金融布朗运动Boltzmann方程的推导：

（9） 宏观模型（7）中τ（T）的统计数据来自于介观模型（6），价格运动的尾部近似由p给出(≥ |p |；κ）≈ e-|p |/κ(|p |→ ∞) （10） 衰变长度κ≈ 2.z*/3、趋势跟踪的平均移动z*≡ cτ*, 平均交易间隔τ*≈ 3升*2/Nσ和互补累积分布函数（CDF）P(≥ |p |；κ） （数值验证另见附录B 6和B 7）。介观和宏观数据分析–我们接下来研究我们的微观模型是否与我们的数据集一致。研究了HFTs fA（r）最佳价格的平均询价订单（图5b）的经验每日利润。令人惊讶的是，我们发现与我们的理论（9）在数量上一致，没有任何设置参数，这有力地支持了我们描述的有效性。价格变动的两小时分段CDF也以一个刻度精度P2h进行评估(≥|p |；κ） （图5c），其服从指数定律，与我们的理论预测（10）定性一致。两小时衰减长度κfluct的值在一周内显著增加。为了消除这种非平稳特性，我们引入了两小时尺度的CDFP2h(≥ |p |）≡ P2h(≥ κ|p |；κ） /Z和缩放参数κ和Z（图5d），从而合并整个星期的两小时指数定律。价格在短期内服从指数规律，但在长期内同时服从幂律，指数α=3.6±0.13（图5e）。这种明显的差异源于衰变长度κ的幂律性质。因为κ近似服从幂律CDF Q(≥ κ）~ κ-移动M=3.5±0.13的一周（图。

5f），为期一周的CDF Pw(≥ |p |）作为两个小时分段指数CDF，Pw的叠加，渐近服从幂律(≥ |p |）=Z∞dκQ（κ）P2h(≥ |p |；κ）∝ |p|-m（11）带Q（κ）≡ -dQ公司(≥ κ） /dκ，与经验成分α一致≈ m、 因此，作为κ的非平稳性质，我们的结果与之前报道的幂律[24–27]一致。由于我们的趋势跟踪HFT模型显示了有序书集体运动（图4d和e），因此该模型可以再现分层有序书结构【15】（见附录B 8）。让我们定义c-r（c+r）和a-r（a+r）为投标（ask）提交和取消之间的数量，在与市场中间价的相对距离r处打勾。我们还确定了数字变化N-r=c-r- 一-r（N+r=c+r- a+r）在距离r的投标（ask）侧。相关系数C-r（C+r）绘制在图5g中，N-r（N+r）和p、 分别在内层（外层）和外层（内层）显示正相关和负相关。我们进一步显示了价格变动之间的线性相关性p和内层Ninner中的总数值变化≡Rγc-∞dr（N-r- N+r）。因此，趋势跟踪HFT模型与之前的发现【15】定性一致（数据分析见附录B 9），这意味着分层结构是集体运动的直接结果。讨论–我们对HFT的趋势跟踪进行了实证研究，归纳出了Theorer book的集体运动。之前的订单模型[16-21]没有捕捉到这一特性，这对于再现我们的经验发现至关重要。事实上，在没有集合运动的情况下，在现实参数下，我们的经验发现、订单簿文件、指数价格运动和分层订单簿结构[15]均未被先前的订单簿模型复制（见附录B 10）。

