两阶段随机国际投资组合优化

形式上，VaR相对于投资组合的权重w为一个密集的β级∈ （0，1）由最小的α给出，使得损失fL（w，ξ）超过α的概率最多为1- β如下：VaRβ（w）=inf{α：Φ（ξ，α）≥ β} 。然而，根据其定义，VaR并不能区分持有以外的损失程度。此外，VaR的非凸性意味着最小化VaR不能保证全局最小。此外，Rockafellar和Uryasev[38]解决了VaR的缺点，即在处理非正态分布时，VaR不稳定且难以进行数值处理。所有这些缺点使得VaR不能作为投资组合优化问题的适当风险度量。Artzner等人[4]提出了风险度量的理想特性，从而提出了一致的风险度量。估计预期损失大于VaR的条件风险值（CVaR）满足一致性的所有标准。从形式上讲，CVaR与投资组合分配有关，在置信水平β∈ （0，1）由CVaRβ（w）=1定义- βZfL（w，ξ）≥VaRβ（w）fL（w，ξ）p（ξ）dξ。（9） 注意，fL（w，ξ）超过VaR的概率累计为1- β。VaR和CVaR之间的关系如图1所示。Rockafellar和Uryasev【37】引入了一个辅助函数来计算VaR和CVaR，如下所示：Fβ（w，α）=α+1- βZfL（w，ξ）≥αfL（w，ξ）- αp（ξ）dξ，=α+1- βE[fL（w，ξ）- α+] （10） 其中，E[·]是一个期望运算符fL（w，ξ）- α+= 最大值fL（w，ξ）- α、 0个. 实际上，真实节理密度p（ξ）通常未知，需要估计。p（ξ）的Adiscrete近似通常用于表示组合收益的联合密度。相应地，（10）中Fα（w，α）的相应近似值给出了s=1。

，N iseFβ（w，α）=α+（1- β） NNXs=1fL（w，ξs）- α+（11） 近似CVaR值EFβ（w，α）的函数可以通过替换fL（w，ξs）- l+使用人工变量esaseFβ（w，α）=α+（1- β） NNXs=1es（12），其中≥ fL（w，ξs）- α、 （13）es≥ 0。（14）当将CVaR应用于优化问题时，如[37]所示，如果损失函数为正态分布，则均值CVaR和均值方差组合产生相同的有效边界。然而，当潜在分布是非正态和不对称的时，这两种方法之间可能会出现差异，因此在本文中很重要。ProbabilityPortfolio lossVaR最大损失1- βCVaR图1：风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）。CVaR代表预期损失，参见第2.4节。货币叠加在本节中，我们根据之前在查桑加和帕克斯的工作，提供了货币叠加的背景，其中可以找到更多细节。当一个投资组合投资于几个货币不同的国家时，投资组合价值由两个因素决定。一个来自资产价格加上股息或其他利率收入，另一个来自汇率损益。因此，每个国家的投资都被描述为资产市场风险敞口和汇率风险敞口的组合。以这种方式构建投资组合可以灵活调整外汇头寸产生的货币风险。对货币敞口进行的分析被视为货币叠加，可以修改未对冲投资组合的现状货币头寸。货币叠加被定义为组合中货币敞口与资产负债的偏差。这种偏差是通过持有外汇远期合约（FX forwards）造成的，外汇远期合约被广泛用于管理货币风险[14]，并有多种货币对。

持有每对远期合约会增加一种货币的头寸，减少另一种货币的风险敞口。例如，欧元兑美元远期头寸为投资组合价值的1%，则欧元敞口增加1%，美元敞口减少1%。由于每个远期合约只涉及一对货币，如果有C个国家可以投资，那么就有K个国家=C[[AJP：注：使用“binom”工作无误]]总共有不同的远期合约。fk JR表示的远期头寸表示第K个远期合约在每种货币中增加或承担的额外风险。由于一对货币的风险敞口在以投资组合的基础货币进行估值时是相等的，因此严格要求PJFK j=0表示所有k=1。。。，K、 将fk=（fk1，…，fkC）表示为所有可能远期合约的敞口向量，之前的要求意味着只有两个fk元素表示敞口，其中一个元素等于另一个的负值，而其余元素仅取零值。为了避免将这些要求置于优化问题的约束中，我们定义了一个矩阵F，其中fk jr表示其元素，fk表示其行。然后，矩阵F由：Fdef=T构造o （1吨 q） （15）其中o 是哈达玛产品运营商， 是Kronecker乘积算子，T是K×C组合矩阵{-1，0，1}，1是1的C×1列向量，q=（q，…，qK）是确定曝光大小的K×1列向量。三元变量的组合矩阵T是通过首先指定一个大小为K×C的零矩阵，然后表示一个包含所有组合对的集合DC. 在T的每一行中，D中每对的第一个成员指定值为1的元素，第二个成员指定值为-1的元素。

