金融布朗运动Boltzmann方程的推导：

（B5）107.00 107.05 107.10 0 1 2 3 4 5-0.04-0.02 0.02 0.04 0 1 2 3 4 5时间（a）原始cordinateVariableTransformation（b）相对cordinateJPY/美元JPY/美元TransactionRequotation jumpFIG。8、相对价格ri≡ zi公司- zc。m、 来自c.m。。（a） 单个交易员的报价买入价和卖出价（bi，ai）与c.m.和市场价格（zc.m.，p）一起绘制。（b） 在移动帧ri中删除趋势跟随效应。这些曲率是通过微观模型（B1）的蒙特卡罗模拟获得的，时间单位为L*2/σ，离散化时间步长t=4.0×10-4升*2/σ，L*= 15 tpip，p*= 6.75 tpip，z*= 3.6 tpip，N=25。值得注意的是，趋势跟踪只出现在c.m.的动力学中，而不出现在相对论价格的动力学中。这是很自然的，因为趋势跟踪会诱发交易者的集体行为，并且可以被c.m.的动力学所吸收。。此外，ξ对N的贡献远小于σηrian和ηtif对N的贡献→ ∞:|ξ| |σηRi+ηTi |。在c.m.的移动框架中，相对价格Ri的动态因此被简化，并大致遵循以下动力学方程：dridt≈ σηRi+ηTi。（B6）4。两体问题的BBGKY层次方程：N=2在推导N的Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon（BBGKY）层次方程之前 1，我们首先考虑两体交易者系统来指定碰撞积分。下一小节将研究多体问题的扩展。让我们用兰特R表示第一和第二交易者的相对中间价，其利差为常数L。动态由drdt=σηR1给出；ε+∞Xk=1rδ（t）- τk），drdt=σηR2；ε+∞Xk=1rδ（t- τk）（B7），带跳跃尺寸rrand k-th事务时间τk。此处，ηi；ε是满足hηRi的有色高斯噪声；ε（t）ηRj；ε（s）i=δije-|t型-s |/ε/2ε，对于i，j=1，2。

稍后，我们将取ε→ 0极限，其中有色高斯噪声ηRi；ε作为limε收敛到高斯白噪声→0hηRi；ε（t）ηRj；ε（s）i=δijδ（t- s） 。第k个事务时间τkand跳转大小r使用碰撞规则| r（τk）确定稀有值- r（τk）|=L+L==> r=-Lsgn（r- r） ，则，r=-Lsgn（r- r） 。（B8）我们首先推导出该系统的主方程。对于两体概率分布函数P（r，r），我们精确地得到了一个时间演化方程Pt=Xi=1,2σPri+Xs=±1σδ（r-r） ||Pr+sL，r-sL公司-δr- r- sL+L||P, （B9）其中|g（r，r）≡ |g（r，r）/r |+|g（r，r）/r |是任意g（r，r）的偏导数的绝对值之和。该方程可推导如下。对于任意函数f（r，r），我们得到了一个恒等式df（r，r）dt=Xi=1,2σηRi；εf（r，r）国际扶轮社+∞Xk=1[f（r+r、 r+r）- f（r，r）]δ（t- τk）=Xi=1,2σηRi；εf（r，r）ri+σ[f（r+r、 r+r）- f（r，r）]δ|r- r |-L+L|ηR1；ε- ηR2；ε|，（B10），其中我们使用了δ-函数的展开式：δ（g（t））=P∞k=0δ（t- τk）/| g（τk）|，具有第k个零点，使得g（τk）=0，τk<τk+1。这里我们考虑碰撞的方向；即η1；ε- η2；ε必须在碰撞r之前为正-r=（L+L）/2。相反，η1；ε-η2；ε必须在碰撞前为负r- r=-（升+升）/2。因此，我们得到了dfdt=Xi=1,2σηRi；εfri+Xs=±1sσfr-sL，r+sL- fδr- r- sL+L（ηR1；ε- ηR2；ε） 。（B11）取两侧的集合平均值，得到dfdt公司=Xi=1,2σηRi；εf国际扶轮社+Xs=±1sσfr-sL，r+sL- fδr- r- sL+L（ηR1；ε- ηR2；ε）. （B12）这里，两体PDF P（x，x）表示r的概率∈ [x，x+dx]和r∈ [x，x+dx]asP（x，x）dxdx。

