事后核心、精细核心与理性预期均衡

那么，我们有mree（E）=REE（E） C（E）。14 A.BHOWMIK和J。CAO接下来，我们提供了一个信息不对称的连续经济E的例子，在许多自然状态中，后核心C（E）可以严格包含REE（E）。示例3.9。考虑经济定义再见=(Ohm, F，P）；（T，∑，u）；Rl+; （Ft，U（t，·，·），a（t，·），Pt）t∈T,其中T=Ohm = [0，1]、∑和F是[0，1]上的Borelσ-代数，u和P是L ebesgue概率测度。商品空间是R.Let-Ftand-ptbearity信息划分和agent的先验信念t∈ T每个代理的效用和初始禀赋由U（t，ω，x）给出=√x个+√xanda（t，ω）=（（1，2），if（t，ω）∈0，×Ohm;（3，2），if（t，ω）∈, 1.×Ohm,分别地然后E（ω）=E（ω′），对于所有ω，ω′∈ Ohm. 此外，可以很容易地检查（A）-（A）是否满足。对于每个p=（p，p）∈ +, 每个状态下agent t的需求量由byD（t，ω，p）给出=p（1+p）p，p（1+p）p, if（t，ω）∈0，×Ohm;p（2+p）p，p（2+p）p, if（t，ω）∈, 1.×Ohm.通过市场清算条件，我们可以证明均衡价格为p=（，）。因此，D（t，ω，p）=,对于所有（t，ω）∈0，×Ohm 和D（t，ω，p）=,对于所有（t，ω）∈, 1.×Ohm. 对于每个ω∈ Ohm, 设h:T→ R+是由h（t）定义的E（ω）中的分配=(,, 如果t∈0，;,, 如果t∈, 1..取Ohm 使用/∈ F，和CON ide r F:T×Ohm → R+，定义为f（t，ω）=（（1，1），如果t∈ A和t=ω；h（t），否则。（i） 很明显，t f是可行的。（ii）对于每个t∈ T，f（T，·）是可测的。要了解这一点，我们首先选择t∈ A、 在这种情况下，对于所有ω，f（t，ω）=h（t）∈ Ohm ω6=t；如果ω=t，则f（t，ω）=（1，1）。现在取t∈ 对于所有ω，则f（T，ω）=h（T）∈ Ohm. 因此，在这两种情况下，f（t，·）都是f-可测的。（iii）很明显，每个ω的t∈ Ohm, f（·，ω）是u-可积的。自（f（·，ω），p）∈ 每个ω的WE（ω）∈ Ohm, 我们得出结论，f∈ C（E（ω））和us f∈ C（E）。

现在，考虑两个映射g:t 7→ （t，t）和g：（t，t）7→ t分别由g（t）=（t，t）和g（t，t）=t定义。可以很容易地检查（go fo g） （t）=（1，如果t∈ A.e（t），否则，其中e（t）=如果t∈0，; e（t）=如果t∈, 1.. 从6岁开始∈ F，然后gofogis不可测量。因此f不是∑ F-可测量。根据推论1in[11]，REE（E）6= 和f/∈ 稀土元素（E）。事后岩心、细岩心和稀土元素分配154。事后核心与精细核心在本节中，我们研究了信息不对称的混合经济中事后核心与精细核心之间的关系。我们表明，在适当的假设下，最终核心包含在事后co re中（见定理4.6）。这扩展了Einy等人在【14】中的结果。为了实现这一目标，我们采用了一种标准方法，将原始的混合经济E嵌入到辅助的非混合经济E中*通过将每个大代理拆分为相同类型的小代理的连续体而获得。4.1。通过相关的连续经济体进行整合。我们定义了一个无原子的经济体*与E关联。Let（T*, ∑*T、 u*T） 是一个极大的、完备的正测度空间，使得∩ T*= , 其中，每个代理Anoneto 1对应于一个可测量的子集a*nof T编号*带u*（A）*n） =u（An）和T*=S{A*n： n个≥ 1} 。可以认为T*构造如下：分区间隔[u（T），u（T）]，用T标识*, 作为区间不相交的并集A*ngiven由A*= [u（T），u（T）+u（A）），····，andA*n=“u（T）+un-1[i=1Ai！，u（T）+un[i=1Ai！！，····.定义T*= T∪T*用σ-代数∑*= ∑T⊕ ∑*T型=A.∪ B：A∩ B=, A.∈ ∑T，B∈ ∑*T和测量u*: ∑*→ R+使每个C∈ ∑*,u*（C） =uT（C∩ T） +u*T（C∩ T*).在[9，22]之后，E的代理空间*is（T*, ∑*, u*).

