具有电力效用的长期投资者的极值行为

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英文标题：
《Extremal Behavior of Long-Term Investors with Power Utility》
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作者：
Nicole B\\\"auerle and Stefanie Grether
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a Bayesian financial market with one bond and one stock where the aim is to maximize the expected power utility from terminal wealth. The solution of this problem is known, however there are some conjectures in the literature about the long-term behavior of the optimal strategy. In this paper we prove now that for positive coefficient in the power utility the long-term investor is very optimistic and behaves as if the best drift has been realized. In case the coefficient in the power utility is negative the long-term investor is very pessimistic and behaves as if the worst drift has been realized.
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中文摘要：
我们考虑一个具有一种债券和一种股票的贝叶斯金融市场，其目标是最大化终端财富的预期电力效用。这个问题的解是已知的，但是文献中有一些关于最优策略长期行为的猜测。在本文中，我们现在证明，对于电力公司中的正系数，长期投资者非常乐观，表现得好像实现了最佳漂移。如果电力公司的系数为负，长期投资者会非常悲观，表现得好像已经实现了最坏的漂移。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：长期投资 投资者 Optimization Quantitative coefficient

具有电力效用的长期投资者的极端行为Nicole B¨AUERLE*还有STEFANIE GRETHER*摘要我们考虑一个具有一种债券和一种股票的贝叶斯金融市场，其目的是最大化终端财富的预期电力效用。这个问题的解是已知的，但是文献中有一些关于最优策略长期行为的猜测。在本文中，我们现在证明，对于电力利用率的正系数，长期投资者非常乐观，表现得好像实现了最佳漂移。如果电力公司的效率为负，长期投资者就会非常悲观，表现得好像已经实现了最坏的漂移。关键词：贝叶斯方法，投资问题，随机排序1。引言本文研究了在一个债券和一只股票的金融市场中，最优投资组合选择的结构性质。股票价格过程的漂移率被建模为一个随机变量，其结果对投资者来说是未知的。然而，投资者能够观察股票价格过程。因此，我们面临一个贝叶斯模型。其目的是从终端财富中最大化预期电力效用。在过去的十年中，人们对具有部分观测，尤其是具有未知漂移过程的投资组合优化问题进行了广泛的研究。电力公用事业贝叶斯案例的解决方案可在【8】、【11】、【9】中找到。这是HiddenMarkov模型的一个特例，该模型在[7]、[12]、[11]中进行了处理，在[1]中有完整的信息。在[2]、[13]、[5]、[6]中可以找到针对此类模型的更一般和最新方法，其中过程和效用函数有所不同。在本文中，我们简单地从文献中获得最优投资组合的解，并讨论其在时间范围趋于不确定时的行为。

文献中对这种行为有一些猜测。在[3]中，在幂函数为负系数α的情况下，据报道长期投资者更为保守。在【9】，【11】中，根据数值数据推断，在α情况下∈ （0，1），长期投资者的行为就像具有已知漂移的投资者，漂移是最大可能的漂移。这意味着投资者非常乐观。这一观察结果强调了一个事实，即拥有电力公用事业的投资者的行为与拥有对数公用事业的投资者的行为相当不同（另请参见[6]第2.3.4节中的最新发现），尽管众所周知，对数公用事业可以作为限制条件从电力公用事业中获得。在本文中，我们证明了α∈ （0，1），实际上，投资于股票的最佳分数在时间范围内收敛到最大可能的默顿比率，因此投资者非常乐观。当α<0时，视角会发生显著变化。投资于股票的最佳分数在时间范围内收敛到尽可能最小的默顿比率。在这种情况下，投资者非常乐观。尤其是学习的效果，对于长期投资者而言，与短期投资者相比，并没有发挥作用。关于学习的影响，参见例[14]。我们的论文组织如下：在第2节中，我们描述了我们的模型并回顾了最优投资组合策略。在第3节中，我们陈述并证明了长期投资者的行为，这非常令人惊讶。*卡尔斯鲁厄理工学院数学系，德国卡尔斯鲁厄D-76128。c0000（版权所有人）2 N.B–AUERLE和S.GRETHER2。投资问题和最优解决方案支持(Ohm, F、 F={Ft，0≤ t型≤ T}，P）是一个过滤概率空间，T>0是一个执行时间范围。我们考虑一个只有一种债券和一种风险资产的金融市场。