通过替换f（r，r）=δ（r- x） δ（r- x） ，我们得到了主方程Pt=Xi=1,2σPxi+Xs=±1sσ-δ（x- x） Px+sL，x-sL公司+ δx个- x个- sL+LP（B13）涉及衍生产品的缩写符号定义为▄≡ /x个- /x、 将Novikov\'stheorem[41]用于任意函数g（r，r）aslimε→0ηRi；ε（t）g（r（t），r（t））= limε→0ZtdshηRi；ε（t）ηRi；ε（s）i*δg（r（t），r（t））ΔηRi；ε（s）+=σg（r，r）国际扶轮社. （B14）我们注意到是一个与|略有不同的符号| 就签名而言（参见等式（B15）了解其关系）。我们对衍生品的签名发表评论。考虑到P（x，x）≥ 0表示所有x，x和P（x，x）=0表示x-x> （L+L）/2，我们得到(P（x，x）/x） | x-x=（L+L）/2≤ 0和(P（x，x）/x） | x-x=（L+L）/2≥ 0、我们还获得(P（x，x）/x） | x-x个=-（升+升）/2≥ 0和(P（x，x）/x） |x-x个=-（升+升）/2≤ 0.总之，我们有P（x，x）x个-x=s（L+L）/2=-||P（x，x）x个-x=s（L+L）/2。（B15）更改符号x→ 兰特x→ r、 我们得到等式（B9）。通过对ron两边积分，我们得到了一个单体PDF P（r）的层次方程≡RdrP（r，r）组件P（r）t=σP（r）r+Xs=±1[Js（r+sL/2）- Js（r）]，Js（r）≡σ||P（r，r）r-r=s（L+L）/2，（B16），其中Js（r）是投标人（s=+1）或询价人（s=-1） 。右侧的第一项和第二项分别解释了自扩散项和碰撞项。对于N=2的特殊情况，这是一个最低阶的BBGKY层次方程。值得注意的是，碰撞项的数学结构与传统Boltzmann方程中的碰撞积分非常相似。5、多体问题的BBGKY层次方程：N 我们推导了特殊情况N=2的单体PDF的层次方程。在这里，我们将层次方程推广到N的多体问题 1.

我们首先假设交易者数量足够大，因此利差分布ρ（L）可以近似为一个连续函数。单体和双体PDF分别以φL（r）和φLL（r，r）表示的买卖价差L和Lare为条件。考虑到交易者之间的对称性，我们注意到单体和双体PDF Pi（ri）和Pij（ri，rj）对于交易者i和j的关系Pi（ri）=φLi（ri）和Pij（ri，rj）=φLiLj（ri，rj）。根据Boltzmannequation的精神，单体分布φL（r）的动力学方程可以分解为两部分：φL（r）t=σφL（r）r+C（φLL）（B17）体积价格。（B23）等式（B22）中间价询价图。9、从交易者的中间价订单簿到交易者的询价订单簿，坐标移动1/2。具有自扩散项（σ/2）(φL/r） 和碰撞积分C（φLL）。通过扩展碰撞项inEq。（B16）对于大N 1，我们可以指定碰撞积分asC（φLL）=NXs=±1ZdLρ（L）[JsLL（r+sL/2）- JsLL（r）]，JsLL（r）=σ*2 |rr |φLL（r，r）r-r=s（L+L）/2（B18），单位时间的碰撞概率为投标人（s=+1）或询问人（s=-1） 针对利差为L的交易者。这是类似Boltzmann的方程，公式（6）。我们注意到，这个BBGKY层次方程可以通过伪Liouville方程系统地推导出来。推导将在另一份准备中的技术论文中给出[38]。6、金融类玻耳兹曼方程我们接下来通过假设平均场近似，推导出单体分布函数φlb的闭合方程。让我们截断两体关联（即动力学理论中的分子混沌），φLL（r，r）≈ φL（r）φL（r）。

（B19）由此获得的单体分布φLis的闭合平均场方程，φL（r）t=σφL（r）r+NXs=±1ZdLρ（L）hJsLL（r+sL/2）-JsLL（r）i（B20），单位时间内的平均现场碰撞概率为投标人（s=+1）或投标人（s=-1） JsLL（r）=σ|rr |{φL（r）φL（r）}r-r=s（L+L）/2。（B21）方程（B20）是一个单体分布函数的闭合方程，对应于分子动力学中的Boltzmann方程。方程（B20）可解析求解N→ ∞, 稳态解ψL（r）由帐篷函数ψL（r）给出≡ 限制→∞画→0φL（r；t）=LmaxL- |r |，0. （B22）在这里，关于适当边界条件的技术性问题将在另一份准备中的技术文件中进行总结【38】。请注意，交易员中间价订单簿的帐篷函数（B22）暗示了移位坐标中BID和ask订单簿的帐篷函数（见图9的示意图）。然后，通过卷积帐篷函数fA（r）=ZdLρ（L）ψL（r），给出了任务侧fA（r）的平均订单量- 1/2）。（B23）我们在此讨论平均场解（B23）的直观含义。当ψL（+L/2）=ψL时，平均场解（B23）在r=±L/2处精确为零(-L/2）=0，这意味着边缘点r=±L/2有效地发挥了跳跃屏障的作用，在该屏障处粒子跳跃到r=0。事实上，方程式（B22）给出了与跳跃势垒相关的布朗运动问题完全相同的解决方案，如第。C 2。