此外，在E*, 自然状态空间和每个代理的消耗集t∈ T*在每个状态ω∈ Ohm 仍然是(Ohm, F、P）和Rl+, 分别地最后，特性（F*t、 U型*（t，·，·），a*（t，·），P*t） 每个代理t的∈ T*在E中*定义如下：F*t=（Ft，如果t∈ T风扇，如果t∈ A.*n、 U型*（t，ω，·）=（U（t，ω，·），if（t，ω）∈ T×Ohm;U（An，ω，·），if（t，ω）∈ A.*n×Ohm,一*（t，ω）=（a（t，ω），if（t，ω）∈ T×Ohm;a（An，ω），if（t，ω）∈ A.*n×Ohm,andP公司*t=（Pt，如果t∈ T平移，如果t∈ A.*n、 对于每个ω∈ Ohm, 我们可以定义一个无原子和确定性的经济E*（ω） 与E（ω）asE有关*（ω）=（T*, ∑*, u*); Rl+; （U）*（t，ω，·），a*（t，ω））t∈T*.与E类似，我们将∑的一个成员S称为*带u*（S） >0 a E联盟*.给定一个联盟S∈ ∑*共E页*, let∑*S={A∈ ∑*: A. S} 。下面的引理是[9，引理3.6]的一个特例。16 A.BHOWMIK和J。CAOLemma 4.1（[9]）。给定ω∈ Ohm, 如果f∈ Lu*, RlS，R是E的两个联盟*（ω） 使u*（S）∩ R） >0，则H=clu*（B） ，ZBfdu*: B∈ ∑*S是R×R的凸子集l. 此外，对于任何0<δ<1，都有一个序列{Cn:n≥ 1} ∑*E中的Sof联盟*使u*（中国）∩ R） =Δu*（S）∩ R） 对于alln≥ 1和Limn→∞ZCnf（·，ω）du*= δZSf（·，ω）du*.引理4.2。假设一个经济体满足（A′）、（A）和（A）。Letω∈ Ohm保持自然状态。如果分配f*在E中*（ω） 被联盟S阻止 T*,然后对于任何0<ε≤ u*（S）∩ T*), 存在一个联盟R*这样的话*[Si：我∈ P（S）,u*（R）*∩T*) = ε和u（R*∩Si）>0表示所有i∈ P（S）和分配g*在E中*（ω） 使f*被R阻止*通过g*在E中*（ω） 。证据如果ε=u*（S）∩T*), 没有什么可以证明的。因此，设0<ε<u*（S）∩T*). 通过[9，引理3.5]中的技巧，我们可以找到一个函数h*: T*→ Rl+这样你*（t，ω，h*（t） ）>U*（t，ω，f*（t） ），u-SandZS上的a.e（a*（·，ω）- h类*（·））du*>> 0、设δ=εu*（S）∩T*).