表1列出了具有货币重叠的国际投资组合的结构。假设一位投资组合经理计划投资于C国的资产类别，那么投资组合中的资产和货币敞口可以如表1所示用以下符号表示：i资产类别指数；i=1。。。，Aj国家指数，或同义货币；j=1。。。，Ck远期合约指数k=1。。。，Kai对jfk国i类资产的敞口（分配）合同K对国家（货币）j国1··j国··国家CAsset 1类a··a1 j··a1C的远期头寸（分配）。。。。。。。。。。。。。。。。。。资产类别i▄ai1▄▄▄▄▄▄▄▄ai j▄▄▄▄▄▄▄▄▄aiC。。。。。。。。。。。。。。。。。。资产类别AaA1····aA j······AAC前进位置1 f··f1 j···f1C。。。。。。。。。。。。。。。。。。前锋位置k fk1··fk j··fkC。。。。。。。。。。。。。。。。。。前进位置K fK1··fK j··fKCAsset exposureAPi=1ai1··APi=1ai j··APi=1aiC叠加位置KPk=1fk1··KPk=1fk j··KPk=1FKCCURRENY exposureAPi=1ai1+KPk=1fk1··APi=1ai j+KPk=1fk j··APi=1aiC+KPk=1fkCTotal overlayCPj=1KPk=1fk j表1：具有货币叠加的多货币投资组合的结构。2.5。外汇远期结转成本本节介绍了与【9】所述组合中远期合同相关的成本背景，其中可以找到更多详细信息。在我们的投资组合中，可以从多个外汇远期中创建货币叠加。因此，在确定投资组合的回报和风险时，与持有货币叠加相关的成本非常重要。

除了购买或出售资产产生的交易成本外，持有远期合约也会产生远期合约中相应货币的利率差异成本，称为“结转成本”。即期汇率和远期汇率之间的关系由各自货币对的利率差异决定。其想法是，购买远期合约相当于现在购买标的资产，并支付“结转”直至合约结束。根据[9]，持有外汇远期合约的结转成本可以通过结转成本=ibuy来计算- isell（16），其中isellis是一个国家的利率，一个人想出售货币以购买另一种货币，而ibuyis是一个人想购买的国家的利率。签订远期合同会产生结转成本，结转成本可能为正，也可能为负，具体取决于利率差异。考虑一个持有三个外汇远期的投资组合，如表2所示。每份远期合约的结转成本取决于卖出或买入哪种货币、相应的利率以及投资组合的头寸。例如，以投资组合的1%出售日元换美元等于1%×2%的正结转- 1%×1%=投资组合的0.01%。然而，以英镑换日元会产生负利差-2%×4%+2%×1%=-0.06%，因为风险敞口从高利率国家转移到低利率国家。总叠加头寸为投资组合的8%，三份远期合约的正结转为0.13%。

该套利金额被添加到投资组合的总回报中。美元英镑日元结转利率成本（%）2卖出日元，买入美元（%）1-1 0.01卖出美元，买入英镑（%）-9 0.18卖出英镑，买入日元（%）-2-0.06叠加（%）-8 7 1 0.13表2：与外汇远期合约相关的结转成本。粗体数字表示投资组合中的头寸（百分比）。每种货币的总货币叠加头寸是根据相应货币的净远期头寸计算的。持有每份远期合约的结转成本是利率和远期头寸相对于远期合约相关货币的加权总和。从表2中可以看出，结转的净成本实际上是利率和超额头寸的产物。对于在任何国家j的投资，总回报贡献于投资组合isrj=~ajraj+cjrcj+vjij（17），其中RJ是在国家j的投资总回报；aj、CJ和vjare分别为资产风险敞口、货币风险敞口和j国的叠加头寸；raj、rcjand和Ij分别是j国的预期资产回报、预期货币回报和预期利率。由于叠加头寸定义为货币和资产敞口的差异，方程（17）可以等效表示为Rj=~ajraj+cjrcj+（cj- aj）ij=aj（raj- ij）+cj（rcj+ij）。（18） 我们定义raj- IJ和rcj+IJ分别为调整后的资产收益率和调整后的货币收益率。方程式（18）表明，投资组合总回报（资产回报、货币回报和外汇远期结转成本）等于调整后回报、资产风险和货币风险的乘积。这意味着，为了计算投资组合的总回报，不需要明确表示叠加头寸。

