完全耦合FBSDE的投资组合特征

注意，如果g满足上述假设，作为一个正态被积函数，对于g域中的每一个（y，z）以及每一个t和ω，存在b和c可逐步测量，使得g（y，z）-g（y，z）：=gt（ω，y，z）-gt（ω，y，z）≥bt（ω）（y-y） +ct（ω）·（z）-z） 对于每个y和z，请参见Rockafellar和Wets【35，第14章，定理14.46】。这些过程b和c分别是g对y和z的偏导数。为了防止符号过载，我们没有提到对ω和t的依赖，即g（y，z）：=gt（ω，y，z）。请注意，我们可以使用非空的次梯度，通过【35，定理14:56】，我们可以应用可测量选择定理，参见【18，推论1C】，在g的次梯度中选择可测量的梯度，并使用它们。我们进一步表示为byPg：=（（b，c）∈ D×bmo:E“ZTMbcg*（b，c）dtF·#∈ H） 。对于L中的任何终端条件F，我们称之为一对（Y，Z），其中Y∈ S和Z∈ 倒向随机微分方程的一个子解Ys公司≤ 年初至今-Ztsg（Y，Z）du-ZtsZ·dW，0≤ s≤t型≤ TYT=F（2.1）过程Y和Z分别称为值过程和控制过程。子解决方案不是唯一的。实际上，（Y，Z）是一个子解，如果只有当K=0时存在一个自适应的cádlágincreasing过程K，使得yt=F-ZTtg（Y，Z）ds-（千吨-Kt）-ZTtZ·dw，由kt=Yt给出-Y-Ztg（Y，Z）ds-ZtZ·dW。（2.2）如引言中所述，最大子解的存在性和唯一性首先取决于F的正部分的可积性、局部鞅部分的可容许性条件以及生成元的性质–正性、下半连续性、z的凸性和（y，z）的单调性或联合凸性。然而，在本文中，我们去除了发电机上的条件，即我们正在寻找的优化问题的积极性。

为了保证最大子解的存在性和唯一性，我们需要以下容许条件。定义2.2。（2.1）的子解（Y，Z）称为容许ifRMbc（Z-Y c）·对于Pg中的每个（b，c），dW在hf中。给定一个终端条件F，我们用a（F）：=a（F，g）={（Y，Z）∈S×L：（Y，Z）是（2.1）}（2.3）的容许子解集的容许子解。A子解决方案（Y*,Z*) 在A（F）中，如果Y*t型≥ YT每0≤ t型≤ T，对于A（F）中的每个其他子解（Y，Z）。我们的研究结果涉及（2.1）的最大子解的存在性和唯一性。定理2.3。设g为满足（Std）和终端条件F的生成器，使得E[MbcTF | F·]对于每一个（b，c）i n Pg为h。如果a（F）为非空，则存在唯一的E最大子解（Y*,Z*) 在A（F）中，holdsY*t： =esssup{Yt：（Y，Z）∈ A（F）}，0≤ t型≤ T注意，子解的值过程Y是先验的cádlág，因此可以在时间T向上跳跃。因此，当考虑最大子解时，考虑具有随机禀赋YT的子解≤ [9]中的F等于YT=F，因为后者更大。定理的证明依赖于与[9]中相同的技术，并被推迟到附录中。如引言所述，我们在财务框架中介绍了maximalsub解决方案如何与效用公式问题相关。我们考虑一个金融市场，由一个利率为0的债券和一个根据tod^S^S=^udt+^σ·d^W和^S演变的n维股价^S=（S，…，Sn）组成∈ Rn+，其中d^S/^S：=（dS/S，…，dSn/Sn），^u是Rn值一致有界漂移过程，^σ是n×n波动矩阵过程。

