连续鞅的无概率理论

要建立最后的陈述，必须证明Limk→∞sups公司∈[0，t]Yks（ω，H（ω））- Ys（ω，H（ω））= 0（9）表示所有（t，ω）∈ dom Y′型 dom H和dom Y′保持准始终。对于（t，ω）∈ dom H，（t，ω）∈ dom Y′表示（t，（ω，H′）∈ dom Y代表anyH\'∈ C[0，∞) 使得H′|[0，t]=H（ω）|[0，t]，因此等式（9）来自（8）。接下来，我们证明dom Y′是准始终的。设X是新市场中的非负向上ermartingale，X=1，Xt（ω，H′）=∞ forall（t，（ω，H′）/∈ dom Y。根据定理3.1，Xt（ω，H（ω））在旧市场中是一个非负的超鞅，这个非负的超鞅证明了dom Y′是准始终的。还有待考虑这样一种情况，其中Y是一个简单的资本过程，我们的目标是证明（4）是旧市场上的一种连续马丁酒。这源于（4）是dom H和（4）是dom H的有效域，与定理3.1中构造的旧市场中的简单资本过程Y′相等（该构造也在没有假设Y为非负的情况下工作）。现在我们证明了定理3.1和3.2中交易证券价格路径的类似物；定理3.3涉及非负上鞅，定理3.4涉及连续鞅。定理3.3。设X是连续的鞅。考虑X作为新证券交易的扩展市场。新市场中的任何非负超级马丁格尔都是旧市场中的非负超级马丁格尔。允许Ohm′:= C[0，∞)J+1是新市场的样本空间（X′，S，…，SJ），其中X′:[0，∞) → R是新证券的价格路径（我们总是在信息路径之前列出价格路径）。让Y在新市场中是一个非负的超级参与者。我们对Yt（z）形式的表示离子的理解与定理3.1相同。定理3.3表示Y′t（ω）=Y′t（S，…，SJ）：=Yt（X（S，…，SJ），S。

，SJ）=Yt（X（ω），ω）（10）（参见（4））是旧市场中的非负上马。定理3.3的证明。假设Y是newmarket（X′，S，…，SJ）中的非负上鞅。定理3.1（参见（5）–（6））中给出的论点表明，有必要考虑Y是简单资本过程的情况。因此，我们在新市场中给出了一个非负的简单资本过程Y，我们的目标是证明它在旧市场中是一个非负的超鞅。连续鞅X在两个位置输入图片：第一，它用于定义停止时间和b e T，第二，通过X的增量输入资本的增量。（基本价格路径Sj，j=1，…，j*, 扮演这两个角色，而基本信息路径Sj，j=j*+ 1.J、 只扮演第一个角色。）对于这两个角色，我们可以使用不同的连续鞅X′和X′（X′用于第一个角色，X′用于第二个角色），并且在不假设X′=X′的情况下，我们证明了任何X′和X′所需的陈述。定理3.1指出，向市场中加入X′不会改变非负超鞅的类别；因此，我们将忽略X′。其余的证明将通过对X′秩的反式归纳，从现在起，我们将其简单地表示为X。Let（τ，τ，…）和（h，h，…）be Y的停车次数和赌注（RJ*+1值随机向量）。首先，我们支持X是一个简单的资本过程；Letts停止时间和赌注（这次是RJ*-有值随机向量）be（τ′，τ′…）和（h′，h′…）。对于每个ω∈ Ohm （即，旧市场样本空间中的每个ω），我们可以排列eτ（ω），τ（ω），τ′（ω），τ′（ω）。进入递增序列τ′（ω）≤ τ′′（ω）≤ ··· 确定Sj、j的赌注∈ {1。

J*}, 区间（τ′n，τ′n+1）（取时间τ′n）为hYhjX+hjY，其中hjX（hi之一的JTH成分）是X在该区间上的下注，是Y在该区间上的下注，是Y在该区间上的下注，是Y在该区间上的下注。这些下注和止损时间τ′在旧市场上是简单的资本过程；其作用域是Ohm.最后，我们在X的秩上应用反有限归纳。假设X是秩α的连续鞅，且that X=limk→∞连续鞅Xkof秩小于α的Xkon dom X。根据归纳假设，foreach k，简单资本过程Y（由（τ，τ，…）确定）和（h，h，…）应用于通过添加Xkgives扩展的旧市场，非负上鞅Ykt（ω）：=Yt（Xk（ω），ω）。非负上鞅yk将在dom X内收敛到Y′t（ω）：=Yt（X（ω），ω（即使在lim的意义上，更不用说在lim-inf的意义上）。设X′为非负超鞅，如X′=1，X′t（ω）=∞ 当（t，ω）/∈ dom X.然后，非负up ermartingales Yk+X′/k将收敛到Y′作为k→ ∞, 而soY′也是一种非负的上鞅。定理3.4。设X是连续的鞅。考虑X作为新证券交易的扩展市场。新市场中的任何连续鞅Y都是旧市场中的连续鞅。该陈述的解释与定理3.2相同，但用（10）代替（4）。定理3.4的证明。假设Y是新市场（X′，S，…，SJ）中的连续martinga-le。如前所述，必须考虑Y是简单资本过程s的情况。我们在新市场中得到了一个简单资本过程Y，我们需要检查它在旧市场中是连续鞅。正如第3.3条中的证明一样，我们将假定X仅用于交易，而不是作为信息路径。

