事后核心、精细核心与理性预期均衡

虽然（A）和（A）在Einy等人[14]中没有使用，但U（t，·，x）和A（t，·）需要是F-可测量的（t，x）∈ T×Rl+.最后，（A）、（A）和（A′）对代理的效用函数施加属性。这些假设在文献中被广泛使用。6 A.BHOWMIK和J。u（S）>0的∑成员称为E的联盟。设L（u，Rl) 表示从T到R的Bochner可积函数的所有等价类的集合l.E中的赋值是函数f:T×Ohm → Rl+对于每个ω∈ Ohm,f（·，ω）∈ L（u，Rl), 对于e very t∈ T，f（T，·）是f-可测的。如果赋值f也是可行的，即对于每个ω∈ Ohm,ZTf（·，ω）du=ZTa（·，ω）du，则称为al位置。请注意，在（A）项下，初始捐赠A在E中进行分析。2.2。与E相关的通信。根据【10，11】，我们定义了一个函数δ：+→ R++使得对于每个p=（p，···，pl) ∈ +,δ（p）=最小值ph值：1≤ h类≤ l.对于任意（t，ω，p）∈ T×Ohm ×+, 设γ（t，ω，p）=δ（p）lXh=1ah（t，ω），b（t，ω，p）=γ（t，ω，p）1，其中1=（1，··，1）∈ Rl. 确定响应X:T×Ohm ×+=> Rl+byX（t，ω，p）={x∈ Rl+: x个≤ b（t，ω，p）}表示所有（t，ω，p）∈ T×Ohm ×+. 预算函件B:T×Ohm × => Rl+ISD由B定义（t，ω，p）=x个∈ Rl+: 惠普，xi≤ hp，a（t，ω）i对于所有（t，ω，p）∈ T×Ohm ×. 注意，X和B是非空的、闭的和凸的值，因此B（t，ω，p） X（t，ω，p）表示所有（t，ω，p）∈ T×Ohm ×+.此外，X（t，ω，p）的紧性意味着B（t，ω，p）是紧的（t，ω，p）∈ T×Ohm ×+.在[1]之后，我们说相应的F：（T，∑，u）=> Rl弱∑可测ifF-1（V）={t∈ T:F（T）∩ V 6=} ∈ ∑对于R的所有开子集Vl. 只要续集中没有出现混淆，我们就把∑定义为弱∑可测对应关系。

A函数f：（T，∑，u）→ Rl如果F∑-可测且F（t），则称为F的可测选择∈ F（t）u-a.e。。引理2.1（[5]）。设F：（T，∑，u）=> Rl是一封信件。那么下面的陈述是等价的：（i）F是弱∑-可测的。（ii）F有一个可测量的图，即GrF∈ ∑ B（Rl).（iii）每x∈ Rl, 距离（x，F（·））：T→ R+是∑-可测量的。下面的命题类似于[10，命题4.1]，是[11，引理2]的特例。提案2.2。假设一个经济体满足（A）。那么B是弱∑ F B类()-可测且X弱∑ F B类(+)-可测量的事后岩心、细岩心和REE分配7确定对应关系C:T×Ohm × => Rl+和CX:T×Ohm ×+=> Rl+byC（t，ω，p）=x个∈ Rl+: U（t，ω，x）≥ 整个y的U（t，ω，y）∈ B（t，ω，p）andCX（t，ω，p）=C（t，ω，p）∩ X（t，ω，p）。按（A），每x∈ C（t，ω，p）和（t，ω，p）∈ T×Ohm ×, 惠普，xi≥ hp，a（t，ω）i。此外，很容易看到b（t，ω，p）∩ C（t，ω，p）=B（t，ω，p）∩ CX（t，ω，p）表示所有（t，ω，p）∈ T×Ohm ×+. 注意，在（A）下，对于所有（t，ω，p），U（t，ω，·）在非空紧集B（t，ω，p）上是连续的∈ T×Ohm ×+. 因此，一个hasB（t，ω，p）∩ C（t，ω，p）6=对于所有（t，ω，p）∈ T×Ohm ×+.以下命题类似于【10，命题4.2】。提案2.3。假设一个经济体满足（A）-（A）。那么cx弱∑ F B类(+)-可测量的证据根据命题2.2，B是弱∑ F B类()-可测量的