我们预计，引入集体订单动议模型将是复制这些经验发现的关键。结论–通过直接观察高频交易的动态，我们为外汇交易员建立了微观模型和动力学理论，在最小假设下，定量地与实证结果一致。在经济物理学领域，我们的模型（2）是由微观动力学证据直接支持的第一个微观模型，并且与介观和宏观发现一致。我们预计，基于微观证据的金融市场系统化描述将出现一股新潮流。感兴趣的读者可参考参考文献[38]了解更多数学细节。致谢我们非常感谢NEX提供了欧洲经济研究院的数据。我们还感谢M.Katori、H.Hayakawa、S.Ichiki、K.Yamada、S.Ogawa、F.van Wijland、D.Sornette、M.Sano、T.G.Sano和T.Ito的富有成效的讨论。这项工作得到了日本和以色列KAKENHI股份有限公司（赠款编号16K16016和17J10781）和JST战略国际合作研究项目（SICORP）的支持，主题是“ICT促进弹性社会”。我们感谢Edanz Group的Richard Haase博士编辑了这份手稿的草稿。附录A：数据分析1。市场规则我们分析了电子经纪服务（EBS）的高频交易数据，EBS是世界上最大的金融市场之一。除周末外，该市场持续开放，几乎没有规定。从格林威治时间2016年6月5日18:00至10日22:00，所有交易员活动均使用匿名交易员ID记录在我们的数据集中，时间精度为1毫秒。当时美元/日元对的最低价格精度为0.005日元，本研究中使用的货币单位为0.001日元，称为第十个pip（tpip）。

本周，交易的最小交易量单位为100万美元，总货币流量约为680亿美元。EBSmarket是一个综合了报价驱动和订单驱动系统的混合市场，交易员有三种选择：限价订单、市场订单和取消。限价订单是指具有一定数量且报价显示在订单簿上的订单报价。市场指令是指立即以可用的最低价买入或卖出货币的指令。在这里，我们定义了本文中的术语。最高出价和最低要价分别称为市场最佳出价和要价（由BM和aM表示）（见图6a）。市场买入价和卖出价的平均值称为市场中间价（用zM表示）。此外，市场交易价格p（或简称市场价格）是指市场上发生交易的价格。我们注意到关于交易者之间相互信用额度的中央交易规则【36】。所有市场参与者都需要提前为交易对手设定信用额度，在没有相互信用的情况下，他们无法进行交易。因此，交易者有时以低于最佳市场价格的价格进行交易。2、高频交易者的定义本文将高频交易者（HFT）定义为平均每天提交500次以上（即每周超过2500次）的交易者。该定义与参考文献[39]中的定义类似。由于少数交易员不愿意进行交易，并且经常在提交订单时中断订单，因此我们排除了现场订单少于交易时间0.5%的交易员。根据这一定义，本周HFT的数量为134家，而贸易商的总数为1015家。

我们注意到，在开市后提交限价订单的交易商总数（第5、6、7、8、9、10）位（a）（b）Bid SideMarket Best BidMarket MidMarket Best AskAsk SideVolumePrice 1、10、100、0.01、0.1、10图。6.（a）市场最佳买入价bM、市场最佳卖出价aM和市场中间价zM示意图。（b） 本周内衰减长度κ和HFT 1/N倒数的时间序列表明，κ和1/N的值在格林尼治标准时间6月5日18:00–20:00（EBS市场开放后的一个非活动小时）期间最大。为922；其他93名交易员只提交了市场订单。我们还注意到，HFTs的出现最近迅速增长，在我们的数据集中，87.8%的订单是由HFTs提交的。在此，我们注意到一项关于该市场取消的规定，该规定与激励HFT发挥关键流动性提供者（KLP）的作用有关【36】。为了市场稳定，要求所有贸易商不要频繁取消订单；交易报价与报价总数之间的比率有一个阈值，称为报价充足率（QFR）。如果交易员的QFR低于阈值，则会对该市场的交易员处以罚款。然而，有一个特殊的规则来降低阈值。如果交易者在固定的时间间隔（称为关键流动性小时）内持续保持双边报价，则该交易者符合KLP的资格，并须遵守较低的QFR阈值。由于HFT往往频繁取消订单，它们通常是KLP，如图2a-c所示。我们还注意到与订单簿快照相关的HFT的典型数量。我们在每次交易后拍摄订单簿的快照，并统计出价和出价的不同交易员身份（ID）的总数。两侧报价的HFT计数权重为1，一侧报价的HFT计数权重为1/2。

