连续鞅的无概率理论

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英文标题：
《Towards a probability-free theory of continuous martingales》
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作者：
Vladimir Vovk and Glenn Shafer
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Without probability theory, we define classes of supermartingales, martingales, and semimartingales in idealized financial markets with continuous price paths. This allows us to establish probability-free versions of a number of standard results in martingale theory, including the Dubins-Schwarz theorem, the Girsanov theorem, and results concerning the It\\^o integral. We also establish the existence of an equity premium and a CAPM relationship in this probability-free setting.
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中文摘要：
在没有概率论的情况下，我们定义了具有连续价格路径的理想化金融市场中的超鞅、鞅和半鞅类。这使我们能够建立鞅理论中许多标准结果的无概率版本，包括Dubins-Schwarz定理、Girsanov定理和关于It ^ o积分的结果。我们还建立了在这种无概率的情况下，股票溢价和资本资产定价模型之间的关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Towards_a_probability-free_theory_of_continuous_martingales.pdf (286.54 KB)

2022-5-31 06:53:23 上传

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关键词：Mathematical relationship Quantitative Probability martingales

走向连续鞅的无概率理论Ladimir-Vovk和Glenn-Shafer{volodya.Vovk，glennrayshafer}@gmail。comMarch 282017Abstracts没有概率论，我们定义了具有连续价格路径的理想化金融市场中的超鞅、鞅和半鞅类。这使我们能够建立鞅理论中许多标准结果的无概率版本，包括Dubins–Schwarz定理、Girsanov定理和关于It^ointegral的结果。我们还证明了在这种无概率的情况下，等式溢价和aCAPM关系的存在性。本文版本http://probabilityand融资。com（WorkingPaper 45）最常更新。1简介我们考虑的是一个金融市场，在这个市场中，有一定数量的证券以连续的价格路径进行交易。我们不做任何随机假设，我们的基本定义符合我们所称的博弈论概率的精神（参见，例如，[9]）。该理论的关键概念，无概率超边缘，在连续时间的情况下已以不同的方式形式化。[10]中提出的定义非常谨慎。Perkowski和Pr¨omel[5]提出了一种更宽泛的定义，使超边缘更容易。在本文中，我们提出了一个更广泛的超边缘定义，并用它来定义连续马尔可夫、非负上鞅等概念。这使我们能够推导出鞅理论几个标准结果的无概率版本。特别是，我们将给出文献[13]中所述（并以迂回的方式证明）的Girsanov定理的简单证明。在文章的最后，我们利用我们的结果给出了股权溢价和资本资产定价模型的无概率处理。2超鞅、鞅和半鞅金融市场的一个模型包含J*交易证券，其价格路径表示为S。

，SJ*; 这些是连续函数Sj：[0，∞) → R、 j=1，J*. 除了交易证券的价格路径外，我们的模型还将包含其他路径（“信息路径”）SJ*+1.反映交易者可用的“次要信息”（如经济或个别公司的基本面）；这些函数也被假定为连续的。形式上，我们的样本空间是集合Ohm := C[0，∞)Jof连续函数SJ:[0，∞) → R、 j=1，JJ*∈{1，…，J}是市场的一个参数（交易证券的数量）。每个ω=（S，…，SJ）∈ Ohm 与函数ω：[0，∞) → （0，∞)jd由ω（t）定义：=（S（t），SJ（t）），t∈ [0，∞). 我们装备Ohm 由函数ω生成的σ-代数f∈ Ohm 7.→ ω（t），t∈ [0，∞) （即使其可测量的最小σ-代数）。我们经常考虑Ohm 和上的函数Ohm（我们通常称之为泛函）关于F的可重测函数。随机向量是以下类型的F-可测函数Ohm → Rdfor somed∈ {1，2，…}，扩展随机变量是一个F-可测函数Ohm → [-∞, ∞]. 停止时间是一个扩展的随机变量τ，取[0，∞] 这样，对于所有ω和ω′inOhm,ω|[0，τ（ω）]=ω′|[0，τ（ω）]==> （τ（ω）=τ（ω′），其中f |表示f限制于A和f域的交点。一个随机向量X被称为τ-可测的，其中τ是所有ω和ω′in的停止时间ifOhm,ω|[0，τ（ω）]=ω′|[0，τ（ω）]==> （X（ω）=X（ω′）。进程是函数X：[0，∞) ×Ohm → [-∞, ∞].

