多周期投资组合优化的倾斜目标范围策略

在本节中，我们提出了一种两阶段LSMC方法来克服这些问题。3.1动态规划指单个时期内无风险资产的累计回报。用Rt表示=Rit公司1.≤我≤D风险资产超过无风险利率的超额收益，用Zt表示为收益预测向量。方程（2.1）中的优化问题可以表述为一个具有外生状态变量zt和一个内生状态变量Wt的随机控制问题 Rdbe是可接受的投资组合权重集。方程（2.1）中的值函数现在可以重写为vt（z，w）：=sup{ατ∈A} t型≤τ≤TE[f（WT）| Zt=z，WT=w]。（3.1）考虑投资期限[0，T]的等距离散化，表示为0=T<···<tN=T。财富过程演变为Wtn+1=WtnRf+αtn·Rtn+1, （3.2）且值函数满足以下动态规划原则：tn（z，w）=f（w），vtn（z，w）=supαtn∈AEvtn+1Ztn+1，Wtn+1|Ztn=z，Wtn=w, （3.3）式中f（w）=（w）- LW）{LW≤ w≤ UW}。3.2经典最小二乘蒙特卡洛法LSMC算法的第一部分是对所有随机状态变量的正向模拟。让Mdenote计算蒙特卡罗模拟的数量。返回预测器{Zmtn}1≤m级≤M0级≤n≤与资产异常返回{Rmtn}1≤m级≤M0级≤n≤通过一些预先确定的返回动态生成的Nare。相比之下，财富过程是一个内生状态变量，取决于投资组合权重的实现。我们遵循Kharroubi等人（2014）的控制随机化方法：我们随机生成统一的投资组合权重{αmtn}1≤m级≤M0级≤n≤N、 然后计算相应的投资组合值{Wmtn}1≤m级≤M0级≤n≤根据方程式（3.2）。LSMC算法的第二部分使用离散化过程。我们将控制空间离散化为Ad={a，…，aJ}。

我们将连续值函数Cvjt定义为在作出αtn=aj决策的条件下对后续值函数的期望∈ Ad，即CVjtn（z，w）：=evtn+1Ztn+1，Wtn+1Ztn=z，Wtn=w，αtn=aj. （3.4）因此，值函数可近似为vtn（z，w）=supαtn∈AEvtn+1Ztn+1，Wtn+1Ztn=z，Wtn=w≈ maxaj公司∈AdCVjtn（z，w）。为了计算这个值函数，我们采用反向动态规划。在时间tN，valuefunction等于^vtN（z，w）=（w- LW）{LW≤ w≤ UW}。在时间tn，假设连续值函数{CVjtn（z，w）}1≤j≤Jn+1≤n≤N-已经估计了1个。我们在当前时间CVJT为每个决策aj评估连续值函数∈ 然后我们重置投资组合权重{αmtn}1≤m级≤Mto aj，并重新计算从tN到tN的内生财富：^Wm，（n，j）tN+1=~WmtnRf+aj·Rmtn+1^Wm，（n，j）tn+2=^Wm，（n，j）tn+1Rf+arg最大值∈Adn^CVltn+1Zmtn+1，^Wm，（n，j）tn+1o·Rmtn+2...^Wm，（n，j）tN=^Wm，（n，j）tN-1.Rf+arg最大值∈Adn^CVltN-1.ZmtN公司-1，^Wm，（n，j）tN-1.o·RmtN. （3.5）式中，^Wm，（n，j）tn：=^WmtnWmtn=~Wmtn，αtn=aj，n=n，N是从tN到tN的重新计算财富，使用时间tN时的投资组合权重aj和时间tN+1时的估计最优投资组合权重，田纳西州-为了逼近连续值函数CVjtn（z，w），经典的LSMC算法对payoffs{f（^Wm，（n，j）tN）}1进行回归≤m级≤Mon{ψk（Zmtn，~Wmtn）}1≤k≤K1级≤m级≤M、 式中{ψk（z，w）}1≤k≤Kis是状态变量基函数的向量。然而，这里的主要困难在于突然的上界UW，根据我们的数值探索，这可能会在回归中造成较大的数值误差。当f将^Wm，（n，j）tn的值限制在目标范围[LW，UW]之外时，我们的回归问题看起来类似于限制回归问题，其中常用的估计方法是最大似然估计（MLE）。

