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英文标题：
《Derivation of the Boltzmann Equation for Financial Brownian Motion:
  Direct Observation of the Collective Motion of High-Frequency Traders》
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作者：
Kiyoshi Kanazawa, Takumi Sueshige, Hideki Takayasu, Misako Takayasu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A microscopic model is established for financial Brownian motion from the direct observation of the dynamics of high-frequency traders (HFTs) in a foreign exchange market. Furthermore, a theoretical framework parallel to molecular kinetic theory is developed for the systematic description of the financial market from microscopic dynamics of HFTs. We report first on a microscopic empirical law of traders\' trend-following behavior by tracking the trajectories of all individuals, which quantifies the collective motion of HFTs but has not been captured in conventional order-book models. We next introduce the corresponding microscopic model of HFTs and present its theoretical solution paralleling molecular kinetic theory: Boltzmann-like and Langevin-like equations are derived from the microscopic dynamics via the Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon hierarchy. Our model is the first microscopic model that has been directly validated through data analysis of the microscopic dynamics, exhibiting quantitative agreements with mesoscopic and macroscopic empirical results.
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中文摘要：
通过对外汇市场高频交易者动态的直接观察，建立了金融布朗运动的微观模型。此外，还建立了一个与分子动力学理论平行的理论框架，以便从HFTs的微观动力学系统地描述金融市场。我们首先通过跟踪所有个体的轨迹，报告了交易员趋势跟踪行为的微观经验法则，该法则量化了高频交易的集体运动，但在传统的订单簿模型中尚未捕捉到。接下来，我们介绍了相应的HFTs微观模型，并给出了其平行于分子动力学理论的理论解：类Boltzmann和类Langevin方程是通过Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon层次从微观动力学推导出来的。我们的模型是第一个通过微观动力学数据分析直接验证的微观模型，显示出与介观和宏观经验结果的定量一致性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> Derivation_of_the_Boltzmann_Equation_for_Financial_Brownian_Motion:_Direct_Obser.pdf (1.82 MB)

2022-5-31 06:37:05 上传

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关键词：Boltzmann 布朗运动 Mann Man tzm

金融布朗运动Boltzmann方程的推导：高频商人金泽清（Kiyoshi Kanazawa）集体运动的直接观测1,2，*东京理工大学创新研究所，东京理工大学，4259 Nagatsuta cho，Midori ku，Yokohama，226-8502，东京理工大学计算学院数学与计算科学系，4259 Nagatsuta cho，Midori ku，Yokohama，226-8502，日本东京Shinagawa ku，141-0022，通过直接观察外汇市场高频交易者（HFT）的动态，建立了金融布朗运动的微观模型。此外，还建立了一个与分子动力学理论平行的理论框架，用于从HFTs的微观动力学系统地描述金融市场。我们首先通过跟踪所有个体的轨迹，报告了交易员趋势跟踪行为的微观经验法则，该法则量化了高频交易的集体运动，但在传统的订单簿模型中尚未捕捉到。Wenext介绍了相应的HFTs微观模型，并给出了其理论解，平行于分子动力学理论：类Boltzmann和类Langevin方程是通过Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon层次从微观动力学推导而来的。

我们的模型是第一个通过微观动力学数据分析直接验证的微观模型，显示出与介观和宏观经验结果的定量一致性。PACS编号：89.65。Gh，05.20。Dd，05.10。Gg，05.40。JC简介–在物理学中，胶体布朗运动的研究有着悠久的历史，始于爱因斯坦的著名著作【1】；对其机理的理解在动力学理论中得到了系统的发展【2，3】。具体而言，从微观牛顿动力学出发，分别推导了介观和宏观动力学的Boltzmann和Langevin方程。该框架是各种非平衡系统（如活性物质、颗粒物、费曼棘轮和流量[4-10]）的坚实基础，由于最近的技术突破，其直接实验基础已被重新审视。鉴于这一成功，自然会将这一框架应用于物理学之外的社会科学，如金融。事实上，随机游动的概念在历史上早于爱因斯坦（Bachelier Earlier Einstein）[14]就为价格动力学发明了，最近的高频数据分析（high-frequency data analysis）[15]深入研究了随机游动与物理布朗运动（例如，波动耗散关系）的相似性。作为统计物理学中的一个理念，金融市场的动力学有望通过扩展动力学理论从第一原理中得到澄清。虽然这个想法很有吸引力，但金融布朗运动的动力学描述尚未建立。为什么这个想法还没有实现？在我们看来，最大的问题是缺乏已建立的微观模型；存在介观模型[15-21]和宏观模型[22-28]的经验验证，其中没有通过直接经验分析验证微观模型。