对于所有ω和ω′，如果Ohm 和所有t∈ [0，∞),ω|[0，t]=ω′|[0，t]==> （Xt（ω）=Xt（ω′）。我们的定义符合Galmarino测试的精神（参见，例如，【2】，IV.100）；在后面的部分，他们会经常检查，∞]-V值扩展随机变量的停止时间很简单。正如概率论中的习惯，我们经常忽略ω的明确提及∈ Ohm 当上下文清楚时。简单的交易策略G是一对（（τ，τ，…），（h，h，…），式中：oτ≤ τ≤ ··· 是停止时间的递增序列，如that，foreachω∈ Ohm, 画→∞τn（ω）=∞;o 对于每个n=1，2。，Hn是有界的τn-可测RJ*-值r andomvector。简单的资本流程KG、c与简单的交易策略和初始资本c相关联∈ R由kg定义，ct（ω）：=c+∞Xn=1hn（ω）·ω*（τn+1∧ t）- ω*（τn∧ t）,t型∈ [0，∞), ω∈ Ohm, （1） 其中“·”代表RJ中的dot产品*, ω*:= （S，…，SJ）*) 由FIRSTJ组成*ω的分量和总和中的零项被忽略（这使得每个t的总和是有限的）。我们将参考海航集团beton Sjover的第J个组成部分（τi，τi+1）。请注意，（a）简单交易策略仅在第一个J*SJ（对应于交易证券），但止损时间和下注可取决于所有J SJ，（b）表达式（1）隐式假设零利率（该假设将在第9节中删除）。所有简单的资本过程都有连续的路径，并且都是自适应的。假设一类C非负过程是lim-inf闭的，如果processxt（ω）：=lim-infk→∞当每个过程Xkis在C中时，Xkt（ω）（2）在C中。如果过程ss X属于包含所有非负简单资本过程的最小lim-inf闭类的非负过程，则它是非负上鞅。

直觉上，非负supe rmartingales是非负资本过程（事实上，它们可能会损失资本，因为近似值是在lim inf的意义上）。备注2.1。非负超鞅类C的等价定义可以通过对可数序数α的反式归纳得到（参见，例如，[2]，0.8]）。即，Cα定义如下：oCis是所有非负简单资本过程的类别；o对于α>0，X∈ Cα当且仅当存在序列X，X。C<α：=∪β<αCβ，使得（2）成立。很容易检查所有非负超鞅的类是所有可数序数α上嵌套族Cα的并。非负up ermartingale X的秩被定义为最小α，使得X∈ Cα；在这种情况下，我们还将说X的秩为α。我们称之为[0]的子集，∞)×Ohm t和ω的一个性质。我们说，如果存在一个X=1的非负超鞅，那么t和ω的一个性质Eof和ω保持准总是（q.a.），并且对于所有t∈ [0，∞) 和ω∈ Ohm,（t，ω）/∈ E类==> Xt（ω）=∞.（这意味着E的补码在投射到Ohm 具有零博弈论上概率，如下文第8节所述。）引理2.2。如果t和ω的可数性质集中的每个性质始终保持不变，则它们的交集也始终保持准不变。证据注意，非负上鞅的可数凸混合是非负上鞅。如果propertylimk→∞sups公司∈[0，t]Xks（ω）- Xs（ω）= t和ω的0（3）保持准始终。如果连续的Xkconverge ucqa到X，我们可以认为极限X也是连续的；为了精确起见，我们将扩展连续过程的概念。允许 （墓地州）是实线R以外的任何元素。