对于每个i∈ 根据引理4.1，存在一个序列{Ein:n≥ 1} ∑*E中的Siof联盟*这样的话≥ 1，u*（Ein）∩ T*) = Δu*（Si）∩T*)安德林→∞玉米醇溶蛋白（a*（·，ω）- h类*（·））du*= δZSi（a*（·，ω）- h类*（·））du*.设En=S{Ein:i∈ 所有n的P（S）}≥ 1、Thenlimn→∞禅宗（a*（·，ω）- h类*（·））du*= δZS（a*（·，ω）- h类*（·））du*.选择n≥ 1这样B：=禅（a*（·，ω）- h类*（·））du*>> 0、放置R*= 确定分配*在E中*（ω） 这样的话*（t） =小时*（t） +bu*（R）*).因此，f*被R阻止*通过g*在E中*（ω） 。事后岩心、细岩心和稀土元素分配174.2。事后核心和最终核心。在本小节中，我们将展示并证明本节的主要结果。我们假设我们的经济只管理很多信息结构。更准确地说，我们假设每个hagent的信息分区是{Q，···，Qn}的一个成员。对于任何1≤ 我≤ n和任何联盟S，设Si={t∈ S∏t=Qi}和p（S）={i：u（Si）>0，1≤ 我≤ n} 。符号w{Qi:i∈ P（S）}用于表示上的σ-代数Ohm, 这是由{Qi:i∈ P（S）}。我们需要以下两个附加假设。（A） u（Ti）>0表示所有1≤ 我≤ n、 T=S{Ti:1≤ 我≤ n} andWni=1Qi=F。（A） E中的所有大型代理都是sa me类型，即具有相同的特征。在[26]之后，经济体中一个联合体的信息结构是一个家族{Gt:t∈ S} 上σ-代数的Ohm 这样Gt F代表所有t∈ S和{t∈ S：Gt=G}∈ ∑对于任何σ-代数Ohm 带G F联盟的通信系统是一种信息结构{Gt:t∈ S} 因为这样 燃气轮机_{齐：我∈ P（S）}，u-S.a通信系统上的a.e{Gt:t∈ S} 对于联盟，如果Gt=W{Qi:i，则S称为完全通信系统∈ P（S）}，u-a.e.关于S.D定义4.3（[26]）。

如果E中存在分配g，则E中的分配f被经济体E中的联盟完全阻止，通信系统{Gt:t∈ S} 对于S和非空事件Ohm∈Tt∈SGtsuch对于所有ω∈ Ohm,ZSg（·，ω）du=ZSa（·，ω）duandEt[U（t，·，g（t，·））| Gt]（ω）>Et[U（t，·，f（t，·））| Gt]（ω），u-a.e.在S上。e的最终核心由Cfine（e）表示，是e中任何联盟都无法阻止的所有分配的集合。设A 6= . 对于E中的任何分配f，设f:T×Ohm → Rl+是由f（t，ω）定义的分配线=f（t，ω），if（t，ω）∈ T×Ohm;u（T）ZTf（·，ω）du，if（T，ω）∈ T×Ohm.定理4.4。假设一个经济体满足（A′、（A）-（A）、（A′）和（A）-（A）。如果f∈ Cfine（E）和A 6=, 然后U（t，ω，’f（t，ω））=U（t，ω，f（t，ω）），u-a.e.在所有ω的支架上∈ Ohm.证据首先，我们证明了对于所有（t，ω）∈ T×Ohm,U（t，ω，f（t，ω））≥ U（t，ω，’f（t，ω））。假设相反。存在一个状态ω∈ Ohm 和一个联盟 Tsuch thatU（t，ω，’f（t，ω））>U（t，ω，f（t，ω））18 A.BHOWMIK和J。CAO适用于所有t∈ S、 对于序列{rm:m≥ 1} （0，1）收敛到1，函数ζm:S→ Rl+, 定义为ζm（t）=U（t，ω，rm'f（t，ω））- U（t，ω，f（t，ω）），是∑S-可测的。每m≥ 1，putSm={t∈ S：ζm（t）>0}。S=Sm时≥1Sm，然后对于某些m，u（Sm）>0≥ 1、Putz=-（1）- rm）u（Sm）u（T）ZTa（·，ω）du。