然而，我们的问题与删失回归问题之间的主要区别在于，我们可以访问两个删失样本{f（^Wm，（n，j）tN）}1≤m级≤和未经检测的样品{Wm，（n，j）tN}1≤m级≤M、 因此，最大似然估计将忽略未经审查的值^Wm，（n，j）tn的信息，这些值在该估计问题中也是可见的。这一额外信息的可用性促使我们提出一种利用这一信息的两阶段回归。现在我们详细描述这项技术。3.3两阶段最小二乘蒙特卡洛法这两阶段回归工作如下：1。而不是回归收益{f（^Wm，（n，j）tN）}1≤m级≤M、 我们回归财富{Wm，（n，j）tN}1≤m级≤Mon{ψk（Zmtn，~Wmtn）}1≤k≤K1级≤m级≤Mto获得βjk，tno1≤k≤K=arg最小值β∈RKMXm=1KXk=1βkψkZmtn，~ Wmtn-^Wm，（n，j）tN！，^σjtn=vuutM- KMXm=1^Wm，（n，j）tN-KXk=1^βjk，tnψkZmtn，~ Wmtn!. （3.6）因此，终端财富可建模为^W（n，j）tN=^ujtn（z，W）+^σjtnε，^ujtn（z，W）：=KXk=1^βjk，tNψk（z，W），（3.7），其中ε是回归残差，出于演示目的，我们假设为高斯。（请注意，MLE还要求对残差分布进行假设。）Letφ（x）=√2πexp（x）表示标准正态概率密度函数，Φ（x）=Rx-∞φ（x）dx代表标准正态累积分布函数。将方程（3.7）插入连续值公式（3.4），以获得闭合形式的估计。

通过组合方程（3.4）、（3.5）、（3.6）和（3.7），我们获得了以下每个aj的连续值函数的闭合形式估计∈ 适应时间tn：^CVjtn（z，w）=E[（WtN- LW）{LW≤ WtN公司≤ UW}| Ztn=z，Wtn=w，αtn=aj]=Eεh^ujtn（z，w）+^σjtnε- LW公司×nLW≤ ^ujtn（z，w）+^σjtnε≤ UWoi公司=^ujtn（z，w）- LW公司Eε“（LW- ^ujtn（z，w）^σjtn≤ ε≤华盛顿大学- ^ujtn（z，w）^σjtn）#+^σjtnEε“ε（LW- ^ujtn（z，w）^σjtn≤ ε≤华盛顿大学- ^ujtn（z，w）^σjtn）#=^ujtn（z，w）- LW公司ΦUW- ^ujtn（z，w）^σjtn！- ΦLW- ^ujtn（z，w）^σjtn！！-^σjtnφUW- ^ujtn（z，w）^σjtn！- φLW- ujtn（z，w）σjtn！！，（3.8）通过直接积分获得最后一个等式。3、映射^αtn：（z，w）7→^αtn（z，w）和^vtn：（z，w）7→ ^vtn（z，w）由^αtn（z，w）=arg maxaj估计∈Ad^CVjtn（z，w）和^vtn（z，w）=maxaj∈Ad^CVjtn（z，w）。（3.9）综上所述，由于方程（2.2）中倾斜目标距离函数的截尾线性形状，动态规划方程（3.3）中的条件期望可以通过闭式公式（3.8）进行估计。由于回归方程（3.6）与^Wm，（n，j）tN的线性关系，这种两阶段回归比f（^Wm，（n，j）tN）的直接回归更稳健和稳定。第4.1小节描述了CRRA效用法的类似封闭形式条件值，第5.3小节说明了该两阶段LSMC方法提供的数值改进。更一般而言，这里提出的方法（3.7中的线性近似+3.8中的去中心校正）可以适应残差为非高斯的情况：这将简单地修改（3.8）中的校正项。对残差分布的选择和估计方法（经验分布、核估计、混合正态分布等）没有限制。

