综合风险资本计算的参数不确定性基于

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英文标题：
《Parameter uncertainty for integrated risk capital calculations based on
  normally distributed subrisks》
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作者：
Andreas Fr\\\"ohlich, Annegret Weng
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this contribution we consider the overall risk given as the sum of random subrisks $\\mathbf{X}_j$ in the context of value-at-risk (VaR) based risk calculations. If we assume that the undertaking knows the parametric distribution family subrisk $\\mathbf{X}_j=\\mathbf{X}_j(\\theta_j)$, but does not know the true parameter vectors $\\theta_j$, the undertaking faces parameter uncertainty. To assess the appropriateness of methods to model parameter uncertainty for risk capital calculation we consider a criterion introduced in the recent literature. According to this criterion, we demonstrate that, in general, appropriateness of a risk capital model for each subrisk does not imply appropriateness of the model on the aggregate level of the overall risk.\\\\ For the case where the overall risk is given by the sum of normally distributed subrisks we prove a theoretical result leading to an appropriate integrated risk capital model taking parameter uncertainty into account. Based on the theorem we develop a method improving the approximation of the required confidence level simultaneously for both - on the level of each subrisk as well as for the overall risk.
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中文摘要：
在本文中，我们将总体风险视为基于风险价值（VaR）的风险计算中 Parameter_uncertainty_for_integrated_risk_capital_calculations_based_on_normally.pdf (388.48 KB)

2022-5-31 08:02:37 上传

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关键词：风险资本 不确定性 不确定 确定性 Calculations

基于正态分布子风险和区域的综合风险资本计算的参数不确定性*Annegret Weng+2017年4月7日摘要在本文中，我们考虑了基于风险价值（VaR）的风险计算背景下给出的总体风险，即随机子风险之和Xjin。如果我们假设企业知道参数分布族子风险Xj=Xj（θj），但不知道真实参数向量θj，则企业面临参数不确定性。为了评估为风险资本计算建立参数不确定性模型的方法的适当性，我们考虑了最近文献中引入的一个标准。根据这一标准，我们证明，总的来说，风险资本模型对每个子风险的适用性并不意味着该模型在总体风险水平上的适用性。对于总风险由正态分布子风险之和给出的情况，我们证明了一个理论结果，从而得出了一个考虑参数不确定性的适当综合风险资本模型。基于该定理，我们开发了一种方法，在每个子风险水平和总体风险水平上，同时改进了所需置信水平的近似值。*Zentrales Aktuariat Komposit，R+V Allgemeine Versioncherung AG，Raiffeisenplatz 165189 Wiesbaden，Germany，电子邮箱：andreas。froehlich@ruv.de+Hochschule f¨ur Technik，Schellingstr。24 70174德国斯图加特电话：0049-（0）7118926-2730，传真：0049-（0）711-8926-2553电子邮件：annegret。weng@hft-斯图加特。de（通讯作者）2 1简介1简介通常可以将企业的总体风险视为其子风险的总和。

如果我们将子风险解释为随机变量Xj，1≤ j≤ m、 总体风险由Xsum=Pmj=1Xj给出。在本文中，我们假设企业知道每个随机变量Xj=Xj（θj）的参数分布族，但只能根据历史数据估计未知的真实参数（向量）θj。在这种情况下，企业面临着参数不确定性。我们关注参数不确定性对基于风险价值的风险资本计算的影响。如果我们考虑历史数据的随机性，因此，真实参数向量θj参数化子风险Xjinto的估计值的随机性，则每个子风险Xjas的建模独立风险资本RCj=RC（^θj）以及整体风险资本本身都是随机变量。它们的实现取决于历史数据。这导致以下要求与基于风险价值的风险资本计算的一般法律法规兼容（例如，参见《欧盟偿付能力框架指令》第101条）：定义1.1。对于给定置信水平α，arandom损失X的基于风险价值的风险资本要求RC应建模为，随机损失X不超过风险资本要求RC，概率为α-考虑到随机变量X和风险资本要求RC的随机性。在这种情况下，对于给定的置信水平α，基础风险资本模型被称为适当的tomodel X。定义1.1已经正式化，并提出了在参数不确定性下建立风险资本要求模型的适当方法（参见[2、3、6、7、15、14]）。对于实际应用，我们寻求一个综合风险资本模型，该模型在定义1.1的意义上同时适用于建模每个次风险Xj，j=1。

，以及总体风险Xsum。在本文中，我们考虑了总体风险作为其子风险之和的情况下的参数不确定性。我们得出两个主要结果：o我们证明，风险资本模型在每个子风险水平上的适当性不会自动产生风险资本模型在总体风险水平上的适当性。一个反例已经由最简单的情况给出，即具有独立子风险的二元正态分布（见第3节）然后，我们集中讨论总体风险Xsum=pxi的情况，其中（X，…，Xm）是多元正态分布的。在这种情况下，我们开发了一个综合风险资本模型，该模型基于建模子风险的联合分布，同时确定单一子风险和总体风险的风险资本，该模型以良好的近似值满足所需的偿付能力概率（见第4节）。请注意，多元正态分布在实践中仍然很流行，例如，对于银行业的市场风险建模（参见[13]或[12]，第13.2小节），对于非人寿保险的准备金风险[4，8]，或者对于人寿保险的非金融风险的风险因素[1]。我们的贡献表明，即使是多元正态分布的简单情况也不是直接的。调查第一个简单的案件似乎很自然。此外，我们希望提请注意为总分布建模参数不确定性的问题，这推动了对非寿险风险建模所需的非负分布和重尾分布等更复杂情况的调查。2准备工作我们不认为读者熟悉[6]或[7]，因此，我们回顾了[6]第2节中计算风险资本的适当方法的定义。注释2.1。