选择ε>0，z+B（0，2ε） -Rl++. 对于每个i∈ P（T）和R∈ ∑Ti，letbi（R）=ZR（f（·，ω）- a（·，ω））du-rmu（Sm）u（T）ZTi（f（·，ω）- a（·，ω））du。应用引理4.1，δ=rmu（Sm）u（T），我们可以得到一个联合Riin E和Ri Tisuch that bi（Ri）∈ B0，εP（T）. PutR=[{Ri:i∈ P（T）}。设E=R∪sm然后，通过（A）和（A），我们有{Qi:i∈ P（E）}=F。选择一个x∈ B（0，ε）∩ Rl++和定义g:T→ Rl+byg（t）=f（t，ω）+xu（R），如果t∈ Rrm'f（t，ω），如果t∈ smf（t，ω），否则。然后，U（t，ω，g（t））>U（t，ω，f（t，ω）），u-a.e。

此外，在E上，ZEgdu=ZRf（·，ω）du+rmu（Sm）u（T）ZTf（·，ω）du+x。使用zt（f（·，ω）- a（·，ω））du=-ZT（f（·，ω）- a（·，ω））du，我们可以很容易地验证∈ Ohm,-z+z（g（·）- a（·，ω））du=Xi∈P（T）bi（Ri）+x∈ B（0，2ε）。下面是d=ZEa（·，ω）-ZEgdu>> 然后，函数h:E→ Rl+由h（t）=g（t）+du（E）定义所有t∈ T，满足度U（T，ω，h（T））>U（T，ω，f（T，ω）），u-a.e.关于e.EX-POST岩芯、细岩芯和REE分配19定义Ohm=\\{Qi（ω）：i∈ P（E）}，其中Qi（ω）是包含ω的Qi中的原子。注意setAt={ω∈ Ohm : U（t，ω，h（t））>U（t，ω，f（t，ω））}是f可测的，ω∈ Atfor all t公司∈ E、 因此，通过（A）和（A），Ohm Atfor all t公司∈ E、 自映射ω7→ZEa（·ω）du是F-可测的，我们有Ohmω∈ Ohm :ZEhdu=ZEa（·，ω）du.定义另一个函数y:T×Ohm → Rl+byy（t，ω）=（h（t），if（t，ω）∈ E×Ohm;a（t，ω），否则。请注意，y是一个分配。因此，我们有（t，·，f（t，·））|{气：i∈ P（E）}i=U（t，·，f（t，·））and（t，·，y（t，·））|{Qi:i∈ P（E）}i=U（t，·，y（t，·））。此外，对于所有ω∈ Ohm, 我们在e上有U（t，ω，y（t，ω））>U（t，ω，f（t，ω）），u-a.e，这意味着f被e通过y阻断。这与假设f∈ Cfine（E）。因此，U（t，ω，f（t，ω））≥ U（t，ω，’f（t，ω））表示所有（t，ω）∈ T×Ohm.假设有一个状态ω*∈ Ohm 和一个联盟D Tsuch thatU（t，ω*, f（t，ω*)) > U（t，ω*,\'f（t，ω*))对于所有t∈ D、 根据Jensen不等式，Ut、 ω*,ZDf（·，ω）*)u（D）Du> Ut、 ω*,\'f（t，ω*)andUt，ω*,ZT\\Df（·，ω）*)u（T\\D）Du！≥ Ut、 ω*,\'f（t，ω*).设δ=u（D）u（T）。自f（t，ω）*) = δZDf（·，ω）*)u（D）Du+（1- δ） ZT\\Df（·，ω）*)u（T\\D）Du，然后u（T，ω*,\'f（t，ω*)) > U（t，ω*,\'f（t，ω*)).这是一个矛盾，这意味着U（t，ω，\'f（t，ω））=U（t，ω，f（t，ω）），对于所有（t，ω）∈ T×Ohm. 20 A.BHOWMIK和J。CAO推论4.5。假设一个经济体满足（A′、（A）-（A）、（A′）和（A）-（A）。