然而，在不丧失一般性的情况下，可以合理地假设低频交易的残差为正态，例如在第5节的数值实验中考虑了月度回报和月度再平衡。此外，通过回归{Wm，（n，j）tN}1可以很好地捕捉财富分布的特性≤m级≤{Wmtn}1的Mon基函数≤m级≤M、 产生接近正常值的回归残差。根据我们的数值实验，残差非常接近正常值。出于这些原因和演示目的，我们自此假设残差正常，并重点分析新投资目标（2.2）的影响。3.4国家相关标准偏差上一小节中的一个重要假设是，^σjt仅取决于投资组合决策aj，而不取决于国家变量（Ztn，Wtn）。本小节描述了如何改进标准偏差估计以纳入状态变量。与^ujtn（z，w）的近似值类似，与状态相关的标准偏差^σjtn（z，w）可以通过状态变量基函数的线性组合的指数来近似，^σjtn（z，w）=exp（PKk=1^ηjk，tnψk（z，w））。指数变换的目的是避免负标准差估计的可能性。然后，两阶段回归变为^W（n，j）tN=^ujtn（z，W）+ε，ε~ N0，σjtn（z，w）,^ujtn（z，w）=KXk=1^βjk，tnψk（z，w），^σjtn（z，w）=expKXk=1^ηjk，tnψk（z，w）.请注意，标准最小二乘回归不能用于估计标准偏差等不可观测变量。相反，我们使用MLE。

我们首先进行最小二乘回归以近似平均μjtn（z，w），然后通过最大化以下对数似然函数来近似对数标准偏差logσjtn（z，w）：ηZtn，Wtn，^W（n，j）tN=MXm=1-KXk=1ηjk，tnψkZmtn，~ Wmtn-（εm）膨胀-2KXk=1ηjk，tnψkZmtn，~ Wmtn,式中，^εm=^Wm，（n，j）tN-KXk=1^βjk，tnψkZmtn，~ Wmtn.我们使用Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno算法来实现此对数似然函数的最大化。在第5.3小节中，我们比较了标准偏差估计中有无状态依赖的结果。3.5上限目标作为第2节讨论的止损目标，绩效衡量中上限目标的主要目的是降低下行风险。然而，在多周期优化中，当实现的财富超过上限目标时，可能会出现一个悖论：默认情况下，投资组合优化器可能会告诉基金经理挑选最有可能下跌的资产。当Wt≥ UWR公司-（T-t） f，通过投资UWR，可以在一定程度上超越上目标-（T-t） 将大量财富注入无风险资产并取出余额Wt- UWR公司-（T-t） F远离问题。要实现这种校正，有两种方法：1。在方程（2.1）的值函数中，可以用min{T，τ}代替T，其中τ是第一个（停止）时间，使得Wτ≥ UWR公司-（T-τ） f.在时间τ（如果发生在T之前），动态优化停止：量UWR-（T-τ） 金融机构投资于无风险资产，余额Wτ- UWR公司-（T-τ） FIS取出。2、或者，可以为问题添加额外的动态控制：动态提取/消耗，例如参见Dang、Forsyth和Vetzal（2017）。为了简单起见，我们在本文中使用第一种方法。

根据我们的数值实验，我们发现实施这一止损规则不会显著影响最终财富分布，因为通常只有很小一部分财富实现超出上限。例如，我们在numericalsection中显示，约1%的实现超出了[LW=1.0，UW=1.1]的上限，而[LW=1.0，UW=1.2]的实际值超过了0%。4扩展本节将两阶段LSMC方法用于替代投资目标。我们首先描述了如何使用两阶段LSMC方法来处理CRRA效用方法，然后我们将STR的公式调整为扁平目标范围策略（FTRS），该策略纯粹是最大限度地提高实现预先指定目标范围的概率，而无需进一步尝试集结以获取利益，并将目标范围策略基于随机基准，将绝对固定目标范围替换为相对目标范围。4.1 CRRA效用在经典的LSMC方法中，E型条件预期效用[U（WT）| Ztn=z，Wtn=w]将由β·ψ（z，w）近似，当效用函数U高度非线性时，这可能会导致较大的数值误差，见Van Binsbergen和Brandt（2007）、Garlappi和Skoulakis（2009）、Denault和Simonato（2017）、Zhang等人（2019）和Andreasson和Shevchenko（2018）。提出的两阶段回归避免了这种非线性问题，大大提高了LSMC方法的稳定性。在本小节中，我们推导了CRRA效用法的两阶段持续价值估计。