然后，我们在图6b中绘制了每两个小时买卖双方交易员ID的平均数量，显示了高频交易的周期性日内活动模式（即，在格林威治时间20:00-22:00，N往往很小）。根据这一定义，在我们的数据集中，HFT的典型数字约为35。HFTs引用的总卷数通常约为80卷。诚然，在我们的模型中，哪一个数字适合校准交易者的总数，还有争论的余地；这仍然是一个有待进一步研究的课题。3、双边报价的百分比我们计算双边报价的百分比如下：；当交易者提交买入（卖出）订单时，我们会检查相应的卖出（卖出）订单是否存在。然后，我们计算每个订单提交时所有贸易商的双边报价数量，最后除以提交的总数量。4、单个交易员的取消比率对于每个交易员，我们计算了取消交易量的总数超过提交交易量的总数，以计算交易员的取消比率。第一、第二和第三大HFT的取消率分别为98.59%、99.93%和98.70%（或等效地，其QFR分别为1.41%、0.07%和1.30%）。所有HFT中的总取消率为94.42%（或相当于总QFR为5.58%）。买入卖出价差将最佳买入价和卖出价的差异作为HFT的买入卖出价差进行研究。对于图2a–c和图5a中的插图，仅以1秒的时间间隔采集同时存在买卖价格和买入价格的样本。我们将平均值的标准偏差绘制为每个点的误差条。6、趋势跟踪效应我们解释了各个HFT的投标（ask）价格的精确定义，以便分析趋势跟踪。

Ifa交易员在任何时候都会引用单次买入和单次卖出的订单，买入和卖出的价格是按字面定义的。在存在多个出价或要价订单的情况下，我们使用出价或要价订单的最佳值作为bior ai。在没有任何出价或要价或两个订单的情况下，我们使用最新的出价或要价作为bior aifor插值。由于该数据分析的离散性，交易者根本不移动的概率（即。，zi=0）估计较高。因此，我们排除了非活动时间间隔内的样本zi=0，用于计算以下代表值。这种异常处理对等式（1）中的双曲结构没有太大影响。特殊样本的出价或要价与市场价格相差0.1日元（总价格的0.02%），也不包括在条件集合平均h的计算中。我p、 在图3a中，绘制了每个箱子中样本超过100个的数据点。将每个点的条件平均值的标准偏差绘制为误差条。此外，前20个HFT的中值使用ci给出~ 6.0 tpip/勾选和p*我~ 7.5 tpip，通过gnuplot中实施的最小二乘法进行估计。我们还计算了图3b中单个交易者在一个刻度精度下报价变动的标准偏差。对于第i个顶部HFT，我们计算了条件方差Vp[zi]≡ h类(zi公司- h类齐伊p） 我pand tookits平方根。如图3b所示，标准偏差与前20名HFT为p。我们注意到中值为σi~ 14.5 tpip/刻度。这一观察结果与只有漂移项依赖于p但随机噪声影响不取决于在我们的微观模型中。7.

平均订单量每日平均订单量是针对HFTs的最佳价格计算的。我们每秒拍摄HFTs最佳价格的订单，并计算其每天的总体平均值。我们还绘制了平均值的标准偏差作为每个点的误差条。8、价格变动分布和衰减长度价格变动的两个小时分段互补累积分布函数（CDF）pare以图中的一个刻度精度计算。5c，d：p（T）≡ p（T+1）-p（T）与滴答时间T的市场价格p（T）。通过在gnuplot（图5d，f）中实施的最小二乘法估计decay lengthκ及其误差，并在图5d中绘制两个小时标度CDF，最大样本作为异常值排除。估计衰变长度κ的时间序列如图6b所示，表明κ在欧洲经济体系市场开放后（格林尼治标准时间18:00–20:00）是最长的。我们推测衰变长度κ与市场活动有关，如时间区域内HFT的数量。事实上，本周格林威治标准时间第5天18:00-20:00，HFT的数量也是最少的。附录B：理论分析1。模型动力学我们将模型动力学解释为带有跳跃规则（3）和（4）的趋势跟踪随机游动（2）。这些动态可以用δ函数在马尔可夫随机过程的框架内表示。随机动力学可以写成dzidt=c tanhpp*+ σηRi+ηTi，ηTi≡∞Xk=1j6=iXjzijδ（t- τk；ij），dpdt=∞Xk=1i<jXi，j（ppost- p） δ（t- τk；ij），dpdt公司=∞Xk=1i<jXi，j(ppost公司- p） δ（t- τk；ij），（B1）我们使用It^o公约的地方。

