关于MAXVAR的相干性及其他性质

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英文标题：
《On coherency and other properties of MAXVAR》
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作者：
Jie Sun and Qiang Yao
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper is concerned with the MAXVAR risk measure on L^2 space. We present an elementary and direct proof of its coherency and averseness. Based on the observation that the MAXVAR measure is a continuous convex combination of the CVaR measure, we provide an explicit formula for the risk envelope of MAXVAR.
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中文摘要：
本文研究L^2空间上的MAXVAR风险测度。我们给出了它的一致性和厌恶性的一个基本而直接的证明。基于MAXVAR测度是CVaR测度的连续凸组合的观察，我们给出了MAXVAR风险包络的显式公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：max VaR XVA Mathematical Quantitative

关于MaxVar的相干性和其他性质*孙杰+和姚强2018年8月27日摘要本文关注Lspace上的MAXVAR风险度量。我们给出了它的一致性和厌恶性的初步和直接的证明。基于MAXVAR测度是CVaRmeasure的连续凸组合的观察，我们给出了MAXVAR风险包络的显式公式。2010年MR主题分类：49N15、91G40关键词：一致性风险度量、风险规避、风险包络。1引言在Cherny和Madan【2】以及Cherny和Orlov【3】中，提出了一种新的风险度量——“MAXVAR”，这在大型投资组合的分析中非常有用。给定概率空间(Ohm, ∑，P）和一个随机变量X∈ L(Ohm, ∑，P），其中L(Ohm, ∑，P）是平方内积Lebesgue空间（Lfor short），MAXVAR定义为asMAXVARn（X）：=E（max{X，····，Xn}），其中X，···，Xn是X的i.i.d.副本。我们称MAXVARn（·）为“MAXVAR风险度量”。*这篇论文是为纪念米奇·拉赫拉70岁生日而写的。+中国重庆师范大学数学科学学院和澳大利亚科廷大学科学与CIC学院。电子邮箱：jie。sun@curtin.edu.au.中国华东师范大学统计学院和位于中国上海纽约大学的纽约大学-华东师范大学数学科学研究所。电子邮件：qyao@sfs.ecnu.edu.cn.NoteMAXVARn（·）总是在Lsince上定义| MAXVARn（X）|≤ nE（| X |）<+∞对于任何X∈ 五十、 在[2，3]中，使用了“MINVAR风险度量”的名称。由于我们将风险度量视为一个非递减函数，因此我们使用“MAXVAR风险度量”。显然，我们有MaxVarn（X）=-明瓦恩(-十） 。与文献[2，3]不同，文献[2，3]考虑了L∞空间，本文研究的是Lspace。我们对MAXVAR风险度量一致性的证明是直接的，独立于[2，3]。

此外，我们还证明了MAXVAR的风险厌恶性，并给出了其风险包络的显式公式。在第二节中，我们给出了MAXVAR相干性的一个简单证明。我们在第3节中展示了它的厌恶性。第4节专门讨论MAXVAR的连续表示，第5节提供了其风险包络的明确公式。2 MAXVAR的一致性在这一节中，我们证明了MAXVAR是Rockafellar基本意义上的一致风险度量。定义1（Rockafellar[5]）功能R:L→ (-∞, +∞] 是基本意义上的一致风险度量，如果它满足s（A1）R（C）=C的所有常数C；（A2）（“凸性”）R（λX+（1- λ） Y）≤ λ·R（X）+（1- λ） ·对于ny X，Y，R（Y）∈ Landany固定0≤ λ≤ 1.（A3）（“单调性”）R（X）≤ R（Y）表示任意X，Y∈ L满足X≤ Y（A4）（“封闭性”）如果kXk- Xk公司→ 0和R（Xk）≤ 0表示所有k∈ N、 然后R（X）≤ 0；（A5）（“正同质性”）R（λX）=λR（X），对于任何λ>0和X∈ 五十、 定理1 MAXVARn（·）是一个基本意义上的同调风险度量。证据（A1）的定义显而易见。（A5）也很容易检查，因为如果X，···，Xnarei。i、 d.X和λ>0的副本，然后λX，···，λX的i.i.d.副本λX。证明（A2）。我们只需要显示MAXVARMAXVARn（X+Y）的以下子可加属性≤ MAXVARn（X）+MAXVARn（Y）十、 Y.（1）然后（1）和（A5）表示（A2）。对于任意X，Y∈ 五十、 取（X，Y），··，（Xn，Yn）asi。i、 d.二维随机向量（X，Y）的副本。也就是说，随机向量（X，Y），··，（Xn，Yn）是独立的，并且与随机向量（X，Y）具有相同的联合分布。然后是X、···、X的i.i.d.副本和Y的i.i.d.副本，Y的i.i.d.副本。接下来，我们将展示X+Y，···，Xn+yn是X+Y的i.i.d.拷贝。由于（Xi，Yi）具有与（X，Y）相同的联合分布，i=1。。。，n、 因此，xi+yi与X+Y具有相同的分布。