为简单起见，我们假设^σ是可逆的，因此风险过程的市场价格^θ：=^σ-1·^u一致有界。给定一个n维交易策略^η，对应的财富过程为初始财富x atis fiesxt=x+Zt^η·d^S^S=x+Zt^η·σ·d^θds+Zt^η·σ·d^W=x+Zt^η·d^W^θ，其中W^θ=W+R^θdt Pθ下的运动，其中θ=（^θ，0）。为了去除波动性因素，我们一般设置^π=^η·^σ，并用X^π表示相应的财富过程。引理2.4。对于L中的每个终端条件F∞在^bmo中，它认为E[MbcT（F+X^πT）| F·]是h其中X^πT=X+Zt^π·^θds+Zt^π·d^W.证明。由于c在bmo中，因此从反向H"older不等式（见[25，定理3.1]）得出，存在p>1，使得E[（McT）p]<∞. 因为F是有界的，r^π·d^W是BMO鞅，所以我们只需要证明r^π·d^θds对于所有q>1都在lqf中。从bmo中的^π可以看出，对于ll q>1，R^πDWI在Hq中。由于^θ是一致有界的，对于任何q>1，它都成立ZT公司^π·^θds！q≤ CE公司ZT |^π| ds！第二季度< ∞对于某些常数C，因此，Doob不等式得出的结果是“sup0≤t型≤TEhMbcT公司F+X^πTFti公司!p#≤聚丙烯-1.pE公司MbcTF+X^πTp< ∞. 因此给出了L中的终端条件F∞, 对于^bmo中的每个^π，根据定理2.3和引理2.4，如果A（F+X^πT）是非空的，则前向-后向随机微分方程存在唯一的最大子解X^πt=X+Zt^π·θds+Zt^π·d^WYs≤ 年初至今-Ztsg（Y，Z）du-ZtsZ·dW，0≤ s≤ t型≤ TYT=F+X^πT（2.4）我们用U（F+X^π）表示该最大子解在时间0处的值，并假设ifA（F+X^π）为空，则U（F）=-∞. 从与[8-10]相同的论证得出，u是一个凹增函数，因此是一个效用算子。备注2.5。

众所周知，参见【21，示例2.1】，在一些适当的平滑度条件下，确定性等效U（F）=U-1（E[u（F）]）可以描述为倒向随机微分方程最大子解0处的值Ys公司≤ 年初至今-Zts公司-u′（Y）2u′（Y）！Zdu公司-ZtsZ·dW，0≤ s≤ t型≤ TYT=Fwhere（y，z）7→ g（y，z）=- （u′（y）z）/（2u′（y））是许多经典情形中的正联合凸生成器。例如，对于u（x）=exp(-x） ，g（y，z）=z/2，对于u（x）=xr和r∈ （0,1）且x>0，则得出g（y，z）=（1-r） （y，z）的z/（2y）∈ （0，∞) ×路。在我们继续描述最优策略之前，让我们先指出一个简单的转换，它是以下部分的基础。对于A（F+X^πT）中的（Y，Z）子解，变量变化Y：=Y-X^π，(R)Z：=Z-π，其中π=（^π，0）导致以下正反向随机微分方程系统Xt=x+Ztπ·θds+Ztπ·d^W？Ys≤“”年初至今-Ztshg（\'Y+X，\'Z+π）-π·θidu-Zts'Z·dW，0≤ s≤ t型≤ T’YT=F（2.5），其中θ=（^θ，0）。在下文中，我们始终使用符号“Y=Y”- X和d？Z=Z- π，其中（Y，Z）是效用问题的子解。3、耦合FBSDE系统的有效表征我们对L中随机禀赋F的效用最大化问题感兴趣∞, 对于效用函数U，在其他术语中，发现^π*in^bmo使得u（F+X^π*T）≥UF+X^πT针对所有交易策略∈^bmo。（3.1）我们称这种策略为^π*问题的最优策略（3.1）。自始至终，我们称任何tradingstrategy^πin^bmo为可接受的策略。我们将本节分为两部分，即验证结果和特征化结果，这是在经典预期效用优化的背景下完成的。3.1。