在同样的证明中，我们证明了在旧市场中Y是一个简单的资本过程，而X是一个简单的资本过程。接下来，我们像往常一样，通过对X秩的反有限归纳来继续。假设X是α秩的连续鞅，并且X=limk→∞连续鞅Xkof秩小于α的Xkinside dom X。根据归纳假设，对于每个k，Ykt（ω）：=Yt（Xk（ω），ω）是一个连续的martinga-le。这些连续鞅将在e出口内的紧时间间隔上一致收敛于Y′t（ω）：=Yt（X（ω），ω∩∞k=1dom Yk∩domx.由于这个事件是准总是的（参见引理2.2），Y′是一个连续鞅。4 It^o积分在本节中，我们将[11]和e arlierpaper[5]的定义和结果与连续过程和鞅的保守性相结合（定理3.1–3.4）。在很大程度上，我们的论述如下。设H为连续过程，X为连续鞅。根据定理3.1–3.4，我们可以假设H是一条基本信息路径，X是一条基本价格路径，尽管我们的大多数讨论并不依赖于此假设。（此备注也适用于以下章节。）为了确定H w.r.到X的It^o积分，我们需要用有效解对时间进行分区，以确定H和X的任意微小变化。分区是停止时间0=T的任意递增序列T≤ T≤ T≤ ··· 这样的胆小鬼→∞Tk（ω）>t准总是成立的。让我们说这是一个序列t，t。如果，对于所有n，k∈ {1，2，…}和ω∈ Ohm,支持∈[秋明-1（ω），Tnk（ω）]：Yt（ω）∈RYt（ω）- 输入∈[秋明-1（ω），Tnk（ω）]：Yt（ω）∈RYt（ω）≤ 2.-n、 一系列分区T，T。这是bo th H和X isTnk（ω）的定义：=infnt>Tnk-1（ω）|Ht公司- HTnk公司-1.∨Xt公司- XTnk公司-1.= 2.-n-1o（11）对于k=1，2。，当Ht= orXt=.

（Tnkare停止时间的事实来自引理2.3。）给定连续过程和连续鞅X的划分序列tn，我们设置（H·X）nt：=∞Xk=1HTnk-1.∧t型XTnk公司∧t型- XTnk公司-1.∧t型, n=1，2。（12） 尽管如此，t∈ [0，∞).定理4.1。对于H和X的任何分区序列Tn fine，（H·X）nconverge ucqa as n→ ∞. 如果T被H和X的另一系列分割线取代，则该极限将保持不变。该极限的存在在第4条中得到了证实。1将表示为（H·X）sorRsH dX，并称为H w的It^o积分。r、 由于收敛在紧时间间隔上是一致的，（H·X）是s的连续函数∈ [0，t]准a-lways（这意味着（H·X）是s的连续函数∈ [0，∞)几乎可以肯定，如第8节所述）。定理4.1的证明。该定理的第一部分源自【11】中的定理1（该论文第4节证明），并结合定理3.1–3.4。（文献[11]中的定理1是关于类似于（11）的特定划分序列的陈述，但该论点适用于任何特定序列。）为了证明两个fine、H和X、序列和Tof分区的极限准始终一致，应将[11]中定理1的证明中的参数应用于Tnand Tn，而不是Tnand Tn-引理4.2。连续鞅的随机积分w.r.是连续鞅。证据根据定理3.2和3.4，（12）是连续鞅，因此，根据Theo-rem 4.1，它们的ucqa极限也是连续鞅。现在让我们检查一下It^o积分的定义是否（准总是）取决于分区Tn的顺序，前提是它在某种意义上是有趣的，并且足够精确。首先，我们给出一个非常简单的形式陈述，然后讨论它背后的直觉。推论4.3。设T是一组可数的划分序列。

