连续鞅的无概率理论

非正式地，（21）和（22）可以分别重写为dYt=ytdx和dxt=dYt/Yt；在这种形式下，它们的相似性更为明显。8连续鞅的无概率Dubins-Schwarz定理在本节和下一节中，我们将进行两个基本步骤。首先，在本节中，我们将定义博弈论上概率的一般概念。到目前为止，我们使用的唯一概率类型属性是“准始终”属性，它与概率上限为零的事件密切相关（如本节后面所述）。其次，在下一节中，我们将开始讨论使用与现金不同的货币（到目前为止，现金一直被暗中使用）。文献[10]表明，通过用四次变量代替物理时间，可以将连续价格路径大致转化为布朗运动。这一次，我们以更接近经典Dubins-Schwarz结果的方式应用这一思想，用连续鞅替换连续价格路径，并使用定理3.3。非负上鞅X的初值xo总是一个常数。给定函数F：Ohm → [0，∞), 我们定义了其最高期望值asE（F）：=inf十、ω∈ Ohm : lim信息→∞Xt（ω）≥ F（ω）,X在非负超三角形上的范围。集合E的上概率（E） Ohm 定义为E（1E），其中1E是E的指示函数。ω的性质∈ Ohm 如果补码的概率上限为零，则几乎可以肯定（a.s.）。se是使用现金作为数字的标准定义（在下一节末尾）。如前所述，投影到Ohm 保持q.a的t和ω的性质的补码的上概率总是为零。时间变换定义为连续累加（不一定严格递增）函数f：[0，∞) → [0，∞) 满足f（0）=0。

非负性功能F：Ohm → [0，∞] 是时间上变量if，对于e achω∈ Ohm每次变换f，f（ωo f）≤ F（ω）。定理8.1。设F:C[0，∞) → [0，∞] 设X是一个连续鞅。ThenE（F（X））≤ZF dWX，（24）其中WXis是从X开始的布朗运动。在（24）中，我们设置F（X）：=∞ 当X/∈ C[0，∞).证据合并零件≤ 【10，技术报告】中的定理6.3与我们的定理3.3。由于连续鞅的初值是一个常数，以前的定理现在变得简单了；尽管该定理假设F:C[0，∞) → [0，∞), 它的证明也适用于[0，∞] 代替[0，∞). （注意，简单的部分≥ 由于X的范围可以远离从X开始的所有连续路径，因此该定理不再适用。）推论8.2。将连续半鞅X分解为连续鞅Y和有限变分连续过程a的X=Y+a的总和是唯一的（q.a.）。花冠y的详细表述是：如果X=y+A和X=y′+A′是两个这样的分解，那么，准总是y |[0，t]=y′|[0，t]和A |[0，t]=A′|[0，t]。证据设X=Y+A=Y′+A′是两个这样的分解；然后是Y- Y′=A′-A、 所以我们有一个连续鞅，它同时是一个独立的连续过程。定义F:C[0，∞) → [0，∞] 作为C[0]中函数的指示符函数，∞) 在某个区间[0，t]上有有限的变化，t∈ （0，∞), 而不是在这个时间间隔内保持不变。根据定理8.1，存在一个Z=1的非负上鞅Z，其趋向于∞在ω上，使得Y- Y′在某些[0，t]上有有限的变化，在该区间内没有常数。这个非负的超常函数Z将倾向于∞ 在ω|[0，t]的任何连续上，使得（Y（ω）- Y′（ω））|[0，t]=（A′（ω）-A（ω））|[0，t]6=0。