验证我们的第一个主要结果是验证由完全耦合倒向随机微分方程的解给出的最优解的定理。此外，如果g在y中增加，则满足子现金可加性属性，即U（F-m）≥U（F）-m forevery m≥ 0、【12】中介绍和讨论的属性。定理3.1。假设存在η（y，z，^v）：=（^η（y，z，^v），0），这样^zg（y，z+η（y，z，^v））=^v+^θ（3.2）假设随机微分方程的全耦合正反向系统Xt=x+Zt^η（x+Y，Z，V）·θds+Zt^η（x+Y，Z，V）·d^W？Yt=F-ZTtng公司X+’Y，’Z+ηX+’Y，’Z，^V-^η（X+’Y，’Z，^V）·^θods-ZTt？Z·dWUt=UT+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·dWUT=ZTyg公司X+’Y，’Z+η（X+’Y，’Z，^V）+zgX+’Y，’Z+η（X+’Y，’Z，^V）ds+ZTzgX+’Y，’Z+η（X+’Y，’Z，^V）·dW（3.3）允许溶液（X*,是的*,\'\'Z*,U、 V）使^π*:=^η（X*+是的*,\'\'Z*,^V）在^bmo；o（Y）*,Z*) := （(R)Y*+ 十、*,\'\'Z*+ π*) 满意度（Z*-Y*c） ·第o（b）页中的每（b，c）个dW在HF中*,c*) 在PGB中，其中b*:= yg（Y*,Z*) 和c*:= zg（Y*,Z*);那么，^π*是问题（3.1）和u（F+X^π）的最优策略*T） =E“Mb*c*TF+X^π*T+ZTMb公司*c*g级*（b）*,c*)dt#=(R)Y*+ x、 备注3.2。梯度（3.2）上的条件以及（U，V）中的辅助BSDE保证测量密度为Mb*c*它与线性空间{X^πT:^π}正交∈^bmo中的策略^π产生的财富过程。实际上，（U，V）中的辅助BSDE在度量方面与正交投影相关。在讨论定理的证明之前，让我们先给出以下关于（U，V）中描述最优解梯度的辅助BSDE的引理。引理3.3。让b∈ D和c∈bmo。

倒向随机微分方程Ut=Ut+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·dWUT=ZTb+c！dt+ZTc·dWadmits a unique solution（U，V），V在bm o中。在这种情况下，如果我们定义了在mo中的c=（V+θ，c），那么mbct=exp-ZT？V+θ！dt+ZTV·dW-ZT^θ·d^W-U（3.4）证明。根据Kobylanski[26]，sinceRTbds是一致有界的，倒向随机微分方程y=ZTbds+ZTt^Z-~Z！ds+ZTtZ·dW（^θ，~c）允许唯一解（Y，Z），其中Y是一致有界的，Z是L（P（^θ，~c））。根据Briand和Elie【2，命题2.1】的观点，它还认为Z在bmo（P（^θ，~c））中，也在bmosice（^θ，~c）中，在bmo中。变量变化U=Y+Rc/2dt+Rc·dW，V=（^Z，Z-c）其中bmo yieldsUt=UT+ZTt^Z+^θ··^Z+℃·Z-Z-c！ds+ZTt^Z·d^W+ZTtZ-c·dW=UT+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·DW显示第一个断言。现在定义c=（^V+^θ，^c），它在bmo中，如下所示：-ZTb+c！dt公司-ZTc·dW=-ZTb+~c！dt公司-ZTc·dW-ZT公司^V+^θdt公司-ZT公司^V+^θ·d^W=-U+ZT^V-V+^V·^θ！ds+ZTV·dW-ZT公司^V+^θdt公司-ZT公司^V+^θ·d^W=-ZTVdt-ZT^θdt+ZTV·dW-ZT^θ·d^W-U、 以双方的指数计算，收益率（3.4）。有了这个引理，我们就可以解决定理3.1的证明了。证明（定理3.1）。Let^π*:=^η（X*+是的*,\'\'Z*,^V）其中（X*,是的*,\'\'Z*,U、 V）是（3.3）的解决方案。致命的*=是的*+ 十、*, Z*=\'\'Z*+ π*其中π*= （^π）*,0）并采用符号b*= yg（Y*,Z*),c*= zg（Y*,Z*). 自X起*= X^π*, 因此（Y*,Z*) 满意度X^π*= x+Zt^π*·θds+Ztπ*·d^WY公司*s=Y*t型-Ztsg（Y*,Z*)杜邦-ZtsZ公司*·dW，0≤ s≤ t型≤ 泰*T=F+X^π*t根据假设，t现在，^π*位于阿布莫和RMBC（Z*-Y*c） ·对于第页中的每个（b，c），dW在HF中。我们得出（Y*,Z*) 在A（F+X^π）中*T） 因此Y*≤ U（F+X^π）*T） 。