AdaptedProcess X：[0，∞)×Ohm → R∪{} 定义为适应[-∞, ∞]有价值的流程。让我们说一个经过调整的过程X：[0，∞) ×Ohm → R∪{}是一个连续的过程，如果o它总是取R中的值；o对于每个ω∈ Ohm,– t的集合∈ [0，∞) 其中Xt（ω）∈ R包含0且已连接；-Xt（ω）是该集中t的连续函数。（尽管根据本定义，被称为连续过程的对象不符合我们之前的定义，但我们有时会在没有混淆危险的情况下称为过程。）连续过程X的有效域定义为b edom X：{（t，ω）| Xt（ω）∈ R} 。如果C类连续进程包含每个连续进程X，并且C类中存在连续进程的序列Xkof，则C类连续进程是lim闭的，如：odom X 每个k的dom xk；o（3） 各保持（t，ω）∈ 如果连续过程是包含所有简单资本过程的连续过程最小极限闭类的元素，则连续过程是连续鞅。连续鞅的秩如备注2.1所示。以下引理将有助于确定各种规范函数τ：Ohm → [0，∞] 正在停止时间。引理2.3。对于任何连续过程X，函数∑X：Ohm → [0，∞]定义为∑X（ω）：=inf{t∈ [0，∞) | Xt（ω）=}是可测量的。证据需要注意的是∈ [0，∞),{ω|∑X（ω）≤ t} =\\{ω| Xt+（ω）=},式中，的范围为正有理数。引理2.3并没有声称∑Xitself是一个停止时间（在许多有趣的情况下都不是这样）。如果A（ω）=0且函数s的总变化量∈ [0，t]7→ As（ω）对所有（t，ω）都是有限的∈dom A。

如果存在一个连续变量Y和一个有限变量c，则连续过程X是一个连续的半鞅，这样的连续过程A使得dom X=dom Y=dom A和X=Y+A。我们将X的这种分解X=Y+A称为标准分解，其中“the”一文正是通过其唯一性来定义的：见下面的推论8.2。与测量理论概率的比较我们的术语的动机是与测量理论概率的类比。在这一小节中，我们假设S，SJ公司*是测度论概率空间上具有给定过滤的连续局部鞅，其中*+1.SJ是连续适应随机过程。每个简单的资本过程都是一个局部鞅。由于每个非负局部鞅都是asup ermartingale（[7]，p.123），因此非负简单资本过程是超鞅。通过Fatou引理，lim infkXkis是一个超鞅，当它是非负超鞅时：Elim infkXkt | Fs≤ lim infkE（Xkt | Fs）≤ lim infkXksa。s、 ，其中0≤ 因此，我们的定义给出了所有非负测度理论超鞅集合的子集。（我们使用的是不施加任何连续性条件的测度论超鞅和鞅的定义，如[7]定义II.1.1。）现在让我们检查一下如上所述的连续marting ales X（但使用 例如，替换为0），是度量理论设置中的连续局部市场。

由于简单的资本过程是连续的局部鞅，并且在紧时间间隔上一致收敛的连续局部鞅序列的alimit总是一个连续的局部鞅（[1]，定理3.1），必须在X的秩上应用trans-fine归纳。请注意，我们可以通过在度量值为零的集合上更改X的所有样本路径来使X连续。3连续鞅的保守性在本节中，我们得出了本文的一个关键技术结果，表明将连续鞅作为一种新的交易证券添加到我们的市场中（除了基本价格路径S，…，SJ*) 是它的“保守扩展”，用逻辑术语来说：它不增加非负超鞅和连续鞅的供给。但我们从一个更简单的属性开始：添加一个连续的过程作为一条新的辅助信息（除了基本信息路径SJ之外*+1.SJ）是保守的扩展。这一性质被描述为非负上鞅的定理3.1和连续鞅的定理3.2。定理3.1。如果H是一个连续的过程，那么将H添加到市场中作为辅助信息并不会添加任何新的非负超级配角。在给出定理3.1之前，我们将给出它更详细、更明确的陈述。允许Ohm′:= C[0，∞)J+1是新市场的样本空间（S，…，SJ，H′），其中H′:[0，∞) → R是新的信息路径。LetY在新市场中是一个非负的超级玩家。形式为Yt（z）的任何表达式，其中t∈ [0，∞) z：[0，∞) → （R）∪ {})J+1，被理解为∞ 如果z取的值包含 在[0，t]上，为Yt（z′），否则，其中z′是Ohm′这样z′|[0，t]=z |[0，t]（我们只对不依赖于这样的z′的情况s感兴趣）。理论认为Y′t（ω）=Y′t（S，…，SJ）：=Yt（S，…，SJ，H（S。