然后是f∈ C（E）当且仅当'f∈ C（E）。以下定理是[14，定理3.1]对混合经济的推广。定理4.6。假设一个经济体满足（A′、（A）-（A）、（A′）和（A）-（A）。如果| A |≥ 2或A=, 然后是Cfine（E） C（E）。证据首先，我们假设| A |≥ 2和f∈ Cfine（E）。如果f 6∈ C（E），然后，根据推论4.5，’f 6∈ C（E）。根据定理3.2，有一个ω∈ Ohm 使得'f（·，ω）6∈ C（E（ω））。接下来，我们考虑分配f*: T*→ Rl+在E中*（ω） 定义人：f*（t）=f（t，ω），如果t∈ Tu（T）ZTf（·，ω）du，如果T∈ T*.很明显，f*6.∈ C（E*（ω） ）。选择任意an∈ A并设u（An）=ε>0。根据维德定理（见[8，定理3.1]或[25]），f*被E中的联盟阻止*（ω） ，其可选择为u*（S） =u（T）+ε，如果u*（T*\\ A.*n） <最小值{u（Ti）：i∈ P（T）}，和u*（S） >u*（T*) - 最小{u（Ti）：i∈ P（T）}，否则。在这种情况下，可以检查u*（S）∩ T*) ≥ ε和P（S）={1，2，···，n}。通过引理4.2，我们可以得到一个联盟E*在E中*（ω） withE公司*[{S∩（Ti）*: 我∈ P（S）}，P（E*) = P（S）和u*（E）*∩ T*) = ε、 哪些块'f*通过h*在E中*（ω） 。考虑因素E由E=（E）定义*∩ T）∪ 一然后，P（E）={1，2，···，n}。现在，我们考虑一个函数h:E→ Rl+定义byh（t）=h类*（t） ，如果t∈ E*∩TεZE*∩T*h类*du*, 否则显然，U（t，ω，h（t））>U（t，ω，\'f（t，ω）），u-a.e.在e上*∩ T、 根据Jensen不等式，如果T∈ An，我们有U（t，ω，h（t））>U（t，ω，’f（t，ω））。此外，ZEhdu=ZEa（·，ω）du。与理论m 4.4类似，我们可以定义Ohm和分配y:T×Ohm → Rl+在E中，y（t，ω）=（h（t），if（t，ω）∈ E×Ohm;a（t，ω），否则。注意ethu（t，·，f（t，·））|{Qi:i∈ P（E）}i=U（t，·，f（t，·））事后岩芯、细岩芯和稀土元素分配21andEthU（t，·，y（t，·））|{Qi:i∈ P（E）}i=U（t，·，y（t，·））。因此，f被E通过y阻断。

这是一种矛盾。如果A=, f∈ Cfine（E）但f 6∈ C（E），可以应用类似于前一种情况的参数。主要区别在于，在这种情况下，可以选择阻断联盟E，使u（E）>u（T）- 最小{u（Ti）：i∈ P（T）}。证据的其余部分几乎与前一个案件相同。应用[18，24]中的core Walras等价定理，我们得到以下推论。推论4.7。假设一个经济体满足（A′、（A）-（A）、（A′）和（A）-（A）。如果f∈ Cfine（E），然后f（ω，·）∈ WA（ω）对于每个ω∈ Ohm.5、结论性意见在文献中可以找到关于信息不对称经济体中不同类型的核心和均衡概念的大量研究工作。特别是，在标准完全信息经济中扩展了竞争均衡分配和核心分配的经典等价性。例如，rea de r可以指[14、15、16、20]。在本文中，我们主要分两个部分研究事后成本及其与核心价值的关系和一组合理的费用均衡分配。本文的最后部分关注事后核心与一组合理预期均衡分配之间的关系。对于我们的经济模型，我们应用集值分析中的各种技术，在ex-p ost核心上建立一个表示结果（见定理3.2）。在早期的一篇论文【11】中，Bhowmik和Cao建立了一个类似于理性预期序列库分配集的表示结果。这两个代表性结果表明，对于我们的不对称信息经济模型，合理预期均衡配置包含在事后核心中（见推论3.8）。据我们所知，代表事后核心（resp。