为了证明X+Y，···，Xn+Y是独立的，我们只需要证明对于任何t，···，tn∈ R、 P（X+Y≤ t、 ···，Xn+Yn≤ tn）=P（X+Y≤ t） ·······P（Xn+Yn≤ tn）。（2） 事实上，由于随机向量（X，Y），··，（Xn，Yn）是独立的，我们有p（（X，Y）∈ B、 ···（Xn，Yn）∈ Bn）=P（X，Y）∈ B） ······P（（Xn，Yn）∈ Bn）（3）对于任何Borel集B，···，Bn R、 特别是如果我们=（x，y）∈ R： x+y≤ ti公司对于任何1≤ 我≤ n在（3）中，我们可以得到（2）。因此，X+Y、··、Xn+yn是独立的。此外，它们是X+Y的i.i.d.副本。由于MAXVAR的定义不取决于i.i.d.副本的cho ice，因此我们有MAXVARn（X）=E（max{X，···，Xn}），MAXVARn（Y）=E（max{Y，···，Yn}），MAXVARn（X+Y）=E（max{X+Y，···，Xn+Yn}）。此外，sincemax{X+Y，···，Xn+Yn}≤ max{X，···，Xn}+max{Y，···，Yn}，我们得到maxvarn（X+Y）=E（max{X+Y，···，Xn+Yn}）≤ E（max{X，···，Xn}）+E（max{Y，···，Yn}）=MAXVARn（X）+MAXVARn（Y）。（A3）的证明。对于任意X，Y∈ L满足X≤ Y，假设X，···，X是X和Y的i.i.d.副本，Y是Y的i.i.d.副本。我们可以看到P（X≤ t）≥ P（Y≤ t） 对于anyt∈ R自X起≤ Y那么我们有MaxVarn（X）=Z-∞[P（最大{X，···，Xn}>t）- 1] dt+Z+∞P（max{X，···，Xn}>t）dt=-Z-∞（P（X≤ t） ）无损检测+Z+∞[1- （P（X≤ t） ）n]dt≤ -Z-∞（P（Y≤ t） ）无损检测+Z+∞[1- （P（Y≤ t） ）n]dt=Z-∞[P（max{Y，···，Yn}>t）- 1] dt+Z+∞P（max{Y，···，Yn}>t）dt=MAXVARn（Y）。第一个等式的详细信息如下所示。表示byF（t）=P（max{X，···，Xn}≤ t） max{X，···，Xn}的累积分布函数。ThenE（max{X，···，Xn}）=Z+∞-∞xdF（x）=-Z-∞Zxdt公司dF（x）+Z+∞Zxdt公司dF（x）（根据Fubini定理）=-Z-∞Zt公司-∞dF（x）dt+Z+∞Z+∞tdF（x）dt=-Z-∞F（t）dt+Z+∞[1- F（t）]dt。（4） 第二个等式来自F（t）=（P（X≤ t） ）n.证明（A4）。