事实上，以前的微观模型[29–33]纯粹是理论模型，没有定量ev*通讯作者：金泽。kae@m.titech.ac.jpidence显微镜下。作为一门实证科学，为了克服这一关键问题，必须将两个缺失的环节联系起来：（i）通过直接观察交易者的动力学建立微观模型（图1a）和（ii）构建动力学理论，以表明其与介观和宏观发现的一致性（即理论手册和价格动力学（图1b，c））。在这封信中，我们通过直接观察外汇市场高频交易者（HFT）动力学给出了相应的解决方案：（i）通过直接微观证据建立了高频交易者的微观模型，（ii）发展了相应的动力学理论，以证明其与细观和宏观证据的一致性。我们使用匿名交易员识别码（ID）分析订单数据，以跟踪所有个人的轨迹。我们发现HFT中存在一个经验规律，这一规律在以前的订单模型中没有得到体现。值得注意的是，这一特性诱导了订单簿的集体运动，并自然导致了分层订单簿结构【15】。然后，我们介绍了一个对应的HFTs后趋势的微观模型。从他们的“运动方程”出发，推导出订单和价格动态的类Boltzmann和类Langevin方程。我们的实证结果最终显示了定量一致性。我们的工作为基于微观证据的金融系统描述打开了大门。观察到的微观动力学–我们分析了2016年6月一周内美元（USD）和日元（JPY）之间电子经纪服务的高频外汇数据（见附录a 1）。本研究中使用的货币单位为0.001日元，称为第十皮普（tpip）。

在这里，我们特别关注HFT的动态【34】，经常提交或取消（b）中观：订单簿动态（a）微观：交易者动态（c）宏观：价格动态减少EBID侧市场最佳出价市场中市场最佳AskAsk侧市场交易价格PriceTimeBBGkyHierarchyfig。1、微观、介观和宏观动力学的金融布朗运动层次结构。106.7 106.86 6月1日01:31 6月6日01:32询问订单出价订单市场价格交易107.0 107.1 107.26 6月16日16:49 6月6日16:50PDF 107.1 107.2 107.3 107.46 6月07:29 6月07:30日元/美元0.02 0.04 0.06 20 40 60 80买入卖出价差PDF 0.02 0.04 0.06 20 60买入卖出价差PDF 0.02 0.04 0.06 20 40 60买入卖出价差（d）趋势跟踪分析（a）第一名HFT（b）第二名第i位交易员的HFTTrendReaction：报价变动PriceTime（c）排名第三的HFTFIG。2.（a–c）订单的寿命被绘制为前3个HFT的轨迹。典型的交易者倾向于连续的双边报价，买卖价差围绕交易者特有的时间常数波动。HFT中双边报价的百分比为48.4%（见附录A 3）。（d） 单个交易员趋势跟踪的量化，其中p和Zi分别是第i个交易者的市场价格和中间价格的变动。根据算法订购（见附录A 2）。图2a-c显示了前三大HFT的典型投标和询价轨迹。他们通过快速连续提交和取消来修改报价，通常在几秒钟内完成；几乎99%的提交最终在没有交易的情况下被取消（见附录A 4）。根据市场规则，在双边报价中，他们还扮演着流动性提供者的角色，保持买卖订单之间的平衡。

