综合风险资本计算的参数不确定性基于

，x（j）n（j））从Xj中提取。设uj=n（j）n（j）Xi=1x（j）i和σj=n（j）- 1n（j）Xi=1（x（j）i- x（j））。因此，^uj=uj+σjpn（j）·ζjand^σ=σ·Mj（4），具有独立的随机变量ζj~ N（0；1）和Mj~χ（n（j）-1） n（j）-1，1≤j≤ m、 按照【6】中介绍的反演方法，通过求解（uj，σj）的方程（4）并使用独立的建模随机变量ζj~ ζjandMj~ Mj，1≤ j≤ m、 我们推导出usimj=uj-σsimjpn（j）·ζjand（σsimj）=σjMj。因此，模型子风险定义为yj=usimj+σsimj·Zj，1≤ j≤ M带i.i.d Zj~ N（0；1）。所有随机变量Zj、ζj、Mj、Zj、ζjand和Mj相互独立。注意，ζjand mj的独立性是由以下事实决定的，即估计值ujandσjare是独立的随机变量（[10]，第214-216页）。强调建模子风险对数据的依赖性（x（j），x（j）n（j））104多元正态分布我们也使用符号Yj=Yj（x（j），x（j）n（j））。反演方法为次级风险提供了一个合适的风险资本模型（参见[6]）。然而，根据备注3.1，仅定义Ysum：=Pjyjj不会产生适用于整体风险的适当风险资本模型。因此，我们引入以下校正因子：设置λj=σj·n（j）+1n（j）Pmk=1σk·n（k）+1n（k）和λj=σj·n（j）+1n（j）Pmk=1σk·n（k）+1n（k）（5），并定义随机校正因子sim：=XλjMj·XλjMj！-=P^σj·n（j）+1n（j）P（σsimj）·n（j）+1n（j）·PλjMj！。阿西米斯的这种选择是基于以下定理。定理4.1。设Xsum=pxjan并定义建模风险Ymodsum=Ymodsum（{（x（j），…，x（j）n（j））：1≤ j≤ m} ）byYmodsum：=（1）- asim）·X^uj+asim·XjYj（X（j），x（j）n（j））。设置RCα；nx（j），x（j）n（j）: 1.≤ j≤ mo；摩登派青年:= F-1Ymodsum（α）。这定义了一个适当的风险资本模型，其中考虑了参数的不确定性，即Xsum≤ 钢筋混凝土α；nX（j），X（j）n（j）: 1.≤ j≤ mo；摩登派青年= α。证据

具有独立随机变量Z，ζ~ N（0；1）我们有ymodsum=（1）- asim）·X^uj+asimXYj~X^uj+asim·X-σsimjpn（j）·ζj+σsimj·Zj！~X^uj+asim·sX（σsimj）+X（σsimj）n（j）·Z=X^uj+vuutP（j）+1n（j）P（σsimj）n（j）+1n（j）·PλjMj·sX（σsimj）·n（j）+1n（j）·Z=X^uj+vuutPσj·n（j）+1n（j）·P^σj·n（j）+1n（j）Pσj·n（j）+1n（j）Pσj·n（j）+1n（j）·Mj·Z=Xuj+sXσjn（j）·ζ+vuutPσj·n（j）+1n（j）·Pσj·n（j）+1n（j）·MjPσj·n（j）+1n（j）·Mj·Z其中Mj：=σj/σjis aχ（n（j）的实现- 1） /（n（j）- 1） 分布随机变量Mjandζ：=P（uj-uj）/qPσj/n（j）是标准正态分布随机变量ζ的实现。设σsum=Pσjand setG（{（x（j），…，x（j）n（j））：1≤ j≤ m} ）=FYmodsum（{（x（j），…，x（j）n（j））：1≤j≤m} ）（Xsum）。我们考虑随机变量GnX（j），X（j）n（j）: 1.≤ j≤ mo公司. 通过一些利用正态分布性质的代数运算，它的多元正态分布如下nX（j），X（j）n（j）: 1.≤ j≤ mo公司= FPuj+rPσjn（j）·ζ+vuutPσj·n（j）+1n（j）·Pσj·n（j）+1n（j）·MjPσj·n（j）+1n（j）·Mj·ZXuj+σsumZ~ FvuutPσj·n（j）+1n（j）Pσj·n（j）+1n（j）·Mj·Z-qPσjn（j）·ζ+qPσj·ZqPσj·n（j）+1n（j）·Mj~ FvuutPσj·n（j）+1n（j）Pσj·n（j）+1n（j）·Mj·ZvuutPσj·n（j）+1n（j）Pσj·n（j）+1n（j）·Mj·Z.因此GnX（j），X（j）n（j）: 1.≤ j≤ mo公司在[0；1]上均匀分布。因此，PXsum≤ 钢筋混凝土α；nX（j），X（j）n（j）: 1.≤ j≤ mo；摩登派青年= PGnX（j），X（j）n（j）: 1.≤ j≤ mo公司≤ α= α。备注4.2。1、注意，该方法通过取Mj类似于σ的最大似然估计~χ（n（j）-1） n（j）。2、注意σmodj：=asim·σsimjandumodj：=^uj+σmodj√n（j）·ζjde根据建模风险Ymodj=（1）确定参数分布-asim）·^uj+asim·Yj。由于ASIMT的乘法，建模的模拟标准偏差σmod和σmod并不不相关，但在实际应用中，相关性可以忽略不计。

