有偏风险平价与分形风险模型

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英文标题：
《Biased Risk Parity with Fractal Model of Risk》
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作者：
Sergey Kamenshchikov, Ilia Drozdov
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  For the past two decades investors have observed long memory and highly correlated behavior of asset classes that does not fit into the framework of Modern Portfolio Theory. Custom correlation and standard deviation estimators consider normal distribution of returns and market efficiency hypothesis. It forced investors to search more universal instruments of tail risk protection. One of the possible solutions is a naive risk parity strategy, which avoids estimation of expected returns and correlations. The authors develop the idea further and propose a fractal distribution of returns as a core. This class of distributions is more general as it does not imply strict limitations on risk evolution. The proposed model allows for modifying a rule for volatility estimation, thus, enhancing its explanatory power. It turns out that the latter improves the performance metrics of an investment portfolio over the ten year period. The fractal model of volatility plays a significant protective role during the periods of market abnormal drawdowns. Consequently, it may be useful for a wide range of asset managers which incorporate innovative risk models into globally allocated portfolios.
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中文摘要：
在过去二十年中，投资者观察到资产类别的长期记忆和高度相关行为，这不符合现代投资组合理论的框架。自定义相关和标准差估计考虑了收益的正态分布和市场效率假设。这迫使投资者寻找更通用的尾部风险保护工具。可能的解决方案之一是一种简单的风险平价策略，它避免了对预期收益和相关性的估计。作者进一步发展了这一想法，并提出了以分形回报分布为核心的方法。这类分布更为普遍，因为它并不意味着对风险演变的严格限制。该模型允许修改波动率估计规则，从而增强其解释力。结果表明，后者在十年期间改善了投资组合的绩效指标。波动的分形模型在市场异常下跌期间起着重要的保护作用。因此，它可能对将创新风险模型纳入全球配置投资组合的广泛资产管理公司有用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Biased_Risk_Parity_with_Fractal_Model_of_Risk.pdf (514.72 KB)

2022-5-31 07:05:23 上传

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关键词：风险模型 distribution Quantitative correlations Econophysics

有偏风险平价与风险分形模型——Sergey Kamenshchikov博士、IFCM Capital/Moscow ExchangeIlia Drozdov、CFA、QB CapitalAstract20年来，投资者观察到了不符合现代投资组合理论框架的资产类别的长期记忆和高度相关行为。客户相关性和标准差估计考虑了收益的正态分布和市场效率假设。这迫使投资者寻找更通用的尾部风险保护工具。可能的解决方案之一是一种简单的风险平价策略，它避免了对预期收益和相关性的估计。作者进一步发展了这一想法，并提出以收益率的分形分布为核心。这类分布更为普遍，因为它不会对风险演变施加严格限制。提出的模型允许修改挥发性估计规则，从而增强其解释力。结果表明，后者在十年内改善了投资组合的绩效指标。波动的分形模型在市场异常下跌期间起着重要的保护作用。因此，它可能对将innovativerisk模型纳入全球配置投资组合的广泛资产管理公司有用。导言2000年代的市场崩盘对现代投资组合理论（MPT）的适用性提出了质疑，因为收益率的相关性和标准差没有考虑异常波动[1]。从长期来看，罕见的大规模下跌足以影响投资组合的表现。2006-2016年，标普500指数下跌36%，累计十年回报率下降了两倍，年夏普比率下降了三倍。

朴素的风险平价方法通过避免计算预期收益和线性相关来部分缩小差距。基于朴素风险平价策略的全球分配策略在过去四十年中的表现优于P500指数2%，夏普比率年增长率为63%[2]。然而，全球风险平价模型的波动率估计仍然基于收益的正态分布，无法解释市场低迷期间的集体行为和长期记忆等效应[2]。研究表明，分形分布为资产价值的大规模下跌提供了更现实的方法[3]。在本研究中，我们将波动率演化的分形规律引入到有偏风险平价买入持有组合中。根据对年度和半年回报率的样本外分析，我们将所提出的策略的绩效与天真风险平价进行了比较。一段时间以来，金融研究一直关注风险管理的考虑因素集体行为和收益的厚尾分布。Mandelbrot提出了α稳定分布，因为它们承认了有限的波动性和大规模的下跌[4]。根据文献[3]，收益的α稳定分布更为普遍，因为它可以产生正态分布，但不需要收益的有限方差。因此，该模型同时适用于高效和低效制度。中心极限定理支持这类分布的稳定性[3]。收益率r的概率α稳定分布函数具有以下关系：（|，）cos（（|，））exp（）F r t h r t t dt （1） 这里，   是分布的静态参数，t是时间。