此外，由于（b*,c*) =(yg（Y*,Z*),zg（Y*,Z*)), 根据（1.4），g（Y*,Z*) = b*Y*+ c*· Z*-g级*（b）*,c*).亨西*t=F+X^π*T-ZTt（b*Y*+ c*·Z*-g级*（b）*,c*))ds公司-ZTtZ公司*·数据仓库。bmo空间在bmo测度变化下是不变的，参见[25，定理3.6]。自（b）起*,c*) 在Pgand^π中*在《圣经》中，我们推断*= E“Mb*c*F+X^π*+ZTMb公司*c*g级*（b）*,c*)dt#。至于定理的其余部分，因为（Y*,Z*) 在A（F+X^π）中*T） ，我们留下来证明，对于^bmo中的任意^π和A（F+X^πT）中的任意（Y，Z），Y*≥ Y、 事实上，它将遵循*≥ A（F+X^π）中的每个（Y，Z）的Y*T） 因此Y*= U（F+X^π）*T） ；oY*≥ Y对于A（F+X^πT）中的每一个（Y，Z）和每一个^πin^bmo，表示Y*≥ U（F+X^πT）前向^πin^bmo。因此，设^π为^bmo。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设A（F+X^πT）是非空的。设（Y，Z）为A（F+X^πT），表示为Y：=Y-Y*, Z：=Z-Z*和^π=^π-^π*. 根据标记2.1，可以得出g（Y，Z）-g（Y*,Z*) ≥b*Y+c*·Z、 因此Ys公司≤ 年初至今-Zts[g（Y，Z）-g（Y*,Z*)]杜邦-Zts公司Z·dW≤ 年初至今-Zts[b*Y+c*·Z] 杜邦-Zts公司Z·dW。通过变量ˇY=Mb的变化*c*Y和ˇZ=Mb*c*(Z-Y c公司*), 因此，（Y，Z）满足了≤ 兆字节*c*TX^πT-X^π*T-ZTtˇZ·dW=E“Mb*c*TZT^π·d^W^θ！Ft#sinceRˇZ·dW是一个鞅，是两个鞅的差；（b）*,c*) 在第页，但c*和b*满足引理3.3的条件，可以得出▄V尤其在▄bmo中。因此，W（^θ），-V）：=（^W+R^θdt，^W-RV dt）=（^W^θ，~W-RV dt）是m测度p（θ）下的布朗运动，-V）。自ˇY=Y、 对于t=0，根据（3.4），我们有Y=ˇY≤ E“Mb*c*坦桑尼亚先令^π·d^W^θ#=E“exp-ZTVdt-ZTθdt+ZTV·dW-ZT^θ·d^W-UZT公司^π·d^W^θ#=经验(-U） E（^θ），-V）“ZT^π·d^W^θ#=0。因此，Y*≥ 这是证据的结尾。备注3.4。

注意，定理的证明特别表明，最优效用的最大子解是（Y*,Z*) 满足“线性”倒向随机微分方程*t=F+X^π*T-ZTt[b*Y*+ c*·Z*-g级*（b）*,c*)]ds公司-ZTtZ公司*·数据仓库。回想一下，^W^θ=^W+R^θdt。自然，系数a*, b*和c*依赖于^π*,十、*,是的*,\'\'Z*, 但实际上梯度是以最优解的值进行评估的。备注3.5。确定性等价U（F）=U的效用优化情况-1（E[u（F）]）或其在倒向随机微分方程背景下的预期效用E[u（F）]的等价公式一直是多篇论文的主题，尤其是[22]和[21]。这些论文中提供的最优解均对应于耦合的前向后随机微分方程组定理（3.1）。实际上，如备注2.5所述，生成器g对应于g（y，z）=-（u′（y）z）/（2u′（y））。