因此，根据[1，推论18.14]，存在序列{fn:n≥ ∑的1}FB类()-T×的可测函数Ohm × 至Rl+这样b（t，ω，p）={fn（t，ω，p）：n≥ 1} 对于所有（t，ω，p）∈ T×Ohm ×.对于每个n≥ 1，定义Cn:T×Ohm × => Rl+通过lettingCn（t，ω，p）=x个∈ Rl+: U（t，ω，x）≥ U（t，ω，fn（t，ω，p））,和ξn:T×Ohm × ×Rl+→ R通过让ξn（t，ω，p，x）=U（t，ω，x）- U（t，ω，fn（t，ω，p））。注意ξn（·，·，·，x）是∑ F B类()-可测量所有x∈ Rl+, andC（t，ω，p）={Cn（t，ω，p）：n≥ 1} 对于所有（t，ω，p）∈ T×Ohm ×. 因此，对于所有（t，ω，p）∈ T×Ohm ×+,CX（t，ω，p）={Cn（t，ω，p）：n≥ 1}∩ X（t，ω，p）。应用类似于命题2.2的论点，可以证明每个Cnis∑ F B类()-可测量的因为X是紧致值d，那么CXis∑ F B类(+)-可测量的下一个引理的概念包含在[10，Theo-rem 4.3]的证明中。为了保证这篇文章的自完备性，我们把它作为一个单独的例子加以提取，并给出了完整的证明。引理2.4。假设一个经济体满足（A）-（A）。设{pn:n≥ 1}+收敛到某个p∈ +. 对于每个（t，ω，p）∈ T×Ohm ×+,CX（t，ω，p） Li-CX（t，ω，pn）。8 A.BHOWMIK和J。CAO防腐蚀。让d∈ CX（t，ω，p）是任意选择的向量。如果d=b（t，ω，p），则b（t，ω，pn）∈ CX（t，ω，pn）和{b（t，ω，pn）：n≥ 1}收敛到d。现在，假设<b（t，ω，p）。选择一些δ>0和1≤ j≤ l 因此，d+（0，···，δjth，···，0）≤ b（t，ω，p）和a序列{δi:i≥ 1} in（0，δ）收敛到0。对于每个i≥ 1，letdi=d+（0，···，δijth，···，0），并选择一个序列{din:n≥ 1} 每n，din∈ X（t，ω，pn）和{din:n≥ 1} 收敛到di。据称，对于每个≥ 1，din∈ CX（t，ω，pn）表示足够大的n。否则，必须存在一个i和一个子序列{dink:k≥ 1} 的{din:n≥ 1}这样丁克/∈ CX（t，ω，pnk）。

让bk∈ 所有k的B（t，ω，pnk）和U（t，ω，bk）>U（t，ω，dink）≥ 1、然后{bk:k≥ 1} 有一个子序列收敛到某个b∈ B（t，ω，p）。通过（A），我们有u（t，ω，b）≥ U（t，ω，di）>U（t，ω，d），与d相矛盾∈ CX（t，ω，p）。根据前面的说法，foreach i，{dist（di，CX（t，ω，pn））：n≥ 1} 转换为0。自{di:i≥ 1} 收敛，我们得出结论{dist（d，CX（t，ω，pn））：n≥ 1} 收敛到0。这意味着d∈ Li-CX（t，ω，pn）。在本节结束时，我们将介绍另外两个与信息不对称的经济体E相关的对应关系。对于每个ω∈ Ohm, 让E（ω）表示完全信息经济，由（ω）给出=（T，∑，u）；Rl+; （U（t，ω，·），a（t，ω））t∈T.E（ω）的核用C（E（ω））表示。E（ω）的所有Walra-sian均衡集和所有Walrasian均衡分配分别用WE（E（ω））和wa（E（ω））表示。