多周期投资组合优化的倾斜目标范围策略

一阶向量自回归模型根据2003年9月至2016年3月表5.1所列资产的月度对数收益率进行校准。通过对残差进行自举，一年内每月生成10000条模拟路径。两阶段回归方法近似于线性财富WT，而不是凹效用U（WT）；因此，如Van Binsbergen和Brandt（2007）以及Zhang等人（2019）所述，10000条路径的样本被视为足以达到数值稳定性。出于同样的原因，我们在算法中使用一个简单的二阶多元多项式作为线性最小二乘回归的基函数。为了简单起见，所有报告的分布都是在样本中模拟的，这在理论上可能会使估计向上偏移。在数值实验中，我们对离散控制网格使用0.2增量的网格，不允许短期出售和借用。除了第5.3小节测试依赖于状态的标准偏差外，所有其他数值实验均使用独立于状态的标准偏差。该程序是用Python 3.4.3编写的，在2.2 GHz Intel Core i7 CPU上大约需要两个小时才能完成M=10000条路径、12个时间步、13个状态变量、二阶多项式基和五维投资组合的0.2控制网格的计算。5.1财富分配图5.1提供了使用STRS时终端投资组合价值估计分布的一些示例。我们还记得，投资组合价值W和界限[LW，UW]是由初始财富来衡量的，因此在不丧失一般性的情况下，我们假设W=1.00。较低的目标LW设定为初始财富水平1.00，这是一个自然选择，代表投资者对资本保护的偏好。

测试了四个不同的上部目标：1.05、1.10、1.20和1.30。图5.1：使用STR的终端财富分布图5.1中可以对STR产生的终端财富分布的形状做出一些评论。最引人注目的观察结果是，STR确实将大部分财富实现限定在预先确定的目标范围内，对于较低的上限目标水平UW=1.05和UW=1.10，财富分布在某种程度上模拟了倾斜目标范围函数（2.2）的形状，使得下行风险可以忽略不计。这表明两阶段LSMC算法确实能够正确处理突然不连续的Payoff函数。尽管第3.5小节中描述了第一次修正，但仍有一些财富变现高于上限，这可能是由于月度再平衡的离散时间性质造成的（在一个月内可能会发生大幅上升，之后风险投资会立即停止，如第3.5小节所述）。图5.2：预计使用STRAS的财富分布的时间演变，将上限目标UW设置为更高的水平，会产生更高的预期终端财富，具有更高的标准差和更大的下行风险（通过损失资本的概率衡量）。同时，上目标UW越高，终端财富分布越难向上目标倾斜。关于超出目标范围的尾部，两个较低的较高目标水平UW=1.05和UW=1.10产生较大的右尾部，而两个较高水平UW=1.20和UW=1.30产生较大的左尾部，这与UW越大，投资者为获得较高回报而愿意承担的风险越高这一事实相一致。

这说明STR能够满足不同的风险偏好。需要监控的一个有趣的量是比率R：=（E【WT】- LW）/（UW- LW）测量相对于目标范围的预期性能E【WT】的位置：R=0%表示E【WT】=LW，而相反的R=100%表示E【WT】=UW。在图5.1的实验中，R是UW的递减函数，从UW=1.05的R=72%下降到UW=1.30的R=38%。这说明了一个自然的事实，即期望的上限目标越高，实现它就越困难。所提议策略的一个明显缺点是，当上下目标都设置为相对较高的水平（例如LW）时，左尾相对较长≥ 1.00和UW≥ 1.20。图5.2显示了整个投资期内财富分布的时间演变（0.05%至99.95%），对于[LW=1.0，UW=1.1]（左上图）、[LW=1.0，UW=1.2]（右上图）、[LW=1.0，UW=∞] （左下面板）和[LW=0，UW=∞] （右下图），其中最后一个策略相当于在不考虑风险的情况下最大化预期的终端财富。结果表明，与UW=∞ 在底部面板中。一旦，由于上行潜力和下行风险自然交织在一起，当上目标设定为非常高的水平时，就无法很好地防范下行风险，如[LW=1.0，UW=∞] 示例（左下面板）。5.2敏感性分析和LW的选择下一个实验是对预期的终端财富、标准偏差和STR界限的下行风险进行敏感性分析。

