具有电力效用的长期投资者的极值行为

（3.23）接下来让我们选择λ∈ R使得1<λ<（γγ+1），这是由于我们的假设而可能的，并考虑估计f（T，α）≥ ^p（T）1-αZγλ√T-t型-∞^11，T（x）1-αg（x，T）dx≥ ^p（T）1-αZγλ√T-t型-∞^11，T（x）g（x，T）dx≥ ^p（T）1-αg（γλ√T- t、 t）Zγλ√T-t型-∞Д1，T（x）dx（3.24），其中第二个不等式如下所示，即Д1，T（x）≤ 1代表所有x∈ R和x 7之后的最后一个不等式→ g（x，T）正在减小，这可以通过检查其导数很容易看到（也可以参见引理3.2）。最后，我们研究了当N.B–AUERLE和S.GRETHERT→ ∞. 首先，我们获得了限制→∞^p（T）=极限→∞pexpγ（Tα- t） （1）- α）-1+γyPdj=1pjexpγj（Tα- t） （1）- α）-1+γjy= 限制→∞pdXj=1pjexp（γj- γ） （Tα- t） （1）- α）-1+y（γj- γ）-1=1，（3.25），因为α<0。下一步我们获得限制→∞g（γλ√T- t、 t）=极限→∞pdXj=1pjexpT（γj- γ） （λγ-（γj+γ））- （tλγ- y） （γj- γ）-1=1，（3.26），因为λ的选择使得λγ-（γj+γ）<0，对于j=2，d、 最后，但并非最不重要的是，我们通过改变→∞Zγλ√T-t型-∞^11，T（x）dx=极限→∞Zγ√T-t（λ-1.-α）√1.-α-∞^1（x）dx=1（3.27），自1起-α<1<λ。最后注意，α可以任意小，使得^p（T）1-α可以任意接近1，这意味着结果。示例3.4。因为我们有明确的公式，所以很容易计算必须投资于股票的最佳财富比例。为了说明我们的理论结果，我们对γ=1、γ=2、γ=3、p=p=0.3、p=0.4、σ=1、t=0和y=0的玩具示例进行了此计算。对于α，我们选择α=0.5和α=-0.5。在这个例子中，对于α=0.5- α） （）-1γd=6，α=-0.5该值（σ（1- α） （）-1γ=2/3。我们可以看到收敛为T→ ∞ 在图表中。趋同的速度相当不同，但我们对此没有任何声明。图1：。

最佳分数u*（0，T，0）作为时间范围T的函数投资股票的财富，α=0.5（左）和α=-0.5（右）4。结论在本文中，我们已经证明，无法观察到股票漂移并使用贝叶斯模型的时间跨度很长的投资者的行为是极端的，这是具有幂效用的长期投资者令人惊讶的极端行为。在实践中，漂移在很长的时间范围内可能不是常数，可以在隐马尔可夫模型中进行相同的分析。但在这种情况下，没有明确的公式，这使得分析更加困难。从理论角度来看，收敛分析表明，对于α<1，α6=0的幂效用U（x）=αxα的投资者的行为对α非常敏感。参考文献【1】B¨auerle，N.，U.Rieder，《马尔可夫调制股票价格和利率的投资组合优化》。IEEE自动控制交易49（3）（2004），442-447。[2] 比约克，T.，M.H.A.戴维斯，C.兰德恩，《部分信息下的最优投资》。运筹学数学方法71（2）（2010），371-399。[3] Cvitani\'c，J.、A.Lazrak、L.Martellini、F.Zapatero，《具有参数不确定性的动态投资组合选择和分析师建议的经济价值》。《金融研究评论》19（4）（2006），1113-1156。[4] Cvitani\'c，Elliott，R.，L.Aggoun，J.Moore，《隐马尔可夫模型：估计和控制》。纽约斯普林格（1994）。[5] Fouque，J.P.，A.Papanicolaou，R.Sircar，《资产收益率随机未观测漂移的过滤和投资组合优化》。《数学科学通讯》13（4）（2015），935-953。[6] Gu’eanty，O.，J.Pu，《漂移不确定性下的投资组合选择：贝叶斯学习和随机最优控制方法》。

arXiv:1611.07843（2006）。[7] Honda，T.，不可观测和制度转换平均回报的最优投资组合选择。《经济动态控制杂志》28（2006），45-78。[8] Karatzas，I.，X.Zhao，贝叶斯自适应投资组合优化。输入：Handb。数学《金融学：期权定价、利率和风险管理》，Cvitanic，J.，M.Musiela，E.Jouini主编，剑桥大学出版社（2001），632669。[9] Longo，M.，A.Mainini，《CRRA投资者的学习和投资组合决策》。《国际理论与应用金融杂志》19（3）（2016），1650018。[10] M¨uller，A.，D.Stoyan，《随机模型和风险的比较方法》。John Wiley&Sons（2002）。[11] Rieder，U.，N.B–auerle，《具有不可观测马尔可夫调制漂移过程的投资组合优化》。《应用概率杂志》42（2005），362-378。[12] Sass，J.、U.G.Haussmann，《部分信息下的终端财富优化：作为连续时间马尔可夫链的提取过程》。《金融与随机》8（2004），553-577。[13] Shen，Y.，T.K.Siu，随机利率和制度转换下的资产配置。经济建模29（4）（2012），1126-1136。[14] Xia，Y.，学习可预测性：参数不确定性对动态CASSET分配的影响。《金融杂志》56（2001），205-246。（N.B–auerle）德国卡尔斯鲁厄技术学院数学系，D-76128卡尔斯鲁厄电子邮件地址：nicole。baeuerle@kit.edu（S.Grether）德国卡尔斯鲁厄技术学院数学系，D-76128卡尔斯鲁厄电子邮件地址：stefanie。grether@kit.edu