存在一个连续过程H·X，因此对于H和X的任何T元素，（H·X）n（根据该元素定义）将ucqa收敛到该过程H·X，作为n→ ∞.证据这直接来自定理4.1和引理2.2。我们考虑的推论4.3的应用是，我们为讨论随机过程提供了一种相对正式的语言（如Revuz和Yor的语言[7]）。该语言允许我们定义不同的分区序列（可能重新转换到H、X和基本路径（S、…、SJ）），如（11）。语言中有可数的多个句子，其中描述划分顺序的句子构成了一个可数集，我们将其表示出来。推论4.3为我们提供了It^o积分的不变定义。备注4.4。当定义T时，我们允许的语言不能是英语，或者逻辑教科书中的语言，如[4]：例如，[4]包含一个短语，“不由包含少于200个符号的英语表达式表示的最小正整数”（[4]，第3页，贝里悖论），表明如果语言太丰富，可定义性的概念可能是模糊的。备注4.5。形式语言在概率基础中的使用至少可以追溯到沃尔德（Wald）在冯·米塞斯（VonMises）的《集体》中的工作。很容易检查，我们对It^o integra l H·X的定义是否与X是连续半鞅的情况一字不差，并且假设分区的顺序为H和X的标准分解的两个分量（见滚动8.2）。或者，我们通过将H·X设置为H·Y+H·A来获得相同的结果（准始终），其中Y+A是X的标准分解，H·A是Leb-esgue-Stiltjes积分。5协变量和q变量我们从确定两个连续鞅X和Y之间协变量的存在性开始。

X和Y的协变量可近似为[X，Y]nt：=∞Xk=1XTnk公司∧t型- XTnk公司-1.∧t型YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型, n=1，2。（13） 我们证明了[X，Y]nas n的ucqa极限→ ∞ 存在于细分序列中，表示为[X，Y]（或[X，Y]t（ω）（如果我们需要提及参数），并称之为X和Y之间的协变量。引理5.1。ucqa限制（13）列出了X和Y的划分序列。此外，它满足了部分公式的积分xtyt=（X·Y）t+（Y·X）t+[X，Y]tq。a、 （14）证明。上一节将随机积分（X·Y）t=rtxsdys定义为ucqa限值n→ ∞ （X·Y）nt的（ω）：=∞Xk=1XTnk-1.∧t型YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型, n=1，2。交换X和Y，我们得到（Y·X）t=RtYsdXs的类似表达式。检查xtyt=（X·Y）nt+（Y·X）nt+[X，Y]nt是合理的。传递到ucqa限值为n→ ∞ 我们得到了[X，Y]的存在性和部分公式（14）的积分。从（14）中可以清楚地看出，[X，Y]是一个连续的过程。此外，nextlemma将表明这是一个有限变化的连续过程。设置Y：=X导致二次变量[X，X]的定义，我们有时将其缩写为[X]。从定义（13）可以清楚地看出，[X]是一个不断增长的过程，因此是一个有限的连续变化过程。下面的引理表明，[X，Y]对于任何连续鞅X和Y都是一个有限变化的连续过程（并且，正如下面的引理5.3所示，即使对于任何连续半鞅X和Y也是如此）。引理5.2。对于任意连续鞅X和Y，[X，Y]=（[X+Y]- [X]- 【Y】）q.a.，【X，Y】是一个有限变化的连续过程。证据恒等式ab=（（a+b）- 一- b） 表示[X，Y]n=（[X+Y]n- [十] n个- （Y）n）对于每个n=1，2。

。，它仍然需要传递到ucqa限制为n→ ∞.现在让我们将椭圆和二次变差的概念推广到连续半鞅。同样，我们对连续鞅的[X，Y]的先前定义延续到了连续半鞅X和Yverbatim的情况（使用一系列划分，这些划分对于X和Y的标准分解的所有组件都是明确的），很明显，对于任何连续半鞅，Le mma 5.1都适用。二次变化仍然可以定义为[X]：=[X，X]。与测度论概率一样，两个连续半鞅之间的协变量只取决于它们的鞅部分。引理5.3。如果X和X′是两个具有st标准分解X=Y+A和X′=Y′+A′的连续半鞅，则[X，X′]=[Y，Y′]q.A.证明。通过协变量的定义（13），[X，X′]nt（ω）=∞Xk=1XTnk公司∧t型- XTnk公司-1.∧t型X′Tnk公司∧t型- X′Tnk公司-1.∧t型=∞Xk=1YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型Y′Tnk公司∧t型- Y′Tnk公司-1.∧t型（15）+∞Xk=1YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型A’Tnk公司∧t型- A’Tnk公司-1.∧t型（16）+∞Xk=1ATnk公司∧t型- ATnk公司-1.∧t型Y′Tnk公司∧t型- Y′Tnk公司-1.∧t型（17）+∞Xk=1ATnk公司∧t型- ATnk公司-1.∧t型A’Tnk公司∧t型- A’Tnk公司-1.∧t型. （18） 由于最后一个和中的第一个加数（15）是[Y，Y′]nt，我们需要证明其他加数（16）–（18）收敛到零，为n→ ∞. 同一个加数适用于所有三个加数；e、 g.，（16）趋于零，因为e∞Xk=1YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型A’Tnk公司∧t型- A’Tnk公司-1.∧t型≤ 2.-否（1）→ 0（n→ ∞),其中，我们使用了分区序列的唯一性和A′的细分。6 It^o公式我们从陈述连续半鞅的It^o公式开始。定理6.1。让F：R→ R是类C的函数，X是连续半鞅。然后F（Xt）=F（X）+ZtF′（Xs）dXs+ZtF′（Xs）d[X]sq.a。最后的积分rtf′（Xs）d[X]可以在Lebesg ue–Stitjessense中理解。证据