尽管存在这种相关性，但随机变量Yjare仍然不相关。备注4.3。在实践中，权重λjand因此调整为asimareunknown。因此，我们使用估计值^λjofλj（参见方程（5））。我们用λjin代替λjby^asim来逼近asim。设^Ymodsumbe相应的建模风险和setRC（α；{（x（j），…，x（j）n（j））：1≤ j≤ m} ；mod）：=F-1^Ymodsum（α）。对于m=2，第14页的表3显示了概率（Xsum≤ RC（α；{（X（j），…，X（j）n（j））：1≤ j≤ m} ；mod）），对大小为n（j）=njof eachsubrisk X（j）i，1的样本进行10000次模拟≤ j≤ m、 以及10000次建模风险模拟，以确定混合随机变量^Ymodsum的α-分位数。备注4.4。定理4.1的断言可以推广到具有已知相关ρij的相关子风险的多元正态分布。我们假设观测数据显示出相同的相关性ρijand，但随机变量xjian和xkla在不同时间点不相关。然后，我们对随机变量zjan使用相同的相关性ρij，并调整相关性ρij·min（n（i），n（j）√n（i）n（j）对于随机变量ζjt，考虑不同时间序列的长度。相关性不影响随机变量Mj。该程序与具有独立子风险的情况类似。

我们只需调整校正系数asim：确定广义权重λij=ρijσiσj·1+分钟（n（i），n（j））n（i）n（j）Pmk，l=1ρklσkσl·1+分钟（n（k），n（l））n（k）n（l）和λij=ρijσiσj·1+分钟（n（i），n（j））n（i）n（j）Pmk，l=1ρkl^σk^σl·1+分钟（n（k），n（l））n（k）n（l）和setasim：=mXi，j=1^λijqMiMj·mXi，j=1λi，jqMiMj-=Pmi，j=1ρij^σi^σj·1+分钟（n（i），n（j））n（i）n（j）Pmi，j=1ρijσsimiσsimj·1+分钟（n（i），n（j））n（i）n（j）·Pmi，j=1λijqMiMj.14 4多变量正态分布xxxxxxxxxn，n参数σσα解模概率（非建模）参数不确定性n=101 0190，00%90,01%（87,41%）1 89,97%（88,12%）1 2 90,01%（87,88%）1 0195，00%94,96%（92,49%）1 95,06%（93,28%）1 2 94,96%（93,02%）1 0199，00%99,00%（97,36%）1 1 99,07%（98,02%）1 2 99,01%（97,81%）1 0199，50%99,50%（98,22%）1 1 99,54%（98,78%）1 2 99,49%（98,61%）2·n=n=101 0190，00%89,97%（84,75%）1 90,08%（87,18%）1 2 90,08%（87,57%）1 0195，00%94,92%（89,73%）1 95,07%（92,38%）1 2 95,04%（92,74%）1 0199，00%98,79%（95,07%）1 99,05%（97,42%）1 2 99,05%（97,62%）1 0199，50%99,31%（96 1 1 99,53%（98,30%）1 2 99,54%（98,46%）2·n=n=201 0190，00%90,02%（87,40%）1 1 90,03%（88,59%）1 2 90,09%（88,81%）1 0195，00%95,01%（92,48%）1 95,05%（93,74%）1 2 95,14%（93,91%）1 0199，00%99,01%（97,35%）1 1 99,02%（98,31%）1 2 99,04%（98,38%）1 0199，50%99,50%（98,21%）1 99,50%（99,00%）1 2 99,51%（99,05%）表3：-1^Ymodsum（α））表示u、u、σ、σ、n、nandα的不同值。我们总结了本小节的结果：上述算法包括三个步骤：1。使用反演方法计算风险资本F-1Yi（α），i=1，m、 对于子风险。2、确定^asim的路径值。3、推导聚合变量^Ymodsum=（1）的路径实现-^asim）P^uj+^asimpyjan并计算总体风险资本F-1^Ymodsum（α）。注意：1。