此外，如果投资组合没有远期合约，则方程式（18）中的利率项将被取消，表明方程式（18）中的公式概括了国际投资组合的总回报计算。与资产和货币回报类似，利率也不是随时间而恒定的，因此需要在计算投资组合风险时考虑利率的波动性。根据国际投资组合的回报计算，我们在生成情景之前，应用方程式（18）调整回报时间序列。3、方法学3.1。下面描述了使用常规Vine Copula依赖结构生成场景的过程，以生成本文中优化问题的场景。附录B.1中展示了使用以下方法在三个变量上使用R-Vine copula生成场景的示例。边际分布建模——给定金融收益时间序列形式的经验数据，我们分别为每个时间序列设置可逆的经验分布，并估计边际概率分布函数（PDF）。我们采用核密度估计（KDE）来估计回归时间序列的经验PDF。为了近似随机变量的概率密度函数f，i=1，n假设我们有m个独立观测值ξi1，ξi在每个随机变量上，用于估计点x处密度值的核密度估计器定义为f（ξi）=mhmXj=1Kξi j- ξih！（19） 其中K表示所谓的核函数，h表示带宽。在我们的研究中，我们选择Epanechnikov核作为核函数，并根据Silverman的经验法则选择最佳带宽[40]。每个收益率序列的经验累积分布函数（CDF）可由估计的PDF生成，如下所示：F（ξi）=Xξi j≤ξif（ξi j）。

（20） 得到的CDF在区间[0，1]上是一致的，并且是acopula函数的输入参数。在下面的内容中，我们用ui表示随机变量i的CDF。2、估算常规vine copula——为了将R-vine copula拟合到给定的数据集，Dissmann等人【11】概述了如下步骤：（a）选择R-vine结构，即选择用于PCC的无条件和条件对。（b） 将一对copula族拟合到（a）中选择的每一对。（c） 估计每个copula对应的参数。在我们的研究中，Dissmann【10】开发的一种逐树拟合R-Vine树的顺序方法被用于估计R-Vine copula。模型估计中涉及的双变量copula族包括椭圆（Gaussianand Student-t）和阿基米德（Clayton、Gumbel、Frank、Joe、BB1、BB6、BB7和BB8）copula，以覆盖广泛的可能依赖结构。对于阿基米德copula族，还包括旋转版本，以便覆盖负相关性。[19]和[34]提供了双变量copula家族的详细信息。在我们的研究中，使用R上的VineCopula包来估计R-Vine模型[39]。这一步的结果提供了最适合给定数据的二元copula和条件二元copula（关于R-Vine结构）的精确组合。3、从常规葡萄树密度中取样-我们遵循[11]中的R-葡萄树取样方法。此步骤从采样u开始，unwhich在[0，1]上独立且一致，然后设置ξ=u，ξ=F-12 | 1（u |ξ），ξ=F-13 | 12（u |ξ，ξ），。。。ξn=F-1n | 12。。。n-1（un |ξ，…，ξn-1） （21）其中F-1j | 12。。。j-1（un |ξ，…，ξj-1） 对于j=1，n是（7）的倒数。（21）产生依赖ξ，ξn这相当于随机变量Ξ，…，的一种情况，Ξn.为了生成n个场景，u的随机抽样。

，未重复N次。3.2。两阶段随机国际投资组合优化模型3.2.1。符号制定优化模型时使用的符号按其类型分类，并在单独的表格中显示。表3提供了优化模型中参数的符号。这些值是任意设置的，可以根据个人偏好进行调整。表4显示了与交易成本相关的变量的符号。可变成本是从市场数据中提取的，而固定成本是任意设定的。表5显示了有助于计算能力函数和约束的辅助变量。表6显示了相关的决策变量。请注意，在表5中，ai jdenotes是指j国i类资产的最终单位，其来自于表1前面定义的相应风险敞口。