债券按照todBt=rBtdt（2.1）演变，r>0为利率。股票价格过程（St）由dst=St（θdt+σdWt）（2.2）给出，其中（Wt）是F-布朗运动，σ>0，θ是具有已知初始分布P（θ=uk）=：pk>0，k=1，…，的随机变量，d其中u，udθ的可能值。我们假设θ和（Wt）是独立的。投资者不知道θ的结果，但投资者能够观察股价。因此，我们面临一个贝叶斯模型。请注意，这是隐马尔可夫模型的一个特例，其中隐过程的值不变。优化问题是在这个市场中找到自我融资的投资策略，最大化终端财富的预期效用。作为效用函数，我们选择功率效用U（x）=αxα，α<1，α6=0。参数1-α表示投资者的风险厌恶。较小的α对应较高的风险厌恶。设FS={FSt，0≤ t型≤ T}是股票价格过程（St）产生的过滤。下面我们用πt表示∈ R时间t时投资于股票的财富份额。1-π是在时间t投资于债券的财富份额。如果πt<0，则意味着股票卖空，πt>1对应于信用。这个过程π=（πt）被称为投资组合策略。可接受的投资组合策略必须是适应FS的过程。可容许投资组合策略π下的财富过程由随机微分方程dxπt=Xπt[（r+（θ））的解给出-r） πt）dt+σπtdWt]，（2.3），其中我们假设Xπ=X>0是给定的初始财富。优化问题由upπE定义αXπTα. （2.4）投资组合策略π*如果达到最大值，则为最佳。这个问题的解决方案是可行的。g、 参见[8]、[12]、[11]、[9]。我们只简单地勾勒出它的起源。

由于θ未知，我们必须通过^ut：=E[θ| FSt]来估计它，这是θ的条件期望，鉴于我们在时间t之前的观察结果。现在确定cwt：=Wt+σRt（θ- ^us）ds。可以证明（cWt）是一个FS布朗运动（参见Rieder&B¨auerle 2005中的引理1）。因此，过程y：=Wt+θ- rσt=cWt+σZt（us- r） ds（2.5）是FS改编的，因此投资者可以观察到。最后，我们可以用dxπt=Xπth（r+（ut））来表示我们的财富过程- r） πt）dt+σπtdcWti。（2.6）注意，^ut=Pdk=1ukP（θ=uk | FSt）和条件概率pk（t）：=P（θ=uk | FSt）满足pk（0）=pk和dpk（t）=σ（uk- ^ut）pk（t）dcWt（2.7），这是Wonham filter方程的一个特例，参见示例[4]。优化问题被简化为完全观测的情况，可以用标准技术解决，如汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程。电力效用3长期投资者的极端行为为了提出最优投资组合策略，让我们引入以下缩写：定义γk：=σ-1（uk- r） andLt（uk，y）：=exp（γky-γkt）对于t∈ （0，T），1表示T=0（2.8），y表示∈ R、 k=1，d、 进一步设置f（t，y）：=dXk=1Lt（uk，y）pk。（2.9）众所周知，（L-1t（θ，Yt））是关于θ过滤的鞅密度过程，ww是由θ和（Wt）生成的过滤。然后，我们可以通过dQ/dP=L确定新的概率测量值Q-1T（θ，YT）。在Q下，过程（Yt）是Fθ，W-布朗运动。过程（Lt（θ，Yt））是关于Fθ，W的Q-鞅。注意，可以证明θ和（Yt）在Q下是独立的。然后Bayes公式意味着e[1[θ=uk]| FSt]=EQh[θ=uk]Lt（θ，Yt）| FStiEQhLT（θ，Yt）| FSti（2.10），这会产生thatpk（t）=P（θ=uk | FSt）=P（θ=uk | Yt）=Lt（uk，Yt）pkF（t，Yt）。（2.11）以下定理的证明可在[8]（定理3.2和示例3.5）和[11]（定理8）中找到。定理2.1。

最优投资组合策略（π*t） 对于问题（2.4），以反馈形式π给出*t=u*（t，t，Yt），带U*（t，t，y）=σ（1- α） EhF（T，y+重量-t） α1-αPdk=1pkγkLT（uk，y+WT-t）iEhF（T，y+WT-t） 1个-t的αi（2.12）∈ [0，T]，y∈ R、 注意，当θ的初始分布更一般时，类似的说法也是正确的，请参见。g、 [8]，[9]。此外，重要的是要注意，如果θ已知且等于u，那么投资股票的最佳分数等于（1- α） u- rσ（2.13）与时间和财富无关。这就是所谓的默顿比率。定理2.1中最优投资组合策略的表示是通过使用一种度量变化技术推导出来的（更多详细信息请参见Rieder&B–auerle 2005中定理8的证明）。等效公式为*（t，t，y）=1- αE[θ| Yt=y]- rσ+h（t，t，y）（2.14），其中第一项对应于默顿比率，其中我们用估计值替换未知θ，h（t，t，y）是所谓的对冲需求。t的套期保值需求消失→ Tand表示α→ 0（α=0的情况正式对应于对数效用）。关于后一种说法的证明，请参见Rieder&B¨auerle（2005）中的定理9。4 N.B–AUERLE和S.GRETHER3。随着时间范围趋于确定，最优投资策略的收敛性3.1。案例α∈ （0，1）。在本节中，我们将证明以下结果：定理3.1。让t≥ 0，y∈ R、 α∈ （0，1）和r<u<…<ud.极限→∞u*（t，t，y）=σ（1- α） ud- rσ=σ（1- α） γd.（3.1）这个结果非常有趣，因为它表明，在非常大的时间范围内，贝叶斯情况下的最优投资策略为α∈ （0，1）与已知最大可能漂移的设定值大致相同。该结果与先验分布和当前信念无关，因此实现最大漂移的实际概率可能非常小。