这意味着Zt（ω）=∞, 因为我们可以用常数扩展ω|[0，t]。博弈论和测度论概率的比较我们再次考虑第2节末尾介绍的测度论设置。现在让我们检查e（F）≥ E（F）对于每个F-可测非负函数F：Ohm → [0，∞), 这意味着P（E）≥ P（E）对于每个可测量的E Ohm. （从这个意义上说，我们对概率上限的定义并不太宽泛，不同于[12]中忽略可测量性的定义。）证明了对于任何具有常数X的非负测度理论上的上鞅X，lim inft→∞Xt公司≥ F级==> 十、≥ E（F）。这可以通过使用Fatou引理来实现：使用先行词E（F）≤ Elim信息→∞Xt公司≤ lim信息→∞E（Xt）≤ lim信息→∞E（X）=X.9一般数在本节中，我们定义一个正连续鞅I：[0，∞) ×Ohm → （0，∞)并将其用作我们在时间t计量资本的数字。前几节中的结果可被视为与I=1相对应的特殊条件（直觉上，使用现金作为数字）。基因化（“相对化”，使用cashas num'eraire到General num'eraire的结果的可计算性理论[8]第9.2节）的表达式，当只涉及一个num'eraire时，很容易实现，但在下一节，专门讨论Girsanov定理的无概率版本，我们将看到一个涉及两个不同num'eraire的非平凡结果。我们从概括第2节的定义开始。我们通过添加另一条连续路径来扩展我们的市场，我们将其理解为单位“现金”，其中价格是，SJ公司*进行测量。我们的旧单位S：=1（我们无需明确提及）表示为新单位的“Sin”。现在我们有J*+1交易证券，(R)SJ*, 当e“Sj：=”ssjj表示j=1，J*.

现在，一个简单的交易策略“G”包括停止时间τn（与之前一样），以及有界的τn-可测RJ*+1值随机向量，我们将表示'hn=（hn，hn），其中Hnare随机变量和Hnare RJ*-有值随机向量。在新的情况下，不允许借贷（应通过投资可用的J*+ 1安全性）。时间t的可用资本为“Kt：=”hn·“ω”*（t） ，（25），其中n为τn≤ t型≤ τn+1，我们使用符号ω*:= （\'\'S，￠ω）*) := （\'S，\'S，…，\'SJ）*).简单交易策略“G”要求自我融资，即对于任何n=2，3。，\'\'hn-1·'ω*（τn）=hn·ω*（τn）（26）（该性质意味着当t=τiforsome i时，表达式（25）定义良好）。现在，该策略确定其（随机）初始资本“Kτ=”h·“ω”*（τ） 。（27）在广义图中，J*+ 1具有价格路径（\'S，…，\'SJ）的交易证券*); 我们选择使用“Sas-our-num”eraire，但也可以选择任何其他具有正面价格路径的证券（我们可以通过某种方式限制市场，例如使基本的公关路径为正面）。让我们检查一下，一般情况下的图片是否给出了资本的概念，我们将表示“K”，这与原始图片一致。根据自我融资的条件（26），在τn时选择的现金单位数hn应满足“Kτn=”hn·“ω”*（τn）=Hn'S（τn）+Hn·ω*（τn），（28），其中给出n=(R)Kτn- hn·￠ω*（τn）(R)S（τn）。请注意，对于n=1也是如此，在这种情况下，我们应该使用（27）而不是（28）。

在时间τn+1时的人均l为Kτn+1=Hn（τn+1）+Hn·ω*（τn+1）=“S（τn+1）”S（τn）\'Kτn- hn·￠ω*（τn）+ hn·￠ω*（τn+1），单位为？S，Kt：=？Kt/？S（t），变为τn+1=Kτn- hn·ω*（τn）+hn·ω*（τn+1）=Kτn+hn·（ω*（τn+1）- ω*（τn））。因为这对任何t都是一样的∈ [τn，τn+1]代替τn+1，我们得到（1）表示所有t≥ τ（其中c是初始资本（27），单位为‘’S）。对于t≤ τ、 我们规定该策略的初始赋能为c单位'S（其中c是给定常数），这使得（1）适用于所有t∈ [0，∞).设I为S=1，S，…，中的任何证券Sj>0，SJ公司*在原始市场（积极是我们对市场的限制）；鉴于定理3.3-3.4，我们稍后将允许I是任何正连续鞅。我们刚刚看到，对于任何简单的资本过程X（在我们的原始图片中，现金S=1作为数字），过程ss X/I=X'S/'sj将是图片中的简单资本过程，I作为数字。基于跨有限归纳法的简单论证表明，这一陈述可以扩展到连续鞅：对于任意连续鞅X，过程X/I将是图中的连续鞅，I是数字；感应式STEP基于identitylimk→∞Xkt（ω）It（ω）=limk→∞Xkt（ω）It（ω）。（29）对于任何非负超模X，过程X/I将是图片中的非负超模ale，I为数字，这也是事实；归纳步骤现在基于等式（29），用lim inf代替lim。我们称为Xt（ω）/It（ω）型过程，其中X是非负的超鞅（对应连续鞅）非负的I-超鞅（对应连续I-鞅）；它们完全类似于无nnegativesupermartingales（分别为连续鞅s），但使用I而不是cash作为数字。