那么，C：ω7→ C（E（ω））和WE：ω7→ 我们（E（ω））定义了通信s.3。事后核心与理性预期均衡分配在本节中，我们讨论了模型中事后核心分配的存在性，以及事后核心与（Bayesianor maximin）理性预期均衡分配集之间的关系。定义3.1。（[13]）设f是经济体E中的分配，设S∈ ∑b e公司。如果存在一个自然状态ω，则f被S事后阻止∈ Ohm 以及分配g，使得（i）ZSg（·，ω）du=ZSa（·，ω）du，以及（ii）U（t，ω，g（t，ω））>U（t，ω，f（t，ω））u-a.e.在S上。此外，如果分配f不能被任何联盟公开或阻止，则称为n事后核心分配。E的事后核心（用C（E）表示）是E的所有事后核心分配的集合。本节的主要结果是关于事后修正的以下定理。事后岩心、细岩心和REE分配9定理3.2。

假设一个经济体满足（A）-（A）。那么E的邮政编码不是空的。此外，C（E）={f:f是分配，f（ω，·）∈ C（ω）表示所有ω∈ Ohm}.为了证明定理3.2，我们需要做一些准备。首先，需要以下结果，这是Kuratowski Ryll-Nardzewskimeasurable selection定理的特例（参见[1，18.13]）。引理3.3。让F:T=> Rl是弱∑-可测的对应，因此F（t）对于所有t都是非空且闭的∈ T然后F允许∑-m可测量选择。其次，下面关于WE的弱可测性的结果也需要证明定理3.2。定理3.4。假设一个经济体满足（A）-（A）和（A′）。然后我们是弱F-可测的。证据注意，在给定假设下，WE（ω）6= 对于所有ω∈ Ohm. 考虑以下信函：(Ohm, F、P）=> L（u，Rl), 定义byF（ω）=f∈ L（u，Rl) :ZTfdu-ZTa（·，ω）du=0和G：(Ohm, F、P）=> L（u，Rl) ×, 定义为G（ω）=F（ω）×. 首先，我们声称F有一个可测的gr aph，因此G也有一个可测的图。要看到这一点，请定义一个函数：(Ohm, F，P）×L（u，Rl) → Rl乘以Д（ω，f）=ZTfdu-ZTa（·，ω）du。注意，对于每个f∈ L（u，Rl), Д（·，f）是f-可测量的，并且对于每个ω∈Ohm, ν（ω，·）是范数连续的。因此，ν是F B（L（u，Rl))-可测量的结论来自事实GrF=Д-1（0）。让Qn∩+= R、 其中Qnis是R中的向量集l使用rational组件。注意，R是可数的，且在. 对于每个p∈ R、 确定通信HP：(Ohm, F、P）=> L（u，Rl) 由Hp（ω）=SCX（·，ω，p），其中SCX（·，ω，p）是CX（·，ω，p）的可积选择集。修复p∈ 定义函数ζ：L（u，Rl) ×(Ohm, F、P）→ R+乘以ζ（g，ω）=dist（g，Hp（ω））。此外，对于每个∈ L（u，Rl), 设函数ξg：（T，∑，u）×(Ohm, F、P）→ R+由ξg（t，ω）=dist定义g（t），CX（t，ω，p）.权利要求1。