根据定义2.2，建模子风险将为单个子风险Xi建立适当的风险资本模型。因此，我们的方法允许适当评估子风险的风险资本。2、使用随机修正系数asimin定理4.1进行调整，我们根据定义2.2得到了适用于整体风险的适当风险资本模型。因此，综合风险资本模型在定义2.2的意义上是合适的。然而，真实因子sim需要了解真实参数σjresp。λj.3。在总体风险水平上，使用^asiminsteadof Asimca的近似值无法证明在严格意义上的定义2.2是（准确）合适的。然而，表3中的实验结果表明，所需的置信水平通常在良好的近似值下达到。只有在样本量非常小且标准偏差比率与1显著不同的情况下（c.f.2n=n=10，σ=1=10·σ，α=99.5%），才有可能显著低于要求的置信水平。但即使对于这种例外情况，结果也比没有建模参数不确定性要好得多。5结论该贡献涉及基于风险资本计算的综合风险价值背景下的参数不确定性。我们提供的证据表明，在声明定义2.2的意义上，每个子风险的风险资本模型的适当性并不意味着总体风险资本模型的适当性。然后，我们提出了一种新的方法来模拟总风险由Xsum=pxi给出的情况下的风险资本要求，其中（X，…，Xm）是多变量正态分布的。在定理4.1中，我们证明了它为单个子风险以及基于子风险模型分布的总体风险生成了适当的风险资本模型。

为此，我们必须引入随机校正因子asim，它需要未知参数的知识，因此被估计值^asim代替。在表3中，我们给出了使用近似^asim的实验结果。我们的文章迈出了建立风险资本模型的第一步，该模型考虑了参数的不确定性，同时达到了总体风险和所有子风险所需的解决概率。我们希望它能鼓励今后在这方面的研究。然而，是否有可能定义模型化风险变量，即每个模型化子风险为单个子风险生成一个合适的风险资本模型，Ysum=PYIS，这仍是一个悬而未决的问题。Ysum=PYIS是整体风险XSUM的一个合适的风险资本模型。此外，我们的解决方案只适用于多元正态分布。其他与实践相关的分布的解决方案是未来研究的主题。6声明SackKnowledges。使用Java程序生成了实验结果。我们非常感谢有机会在霍奇舒勒-埃斯林根的bwGriD集群上运行该项目。第二作者的工作得到了DVfVW（Deutscher Vereinf–ur versicherungswinschaft）的支持，该DVfVW是一个模块1，用于Chungsprojekt，标题为“Das parametrisiko in Risikokapitalberechnungen f–ur Versicherungsbest–ande”。参考文献17参考文献[1]假设偿付能力II。2014年偿付能力资本要求计算标准公式中的基本假设。下可用https://eiopa.europa.eu/Publications/Standards/EIOPA-14-322_Underlying_Assumptions.pdf.[2] V.Bignozzi和A.Tsanakas。风险资本计量中的模型不确定性。《风险杂志》，18（3）：2016年1月至24日。[3] V.Bignozzi和A.Tsanakas。参数不确定性和剩余估计风险。

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