假设Xk（k=1，2，···），X∈ 陆地kXk- Xk公司→ 0，因为k趋于完整。然后是Xk→ 分布中的X。用Fk（t）表示xk（k=1，2，····）的分布函数，用F（t）表示X的分布。然后是limk→∞Fk（t）=F（·）的所有连续点s的F（t）。这意味着limk→∞[Fk（t）]n=[F（t）]对于[F（·）]n的所有连续点，[Fk（t）]不是max{Xk，···，Xkn}的分布函数，[F（t）]是max{X，···，Xn}的分布函数，其中Xk，····，Xknare是Xk的i.i.d.副本（k=1，2，·····），X，····，Xnare是X的i.i.d.副本。因此我们有max{Xk，···，Xkn}→分布中的最大值{X，···，Xn}，且最大值（Xk）=E（最大值{Xk，···，Xkn}）→ E（max{X，···，Xn}）=当k趋于完整时，MAXVARn（X）。因此，如果MAXVARn（Xk）≤ 0表示所有k=1，2，···然后是MAXVARn（X）≤0、定理证明完成。假设R是Lto的一个函数(-∞, +∞]. 回想一下，对于所有非常数X，厌恶风险度量由公理（A1）、（A2）、（A4）、（A5）和（A6）R（X）>E（X）定义。然后我们有下一个定理。定理2如果n≥ 2，那么MAXVARn（·）是av erse。F¨ollmer和Schied[4]证明了如果R是一个连贯的、法律不变的风险度量∞（不是L）除了E（·），那么R是厌恶的，其中“定律不变量”表示当X和Y在P下具有相同的分布时，R（X）=R（Y）。由于我们现在正在考虑Lcase，我们不能直接使用F¨ollmer和Schied[4]中的结果。Wenext提供单独的证明。定理2的一个证明，对于任意X∈ 五十、 设X，···，Xnbe i.i.d.X的拷贝，那么我们有maxvarn（X）=E（max{X，···，Xn}）≥ E（X）=E（X）。另一方面，如果MAXVARn（X）=E（X）=E（X）（n≥ 2） ，thenmax{X，···，Xn}=几乎可以肯定。类似地，max{X，···，Xn}=Xalmost sure。因此，X=X几乎可以肯定。

由于X和X是独立的，我们必须让X几乎肯定等于一个常数，这相当于说X几乎肯定等于一个常数。因此，对于非常数X，MAXVARn（X）>E（X），这意味着当n≥ 2.备注。事实上，定理1和2可以在下一节中作为定理3的推论得到。详见定理3证明后的备注。然而，我们认为仅基于MAXVAR的定义提供一个基本证明是有意义的。4 MAXVAR是Var的一个连续凸组合，一个基本意义上的重要一致风险度量是Rockafellar和Uryasev推广的条件风险值（CVaR）[6]。在CVaR的几个等效定义中，最常见的可能是以下定义。CVaRα（X）=最小β∈Rβ+1- αE（X- β）+, （5） 式中（t）+=最大值（t，0）和α∈ [0，1）。在β处达到最小值*= VaRα（X），VaR（“风险价值”）定义为VaRα（X）：=inf{ν∈ R:P（X>ν）<1- α} 。（6） 在这一节中，我们证明了MAXVARn（·）是CVaR测度的某种“连续凸组合”，即MAXVARn（·）=ZCVaRα（·）wn（α）dα，其中wn（α）（α∈ [0，1]）是满足wn（α）的“权重函数”≥ [0，1]上的0和rwn（α）dα=1。具体来说，我们有下一个定理。任意X的定理3∈ 五十、 我们有maxvarn（X）=ZCVaRα（X）wn（α）dα，其中wn（α）：=n（n- 1） （1）- α） αn-2，α∈ [0，1]是权重函数。评论可以很容易地检查wn（α）≥ [0，1]上的0，且zwn（α）dα=n（n- 1） Z（αn-2.- αn-1） dα=n（n- （1）n- 1.-n= 因此，wn（α）确实是一个权函数。Cherny和Orlov[3]中提到了定理3，但没有详细说明。我们现在用所谓的“Choquet积分”给出详细的证明。首先，我们需要一个引理。

对于任何α∈ [0，1），定义fα（·）：∑→ [0，1]按以下方式，fα（A）：=1.-αP（A）如果P（A）≤ 1.- α、 1否则=gα[P（A）]，其中gα（x）：=1.-αx如果x∈ [0，1- α） ，如果x，则为1∈ [1- α、 1）。（7） 然后我们有以下引理，这意味着CVaR度量可以写为关于fα（·）的“Choquet int egr al”。任意X的引理1∈ 土地α∈ [0，1），我们有CVaRα（X）=Z-∞[fα（X>t）- 1] dt+Z+∞fα（X>t）dt。证据如果VaRα（X）≤ 0，然后Z-∞[fα（X>t）- 1] dt+Z+∞fα（X>t）dt=ZVaRα（X）1.- αP（X>t）- 1.dt+Z+∞1.- αP（X>t）dt=VaRα（X）+1- α·Z+∞VaRα（X）P（X>t）dt=VaRα（X）+1- α·E[（X- VaRα（X））+]=CVaRα（X）。上述最后一步是由于（5）和（6）。如果VaRα（X）>0，则-∞[fα（X>t）- 1] dt+Z+∞fα（X>t）dt=ZVaRα（X）dt+Z+∞VaRα（X）1- αP（X>t）dt=VaRα（X）+1- α·Z+∞VaRα（X）P（X>t）dt=VaRα（X）+1- α·E[（X- VaRα（X））+]=CVaRα（X），完成了pr oof。定理3的证明defineh（x）：=1- （1）- x） n，x∈ [0，1]。不难检查tha th（x）=Zgα（x）wn（α）dα，x∈ [0，1]，（8），其中gα（x）如（7）所定义。按（4），对于任何X∈ Lwe haveMAXVARn（X）=Z-∞[h（P（X>t））- 1]dt+Z+∞h（P（X>t））dt。（9） 通过（8），（9）和引理1，结合Fubini定理和rwn（α）dα=1的事实，我们得到MaxVarn（X）=Z-∞Z[fα（X>t）- 1] wn（α）dαdt+Z+∞Zfα（X>t）wn（α）dαdt=ZZ-∞[fα（X>t）- 1] dt+Z+∞fα（X>t）dtwn（α）dα=任何X的ZCVaRα（X）wn（α）dα∈ 五十、 根据需要。评论定理3指出，MAXVARn（·）是Var测度的连续凸组合，其基本意义上的相干性来自Ang等人[1]的命题2.1，其厌恶性来自CVaR的厌恶性（Ang等人[1]的命题4.4），以及积分的基本性质。