对于每个简单函数g∈ L（u，Rl), ζ（g，ω）=ZTξg（·，ω）du适用于所有ω∈ Ohm.权利要求1的证明。Le t g公司∈ L（u，Rl) 是一个给定的简单可测函数。由于g是一个具有无数值的阶跃函数，因此引理2.1和命题2.3得出ξgis∑ F-可测量。此外，由于ξg（t，ω）≤ 千克（吨）- b（t，ω，p）k10a.BHOWMIK和J。CaO全部（t，ω）∈ T×Ohm, ξg（·，ω）也是可积的，因此ξg（·，ω）∈ L（u，Rl)对于所有ω∈ Ohm. 很容易检查RTξg（·，ω）du≤ 对于所有ω，ζ（g，ω）∈ Ohm. 假设rtξg（·，ω）du<ζ（g，ω）对某些ω成立∈ Ohm. 当nε>0时，ztξg（·，ω）du+εu（T）<ζ（g，ω）。接下来，我们定义A:T=> Rl和α：T×Rl→ R byA（t）=y∈ CX（t，ω，p）：kg（t）- yk公司≤ ξg（t，ω）+εα（t，y）=kg（t）- yk公司- ξg（t，ω）。如上所述，可以表明α为∑ F-可测量和thusGrA=（t，y）∈ T×Rl: α（t，y）≤ ε∩ GrCX（·，ω，p）是可测量的。根据引理3.3，A有一个可测的选择h:T→ Rl令人满意的kg- hkL公司≤ZTξg（·，ω）du+εu（T）。作为h∈ Hp（ω），我们有ζ（g，ω）≤ZTξg（·，ω）du+εu（T），这是一个矛盾。权利要求2。对于每个函数g∈ L（u，Rl), ζ（g，ω）=ZTξg（·，ω）du适用于所有ω∈ Ohm, 因此，HPF-m是弱可测的。权利要求2的证明。Le t{gn:n≥ 1} 是一个简单的可测函数序列，收敛到g in L（u，Rl). 根据[1，Theo-rem 13.6]，有一个子序列{gnk:k≥ 1} 共{gn:n≥ 1} 和函数h∈ L（u，Rl) 使| gnk |≤ h代表所有k≥ 1和{gnk:k≥ 1} 逐点收敛到g。因此，{ξgnk（t，ω）：k≥ 1} 对于所有（t，ω），收敛到ξg（t，ω）∈ T×Ohm. Asξgnk（t，ω）≤ kh（t）+b（t，ω，p）k，我们有{ξgnk（·，ω）：k≥ 1} 由可积函数h+b（·，ω，p）控制。因此，根据Lebesgue支配的收敛定理，我们得到了Limk→∞ZTξgnk（·，ω）du=所有ω的ZTξg（·，ω）du∈ Ohm. 另一方面，{ζ（gnk，ω）：k≥ 1} 对于每个ω，收敛到ζ（g，ω）∈ Ohm.

因此，对于所有ω，我们有ζ（g，ω）=ZTξg（·，ω）du∈ Ohm. 此外，由于eachζ（gnk，·）是F可测的，因此我们有ζ（g，·）是F可测的。因此，HPS是弱F可测的。事后岩心、细岩心和REE分配11确定对应关系H：(Ohm, F、P）=> L（u，Rl) × 通过lettingH（ω）=[{Hp（ω）×{p}：p∈ R} 对于所有ω∈ Ohm, 如果仅在产品拓扑中进行闭合操作（u，Rl) × 由L（u，R）的nor m诱导l) R的范数l.权利要求3。WE（ω）=H（ω）∩ G（ω）表示所有ω∈ Ohm.权利要求3的证明。修正一些ω∈ Ohm. Let（f，p）∈ WE（ω）。很明显，（f，p）∈ G（ω）。通过（A），我们有p∈ +. 因此f（t）∈ CX（t，ω，p）u-t上的a.e。现在，假设{pn:n≥ 1} R是收敛于p的序列。根据权利要求2，dist（f，Hpn（ω））=ZTηndu，其中ηn:T→ R+由ηn（t）=dist（f（t），CX（t，ω，pn））定义。引理2.4，CX（t，ω，p） 所有t的Li CX（t，ω，pn）∈ T因此，对于每个t∈ T和每个n≥ 1，我们可以选择一些fn（t）∈CX（t，ω，pn），使fn（t）→ f（t），t上的u-a.e。因此ηn（t）→ 0，u-a.e onT。定义β=inf（{δ（pn）：n≥ 1}∪ {δ（p）}）。然后β>0，对于每个t∈ T，letd（T）=βlXh=1ah（t，ω）。