图5.3显示了预期终端财富（E【WT】，Firstrow）、终端财富的标准偏差（SD【WT】，第二行）和下行风险（P【WT<1】，第三行）是如何受到上限UW（左列）和下限LW（右列）变化的影响的。图5.3的左栏显示了预期E【WT】、标准偏差SD【WT】和下行风险P【WT<1】如何随着UW的增加而增加，尽管P【WT<1】的UW=1.5左右达到了一个平台，而E【WT】的UW=1.8左右达到了一个平台。在右栏中，我们可以看到，当Lw远离初始财富W=1.0时，标准偏差SD【WT】和下行风险P【WT<1】都会增加。当LW>1.0时，两种风险度量都会随着| LW而增加-W |由于在交易期开始时需要额外的风险，迫使投资组合价值从W=1.0增长到较低的目标LW>W=1.0。当LW<1.0时，两种风险度量也会随着| W而增加- LW |由于缺乏即时损失处罚。然而，LWon e【WT】的净影响几乎可以忽略不计。因此，这些观察结果表明，LW=W=1.0是目标区间下限的合适选择，从中可以根据投资者的风险偏好和回报要求设置上限Uw。图5.3：灵敏度分析w.r.t.目标边界5.3模型验证以下实验旨在通过与classicalLSMC方法的比较验证两阶段LSMC方法。我们首先研究了CRRA效用优化示例。已经注意到，当效用函数高度非线性（高风险厌恶）时，模拟和回归方法可能会产生较大的数值误差，例如Van Binsbergen和Brandt（2007）、Garlappi和Skoulakis（2009）和Denaultand Simonato（2017）。

我们将两阶段LSMC方法和经典LSMC方法应用于CRRA效用优化，然后比较得到的初值函数估计值^v=MPMm=1（^WtN）1-γ/（1）-γ） 为期一年，每月重新平衡。继Zhang等人（2019）之后，我们选择M=10000条样本路径，以确保解的数值稳定性。对于经典的LSMC方法，我们将效用函数本身作为回归基础的一部分，以便回归基础可以在一定程度上调整为风险规避参数。图5.4显示，当γ值较高时，经典LSMC方法变得不稳定，而两阶段LSMC方法收敛得很好。在我们的实验中，两阶段LSMC方法可以很好地逼近CRRA效用优化方法，达到γ=100。图5.4：两阶段LSMC与CRRA效用的经典LSMC相比，我们将我们的两阶段LSMC与解决STR的经典LSMC进行比较。为了检查异方差残差的可能性，我们校准了第3.4节所述的状态相关标准偏差σ（z，w），并将其与标准偏差仅取决于投资组合决策的原始两阶段LSMC方法进行比较。特别是，我们使用简单的线性基来近似对数标准差。图5.2显示，与经典的LSMC方法相比，两阶段LSMC方法显著改善了估计值和收益分布，而使用状态相关的标准偏差并不能显著改善结果，这表明同质残差的假设是合理的。表5.2：两级LSMC v.s。

STRS的经典LSMC经典LSMC两级LSMC两级LSMC+σ（z，w）Lww^vE[WT]SD[WT]P[WT<1]vE[WT]SD[WT]P[WT<1]vE[WT]SD[WT<1]1 1.1 0.0058 1.1571 0.1847 0.1244 0.0574 1.0596 0.0272 0.0028 0.0475 1.0499 0.0318 0.00951 1.2 0.0292 1.1609 0.1709 0.1077 0.0922 1.0883 0.0405 0.0128 0.0904 1.0867 0.0405 0.01221 1.3 0.0608 1.1631 0.1542 0.0832 0.1190 1.1126 0.0588 0.0178 0.12391.1164 0.0609 0.01921 1.4 0.0918 1.1663 0.1597 0.0656 0.1393 1.1296 0.0832 0.0244 0.1446 1.1351 0.0893 0.02861 1.5 0.1199 1.1692 0.1625 0.0503 0.1578 1.1449 0.1078 0.0299 0.1596 1.1491 0.1165 0.03211 1.6 0.1455 1.1721 0.1641 0.0454 0.1718 1.1563 0.1264 0.0352 0.1728 1.1596 0.1359 0.04131∞ 0.1903 1.1743 0.1652 0.0483 0.1934 1.1684 0.1635 0.0423 0.1938 1.1688 0.1625 0.04465.4 STRS和CRRAWe现在将STRS与CRRA效用优化方法进行比较。关于这一比较，我们的主要发现是，对于CRRA效用法的每个风险规避水平γ，可以找到一个目标范围【LW，UW】，这样STR可以提供类似的预期，但标准差较低，下侧风险较低。如图5.5所示，[LW，UW]=[0.93，1.53]的STR如何优于γ=10的CRRA效用方法。尽管STR的统计时刻更好，但与CRRA效用法相比，STR的短尾短尾可被视为我们方法的一个缺点，尽管与CRRA效用法相比，放弃一些上行潜力是下行风险保护得到改善的原因。图5.5：终端财富分布：STRS和CRRATo之间的比较提供了更全面的比较，我们现在报告了两种风险回报权衡：平均方差边界和回报与下行风险之间的权衡。