这里，τk；ij是第k次碰撞时间；跳转大小交易者i和j之间的ZIJ、后碰撞价格对峙和价格变动由| zi（τk；ij）定义的对手- zj（τk；ij）|=Li+Lj==> zij=-Lisgn（zi- zj），ppost=zi+zij，ppost公司≡ zi+zij公司- p（B2）106.97 106.98 106.99 107 107.01 107.02 107.03 0.2 0.4 0.6 0.8 1 106.99 107.01 107.02 107.03 107.04 107.05 107.06 0.2 0.4 0.6 0.8 1初始间隔时间高频取消限制（b）（a）图7。连续趋势跟踪随机游走模型（B1）可以重新表示为泊松价格修正过程（B3），具有高频率的取消率λ→ ∞. （a） 泊松价格修正过程（B3）的典型轨迹，单位淘汰率λ。此处，单个交易员修改价格之间的平均间隔设置为tcan公司≡ 1/λ=τ*/4平均交易间隔τ*. 其他参数由L给出*= 15 tpip，p*= 6.75 tpip，z*= 3.6 tpip，andN=25。（b） 泊松价格修正过程（B3）的典型轨迹，高取消率λ=400/τ*, 其中，对于λ，泊松模型（B3）渐近退化为连续模型（B1→ ∞.签名函数sgn（x）由sgn（x）=x/| x |定义，用于x 6=0和sgn（0）=0。值得注意的是，跳跃规则。（B2）对应于传统动力学理论中的接触条件和动量交换。在下文中，我们对该模型的介观和宏观层次进行了有效描述。2、关于泊松价格修正过程的注意事项：由于高斯噪声可以通过对泊松噪声取高频小跳限来获得[40]，因此模型（B1）可以重新表示为具有高频抵消率的泊松价格修正过程。这里，让我们重点关注在没有交易的情况下HFT的报价动态。如图所示。

2a–c，HFT往往通过连续取消和提交订单来频繁不断地修改其价格，这可能是由于市场规则（即，他们需要在固定的时间间隔内保持连续的双边报价[36]）。基于这些特征，我们可以考虑与模型（B1）相对应的泊松对消模型。让我们引入订单取消率λ，它将[t，t+dt]期间的取消概率表示为λdt。平均取消间隔的特征是tcan公司≡ 1/λ。取消后，我们假设HFT会立即恢复其价格，以维持连续的限价订单。在没有交易的情况下，所需价格假设为方程式（B1）aszi（t+dt）的离散版本- zi（t）=（0（概率=1- λdt）ctcantanh公司pp*+ σ√tcanηRi（概率=λdt）（B3），根据我们的经验发现（1），具有标准高斯随机数ηria。交易规则也被假定为与连续模型（B1）相同。这里，最小时间步长dt与平均取消间隔（cancellationinterval）不同tcan。图7示出了由该泊松动力学描述的示意轨迹。在高频抵消极限λ下得到连续模型（B1）→ ∞ 对于离散模型（B3）。因此，HFT频繁价格调整的性质反映在连续模型（B1）中。3、质心和相应的相对价格介绍我们这里介绍质心（c.m.）和相应的相对价格（示意图见图8）：zc。m。≡NNXi=1zi，ri≡ zi公司- zc。m、 。。（B4）c.m.的动态和相对价格由DZC给出。m、 dt=c tanhpp*+ ξ、 dridt=σηRi+ηTi- ξ、 ξ≡NNXj=1σηRj+ηTj.