这意味着Bayes投资者∈ （0，1）从长远来看是相当乐观的。根据对数值数据的观察，在【11】和【9】中已经推测出了这种行为。同样值得注意的是，在对数效用函数的情况下，投资于股票的财富的最佳比例是由（参见Rieder&B–auerle 2005）u*（t，t，y）=σ（1- α）Pdk=1pkukLt（uk，y）F（t，y）- r. （3.2）该表达式与时间范围T无关。[11]中已经表明，对于α→ 0时，最优分式收敛到对数效用函数的最优分式。这当然没有矛盾，但表明具有幂效用的投资者和具有对数效用函数的投资者之间的行为存在显著差异。在下一小节中，我们将讨论α<0的情况。为了进行证明，我们需要以下结果，其中ν是均值和方差为零的正态分布的密度t。引理3.2。函数α7→RRF（T，y+x）α1-αpdLT（ud，y+x）ДT-t（x）dxRRF（t，y+x）1-αДT-t（x）dx（3.3）随着α<1而增加。证据类似的证明可以在定理9和定理6中找到。我们首先将这个表达式重写为rrf（T，y+x）1-αДT-t（x）pdLT（ud，y+x）F（t，y+x）-1dxRRF（T，y+x）1-αДT-t（x）dx。（3.4）现在表示HT（x）：=pdLT（ud，y+x）F（T，y+x）。（3.5）Ht的导数由Ht（x）=Pdk=1pkpdexp给出（γk+γd）（y+x）-T（γk+γd）（γd- γk）F（T，y+x）>0（3.6），对于所有x∈ R，γd的定义为正。因此，HTI增加。接下来考虑密度qt（z，α）：=F（T，y+z）1-αДT-t（z）RRF（t，y+x）1-αДT-t（x）dx（3.7）幂效用为5的长期投资者的极值行为我们表明，该密度在似然比排序中相对于α增加。有关似然比排序的更多详细信息，请参阅[10]。

为了做到这一点，我们必须通过定义表明，对于α<α<1，比率7→qT（z，α）qT（z，α）（3.8）正在增加。我们得到qT（z，α）qT（z，α）=F（T，y+z）1-α-1.-α·C（3.9），其中C是独立于z的正常数。自z 7→ F（T，y+z）在增加，我们通过假设1-α-1.-α> 0时，该比率确实在z中增加。由于似然比排序意味着通常的随机排序，因此该声明后面是对随机排序的定义以及Ht增加的事实。现在我们可以证明定理3.3。证据它认为V*（t，t，y）：=EhF（t，y+WT-t） α1-αPdk=1pkγkLT（uk，y+WT-t）iEhF（T，y+WT-t） 1个-αi=RRF（T，y+x）α1-αPdk=1pkγkLT（uk，y+x）^1T-t（x）dxRRF（t，y+x）1-αДT-t（x）dx（3.10），我们必须显示→∞v*（t，t，y）=γd。第一定义fk（t，α）：=RRF（t，y+x）α1-αДT-t（x）pkLT（uk，y+x）dxRRF（t，y+x）1-αДT-t（x）dx。（3.11）请注意，fk也取决于y。然而，y将始终固定，我们在符号中没有明确表示依赖关系。显然，fk（T，α）>0，Pdk=1fk（T，α）=1和v*（t，t，y）=dXk=1γkfk（t，α）。（3.12）因此，足以表明limT→∞fd（T，α）=1。一旦我们展示了α>0的这个语句，它就适用于所有α≥ α、 引理3.2给出了fd（T，α）≤ fd（T，α）≤ 1对于所有T>0。现在假设α∈ （0，1）和定义β：=1-α> 1。考虑以下几行等式，其中我们使用上一个等式中正态分布随机变量的矩母函数公式。fd（T，α）≥RR（右后）pdLT（ud，y+x）α1-αДT-t（x）pdLT（ud，y+x）dxRRF（t，y+x）βДt-t（x）dx=RRpdLT（ud，y+x）βДT-t（x）dxRRF（t，y+x）βДt-t（x）dx=pβdRRexpγdβ（y+x）-γdβT^1T-t（x）dxRRF（t，y+x）βДt-t（x）dx=pβdexpγdβ（β- 1） T型· 经验值γdβy-γdtβRRF（T，y+x）βДT-t（x）dx。（3.13）6 N.B–AUERLE和S。