注意ηn（t）≤ kfn（t）- f（t）k≤ 2kd（t）1k，对于所有n，t上的u-a.e≥ 1、再次利用Leb-esgue支配的收敛定理，我们得到dist（f，Hpn（ω））=ZTηndu→ 0。因此（f，p）∈ H（ω）。Let（f，p）∈ H（ω）∩任意固定ω的G（ω）∈ Ohm. 与权利要求2的证明类似，我们可以找到一个序列{rn:n≥ 1} R和fn∈ Hrn（ω），使得（fn，rn）→ （f，p）in L（u，Rl) ×, 作为n→ ∞ 和{fn:n≥ 1} 点W收敛到f。自p起∈ , 根据（A），我们必须使hp，RTa（·，ω）dui>0。Put，S={t∈ T:hp，a（T，ω）i>0}。确切地说，S∈ ∑和u（S）>0。定义={t∈ S:fn（t）/∈ CX（t，ω，rn）}和A=[{An:n≥ 1}。因为对于所有n，u（An）=0≥ 1，必须具有u（A）=0。

选择t∈ S\\A.如果f（t）/∈ 对于某些t，C（t，ω，p）∈ S\\A，by（A），必须存在一个元素∈ Rl+使得hp，yi<hp，a（t，ω）i和U（t，ω，y）>U（t，ω，f（t））。因此，对于足够大的n，hrn，yi<hrn，a（t，ω）i和U（t，ω，y）>U（t，ω，fn（t）），这是矛盾的。因此，f（t）∈ 所有t的C（t，ω，p）∈ 由于U（t，ω，·）严格递增，hp，f（t）i≥ hp，a（t，ω）iu-a.e.在S上。此外，hp，f（t）i≥ 0=hp，a（t，ω）ifor all t∈ 因此，hp，f（T）i≥ hp，a（t，ω）iu-a.e.在t上，用f的可行性表示f（t）∈ B（t，ω，p）u-a.e.在t上。如果u（T\\S）=0，则为12 A.BHOWMIK和J。CAO（f，p）∈ WE（ω）。否则，我们首先声明p∈ +. 如果不是，则有一些z>0，使得hp，zi=0。接着，f（t）+z∈ B（t，ω，p）a ndU（t，ω，f（t）+z）>U（t，ω，f（t）），对于所有t∈ 这是一个矛盾。对于u-a.e.o n t\\S，B（t，ω，p）={0}和f（t）=0。因此，（f，p）∈ WE（ω）。根据权利要求2，GrWE=GrH∩ GrG。因为两个GR都是可测量的，所以GRW是可测量的。因此，我们是弱F可测的。现在，我们愿意提供定理3.2的证明，正如前面所承诺的那样。定理3.2的证明。首先，为了方便起见，我们计算x={f:f是一个分配，f（·，ω）∈ C（E（ω））for allω∈ Ohm}.可以看出我们是非空闭值的。然后，根据定理3.4，我们是弱∑-可测的。通过引理3.3，我们有一个可测的选择ω7→ （f（·，ω），π（ω））。注意π（ω）∈ +对于所有ω∈ Ohm. 在a，B（t，ω，π（ω））的假设下∩CX（t，ω，π（ω））是ll（t，ω）的单态∈ T×Ohm. 设g:T×Ohm → Rl+由g（t，ω）=B（t，ω，π（ω））定义的函数∩ CX（t，ω，π（ω））表示所有（t，ω）∈ T×Ohm. 根据命题2.2和命题2.3，g是∑F-可测量。因此，对于所有t，g（t，·）是F-可测的∈ T