形式为Y+A的过程X，其中X是连续I鞅，A是有限变分连续过程，是连续等熵鞅。尽管前两个概念在很大程度上取决于I的选择，但下一节中的Gir-sanov定理将表明连续I-s半鞅的概念是不变的。如果X是连续I-鞅而不是连续鞅，则It^o积分及其对一般数的应用定理4.1是成立的，因为它涉及“准总是”的概念，这一概念定义为快速变得非常丰富，因此不依赖于数。很明显，如果“连续鞅”的两个项被“连续I-鞅”替换，引理4.2 r e mains为真在推论y 4.3中，我们可以允许X是一个连续的I-鞅（在其解释中，我们可以允许划分序列的定义依赖于onI）。最后，H·X的定义延续到连续I-半鞅。注意H·X不依赖于I。我们有引理5.1的以下推论。推论9.1。每对连续I-鞅X，Y都具有协变量[X，Y]q.a.，满足部分公式（14）的积分。引理5.3继续适用于连续I-半鞅。定理6.1和6.2逐字推广到连续I-半鞅。Dol'eans指数和对数的定义及其性质将一字不差地传递给连续I-鞅。例如，定理7.1暗示：推论9.2。如果X是连续I-鞅，exp（X- [十] /2）是一个连续的I-鞅。一般数的Dubins-Schwarz定理I是正连续鞅。

我们通过EI（F）：=inf定义上I-期望值十、ω∈ Ohm : lim信息→∞Xt（ω）/It（ω）≥ F（ω）, （30）在非负超鞅上的X和在非负泛函上的F，并将其特殊化为上I-概率asPI（E）：=EI（1E）。定义（30）可以重写为i（F）=inf十、ω∈ Ohm : lim信息→∞Xt（ω）≥ F（ω）,X在非负I-超鞅上的范围。第8节的结果推广到一般正连续鞅I的情形。特别是，我们有以下版本的Olem 8.1。推论9.3。设F:C[0，∞) → [0，∞] 是一个时间上变的可测泛函，I是一个正连续鞅，X是一个连续的I-m鞅。ThenEI（F（X））≤ZF dWX。10 Girsanov定理现在我们陈述一个无概率Girsanov定理，这是本节的主要结果。它表明连续半鞅的概念不依赖于数值，并给出了连续鞅在新数值下的显式分解（推论8.2唯一）为连续鞅和有限变分连续过程。定理10.1。设M是连续鞅，I是正连续鞅。流程MT-Ztd[I，M]sIs（31）（其中积分是Lebesgue–Stiltjes；参见引理5.2）是一个连续的Imartingale。证据我们的证明将是标准的（例如，见Protter[6]，定理III.39的证明）。记住，通过分部积分公式（见引理5.1），ItMt=（I·M）t+（M·I）t+[I，M]tq。a、 由于I·M和M·I是连续鞅，因此ItMt- 这也是一个连续鞅和soMt-这是一个连续的I-mar过程。

分部积分公式（引理5.1，也适用于连续半鞅s，带s证明）允许我们将减数（连续半鞅的乘积）转换为t[I，M]t=Ztd[I，M]sIs+Zt[I，M]sdIs+一、 [我，M]tq。a、 （32）（32）右侧的第二个加数是自1/Its起的连续I鞅，第三个加数是自零Q起的连续I鞅。a、 （见引理5.3证明末尾的论点）；因此，（31）也是一种连续的马丁酒。Dol\'eans对数的概念允许我们简化定理10的陈述。1如下所示。推论10.2。设M是连续鞅，I是正连续鞅，L是I的Dol\'eans对数- 这是一个连续的I-鞅。证据有必要证明TD【I，M】sIs=【L，M】tq。一请记住，左侧的积分是通常的Lebesgue–Stitjes积分。对于分区的精确序列，我们有：Ztd[I，M]sIs=limn→∞∞Xk=1【I，M】Tnk∧t型- Tnk公司-1.∧tITnk公司-1.∧t（33）=极限→∞∞Xk=1ITnk公司∧t型- ITnk公司-1.∧t型MTnk公司∧t型- MTnk公司-1.∧t型ITnk公司-1.∧t（34）=limn→∞∞Xk=1ITnk∧t型- ITnk公司-1.∧tITnk公司-1.∧t型MTnk公司∧t型- MTnk公司-1.∧t型（35）=limn→∞∞Xk=1LTnk公司∧t型- LTnk公司-1.∧t型MTnk公司∧t型- MTnk公司-1.∧t型（36）=【L，M】tq。a、 （37）（从（33）到（34）的转换需要重新定义分区：limn之后的表达式→∞对于给定的大值n，in（33）近似等于limn后的表达式→∞在（34）中，对于更大的n值，可以对从（36）到（35）的过渡进行类似的标记。）11股票溢价和资本增值的应用本节我们在[13]中重新推导、归纳和展示了各种结果。让我们定义两个正连续鞅，S和I。