图5.6显示了三个月投资期内STR（针对LW和UW的不同组合）和CRRA效用方法（针对不同γ水平）的有效前沿。结果表明，STRS和CRRA效用方法具有相似的均值-方差有效前沿，而STRS提供了更好的下行风险-回报权衡。请注意，当风险规避参数很小（风险中性）或很高时，STRS和CRRA效用法产生类似的结果，而对于中间风险规避水平，STRS更可取。图5.6：与CRRA的比较：风险-回报权衡一个理论证明，与传统效用策略相比，STR的效率更高，这将有助于证实我们的数字结果。然而，例如，考虑到很难用一个更简单的下行风险最小化目标为单个交易期推导出明确的时间分配（Klebaneret al.2017），理论上无法证明STR比经典效用策略更有效。因此，我们将这个问题留作进一步研究。5.5扩展本小节讨论了第4节所述的修改目标范围策略产生的财富分布。图5.7提供了LW=1.0和UW=1.05、1.10、1.20和+∞. 主要观察结果是，正如预期的那样，最终财富位于预定范围之外的概率【LW，UW】小于STR（参考图5.1进行比较）。这是FTR的主要优势：下行风险保持在最低水平，而这种安全的代价是无法产生高回报。

最后，财富分布对UW的选择不太敏感：即使UW=∞, 鉴于缺乏追求高回报的动机。理论上，如果想要最大化终端财富位于目标范围内的概率，下限LW=1.0，上限UW足够大，那么最佳决策应该是将所有资本分配给无风险资产。然而，从数字上看，很难保证在任何时候、任何途径都能完全配置无风险资产。直觉上，原因如下：对于主要分配给无风险资产的投资组合，大部分（如果不是全部的话）终端财富变现将在目标范围内，这使得价值函数在这些对流投资组合分配中浮动且几乎不变。图5.7：使用FTRS的终端财富分布图5.8提供了以被动等权重投资组合为基准的相对目标范围策略（RTRS）的一些示例。投资组合价值低于基准投资组合的可能性很小（约6%- 超额收益分配为8%），但高于绝对目标提供的收益。原因是被动等权重基准已经提供了较高的预期回报，因此，要想跑赢这一目标，需要承担比之前绝对回报目标示例中所需的风险更大的风险。图5.8：具有相对目标范围策略的超额终端财富分布访问STR（顶行）和FTR（底行）的财富分布6结论本文介绍了投资组合优化问题的倾斜目标范围策略（STR）。TRS使预期投资组合价值最大化，同时将大部分回报分布限制在预定范围内。

这一联合目标是通过无约束优化公式实现的，该公式以更简单的方式实现了与更复杂的约束优化方法预期的结果相似的结果。为了说明STRS的有效性，我们研究了一个多周期投资组合优化问题，并提出了一种两阶段最小二乘蒙特卡罗（LSMC）方法来处理新的目标函数。两阶段回归法也可用于一般投资目标，如平滑常数相对风险规避（CRRA）效用。我们表明，与直接回归相比，这种回归方法大大提高了LSMC算法的数值稳定性。我们表明，与CRRA效用法相比，STRS实现了类似的均值-方差边界，同时提供了更好的下行风险-回报权衡。我们发现，目标范围下限的建议水平是初始投资组合价值，在该水平上，最终投资组合价值的标准差和下行风险被略微最小化。由此，可以根据风险偏好设定目标范围的上限。此外，STR使用的无约束优化公式建立在指标函数的基础上，有可能对其他动态风险度量（如已实现波动率或最大提取）纳入额外的范围约束。这是我们希望在未来研究中调查的一个领域。致谢作者感谢陈文博士和两位匿名裁判的宝贵评论和评论。参考文献：Agarwal，V.和N.Y.Naik（2004）。涉及对冲基金的风险和投资组合决策。金融研究回顾17（1），63–98。Alexander，G.J.和A.M.Baptista（2002年）。使用均值-VaR模型进行投资组合选择的经济意义：与均值-方差分析的比较。

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