买卖价差，即单个HFT的最佳出价和要价之间的差异，被观察到围绕某些时间常数波动（其分布见插图和附录a 5）。然后，我们报告了个人交易者趋势跟踪策略的经验微观规律。第i个顶级HFT的买卖报价由biand ai表示（见附录A 6）。我们调查了交易员报价中价zi的平均变动≡（bi+ai）/2以先前市场交易价格变动为条件的交易之间（图2d）。这里，我们将滴答时间T作为每个事务递增的整数时间。本周的平均交易间隔为9.3秒。由于典型的高频交易经常在交易之间修改价格，因此我们在此研究高频交易的趋势跟踪精度。对于前20名HFT（图3），我们发现运动的平均值和方差zi（T）≡ zi（T+1）-zi（T）服从齐伊p≈ 西坦pp*i、 五p[zi]≈ σi，（1）其中条件平均值h。我上次价格变动为p（T- （1）≡ p（T）- p（T- 1） 以及zi6=0（见附录A 6），条件方差由V定义p[zi]≡ h类(zi公司- h类齐伊p） 我p、 这里，p（T）是T点的市场交易价格，ci，p*i、 σi是转换器独有的特征常数，与p、 其典型值为ci≈ 6.0 tpip，p*我≈ 7.5 tpip和σi≈ 14.5 tpip。我们的发现（1）表明，交易者的反应对于小趋势是线性的，但对于大趋势是饱和的，并且量化了高频交易的集体运动。值得注意的是，从一个月精度的价格变动数据分析中报告了类似的行为【37】。微观模型–在这里，我们介绍了一个结合上述特征的HFT最小微观模型。

我们有四个假设：（i）贸易商的数量非常大；（ii）交易者总是在单位交易量的同时报出买入价和卖出价（对于第i个交易者，BIAN和ai）；（iii）买卖价差是分布为ρ（L）的交易员独有的时间常数。然后，用midpricezi来描述转换器的动态特性≡ （铋+铝）/2；（iv）在微观动力学中假设随机行走后的趋势（图4a-c），dzi（t）dt=c tanhp（t）p*+ σηRi（t）（2），趋势跟随c，之前的价格变动p、 和方差为σ的高斯白噪声σηRi。这里，c，p*, 为简单起见，假设所有交易者共享和σ。在此模型中，HFT经常通过连续提交和取消来修改其报价。事实上，该模型可以重新表述为具有高取消率的aPoisson价格调整过程（见附录B 2）。交易aj（t）=bi（t）（图4b）后，更新后的市场价格及其相应的变动记录为asp（t+0）=bi（t），p（t+0）=bi（t）- p（t），（3）-10-5 0 5 10-15-10-5 0 5 10 15 0 0.5 1.5 2-20-15-10-5 0 5 10 20-20-15-10-5 0 5 10 20-2-1 0 1 2-4-3-2-1 0 1 2 3 41st2nd3rd4th4th6th7th8th9th10th12th14th16th17th18th20th20缩放（a）平均移动趋势（双曲线函数）（b）随机噪声影响的标准偏差（与缩放无关）TPIPPIPTPIP tpip19th HFT11th HFT1ST2ND3RD4TH5TH6TH7TH8TH10TH12TH14TH15TH17TH18TH20TH4TH14THFIG。3.（a）平均值Zi假设之前的价格变动p和一位活跃的交易员zi6=0。通过引入缩放参数，可以通过前20个HFT的主曲线（1）来确定行为p*土地和ci。

（b） 价格变动的条件标准差p、 表明与趋势跟踪相关的随机性与p、 （b）交易（a）随机游走后的趋势（c）需求跳跃卷冰山问（d）订单簿的集体运动（e）订单簿的分层结构订单簿中的正向趋势卷体积变化（重心）图4。微观模型示意图（2）。（a） 每个交易者的中间价服从趋势跟随随机游走。（b） 交易发生在bi=AJ与市场交易价格p及其变动匹配后p已更新。（c） 交易结束后，这对交易双方同时重新报价和询价。（d） 趋势跟踪引起的订单集体运动。（e） 投标（ask）订单簿中的数量变化为正（负），接近p>0。发生再定量跳变（图4c），zi（t+0）=zi（t）-Li，zj（t+0）=zj（t）+Lj。（4） 这里，t+0表示事务之后的时间。该模型的一个独特特征是趋势跟踪导致的订单簿集体运动（图4d）。对于p>0时，出价（ask）量的变化趋向于接近最佳价格的正（负）变化（图4e），与分层订购书结构一致【15】。动力学配方–接下来，根据动力学理论[2，3]，我们给出了该模型（2）的解析解。让我们首先介绍相对距离i≡ zi公司-zc。m、 从“质心”zc。m。≡Pizi/N（图4a），式（2）中的趋势跟随效应被吸收到zc的动力学中。m、 。。Ribrecome的动态更简单，因为趋势跟踪效应在这个移动的框架中消失了（见附录B 3）。Wenext引入了一体（二体）概率分布，即φL（r）（φLL（r，r）），条件是交易者的买卖价差。

