利用布朗运动估计交易对手风险敞口

，n，F V（LT）ti=e-r（T-ti）EZRL（T，x）[（x- K）+- 2（K- x） +]dx= e-r（T-ti）ZRE[L（T，x）]（十）- K）+- 2（K- x）+dx=e-r（T-ti）ZRZ∞yf（y；T，x，σ，ν，S）（十）- K）+- 2（K- x）+dydx，（21）基本上是作为Fubini定理的应用，在第二个等式中，通过公式（19）中给出的BLT密度的定义。因此，作为中间应用，我们对累加器使用上述定价公式，并比较了（C）定义的累加器的三种不同定价方法-2P），其中C和P是看涨期权价格和看跌期权价格，即：BSD，直接的BS评估，即公式（18）；BSC，第4.3节所述的BSD的连续时间变化；LT：公式（21）给出的时间建议。有关上述数量的更详细讨论，即关于B SD、BSC和LT，请参阅第4.3节。下表中报告了结果，这些结果是在S=1，N=250个筛选日期的情况下获得的。我们可以看到，准确度非常好，当波动率参数增加时，只有很小的衰减。我们有兴趣评估第R节KσFV BSD FV BSC FV LT中介绍的EE和EP E（LT，BSD）0,01 0,9 15%00961 00961 0,00%0,01 0,9 25%00783 00784 00781-0,26%0,01 1 15%00323-00322-00322-0,31%0,01 1 25%00587-00585-00576-1,87%0,02 0,9 15%01008 01008 0,00%0,02 0,9 25%00837 00839 0,24%0,02 1 15%00248-00247-00247-0,40%0,02 1 25%0%00509-00508-00501-1,57%表1：三种方法获得的公允价值比较方法。2.2，因此，对于所有ti，i=1，n、 我们有（LT）ti=EF V（LT）ti（22）EP E（LT）ti=TZTZRe-r（T-t） E（L（t，x））[（x- K）+- 2（K- x） +]dxdt。（23）备注4.1。通过回顾期望函数E意味着一个积分任务，结果是EP E需要计算三重积分。

因此，我们有两个关于通常MtM当前交易评估的进一步整合步骤，分别与市场参数情景和时间平均值的预期相反。备注4.2。我们想知道在评估期望函数时，哪个概率度量更适合使用。换句话说，我们有兴趣在任何时候为所有市场参数选择最合适的分布，这些参数代表定价活动的输入数据。由于这在文献中是众所周知的，有两种选择，一种是风险中性分布，另一种是历史分布。由于我们主要关注计算问题，我们认为后者不是一个相关点。无论如何，与大多数作者一致，我们遵循采用历史分布的惯例。在Black-Scholes框架中，后者意味着真实世界的漂移u与无风险利率r不同，因此u>r.4.3应用和数值结果在一定程度上检验了我们当地时间建议的优度，以估计EE和EP E，我们将前一小节中描述的算法与基准测试a la Black and Scholes（BSD）进行了比较。首先，让我们确定模拟的数量，用NSIM表示。然后，对于每个模拟，o我们考虑N天=250个工作日，由ti表示，i=1，N天，对于每个ti，我们使用以下离散化程序i=Sti模拟基础的价格-1enr-σti+σ√ti·N（0,1）o，其中ti=ti- ti公司-1=周日，i=1，N天o然后，我们通过以下公式计算累加器价格V（BSD）ti=iXj=1[（Sj- K）+- 2（K- Sj）+]+NdayXk=i+1[Ctk- 2·Ptk]· e-r（T-ti），（2 4）其中 :=tnday和Ctk=C（S，K，r，σ，T- tk），Ptk=P（S，K，r，σ，T- tk）分别是呼叫。

看跌期权，价格。为了评估交易对手Cr编辑风险，我们选择了10个时间步骤，每25个工作日一个，然后分别使用公式（4）和公式（5）确定预期敞口EE（BSD）和预期正敞口EP E（BSD）。由于累加器的特征是，至少是频繁的，那么我们可以考虑导数的连续版本，因此我们考虑f V（BSC）t~=中兴通讯-r（T-t） （Ct- 2Pt）dt，（25），其中Ct=C（S，K，r，σ，T-t） ，Pt=P（S，K，r，σ，t-t） 是电话，resp。卖出价，即价格，计算在前面。等式（25）允许我们考虑基准的连续版本，让我们用BSC表示。为了比较LT和BSC方法，我们通过追溯BSD算法的步骤并考虑10个日期，即每天40次观察，而不是一次，来进行时间离散化，近似BSC。最后，我们能够评估预期支出EE（BSC），以及。利用公式（4）得出的预期正暴露EP E（BSC），aga in，分别为。等式（5）。关于局部时间算法，我们使用数值积分，为了使这种积分尽可能有效，我们确定了方便的上下限。数值结果为了显示本地时间技术与经典方法相比的表现，我们提供了表2中报告的结果，其中包含了使用前面章节中介绍的方法获得的EPE值。