这是N的合理结果→ ∞ 限额，其中市场流动性充足，大多数交易发生在r=±L/2.0.01 0.1 100 1000SimulationEq附近。（B26）0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 2 4 6 8 10N=0050N=0100N=0200N=1000Eq。（B24）N=0050N=0100N=0200N=1000Eq。（B24）10-410-310-210-1100 0 1 2 3 4 5 6N=0050N=0100N=0200N=1000Eq。（B27）（b）（a）（c）（d）0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.2 6 10图。通过微观模型（B1）的蒙特卡罗模拟获得的数值图。用于模拟的参数设置为：t=1.0×10-2升*2/Nσ，L*= 15 tpip，p*= 4.5 tpip，z*= 3.15各种N.（a）数字图书馆订单的tpip。m、 A（rc.m.）来自c.m.和理论指南（B24）。（b） 市场中价的数字平均订单账面价值fmidA（rmid），显示了fc的渐近等价性。m、 A（钢筋混凝土）≈ fmidA（rmid）。（c） Numericalmean交易间隔和理论指南（B26）。（d） 交易间隔的数字CDF和理论指南（B27）。a、 地块中心的平均订单量如果利差按照γ分布进行分布，如正文中的实证研究所示，平均订单量由ρ（L）=le给出-升/升*6升*4==> fA（r）=L*frL型*,§f（§r）≡e-3r（2+▄r）正弦▄r-re-r. （B24）为了验证该公式的有效性，我们对微观模型（B1）（图10a）进行了蒙特卡罗模拟，其中理论公式（B24）适用于各种N。在图中，我们用rc表示相对价格。m、 强调它是从c.m.定义为rc。m。≡ z- zc。m、 。。b、 平均订单量从市场中间价技术上讲，我们研究了平均订单量fc。m、 A（rc.m.）来自c.m。

而不是市场中价fmidA（rmid），因为fc。m、 A（rc.m.）理论上比fmidA（rmid）更容易处理。这里是rmid≡ 人工智能-Zm是第i个交易员的要价Ai与市场中间价Zm的相对距离。幸运的是，它们在很大的N限制下是一致的，并且上述公式有助于从市场中价（fc）理解平均订单量fmidA（rmid）。m、 A（钢筋混凝土）≈ fmidA（rmid）（N→ ∞). （B25）为了验证这种渐近等效性，我们在图10b中从市场中价zmidin的数字上演示了平均订单利润fmidA（rmid）。该图从数字上表明，即使对于市场中价的订单，平均订单公式（B24）也是有效的。c、 交易间隔统计我们对交易间隔τ的统计进行了评论。在平均场近似中，横向作用间隔的平均值由τ给出*≡ hτi≈2NσRL-2ρ（L）dL+O（N-2） =3L*2Nσ+O（N-2） ，（B26），这是在第。图10c中对C 1进行了数值验证。注意，这个公式可以更系统地从伪刘维尔方程推导出来[38]。基于平均交易间隔（B26），交易间隔P的CDF(≥ τ）近似由唯象公式P给出(≥ τ）≡Z∞τdτP（τ）≈ 1.- （1）- e-3τ/2τ*)（B27），交易间隔为PDF P（τ）。此公式以秒为单位推导得出。图10d中对C 2进行了数值验证。10-310-210-1100模拟图。通过微观模型（B1）的蒙特卡罗模拟获得的数值图t=1.0×10-4升*2/σ，L*= 15 tpip，p*= 3.0 tpip，z*= 7.2 N=100.7时的tpip。类朗之万金融方程我们从现象学上推导出金融布朗运动的基本方程，这与传统的朗之万方程相对应。