根据泰勒公式，F（XTnk）- F（XTnk-1） =F′（XTnk-（1）XTnk公司- XTnk公司-1.+F′（ξk）XTnk公司- XTnk公司-1.,式中ξk∈ [XTnk-1，XTnk]（当a>b时，[a，b]被理解为[b，a]）。求和k=1，K、 其中K是最大的K，例如Tnk≤ t、 并将s限制为n→ ∞.下一个结果是定理6.1的向量版本，并以类似的方式得到证明。对于向量连续半鞅，我们指的是作为函数映射（t，ω）的连续半鞅的有限序列X=（X，…，Xd）∈ [0，∞) ×Ohm 对于向量Xt（ω）=（Xt（ω），Xdt（ω））。定理6.2。让F：Rd→ R是类Cand的函数，X=（X，…，Xd）是向量连续半鞅。ThenF（Xt）=F（X）+dXi=1ZtFxi（Xs）dXis+dXi=1dXj=1ZtFxixj（Xs）d【Xi，xj】sq.a.（19）备注6.3。对于XI具有特殊形式的组件，如所有t的Xit=TF，可以放宽F是两次连续可微分的要求。然而，本文不需要这样做。7 Dol’eans指数和对数以下定理介绍了Dol’eans指数的相同理论模拟。定理7.1。如果X是连续鞅，E（X）：=exp（X- [十] /2）也是一个连续鞅。证据一个标准技巧（参见[7]，命题IV.3.4）是将It^o公式（19）应用于函数F（x，y）=exp（x- y/2）和向量连续半鞅（X，y）=（X，[X]）。因为[X，[X]]=0（参见引理的证明5.3），[[X，[X]]=0，和Fy型+Fx=0，我们有，根据It^o公式，F（Xt，[x]t）=F（x，0）+ZtFx（Xs，[x]s）dXsq。一（20） 因此，F（Xt，[X]t）是一个连续鞅（引理4.2）。备注7.2。

自从F级/x=F，（20）可以重写为Y的随机微分方程Y=Y+ZtYsdXs（21）：=exp（x- [十] /2）；救济是它的解决方案。在本文后面，我们将给出一个正连续鞅，并且对一个连续鞅L s感兴趣，例如I是L的Dol\'eansexponential；因此，我们感兴趣的是将Dol'eans指数化的逆运算。（参见第II.8a节中的【3】等，了解测量理论说明。）正连续鞅Y的Dol’eans对数X可以用两种不同的方式定义：通过It^o integralXt：=ln Y+ZtdYsYs（22）和更明确的公式xt：=ln Yt+[ln Y]t.（23）这两个定义是等价的，但我们将只检查（23）是否暗示（22）（因此（23）可以作为主要定义）。将It^o公式应用于函数F（y，y）：=lny+和连续半鞅y和[lny]，我们从第二个定义（23）得到第一个定义（22）：Xt=ln Yt+[lny]t=F（Yt，[lny]t）=F（y，0）+ZtFy（y，[ln y]s）dYs+ZtFy（Ys，[lny]s）d[lny]s+ZtFy（Ys，[lny]s）d[y]s=lny+ZtdYsYs+Ztd[lny]s-Ztd[Y]系统=ln Y+ZTDYSQ。a、 （最后一个等式来自于[ln Y]t=Rtd[Y]s/Ys，这很容易检查，将在下面的（38）中进行推广。）第一个定义（22）表明，正连续鞅的对数是连续鞅。下面的定理总结了我们在本节中的讨论，并添加了一些琐碎的观察结果。定理7.3。如果Y是正连续鞅，则L（Y）：=lny+[lny]/2是连续鞅。对于任意连续鞅X，L（E（X））=Xq。a、 对于任何正连续鞅Y，E（L（Y））=Y q.a.备注7.4。