这些估计涉及以下特殊函数：o伽马函数：Γ（z）=z∞tz公司-1exp(-t） dto上升阶乘：z（n）=Γ（z+n）Γ（z）o第一类反超几何函数：F（a，b，z）=∞Xn=0a（n）b（n）znn！o第二类反超几何函数：ψ（a，b，z）=Γ（1- b） Γ（a）- b+1）F（a，b，z）+Γ（b- 1） Γ（a）z1-bF（a- b+1，2- b、 z）假设终端财富的条件平均值^ujtn（z，w）和标准偏差^σjtnh已根据方程式（3.6）和（3.7）计算。然后，使用aGaussian分布实际矩的一般公式（Winkelbauer（2014）），CRRA实用程序方法中的连续值函数由^CVjtn（z，w）=E“^WtN1给出-γ1- γZtn=z，Wtn=w，αtn=aj#=^σjtn1.-γ1- γ·-我√1.-γ·ψ-1.- γ、 ，则，，-^ujtn（z，w）^σjtn！. （4.1）我们在第5.3.4.2小节“平坦目标距离策略”中使用此封闭式公式进行数值比较。STR（2.2）产生的回报分布向上回报目标倾斜。然而，还存在一些其他类型的投资组合优化问题（如生命周期和保险相关投资），对于这些问题，保持偿付能力的能力胜过对高预期回报的偏好。对于此类问题，可以将倾斜目标范围形状（2.2）调整为f（w）={LW给定的fl at target range形状≤ w≤ UW}。

（4.2）图4.1用[LW，UW]=[1.0，1.2]说明了上述方程（4.2）。然后投资组合优化问题变成svt（z，w）=sup{ατ∈A} t型≤τ≤TE[{LW≤ w≤ UW}| Zt=z，Wt=w]=sup{ατ∈A} t型≤τ≤TP[LW≤ WT公司≤ UW | Zt=z，Wt=w]，（4.3），这是一种纯概率最大化策略。保守的FTR比经典的风险价值（VaR）最小化方法更灵活：当UW=+∞, FTR（4.3）和VaR最小化实现了可比的投资结果，前者的差异是固定的绝对切分水平，后者的差异是隐含的相对切分水平。具体而言，FTRS将低于特定损失水平的概率降至最低，而VAR程序将特定损失分位数降至最低。当UW确定时，FTR为投资者提供了更大的灵活性来设计他们的风险偏好，因为在这种情况下，较低的回报目标LW是投资者明确提出的，而确定较高目标UW的选项扩大了可能的风险偏好的范围。图4.1：平坦目标距离函数如果根据方程式（3.6）和（3.7）估计了终端财富的条件平均值^ujtn（z，w）和标准偏差^σjtnhave，则延拓值函数简单地由^CVjtn（z，w）=P[{LW]给出≤ WtN公司≤ UW}| Ztn=z，Wtn=w，αtn=aj]=PεhnLW≤ ^ujtn（z，w）+^σjtnε≤ UWoi=ΦUW- ^ujtn（z，w）^σjtn！- ΦLW- ^ujtn（z，w）^σjtn！。（4.4）4.3随机基准的目标范围也可以确定相对于随机基准的回报阈值Lw和Uw，无论是股市指数、通货膨胀率、汇率还是利率。我们参考了Franks（1992）、Browne（1999a）、Brogan和Stidham Jr.（2005）以及Gaivoronski等人。

（2005）针对旨在超越随机基准的经典投资策略。用B表示随机利息基准，并将相对超额财富定义为W- B、 我们可以将目标距离函数修改为：fB（w，B）：=（w-b） {LW≤ w- b≤ UW}，（4.5）表示STR，fb（w，b）：={LW≤ w- b≤ UW}，（4.6）用于FTRS。随机基准B可以简单地建模为一个额外的外部状态变量，因此可以使用第3.5节数值试验中开发的相同方法解决这个新问题。在本节中，我们测试了倾斜目标范围策略（STRS），并说明了它如何实现投资者的范围目标。表5.1总结了用于我们数值实验的资产类别和外部状态变量。我们考虑投资于五种资产的投资组合：无风险现金、美国债券（AGG）、美国股票（SPY）、国际股票（IFA）和新兴市场股票（EEM），表5.1中列出的其他资产被用作回报预测因子。表5.1：风险资产和回报预测数据集基础数据源U。S、 债券AGG（ETF）Yahoo FinanceU。S、 股票间谍（ETF）Yahoo FinanceInternational股票IFA（ETF）Yahoo FinanceEmerging Market股票EEM（ETF）Yahoo FinanceJapanese股票NIKKEI225 Yahoo FinanceU。K、 股票FTSE100雅虎金融澳大利亚股票ASX200雅虎金融黄金现货价格世界黄金协会原油现货价格美国能源信息。管理U、 美元美元指数联邦储备日元JPYUSD联邦储备欧元美元联邦储备澳元联邦储备现金部分的年利率设定为2%。我们假设0.1%的比例交易成本，并参考Zhang et al.（2019）关于如何使用内生变量处理LSMC算法中的转换成本。