，SJ））=Yt（ω，H（ω）），（4），其中H（S，…，SJ）是函数t∈ [0，∞) 7.→ Ht（S，…，SJ），是一种非负的超级马丁格尔（在旧市场）。定理3.1的证明。假设Y是新市场（S，…，SJ，H′）中的非负上鞅。必须考虑Y是简单资本过程的情况。事实上，对于其他非负超鞅Y，我们可以使用反式归纳：如果t（S，…，SJ，H′）=Yt（ω，H′）=lim infk→∞Ykt（ω，H′）（5）对于低阶的一些非负超鞅Ykt=Ykt（ω，H′），诱导假设将意味着y′t（ω）：=Ytω、 H（ω）= lim信息→∞Ykt公司ω、 H（ω）（6） 是旧市场中的非负超鞅。（等式=in（6）很容易在（t，ω）的情况下检查两者）∈ dom H，w，当它从（5）开始时，在（t，ω）的情况下/∈ dom H，当该等式变为∞ = ∞.)因此，我们在新市场中给出了一个非负的简单资本过程Y，我们的目标是证明（4）在旧市场中是一个非负的上鞅。Let（τ，τ，…）和（h，h，…）是相应的s toppingtimes和bets（RJ*-有值随机向量）。为了说明h对基本路径的依赖性，我们可以将τnand hn视为样本空间上的停止时间和随机向量Ohm 旧市场的。也就是说，我们将旧市场中的τ和hn对应物定义如下：o如果存在∈ [0，∞) 和H′∈ C[0，∞) 使得H′|[0，t]=H（ω）|[0，t]和τn（ω，H′）≤ t、 （7）setτ′n（ω）：=τn（ω，H′）；o否则，设置τ′n（ω）：=∞;o 在任何情况下，seth′n（ω）：=（hn（ω，H′）如果τ′n（ω）<∞否则为0，其中H′∈ C[0，∞) 部分t的满意度（7）。在旧市场中，不依赖于H′、τ′nare停止时间和hnareτn-可测量随机变量的选择。

从τ′n的可测性来看，所有这些陈述都是微不足道的，但后者可以很容易地从σ-代数所依赖的fact中推导出来Ohm 与基本路径上一致拓扑的Borelσ-代数一致。将Y′定义为旧市场中与初始资本和简单交易策略（τ′，τ′，…）相关的简单资本流程，（h′，h′，）。当Y′达到0时，将Y′定义为Y′（如果是，请注意，即使Y是非负的，也不能保证Y′是非负的）。设X为X=1的非负超鞅，该超鞅在dom H之外是有限的。需要注意的是，Y′是Y′′′+X/k作为k的极限→ ∞.定理3.2。如果H是一个连续的s过程，将H作为边信息添加到市场中不会添加新的连续鞅。为了更明确地说明定理3.2，我们现在定义了一个形式为Yt（z）的表达式，其中Y是新市场中的连续鞅，t∈ [0，∞), z：[0，∞) → （R）∪ {})J+1，as 如果z取RJ+1之外的值，大于[0，t]，否则取Yt（z′），其中z′是Ohm′这样z′|[0，t]=z |[0，t]。定理说（4）是oldmarket中的连续鞅。定理3.2的证明。项目将按照第3.1条的证明进行。假设Y是新市场（S，…，SJ，H′）上的连续鞅。首先，我们将问题简化为Y是简单资本过程的情况。归纳步骤（5）–（6）现在是：iflimk imk→∞sups公司∈[0，t]Yks（ω，H′）- Ys（ω，H′）= 0（8）表示所有（t，（ω，H′）∈ dom Y对于新市场中秩比Y低的某些连续鞅，归纳假设（Ykt（ω，H（ω））在旧市场中是k的连续鞅）将意味着Y′t（ω）：=Yt（ω，H（ω））在旧市场中是连续鞅。