会资助，资助号11971310。+国家科学基金资助，资助号11671257来自上海交通大学的资助，授予“金融风险和不确定性评估”NUMBE e r AF0710020。§加拿大自然科学和工程研究委员会的财政支持，RGPIN-2017-04054。论文信息分类：60H20-93E20-91B16-91G101。简介我们的动机是对经典投资组合优化的研究，如下所示：在布朗过滤概率空间中，我们考虑一个在时间T交付的代理具有一个dom禀赋或偶然目标。

从最初的财富x开始，她还有机会在一个金融市场上投资一种策略，其中n只股票S=（S，…，Sn），从而产生相应的财富过程x^πt=x+Zt^π·d^S，其中d^S/S：=（dS/S，…，dSn/Sn）。她打算选择一种策略*为了优化她的效用F+X^π*T≥ UF+X^πT对于所有容许策略^π。特此F 7→ U（F）是一个一般效用函数，拟凹和递增，将随机变量映射到[-∞,∞).例如，U（Y）=U-1（E【u（Y）】），其中u:R→ R是一个包含凹函数，对应于经典期望效用的确定性等价物lavon Neumann和Morgenstern【40】和Savage【37】。然而，它可能是一个更一般的con-cave和increasing运算符，由非n线性期望给出，即凹后向的解。一方面，准凹性反映了多样性方面一般偏好排序的潜在凸性，另一方面，单调性是偏好更好结果的结果，例如，参见[3，7]。随机微分方程–由Peng介绍【31】。在此设置中，效用U（F）由值Y给出，即凹向后随机微分方程Y=F的时间0处的解-ZTtg（Y，Z）ds-联合凸Lipschitz生成器g:R×Rd的ZTtZ·dw→ R和W是d维布朗运动。这个函数是凹的，并且是递增的。最近，Drapeau等人[9]引入了凸向后随机微分方程最小超解的概念，即本文中凹向后随机微分方程的最大子解，以扩展具有任意增长的生成器的经典向后随机微分方程的存在域。

在这种情况下，效用U（F）由凹向后随机微分方程的值Y（maximalsub解）给出Ys公司≤ 年初至今-Ztsg（Y，Z）du-ZtsZ·dW，0≤ s≤t型≤ TYT=F（1.1）此函数F 7→ U（F）是一个lso凹形且递增，因此是一个效用函数。此外，根据Drapeau等人【10】，它允许双重代表U（F）=infb，cE“DbTMcTF+ZTDbMcg*（b，c）ds#！其中g*是生成元g的凸共轭，Db=exp(-Rbds）是一个贴现系数，Mc：=exp(-Rc·dW-Rc/2ds）是一种概率密度。该效用函数的解释是，它评估了概率不确定性，如货币风险度量，见【16】，以及贴现不确定性，如子现金相加函数，见【12】。假设1≤ n≤ d并将效用U定义为（1.1）最大次分辨率0处的值，我们想要找到一个策略^π*最大化U（F+X^πT）。给出（1.1）对应的最大子解（Y，Z），使得Y=U（F+X^πT），继续变量变化Y：=Y-X^π和'Z：=Z-π，其中π=（^π，0）根据以下正向-反向随机系统得出以下等效公式X^πT=X+Zt^π·θdt+Zt^π·d^W？Ys≤ 年初至今-Ztshg（X^π+’Y，’Z+π）-^π·^θidu-Zts'Z·dW，0≤ s≤ t型≤ 对于风险θ的某个有界市场价格，T’YT=F（1.2）。

将对正向部分的终端依赖性转移到生成器，可以说明本文的主要结果，即验证z∈ Rd，我们将使用符号z=（^z，~z），其中^z和~z表示第一个d和最后一个d-z的n个分量，并约定如果n=d，z=（^z，^z）=^z。以及最优策略的表征*根据以下完全耦合的正反向随机微分方程Xt=x+Ztπ（x+Y，Z，V）·θds+Ztπ（x+Y，Z，V）·d？W？Yt=F-ZTthg公司\'Y+X，\'Z+π（X+\'Y，\'Z，^V）-^π（X+’Y，’Z，^V）·^θids-ZTt？Z·dWUt=UT+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·dWUT=ZTyg公司X+’Y，’Z+π（X+’Y，’Z，^V）+zgX+’Y，’Z+π（X+’Y，’Z，^V）ds+ZTzgX+’Y，’Z+π（X+’Y，’Z，^V）·d▄W（1.3），其中oW=（^W，▄W）是d维布朗运动，其中^W和▄W表示第一个和最后一个d-n组分，分别为；og是凸生成器；oF是有界终端条件π（y，z，^v）：=（^π（y，z，^v），0）是^zg（y，z+π（y，z，^v））=^v+^θ，最优策略由^π给出*=^π（X+(R)Y，Z，^V）。至于Drapeau et al.（9）、Heyne et al.（19）介绍和研究的反向随机微分方程的最大子解，它们可以理解为反向随机微分方程的扩展，其中等式被放弃，而有利于不等式，从而允许生成器g具有较弱的条件。它允许实现存在，唯一性和比较定理，不需要对生成器进行增长假设，也不需要对正向过程和终端条件进行较弱的可积性条件。为了强调最大子解和倒向随机微分方程解之间的关系，在马尔可夫情形下，最大子解可以被描述为最大粘度子解，请参见[8]。