对于所有ω∈ Ohm, g（·，ω）=f（·，ω）ua.e.，这意味着（g（·，ω），π（ω））∈ WE（ω）表示所有ω∈ Ohm. 它紧跟着G（·，ω）∈ C（E（ω））表示所有ω∈ Ohm. 因此，X 6=. 那么，很容易看到X C（E）。显示C（E） 十、 我们假设存在一个f∈ C（E）\\X.然后存在一个状态ω∈ Ohm 使得f（·，ω）6∈ C（E（ω））。这意味着t fis在E（ω）中被一些联盟S阻塞。因此，存在一个赋值g:t→ Rl+在E（ω）中，使得（i）ZSgdu=ZSa（·，ω）du，以及（ii）U（t，ω，g（t））>U（t，ω，f（t，ω））u-a.E.在S.defie上Ohm=ω∈ Ohm :ZSgdu=ZSa（·，ω）du.显然，ω∈ Ohm和Ohm∈ F定义函数h:T×Ohm → Rl+byh（t，ω）=（g（t），if（t，ω）∈ S×Ohm;a（t，ω），否则。然后，可以容易地检查h是e中的赋值，使得（iii）ZSh（·，ω）du=ZSa（·，ω）du，和（iv）U（t，ω，h（t，ω））>U（t，ω，f（t，ω））u-a.e.在S上。这意味着t f事后被S阻止（通过状态ω处的赋值h），这与f的事实相矛盾∈ C（E）。然后，我们讨论定理3.2和3.4的结果。我们需要在第2.1节中讨论的经济模型e中引入两个竞争均衡点：最大理性预期均衡和贝叶斯理性预期均衡。给定代理t∈ T，自然状态ω∈ Ohm 和aprice系统π：Ohm → , 让BREE（t，ω，π）由BREE（t，ω，π）定义=x个∈ （R）l+)Ohm: x（ω′）∈ B（t，ω′，π（ω′）表示所有ω′∈ Gt（ω）.每个代理的最大效用t∈ T相对于Gtat x：Ohm → Rl+处于状态ω∈ Ohm, 由U'REE（t，ω，x）表示，由U'REE（t，ω，x）=inf{U（t，ω′，x（ω′））：ω′定义∈ Gt（ω）}。定义3.5（【12】）。

给定一个经济体中的分配和价格系统π，这对（f，π）被称为E的极大理性期望均衡（abbr eviatedas maximin REE），如果f（t，ω）∈ B（t，ω，π（ω））和f（t，·）使所有（t，ω）的BREE（t，ω，π）上的U'REE（t，ω，·）最大化∈ T×Ohm. 在这种情况下，f被称为maximin rationalexpectations分配，这种分配的集合由MREE（E）表示。定义LREEtbyLREEt={x∈ （R）l+)Ohm: x是Gt可测量的}。对于给定的x∈ LREEt，回想一下，agent t关于Gtat x的贝叶斯期望效用由Et[U（t，·，x）| Gt]给出。定义3.6（[2，23]）。给定一个经济体中的一个分配和一个价格系统π，这对（f，π）可以被称为一个贝叶斯理性预期等式（缩写为贝叶斯REE），即对于每个t∈ T，f（T，·）是Gt可测的；（ii）对于所有（t，ω）∈ T×Ohm, f（t，ω）∈ B（t，ω，π（ω））；（iii）对于所有（t，ω）∈ T×Ohm,Et[U（t，·，f（t，·））| Gt]（ω）=maxx∈BREE（t，ω，π）∩LREEtEt[U（t，·，x）| Gt]（ω），在这种情况下，f被称为理性期望分配，并且这种分配的集合由REE（E）表示。作为定理3.4的推论，我们可以检索[11]中得到的关于amaximin-REE或Bayesian-REE存在性的结果。提案3.7。如果一个经济体满足假设（A）-（A），那么我们有mRee（E）=REE（E）6=.证据注意，在假设WE（ω）6= 对于所有ω∈ Ohm. 从定理3.4的证明可以看出，we是闭值且弱∑-可测的，因此它有一个F-可测选择ω7→ （f（ω），π（ω））。然后，很容易验证定理m 3.2证明中定义的对（g，π）是E的最大理性预期平衡。作为定理3.2和[11，推论1]的结果，我们推导出模式l的社会福利第一基本定理的以下版本。推论3.8。假设一个经济体满足（A）-（A）。