从相关的完全信息经济家族的核心（竞争均衡）对应关系中选择的一组理性预期均衡分配来自【13】。[13]与本文的根本区别在于，假设[13]中的经济体只有非常多的自然状态，而本文中的经济体允许有非常多的自然状态。[13]中的表示结果以及Aumann的核心等价物理论，意味着如果经济是无原子的，并且每个贸易商的效用函数相对于其信息领域是可测量的，则理性预期均衡分配集与事后核心一致。然而，当一个无原子的不对称信息经济有很多自然状态时，这通常并不成立（见示例3.9）。本文的第二部分着重于寡头垄断经济中核心与后核心之间的关系。我们表明，在标准假设和假设只有很多不同的信息结构，并且所有信息都是ag ents、22 A.BHOWMIK和J的联合信息的情况下。如果一个经济体要么是无原子的，要么至少有两个具有相同特征的大型代理（见定理4.6），则CAO FINE core包含在事后core中。这一结果可以被视为[14]中相应结果的延伸，其中假设经济体只有原子，并且只有很多自然状态。很想知道定理4.6的结论是否仍然适用于只有一个大型代理或两个具有不同特征的大型代理的混合经济。参考文献[1]C.D.Aliprantis，K.C.Border，《有限维分析：搭便车指南》，第三版，柏林斯普林格，2006年。[2] B。

艾伦，《完全揭示不确定性均衡的普遍存在性》，当价格发现信息时，计量经济学49（1981），1173–1199。[3] R.M.Anderson，《完全竞争经济的核心》，R.J.Aumann和S.Hart（编辑）《博弈论手册》，第一卷，阿姆斯特丹北荷兰。[4] L.Angeloni和V.Filipe Mar tins da Rocha，《具有差异信息且未经处置的大型经济体》，经济。理论38（2009），263–286。[5] J.P.Aubin，H.Frankowska，《集值分析》，B Irkhauser，B oston，1990年。[6] R.J.A umann，《具有连续交易者的市场》，计量经济学32（1964），第39–50页。[7] R.J.Aumann，《具有连续交易者的市场中竞争均衡的存在》，计量经济学34（1966），1-17。[8] A.Bhowmik，J.Cao，《不对称信息经济中的阻塞效率》，J MathEcon 48（2012），396–403。[9] A.Bhowmik，J.Cao，《信息不对称的混合经济中的稳健效率》，JMath Econ 49（2013），49–57。[10] A.Bhowmik，J.Cao和N.C.Yannelis，《聚合优先对应关系和最大稀土元素的存在》，J.Math。一个nal。应用程序。414（2014），29–45。[11] A.Bhowmik和J.Cao，《理性预期均衡：存在性和代表性》，经济学。理论牛市。4（2016），367–386【12】L.I.de Castro，M.Pesce，N.C.Yannelis，《理性预期的新视角》，讨论文件1824号，曼彻斯特大学，2013年。[13] E.Einy，D.Moreno，B.*****ovitz，《理性预期均衡与非对称信息经济的事后核心》，J.Math。经济。34（2000），527–535。[14] E.Einy，D。Moreno，B.*****ovitz，《关于差异信息经济的核心》，J.Econ。理论94（2000），262–270。[15] E.Einy，D.Moreno，B.*****ovitz，《具有差异信息的大型经济体中的竞争和核心配置》，经济学。理论18（2001），321–332。[16] F.Forges，A.Heifetz，E。