我们将S解释为astock，将I解释为指数（类似于S&P500），因此，例如，S可以是交易的SJ之一，I可以是它们的加权平均值（在所有基本价格路径都为正的限制下）。对于正连续鞅X（解释为金融证券的价格），我们定义其累积相对增长asMXt（ω）：=ztdxsxsx=∧Xt- ln X，其中∧X代表Dol’s X的对数。（在本节中，我们主要遵循[13]的术语。）正连续鞅X和Y的相对协变量是Lebesgue–Stitjes积分∑X，Yt（ω）：=Ztd[X，Y]sXsYs=[∧X，Y]tq。a、 （38）（参见引理5.2；Dol\'eans对数的表达式可以类似于（33）–（37））。我们的无概率Girsanov定理的以下推论是一个关键结果，暗示了本节中的所有其他定理。定理11.1（【13】，定理8.3）。过程MSt- ∑S，是一个连续鞅。证据将推论10.2应用于累积相对增长M：=MS，我们得到了thatMSt- [毫秒，∧I]t=毫秒- ∑S，是一个连续的I-鞅。由于定理11.1适用于正连续鞅的任何对（S，I），我们可以用I代替S，得到以下等式溢价结果，其中∑I：=∑I，I表示I的相对二次变化。推论11.2（[13]，推论8.2）。过程MIt- ∑是一个连续鞅。我们可以将本文的各种结果应用于定理11.1的连续I-鞅（然后将它们专门化为定理11.2的连续I-鞅）。推论11.3（[13]，引理8.5）。对于每个∈ R、 processexp（MSt- ∑S，It）-∑St是一个连续的I-鞅。证据结合定理11.1和7.1。推论11.3在[13]中发挥了重要作用，使我们能够推导出以下两个推论的类似物。

在我们目前的披露中，它没有发挥任何特殊作用（尽管如果我们允许基本价格路径上的跳跃，它可能会再次变得重要）。以下公式加强了[13]中优化不等式的推论8.6（关于新旧不等式之间的差异，请参见[13]中的图1）。推论11.4。如果δ>0且τT：=inf{T |∑St≥ T}对于某些常数T>0，PInMSτT- ∑S，IτT≥ zδ/2√到≤ δ、 （39）其中zδ/2是标准高斯分布的上δ/2-分位数和不等式“≥” 当τT=∞.证据结合定理11.1和推论9.3。推论11.5（【13】，推论8.7）。几乎可以肯定w.r.到PI，∑St→ ∞ ==> lim支持→∞MSt公司- ∑S，它p2∑Stln ln∑St=1。证据将定理11.1和推论9.3和重对数定律结合起来，得到了一个确定的理论布朗运动。与标准CAPM的比较为了完整性，我们在这里复制了[1 3]的第9节，将我们的无概率CAPM与标准版本进行了比较。假设利率为零（Rf=0），标准资本资产定价模型表示，在计量理论概率的标准框架中，E（Ri）=Cov（Ri，Rm）Var（Rm）E（Rm），用[1 5]表示，其中E（Ri）是第i种证券的预期回报，E（Rm）是市场的预期回报，Var（Rm）是市场回报的方差，Cov（Ri，Rm）是第i种证券的收益与市场之间的协方差b。用经验平均值替换理论期望值（包括隐式因瓦（Rm）和Cov（Ri，Rm）），我们得到一个近似等式≈∑S，It∑ItMIt。