结果还表明，它们特别适合于凸性或对偶性等方面的优化问题，参见【10，20】和一类比反向随机微分方程更适合的生成器。文献讨论连续时间效用优化问题是金融领域的热门话题。Karatzas等人[24]考虑了在完整市场中，消费和终端财富的预期贴现效用的优化问题，他们明确得出了最优消费和财富过程。Cvitani'c等人[6]利用对偶方法，在不完全市场的半鞅模型中，刻画了具有r a n domendowment过程的代理的终端财富的效用最大化问题。Pardoux和Peng【30】在Lipschitz案例和Kobylanski【26】在二次型案例中的开创性论文中介绍了反向随机微分方程，揭示了反向随机微分方程在他汀和解决金融问题中的核心作用，见El Karoui等人【13】。Duffee和Epstein【11】通过倒向随机微分方程定义了递归效用的概念，推广了Chen和Epstein【4】以及Quenez和Lazrak【33】。El Karoui等人【14】根据随机微分方程的前向-后向系统处理了这种情况下的效用优化特征。Hu等人[23]利用鞅论证，通过q值倒向随机微分方程描述了具有封闭约束的不完全金融市场中小交易者的效用最大化。按照这条线，霍斯特等人[22]使用一般效用函数，通过一个完全耦合的前向-后向随机微分方程描述了最优策略。

Santacroceand Trivellato[36]考虑了当标的资产价格过程为连续半鞅时，终端随机负债的问题。Bordigoni等人【1】研究了在相对熵给出的概率模型不确定性下效用最大化中出现的随机控制问题，另见Schied【39】，Matoussi等人【29】。倒向随机微分方程可以被视为广义效用算子，即彭[31]提出的所谓g-期望，它与风险度量有关，Gianin[17]，Peng[32]，Gianin[18]。与经典情形一样，co n cave倒向随机微分方程的最大子解也是非线性期望。在这方面，Heyne等人[21]在该框架中考虑效用优化，使用对偶方法提供最优策略的存在性以及梯度的存在性。然而，它们并没有提供这项工作所致力于的最佳解决方案的特征。文献[8，9，19]中极大子解的存在唯一性主要取决于终端条件f的可积性、局部鞅部分的可容许性条件以及生成器的性质——正、下半连续、z上凸、y上单调或（y，z）上联合凸。然而，在目前的情况下，生成器不再是正的，即使是从下面均匀线性边界。因此，我们必须调整受理条件，以满足我们正在研究的优化问题。此后，我们在第2节中给出了在这些新的容许条件下极大子解的存在性和唯一性。

在此，我们进一步提出了效用最大化问题的公式和向前向后系统的转换（1.2）。有了这个结果，我们可以在第3节中讨论前向-后向随机微分方程最大子解的优化特征。我们的第一个主要结果，定理3。1，从最优策略的角度，提供了耦合前后向随机微分方程解的验证论证。由此产生的系统摘录了一个指定梯度动态的辅助反向随机微分方程。第二个主要结果是定理3.6，它提供了一个关于前向后耦合随机微分方程解的最优策略的特征。事实证明，为了指定解的梯度，需要一个辅助的倒向随机微分方程。这些结果扩展了Horst et a l[22]关于效用m a x imizationála Savage[37]的es。我们在第4节中通过在给定示例中使用明确的解决方案在金融环境中考虑效用优化来说明结果。这些明确的解决方案可以解决金融市场的不完整性成本等问题。最后，我们讨论了如何将结果应用于考虑递归效用的优化（la Kreps和Porteus[28]）或连续时间的当前情况（la Duffee和Epstein[11]）。附录a.1.1中提供了使用相同技术的极大子解的存在性和唯一性证明。注释lt>0是固定的时间范围，并且(Ohm,F，（Ft）t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，其中过滤（Ft）由d维布朗运动W生成，并完全满足通常条件。我们进一步假设F=FT。