GRETHERNext我们通过Jensen不等式得到（注意x 7→ xβ对于x是凸的≥ 0）：fd（T，α）≥pβdexpγdβ（β- 1） T型· 经验值γdβy-γdtβRR（右后）Pdk=1pkLT（uk，y+x）βДT-t（x）dx≥pβdexpγdβ（β- 1） T型· 经验值γdβy-γdtβRR（右后）Pdk=1pkLT（uk，y+x）β^1T-t（x）dx=pβdexpγdβ（β- 1） T型· 经验值γdβy-γdtβPdk=1pkexpγkβ（β- 1） T型· 经验值γkβy-γktβ. （3.14）因此，我们获得了该限制→∞fd（T，α）≥ pβd限制→∞dXk=1pkexp（γk- γd）β（β- 1） T型-1=pβ-1d。（3.15）由于β可以任意选择接近1的值，因此如下所述。3.2。情况α<0。在本节中，我们将证明以下结果：定理3.3。让t≥ 0，y∈ R、 α<0和R<u<…<ud.极限→∞u*（t，t，y）=σ（1- α） u- rσ=σ（1- α） γ。（3.16）在α<0的情况下，对于时间跨度非常大的投资者，贝叶斯情况下的最优投资策略与已知最小可能偏差的情况下的最优投资策略大致相同。该结果独立于先验分布和当前信念。这意味着α<0的Bayes投资者从长远来看相当悲观。显然，α<0、α=0（对数效用）和α>0的投资者的长期行为存在显著差异。证据我们定义v*（t，t，y）和fk（t，α）与前面的证明一样，并且必须显示→∞v*（t，t，y）=γ。对于这一点，这足以表明limT→∞f（T，α）=1。类似引理3.2，可以证明α7→ 对于所有α<1的情况，f（T，α）在α中减少（我们只需用γ替换γdby）。因此我们有α≤ α<0等于1≥ f（T，α）≥ f（T，α），证明limT是足够的→∞f（T，α）=1，α<0，任意接近于零。

为此，我们首先重写fas如下：f（T，α）=RRF（T，y+x）α1-αДT-t（x）pLT（u，y+x）dxRRF（t，y+x）1-αДT-t（x）dx=RRF（t，y+x）1-αДT-t（x）pLT（u，y+x）F（t，x+y）-1dxRRF（T，y+x）1-αДT-t（x）dx=RRF（t，y+x√T- t） 1个-αИ（x）pLT（u，y+x√T- t） F（t，y+x√T- t）-1dxRRF（T，y+x√T- t） 1个-αИ（x）dx。（3.17）我们使用变量z的变化：=x√T-t最后一个方程式。现在让我们考虑密度ft（z）：=F（T，y+z√T- t） 1个-αИ（z）RRF（T，y+x√T- t） 1个-αИ（x）dx（3.18）表示固定的y和T，函数g（x，T）：=pLT（u，y+x√T- t） F（t，y+x√T- t） 。（3.19）具有电力效用的长期投资者的极值行为7那么我们可以写出f（T，α）=RRg（x，T）fT（x）dx。我们进一步使用符号Дk，t表示正态分布N的密度（γk√T- t） （1）- α）-1，（1- α）-1.. 我们得到：F（T，y+x√T- t） 1个-αИ（x）==dXk=1pkexpγkx√T- t型-γkT-x（1- α） +γky1.-α√2π=dXk=1pkхk，T（x）√2π√1.- αexpγk（Tα- t） （1）- α）-1+γky1.-α√2π=dXk=1qk（T）Дk，T（x）1.-α√2π（3.20），qk（T）：=pkexp（γk（Tα- t） （1）- α）-1+γky）√2π√1.-α。现在让^pk（T）：=qk（T）Pdj=1qj（T）。（3.21）然后我们最终可以将密度fta写为正常密度的混合物：fT（x）=Pdk=1^pk（T）Дk，T（x）1.-αRRPdk=1^pk（T）Дk，T（x）1.-αdx。（3.22）接下来，我们用Jensen不等式从x 7得到以下估计→ x1-α是凹面（T，α）≥RR（右后）^p（T）Д1，T（x）1.-αg（x，T）dxRRPdk=1^pk（T）Дk，T（x）1.-αdx≥RR（右后）^p（T）Д1，T（x）1.-αg（x，T）dxRRPdk=1^pk（T）Дk，T（x）dx1.-α=ZR^p（T）Д1，T（x）1.-αg（x，T）dx。