积分的核心由分段函数h表示： （|，）tan，1h r t rt t t t      （2） （|，）ln，1h r t  （3） 该分布的稳定性程度定义如下：间隔0 2中的参数 . 使用重缩放因子k对该分布进行重缩放对应于以下[4]：（|，）（|，）HF r kt k F r t                                                    （4） Alpha参数量化了脂肪尾，因此，可以在挥发分析中考虑它们。根据Mandelbrot[4]，这个关键参数也与时间序列持续性的Hurst系数直接相关：1/H.  我们应该记得，回报的正记忆（动量）的特征是（0.5,1）H, 而负记忆（均值回复）对应于[0,0.5）H. 波动率重标度定律可直接从（4）中推导得出： 2 22 1 2（）（）他    （5） 这里是两个后续时间动量的值1 2 2 1，：t t t t t涉及到。在本研究中，波动率被估计为收益率的无偏标准差。因此，可以按以下方式重新缩放一个周期的标准偏差STDT，得出N个周期的标准偏差：HNSTD STD N [4] 。MPT和市场效率意味着收益的随机游走和短记忆：0.5H对于任何资产类别。因此，此重缩放因子在投资权重的定义中不起作用，无法达到常数。相比之下，本研究根据资产类型和时间序列历史属性实施变量重缩放。

在这里，我们采用[5]中建议的小数据基础方法来稳定定义赫斯特系数H。投资策略在本研究中，我们建议在全球资产配置模型中通常考虑的四种资产类别之间进行全球多元化。然而，我们承认有可能进行更广泛的选择。我们使用几个低成本交易所交易基金（ETF）的调整后每日收盘价。所有公司行为，如股息、拆分等都已考虑在内。资产类别可提取ETFsExpenseratio，%Equities S&P 500SPY0.09Treasuresu。S、 20多年期国债STLT0.15房地产。S、 房地产指数0.43GoldGold BullingLD0.4表1。投资区块应用的历史数据受到ETF开始日期的限制，因此，20052016年是算法论证的核心。优化期N和持有期是相同的——我们独立考虑半年期和年期。朴素的风险平价法意味着为每个类别指定了相等的波动率。然而，在这项研究中，我们提出了趋势跟踪偏差，并考虑了长期投资组合具有正预期回报的投资。下面我们将比较portfoliooptimization的分形算法和标准算法#标准偏差分形偏差1资产i的历史收益计算为调整后的价格对数100%log（）i ir p的差值 赫斯特系数0.5iH  对于每个资产类别，Hurst FactoryFor每个资产的定义基于每日收益时间序列预期每日收益（）imean r   定义为收益的简单平均值。

资产类别权重最初切换为零ifi收益率的每日标准差计算5预期资产波动率被重新标度到投资组合的水平N：i iNSTD STD N预期资产波动率被重新调整到投资组合的水平N：iHi iNSTD STD N非零投资权重是根据重新标度的波动率1/ii Nw STD计算的 ,权重之和被归一化：/i i iw w表2：。投资方案本研究采用非杠杆投资方案。然而，我们承认，为了将预期的投资组合波动率正常化到建议的水平，需要进行杠杆操作。一些风险平价模型的研究人员使用基准（SPY）预期波动率作为参考点，或者包含独立的风险规避建议。实际应用我们比较了表3和表4中三种方法的模拟结果——分形偏差、标准偏差和原始风险平价。这两种算法通过几个指标进行比较：夏普比率、特雷诺比率、平均年回报率、资本保护、标准差（STD）和贝塔系数。我们认为，以美国股市最受欢迎的代理人之一SPY为基准是合理的。所有这些结果都是针对100万美元的非杠杆长期投资组合。算法系统分析给定资产过去N天的每日价格，构建投资组合，并观察未来N天的累积表现。投资组合模拟基于无样本分析。模拟不考虑下滑、市场影响和价差，但考虑佣金、费用比率和公司活动。