从微观模型（2）中，导出了最低阶层次方程，如下所示：φL/t=（σ/2）(φL/r） +NPs=±1RdLρ（L）[JsLL（r+sL/2）-JsLL]带JsLL（r）≡（σ/2）|rr |φLL（r，r）r-r=s（L+L）/2和rr | f≡ |f级/r |+|f级/r |（见附录B 5）。假设“分子混沌”φLL（r，r）≈ φL（r）φL（r），（5）我们推导了订单中带有碰撞积分的类Boltzmann方程：φLt型≈σφLr+NXs=±1ZdLρ（L）[μJsLL（r+sL/2）-JsLL]（6）带▄JsLL（r）≡ （σ/2）|rr |{φL（r）φL（r）}r-r=s（L+L）/2。此处，s=+1（s=-1） 作为投标人（asker）表示交易。由于交易者表现出由趋势跟踪引起的集体运动，因此还导出了一个类似朗之万的方程作为模型（2）的宏观描述，p（T+1）=cτ（T）tanhp（T）p*+ ζ（T），（7），其中τ（T）和ζ（T）分别是事务时间间隔和第T个滴答时间的随机噪声。第一个趋势跟随项对应于传统朗之万方程中的动量矩。方程（6）和（7）可通过分析评估n→ ∞. 我们首先将买卖价差分布设置为ρ（L）=L6L*4e-升/升*（8） 衰减长度为L*= 15.5±0.2 tpip，在我们的数据集中进行了经验验证（图5a）。N的等式（6）的解→ ∞ 由φL（r）=（4/L）max{L/2给出-|r |，0}。tpip（c）价格变动CDF（一个刻度）（e）一周价格变动CDF（f）衰减长度CDF 0 20 40 60 80 1005th 18:00-20:006th 12:00-14:008th 20:00-22:0010-510-410-310-210-1100101 210一周距离。PowerPower-dist.10-210-110010-310-210-1100（b）每日订单概况（a）每日买卖价差距离。（d）按比例价格变动CDF（g）订单的分层结构（h）之间的相关性0 1 2 3 4 5 6 76年6月7日6月8日6月9日6月10日。（8） 缩放6月6日、6月7日、6月8日、6月9日、6月10日。

（9） TPIPTPIP tpip 0.11.0 1 10 0 0.01 0.02 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.004 0.008 0.012 0 50 100 150 200-30-20-10 0 10 20 30-60-40-20 0 20 40 60 tpip-10 0 20 30 40 40 50 60 70 80内-外-0.2 0.2-0.4 0.4BidAskFIG。5.（a）使用经验主曲线（8）的HFT买卖价差的每日分布（见附录a 5）。（b） 每日平均订单量（Dailyaverage order book pro）为HFT的最佳价格，与我们的理论行（9）一致，无需设置参数（见附录A 7）。这里的相对深度是从市场中间价而不是c.m.来衡量的，为简单起见，这与我们的理论相比并没有造成很大的数值差异（见附录B 6）。（c） 在三个典型时间区域内，以一个刻度精度计算价格变动的两个小时分段CDF（见附录A 8）。CDF是指数型的，与我们的理论预测一致（10）。（d） 每2小时（62个时间区域）将两个小时分段CDF缩放为单指数主曲线。（e） 整个星期的价格变动CDF遵循指数α的幂律。（f） 衰变长度κ服从幂律Q(≥ κ）~ κ-m、 （g）我们的HFT模型的订单簿分层结构。皮尔逊系数C-r（C+r）在N-r（N+r）和带交叉点γc的p≈ 16.5 tpip。（h） 内层总数量变化与价格变动的线性相关p，相关系数为0.63。平均订单量fA（r）=RdLρ（L）φL（r-然后，对于r>0，则给出L/2，byfA（r）=4e-3r2L*3升*2+rL*sinhr2L*-re公司-r2L*2升*.