为了遵循这些论点，区分随机变量及其实现至关重要。在整个文件中，所有随机变量均以粗体打印。设X为一个随机变量，描述下一个业务年度的潜在损失。我们假设企业知道参数分布族{X（θ）|θ∈ 我 X的Rd}，但不知道真正的参数θ∈ 我 Rd，X=X（θ）。为简单起见，我们假设X有一个由FX=FX（θ）表示的可变累积分布函数。考虑映射X：[0；1]×I→ 定义为X（ξ，θ）：=F-1X（θ）（ξ），注意我们可以写出X（ξ，θ）：=F-1X（θ）（ξ）表示随机变量X（θ），其中ξ是一个on[0；1]均匀分布的随机变量。4.2准备工作我们进一步假设历史数据是从随机向量D中提取的样本，已知分布函数FD=FD（θ），但未知参数θ。我们用D表示观察到的D的实现。现有文献中的典型示例（见[2，6，7]）仅限于特例D=（X，…，Xn），其中Xi~ X表示i=1，n和（X，…，Xn）与X无关。对于给定的数据集D，我们假设企业通过两步算法使用预测分布对其所需风险资本进行建模：1。确定建模参数向量θsim的分布：使用合适的方法M和观察到的历史样本D确定θsim的参数分布P=P（D；M）建模未知参数θ的不确定性。2、建模风险：集合Y：=X（ξ，θsim）（参见本节引入的符号），其中ξ是[0；1]上的均匀分布随机变量，与建模参数θsim无关。注意，θsimand因此Y取决于M和D。

我们将Y=Y（D；M）=X（ξ，θsim）称为模型风险，并确定模型风险资本要求Byrc（α；D；M）：=F-1Y（α）。请注意，建模风险资本RC：=RC（α；D；M）本身是一个随机变量，其分布取决于历史数据的分布。定义1.1的正式解释如下（参见[6，7]）：定义2.2。方法M resp。当且仅当ifP（X）时，参数分布P适用于置信水平α≤ RC（α；D；M））=α。（1） 方法M resp。概率分布P称为适当当且仅当它们适用于0<α<1的所有α时。在这种情况下，我们使用适用于模型X的方法M来调用风险资本模型。如果适用于建模子风险Xj，j=1，…，则称为综合风险资本模型，m、 总体风险Xsum=PXjare是适当的。在下一个示例中，我们概述了在单个风险X的情况下，几种建模参数不确定性方法的适当性的已知结果。我们假设历史数据是从X中提取的i.i.d.变现。示例2.3。考虑平均值为0且固定但未知标准偏差σ的正态分布风险X。假设我们观察到九个独立的实现x，xnof X，并考虑由^σ=nnXi=1xi给出的未知参数σ的无偏估计。(2)1. 假设我们忽略参数不确定性并设置σsim≡ ^σ。可以看出σsim≡ ^σ不是定义2.2意义上的适当参数分布（参见【7】，表1）。2、自夏尔实现随机变量Xi以来~ 十、 σ是随机变量σ的一种实现。

众所周知，^σ=σn·C，C~ χ（n）（3），其中χ（n）是具有n个自由度的χ分布。这可以被认为是通过方程式（3）右侧对参数分布P建模的正确性（用σ替换为σ）。然而，这并不能确定定义2.2意义上的适当概率分布。表1显示了偿付能力概率P（X≤ RC（α；D；M）），对于n=10，σ=1和不同的密度水平α，使用蒙特卡罗模拟确定，其中10000个模拟为X，10000个样本D=（X，…，xn），10000个模拟为确定RC（α；D；M），给定样本D=（X，…，xn）。这里，RC（α；D；M）是由^σ·Z定义的随机变量的α-分位数，其中^σ由方程（3）定义，且与Z无关~ N（0；1）。置信水平α90%95%99%99.5%偿付能力概率88.09%93.51%98.33%99.22%表1：n=10、σ=1和（3）6 2预备阶段3给出的参数分布的不同置信水平α的偿付能力概率。我们应用[6]中提出的方法来确定σsim的概率分布。在续集中，我们称这种方法为“反演方法”。让样本x，xn表示观测数据，并将^σ作为（2）给出的固定估计值。我们希望确定反映未知参数σ不确定性的参数分布，给出估计值^σ。反演方法建议转换方程（3）并设置σsim= ^σ·nC与观察到的^σ。设Y=σsim·Z，Z~ N（0；1）独立于σsim，为ModeledRisk，设F-1Y（α）是它的α分位数。我们设置rc（α；^σ；M）：=F-1Y（α）。对于正态分布，如[6]所示，p（X≤ RC（α；D；M））=所有α的α，其中历史数据D=（X，…，Xn）是从X中抽取的i.i.D.随机样本。该方法基于Fisher[5]介绍的归纳推理方法。