让我们用p（T）表示第T个交易价格，用p（T）≡ p（T+1）- p（T）。在这里，我们重点关注从方程式（B5）中获得的趋势跟踪效应，这会诱发宏观动力学的类正弦集体运动。价格运动的动力学方程由p（T+1）=c*τ（T）tanhp（T）p*+ ζ（T），（B28），其中τ（T）是第T次和第（T+1）次事务之间的时间间隔。第一项和第二项分别来自趋势跟踪和随机噪声。注意，τ（T）的统计数据是从细观模型（B20）中导出的，作为等式。（B26）和（B27）。方程（B28）控制金融布朗运动的宏观动力学，与传统的朗之万方程相对应。对于小趋势|p | p*, 我们确实得到了一个类似于传统Langevin方程的形式表达式，p（T）T≈ -γ（T）p（T）T+￠ζ（T）（B29）和￠γ（T）≡ （1）- cτ（T））/T，|ζ（T）≡ ζ（T）/(T），以及p（T）≡ p（T+1）- p（T）。接下来，我们使用金融朗之万方程（B28）研究价格变动分布，但这是一个无法精确求解的偏差方程。尽管如此，通过做出以下两个假设，可以大致评估其定性行为。（i） 与随机噪声相比，趋势跟踪的影响非常大：| c*τ（T）| |ζ（T）|。（ii）趋势跟踪的平均移动z*≡ cτ*远大于饱和阈值：z* p*.在条件（i）下，定性行为由交易区间τ（T）的统计数据控制。此外，在条件（ii）下，方程式（1）中的双曲函数可近似用于大挠度astanh(p/p*) ≈ 新加坡元(p） 而ζ（T）一词与尾部无关。基于等式。

（B27）对于交易间隔τ，价格分布P(≥ |p |）近似为|p |→ ∞ asP(≥ |p |）≈ e-3|p |/2z*= e-|p |/κ，（B30），估计衰变长度为κ≈ 2.z*/图11.8对该公式的有效性进行了数值验证。HFT模型的分层订单结构的数值分析在此，我们根据参考文献[15]中的方法对HFT模型的分层订单结构进行了详细的分析。在L参数集下，对泊松价格修正过程（B3）进行了数值模拟*= 15.5 tpip，p*= 3.65 tpip，z*= 4.56 tpip，tcan公司≡ 1/λ=4/τ*, N=50。Atiner Outertpip（a）（b）（c）tpip-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4-10 0 20 30 40 50 60 70 80 bidask-30-20-10 0 20 20 30-60-40-20 0 20 40 60 0 0 20000 40000 60000 80000 120000 140000 160000 180000 200000-50 50 100 150 250 300101102103104105106 1 100图。12.（a）数据集中HFT订单的经验分层结构，显示交叉点γc≈ 26 TPI在内层和外层之间。（b） 内层总数量变化与市场成交价格变动之间的线性关系p、 Pearson的相关系数为0.616p、 （c）市场中价提交的限价单分布，显示指数为2.9的幂律尾（见对数-对数图插图）。投标方（ask）订单提交和取消的瞬间，bin宽度为1 tpip，我们从市场中价zM测量相对深度r，定义为r≡ zM公司-bi（r≡ 人工智能-zM），我们增加了c的数量-r（c+r）和a-r（a+r）分别为1。然后，我们将它们的数量在T和T+1之间累加，以获得一个N样本-r（T）≡ c-r（T）- 一-r（T）（N+r（T）≡ c+r（T）- a+r（T））。

我们还研究了市场价格的运动p（T）≡ p（T+1）- p（T）并计算皮尔逊相关系数C-r（C+r）介于p（T）和N-r（T）（N+r（T）），如图5g所示。交叉点估计为γc≈ 16.5数值模拟中的tpip。接下来，我们研究了内层的数量变化与价格变动之间的线性关系p、 在T和T+1刻度之间，我们对N和-r（T）和N+r（T），并计算它们在内层的积分为Ninner（T）≡Rγc-∞dr{N-r（T）-N+r（T）}。然后，我们计算了Ninner（T）和图p（T）。5小时。我们绘制了p（T）以Ninner（T）为条件，误差条表示条件变量。图中显示了皮尔逊系数0.63.9的显著线性相关。数据集中订单簿分层结构的实证分析我们在数据集中展示了HFTs订单簿的经验分层结构。根据Sec中的基本相同方法。B 8，我们计算了分层结构，如图12a和图12b所示。内层Ninner（T）的体积变化与价格变动具有显著的Pearson系数0.616相关性p（T）。为了在整封信中保持一致性，我们将重点放在HFT的最佳价格上，以进行相关分析。12a和b。换句话说，我们增加了c-兰特c+R，当新报价是该贸易商的最佳价格时。此外，我们增加了-当取消订单的价格是交易者的最佳价格时，rand a+R。10、与零情报订单簿模型的数值比较我们将我们的经验结果与零情报订单簿（ZI-OB）模型进行比较【18–20】。basicZI OB模型是参考文献中介绍的统一分解订单模型。