在这种情况下，T heorem3.1中的正反向随机微分方程耦合系统对应于Xt=x+Zt^θ·-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）（θ+Ⅴ）！ds+Zt-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）（θ+Ⅴ）·d^W？Yt=F-ZTt公司-u′（X+’Y）2u′（X+’Y）^θ+^V+u′（X+’Y）2u′（X+’Y）～Z！-^θ·-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）（θ+Ⅴ）！！ds公司-ZTt？Z·dWUt=UT+ZTt^V-V+^θ·^V！ds+ZTtV·dWUT=ZTyg公司X+’Y，’Z+η（X+’Y，’Z，^V）+u′（X+’Y）u′（X+’Y）～Z！ds+ZT-u′（X+’Y）u′（X+’Y）～Z·dyg（x+y，z+η（x+y，z，^v））=0，在这种情况下，意味着^v=0，因此yg（x+y，z+η（x+y，z，^v））=-u′′（x+y）u′（x+y）-（u′（x+y））2（u′（x+y））（u′（x+y））（u′（x+y））^θ+~z！=0^zg（x+y，z+η（x+y，z，^v））=^θ在这些条件下，正反向随机微分方程变成Xt=x+Zt^θ·-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）^θ！ds+Zt-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）^θ·d^W？Yt=F-ZTt公司-u′（X+’Y）2u′（X+’Y）θ+u′（X+’Y）2u′（X+’Y）～Z！-^θ·-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）^θ！！ds公司-ZTt？Z·dWUt=UT+ZTt-Vds+ZTt▄V·d▄WUT=ZTu′（X+\'Y）u′（X+\'Y）▄Z！ds+ZT-u′（X+’Y）u′（X+’Y）～Z·dw与[22]中的前向-后向随机微分方程系统一致，注意到（u，V）中的辅助后向随机微分方程通过变换消失。对于具有随机禀赋的指数和无禀赋的幂或对数等经典效用函数，可以通过求解二次倒向随机微分方程来解决优化问题，请参见【23】。他们的方法依赖于那些经典效用函数共享的“变量分离”特性。

在指数效用的情况下，如第4节的第一个案例研究所示，在β=0的情况下，我们的前向-后向随机微分方程系统简化为一个简单的后向随机微分方程系统。3.2。特征我们的第二个主要结果是关于前向-后向随机微分方程全耦合系统的最优解的特征定理，如图3.1所示。定理3.6。假设^π*in^bmo是解决问题的最佳策略（3.1）。用（Y）表示*,Z*)^π问题（3.1）对应的极大子解*并表示“Y”*:= Y*-X^π*以及“Z”*:= Z*-^π*. 在假设下o子解决方案（Y*,Z*) 是一种解决方案；o凹函数R m 7→ f（m）：=U（f+Xm^π+π*T）-U（F+X^π）*T） ，在0 forevery^πin^bmo时可区分（b）*,c*) 在PGB中，其中b*:= yg（Y*,Z*) 和c*:= zg（Y*,Z*);o 逐点隐式解η（y，z，^v）=（^η（y，z，^v），0）到^zg（y，z+η（y，z，^v））=对于每个给定的y，z和^v，^v+^θ是唯一的；那么它认为^π*=^η（X*+是的*,\'\'Z*,^V）Pdt几乎可以肯定，其中（U，V）是唯一的解决方案，V在bmo中为Ut=Ut+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·dWUT=ZTb*+（￠c）*)!ds+ZT~c*·dW（3.5）尤其是，定理3.1中的完全耦合正倒向随机微分方程组有一个解（X^π*,是的*,\'\'Z*,U、 V）。证据设^π为^bmo。根据假设，函数f是凹的，在0处允许最大值，在0处可微分。特别地，在0的邻域上，f是实值的。对于suchneighborhood中的m，我们用（Ym，Zm）表示A（F+Xm^π+^π）中的最大子解*T） 。自（b）起*,c*)在Pg中，紧随其后的是r（Mb*c*Zm公司-兆字节*c*dW是一个鞅。根据与定理3.1证明中相同的论证，它保持SF（m）=UF+Xm^π+^π*T-UF+X^π*T≤ mE“Mb*c*对于0附近的每m，TZT^π·d^Wθ。