有关教育方法的优缺点和新发展的讨论，请参见【16】、【9】。在定义2.2的意义上，构建适当概率分布的另一种可能性是使用非信息先验π（σ）=σ的贝叶斯方法-1、【7】证明σ的后验分布定义了一个合适的概率分布。对于正态分布，该贝叶斯后验分布与通过上述反演方法获得的σSim的分布一致（见【11】）。请注意，历史数据D不需要是随机变量X的i.i.D.样本图。特别是，在总体Xsum=PXJ的情况下，历史数据通常用于次风险Xj，1的更细粒度级别≤ j≤ m、 作为风险资本模型的输入：通常考虑数据D（j）=（X（j），X（j）n（j）），其中X（j），X（j）n（j）是从X（j）中抽取的i.i.d.样本，j=1，m、 在这种情况下，定义2.2可适用于总体风险Xsum=pxj设置D=（D（1），D（m））。3单项子风险与总体风险一项业务的总体风险通常由其单项子风险的总和决定。第2节中已经指出，在大多数情况下，数据用于估计单个子风险的粒度级参数。为了进行有效的风险管理，我们不仅应考虑企业的总体风险，还应评估重大次级风险。在本节中，我们证明了针对单一子风险的适当方法不会自动在总体风险水平上产生适当的方法。为了便于说明，我们仅限于两个独立的正态分布随机变量X和X的情况，已知平均值等于0，固定但未知的标准偏差σresp。σ。

我们假设企业观察历史数据（x（1），x（1）n（1））分别。（x（2），x（2）n（2）），其中n（1）=n（2）=n是独立样本（x（1），…）的实现，X（1）n）和（X（2），X（2）n）和X（j）i~ XJ适用于所有i和j∈ {1，2}和X（j）独立于X和X。企业希望使用适当的风险资本模型量化总体风险xsum=X+X。确定未知参数的适当概率分布的一种方法是贝叶斯方法。在文献[7]中，作者证明了非信息先验分布π（σ）=σ-1产生模型参数σBayes，sim的适当后验分布，以及模型风险Y=X（ξ；σBayes，sim），ξ的适当风险资本模型∈ U（0；1）对于正态分布随机变量X，如果我们使用最大似然法估计σ的参数。设Yj=Xj（ξj，σBayes，simj），i.i.d.ξj∈ U（0；1）表示j∈ {1，2}和setRC（α；（x（j），x（j）n）；贝叶斯）：=F-1Yj（α），j=1，2。单一子风险模型的适当性意味着PXj公司≤ RC（α；（X（j），X（j）n）；贝叶斯）= α。然而，通过Ysum定义建模的总体风险：=Y+风险资本rc（α；{（x（j），…，x（j）n）：j=1，2}；贝叶斯）：=F-1Ysum（α）8 3单一子风险与整体风险之间的比较不能产生定义意义上的适当风险资本模型2.2：表2显示了solvencyP的概率Xsum≤ RC（α；{（X（j），…，X（j）n）：j=1，2}；贝耶斯使用蒙特卡罗模拟实验测定10000个Xsum模拟，10000个样本（x（j），x（j）n），大小n=每个子风险的10 xj，j∈ {1，2}和10000个模拟的风险Ysumto determineRC（α；{（x（j），…）。

，x（j）n）：j=1，2}；Bayes）。置信水平∑偿付概率90%1 91.07%1 2 90.94%1 10 90.50%95%1 95.74%1 2 95.74%1 10 95.08%99%1 99.41%1 2 99.19%1 10 99.05%99.5%1 99.82%1 2 99.65%1 10 99.59%Xsum≤ RC（α；{（X（j），…，X（j）n）：j=1，2}；贝耶斯在对n=10的子风险建模之前，使用无信息的Bayesianaproach方法备注3.1。请注意，[6]中提出的反演方法会导致同样不令人满意的结果，因为在这种特殊情况下，[7]中提出的贝叶斯方法与反演方法一致（参见[11]）。结论3.2。即使在最简单的情况下，总体风险是两个独立的正态分布子风险的总和，但在定义2.2意义上的子风险的适当建模并不能确保风险资本模型对总体风险的适当性。4多变量正态分布随机变量的结果在本节中，我们对[6]中提出的反演方法进行了调整（另请参见示例2.3），从而得出一个适当的风险资本模型，其中（X，…，Xm）为多变量正态分布。为清楚起见，我们首先关注独立随机变量的情况，但可以将结果推广到考虑相关性的情况下（见下面的备注4.4）。设Xj=uj+σj·Zj，1≤ j≤ m、 具有未知但固定参数（uj，σj）的独立、正常分布随机变量。我们不认为历史时间序列的长度都是相同的。设n（j）为观察样品的长度（x（j）。