我们使用截至2017年4月1日的交互式经纪人分层佣金计划（Tiered commissionplan of Interactive Brokers）在MatLab 2015apackage中模拟这两种算法。SharpeTreynor x 0.01收益率，%Protection，%STD，%BetaFractalBased（A）1.290.369.097.060.25标准偏差（B）1.190.328.917.490.28Na"ive风险平价（C）0.90.248.189.40.36基准（SPY）0.520.088.1815.68改进表3。年度水平，$1000000SharpeTreynor x 0.01回报率，%Protection，%STD，%betaFractalbiased（A）1.310.459.685.100.15标准偏差（B）1.180.289.35.470.23原始风险平价（C）0.930.198.66.430.31基准（SPY）0.50.068.2611.36改进，%表4。半年期内，1000000美元资本保护被定义为初始资本（即100%）与单一模拟中投资组合价值最大提取之间的百分比差异。所有指标均采用年度化格式。在最后一个原始数据中提供了相对百分比改进。持有期的缩短增强了无效率的影响。因此，风险的分形估计的优势更加明显。因此，尽管重新平衡更加频繁，执行成本更高，但几乎所有指标都得到了改善。在这种情况下，系统A在20个样本周期中的平均值超过市场1.4%（见表4）。朴素风险平价在两个水平上的结果都最差，这验证了所提出的风险管理方案的优势。图1表示基准（SPY）、标准偏差风险平价和分形偏差风险平价的绝对回报率（请注意，缺失的条表示回报率<1%）。最显著的差异是2007年半年的bar：-间谍为36%，系统B为-10%，而系统A为-6%。图1。

绝对回报率，半年水平图下面我们用半年优化的再投资回报率和更大的模拟样本量表示图表。这些条对应于系统A（Sh=1.31）和系统B（Sh=1.18）的累积收益之间的差值。债务危机的开始（以黑色矩形为标志）是引人注目的，因为累积回报显著增长。图2：。半年期累积收益的差异A-B然而，随着市场效率的恢复，风险平价的优势降低。尽管如此，我们观察到，在10年的观察期间，即使在正常的准有效市场环境中，系统A和系统B之间的差异也在逐渐增加。这一优势在2016年底达到14%。尽管取得了令人印象深刻的结果，但应注意的是，由于样本量有限，所有绩效指标可能都被高估了——半年优化期内，我们只有20个回报。建议在20-30年历史数据库中进一步研究模型的适用性，以准确地证明模型的合理性。例如，根据AQRresearch[6]，基于股票、债券和大宗商品的朴素风险平价策略在39年的历史测试（1971年1月至2009年12月）中给出了0.45的收益率和11%的年化回报率。夏普比率比当前研究中模拟的单纯风险平价低两倍。在图3中，分形风险平价的绝对累积回报率与SPY再投资策略进行了比较。值得注意的是，2007-2008年advantage在该策略的总体表现中仍然发挥着重要作用，因为它为效率极低的熊市环境提供了真实的尾部风险估计。

MPT支持者认为重尾事件对投资组合的长期总体表现无统计学意义，而提供的结果与他们的观点相矛盾。图3：。绝对累积收益率，半年水平结论在当前的研究中，我们研究了一种基于风险平价方法的分形收益分布作为全球资产配置模型。我们将这种方法与传统的风险评估模型进行了比较，后者意味着收益率的正态分布和市场效率假说。仿真结果表明，与标准偏差、朴素风险平价和基准相比，该模型改进了投资组合度量。具有半年优化的投资组合显示出最佳结果，其夏普比率是基准投资组合的2.6倍，而平均年回报率则高出1.5%。在再投资周期（reinvestmentcycle）中应用这种方法，可以在十年内将资本积累的优势提高14%。2007-2008年债务危机期间，绩效指标的改善最为显著。证明了当波动率的客户估计量不稳定时，尾部风险模型在羊群市场机制中的优势。我们认为，提议的方法可能对使用原始风险评估模型的管理者很有价值。它也可以纳入具有更广泛资产类别的被动保守投资策略中。我们相信，该模型应该会引起风险平价追随者的极大兴趣，他们倾向于通过对异常市场行为的更现实的观点来改进自己的策略。参考文献1。里亚德·阿洛伊（RiadhAloui），“全球金融危机、极端相互依存和传染效应：经济结构的作用？”，《银行与金融杂志》，20112。

Vineer Bhansali，“风险平价中的风险：基于因素的资产风险平价分析”，《投资杂志》，20123。Samet Günay，“金融市场中的幂律：标度指数H和α稳定分布”，《应用商业研究杂志》，20154。Mandelbrot，Van Ness，“分数布朗运动，分数噪声和应用”，暹罗评论，19685年。Dubovikov，Starchenko，“时间序列的最小覆盖维数和分形分析”，Physica A，20046。Clifford S.Asness、Andrea Frazzini和Lasse H.Pedersen，“杠杆厌恶和风险平价”，《金融分析师杂志》，2012年