因此，定理3实际上可以为MAXVARn（·）的相干性和厌恶性提供一个替代性证明。5 MAXVARSinceMAXVARn（·）=ZCVaRα（·）wn（α）dα的风险包络是L上的一致风险测度，根据对偶表示定理（Rockafellar[5]），存在唯一的、非空的、凸的和闭的集Qn 五十、 称为“MAXVARn（·）”的风险包络线，使得MAXVARn（X）=supQ∈任意X的QnE（XQ）∈ 五十、 在本节中，我们旨在描述MAXVARn（·）”的风险包络。首先，重新调用以下CVaR测度离散凸组合的著名结果，可在Rocka fellar[5]中找到，其证明可在Ang等人[1]中找到。命题1设R（·）=nPi=1λiCVaRαi（·），正权重λiadding为1。THNR是基本se nse中的一致风险度量，其风险包络为（nXi=1λiQi：0≤ Qi公司≤1.- αi，E（Qi）=1，i=1，2，···，n）。命题1的连续版本给出了MAXVAR的风险包络，如下所示。定理4 MAXVAR的风险包络isQn：=clZQαwn（α）dα，0≤ Qα≤1.- α、 E（Qα）=1，α∈ [0，1）, （10） 式中，wn（α）：=n（n- 1） （1）- α） αn-2α∈ [0，1]是权重函数（0定义为1），而“cl”代表L.证明中的闭包。注意，（10）中的积分“RQαwn（α）dα”是逐点定义的。也就是说，对于任何ω，Y=RQαwn（α）dα意味着Y（ω）=RQα（ω）wn（α）dα∈ Ohm. 自0起≤ Qα≤1.- α表示任意α∈ [0，1），我们有0≤ZQα（ω）wn（α）dα≤Zn（n- 1） αn-2dα=任意ω∈ Ohm. 因此，Qn L∞ 五十、 此外，我们可以检查t hatMAXVARn（X）=ZCVaRα（X）wn（α）dα=supEXZQαwn（α）dα:ZQαwn（α）dα∈ Qn公司（11） 对于任何X∈ 五十、 此外，很容易检查Qn的凸性。由于Qnis封闭了inL，因此根据对偶表示定理，公式（11）暗示（10）是MAXVARn（·）的风险包络。确认。

我们要感谢匿名审稿人提供的有用建议，这些建议对改进手稿有很大帮助。孙杰的研究得到了澳大利亚研究委员会DP160102819的部分资助。中国国家科学基金会（No.11201150和No.11126236）和111项目（No.B14019）的资助部分支持了桥亚欧的研究。参考文献[1]M.Ang、J.Sun和Q.Yao（2017）关于一致性风险度量的双重代表，Ann。操作。Res.显示。内政部：10.1007/s10479-01 7-2441-3。[2] A.Cherny和D.Madan（2009）《绩效评估新措施》，修订版。芬南。螺柱。22、2571-2606。[3] A.Cherny和D.Orlov（2011）关于一致风险贡献的两种方法，数学。财务23557-571。[4] H.F¨ollmer和A.Schied（2004）。随机金融（第二版）。Walter de Gruyter，德国柏林。[5] R.T.Rockafellar（2007）《不确定条件下优化风险的一致性方法》，《运筹学研究教程》，第38-61页。[6] R.T.Rockafellar和S.Uryasev（2000年）。风险条件值的优化。《风险杂志》，2（3），21-42。