自始至终，我们将这个d维Br-Ownian运动分成两部分W=（^W，^W），其中，W=（W，…，Wn）和^W=（Wn+1，…，Wd），其中1≤n≤ d、 我们用P-几乎确定意义下确定的FT-可测量随机变量集表示。随机变量之间的每一个不等式都几乎可以肯定地理解。此外，如引言中所述，为了尽可能减少符号负担，除非必要，否则我们不会将被积函数的索引写在t和ω中。我们进一步更一般地将短写r·用于进程t 7→Rt·。我们说，如果X对于每0是可积的，那么cádlág过程X是可积的≤t型≤ T我们使用符号ox·y=Pxkyk、x=x·x和| x |=√x·x表示Rd中的x和y。oRd+：=nx∈ Rd:xk≥ 0表示所有koand Rd++：=nx∈ Rd：对于所有ko，xk>0。o对于Rd中的x和y，如果y在Rd++，则设xy：=（xy，…，xdyd）和x/y=（x/y，…，xd/yd）对于x∈ Rm，y∈ R和A∈ Rm×nx·A·y：=hx。。。xmi公司一a1n。。。。。。。。。am1。。。amn公司yyn公司o Land L是在p几乎确定意义下确定的可测和p-可积随机变量X的集合，1≤ p≤ ∞.o S是一组cádlág适应过程。oL Rd值可预测p过程集Z，使得rz·dW是局部鞅H Z的局部鞅集rz·dW∈ 五十、 oL中Z的集合，使得kzklp：=E[（RTZdt）p/2]1/p<∞, 1.≤p<∞.o hpz的鞅集rz·dW∈ 有限合伙人bmo L中Z的集合，使得rz·dW是有界平均振荡鞅。也就是说，kZkbmo：=supτE[| RTτZ·dW | Fτ]∞< ∞ 其中τ在所有停车时间内运行。注意，根据[25]，bmopnorms对于1都是等效的≤ p<∞ 式中，kZkbmop：=supτE[| RTτZ·dW | p | Fτ]1/p∞< ∞ 其中τ在所有停车时间内运行。

特别是kZkbmo=supτkE[RTτZds | Fτ]1/2k∞.o B MO thoseRZ·W的集合，使得Z在bmo中D一致有界b的集合∈ 五十、 oMc c的随机指数，即Mc=exp(-Rc·dW-Rcdt）。oDb b的随机贴现，即Db=exp(-RBD）。oMbc=DbMc=exp(-R（b+c/2）dt-Rc·dW）。该isRTZdt<∞ P-几乎可以肯定。o对于bmo中的c，我们用Pc表示P的等效度量，密度Dpcdp=exp-ZTc·dW-ZTcdt！其中Wc：=W+Rcdt是布朗运动我们通常使用符号x=（^x，~x）将Rdin中的向量分解为第一个协成分和d-n最后一个。我们对空间L=（^L，~L）使用相同的约定，其中Z=（^Z，~Z）∈ 五十、 对于H=（^H，^H），Hp=（^Hp，^Hp），bmo=（^bmo，^bmo）和bmo=（^bmo，^bmo）也是一样的。在n=d的情况下，以下所有带a的内容消失或等效设置为0，带a的内容变为不带。对于凸函数f:Rl→ (-∞,∞], 我们表示f*其凸共轭*（y） =supny·x-f（x）：x∈ Rlo，y∈ Rland表示为x个*f x处f的次梯度*在Rl中，即Rl中y的集合，使得f（x）-f（x*) ≥ y·（x）-x个*) 适用于Rl中的所有x。对于任何y inx个*f，根据经典凸分析，见[34]，得出f（x）≥ y·x-f*（y） ，每x∈ Rlf（x*) = y·x*-f*（y） 。（1.4）如果次梯度是一个单态-如本文所述-它是一个梯度，我们将符号简化为f（x*).2、FBSDEs和效用函数g的最大子解：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ (-∞,∞] 如果G（y，z）对任何（y，z）可逐步测量，则称为生成器∈ 如果（Std）（y，z）7，则R×Rd.A发电机满足条件（Std）→ g（y，z）是下半连续的，凸的，具有非空的内域和梯度（对于每个ω和t）。备注2.1。