更准确地说，我们根据以下选择运行se veralstrike、波动率和无风险参数的所有算法：现货价格S=5.7；履约价格：K=[4.78、3.75、2.98]；波动率：σ=[0.15，0.2，0.3]r无风险率：r=[0.01，0.02]() 第5、6、7列中的EPE值。每一行都有一个三元组（Ki，σj，rh），i=1，3，j=1。

，3，h=1，2，指定我们参考的履约价格、波动率和无风险利率的值。（K，σ，r）BSD BSC LT（BSD、BSC）（理学学士，LT）（BSD，LT）（4.78，0.15，0.01）09303454395 09303714275 09303781163-000279%000072%000351%（4.78，0.2，0.01）09049015095 09049413280 09048279190-000440%-001253%-000813%（4.78，0.3，0.01）08251642939 08251928714 082478388254-000346%-004957%-004611%（3.75，0.15，0.01）19686102762 19686111645 848833-000005%000374%000379%（3.75，0.2，0.01）19675941521 1967600451419676336107-000032%000169%000201%（3.75，0.3，0.01）19547899122 19548275248 19547735333-000192%000276%000084%（2.98，0.15，0.01）2734850526 27348507540 27349168463-000001%000242%000242%（2.98，0.2，0.01）27348375084 27348378657 273485689-000001%000077%（2.98，0.3，0.01）27336498018 27336518 70672 27336545073-000027%-000009%000017%（4.78，0.15，0.02）09556220367 09556450742 09558308683-000241%001944%002185%（4.78，0.2，0.02）09318141129 09318494415 09318254905-000379%-000257%000122%（4.78，0.3，0.02）0854844479 08548671968 08542861489-000266%-006797%-006531%（3.75，0.15，0.02）19871485 19871500602 19873803563-000008%001159%（3.75，0.2，0.02）19862637277 19862700504 19864841609-000032%001078%001110%（3.75，0.3，0.02）19743416072 19743766907 19744396571-000178%000319%000497%（2.98，0.15，0.02）27496039372 27496047313 27497784936-000003%000632%000635%（2.98，0.2，0.02）27495932160 27495941376-000003%000613%000616%（2.98，0.3，0.02）2748174039 27485347 2748661624-000026%000499%000525%表2：蓄能器的预期正暴露派生词备注4.3。让我们强调这三个词的含义 上表右侧的比较。

（BSC，BSD）没有考虑我们的提案，但它衡量了现实世界（BSD）与连续版本（即BSC版本）之间的差异，现实世界（BSD）随时间离散。（BSC，LT）具有双重角色。一方面，它衡量我们算法实现的正确性，因为这两种方法在理论上是等价的。一旦我们验证差异很小，从更实际的角度来看，它允许我们监控用于执行这两种技术中涉及的各种数值积分的工具的数值精度。最后（BSD，LT）考虑了之前的影响，并衡量了我们的BLT提案的全球准确性，我们通过一种基于当地时间的新技术，通过连续时间代理现实世界的问题。为了完成所提出的不同方法之间的比较，我们在各个方法的执行时间之间画了一条平行线，如表3所示。特别是，我们邀请读者详细讨论最后两个专栏，这两个专栏的计算效果是可比较的。我们发现，本地时间算法的运行时间小于BSD方法的运行时间，平均而言，前者约为后者的一半。最后，我们展示了两张图，比较了s trike价格和自由风险率设置后，LT算法和BSC算法相对于BSD的错误，而BSC BSD LT18.314768 4.98831 2.12311表3：三种算法的平均运行时间，以秒为单位。波动率σ变化。我们观察到，对于较小的波动率，相对误差非常好。因此，我们将进一步研究软件实现细节。

无论如何，参考上面表3中的计算时间，我们认为在通常的权衡（准确度、时间）中，T方法无疑主导了BSC近似，并且可以与trueBSD模型竞争。0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-0.045-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.005 Delta（BSC，BSD）Delta（BSD，LT）图1：固定无风险利率下EPE变化之间的比较。（BSD、BSC）vs（BSD，LT），r=1%，K=3.75。波动率参数在10%到30%之间变化。0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-2.-10123 x 10-3 Delta（BSC，BSD）Delta（BSD，LT）图2：固定无风险利率下EPE变化之间的比较。（BSD、BSC）vs（BSD，LT）在r=1%和K=4.78的情况下，波动性参数的var介于10%和30%之间。4.4关于计算复杂性的一些评论一旦提出了一种新方法或算法，人们希望对新方法相对于其更传统的竞争对手的计算复杂性进行总体分析；精度和转化率也类似。在最简单和最简单的情况下，一个只有一个参数，设为N，例如，模拟的数量、投资组合中的交易数量、时间步长的数量，等等，计算复杂性可以通过一个“顺序”进行样式化，如o（N）、oN等等尽管这种优雅的理论方法，但具体应用的特点是额外的困难，例如：（1）提案或竞争对手的集合可能取决于一些不同的参数，而N不能是技术设置的正确总结；（2） 对于每个原子算法任务，即对于一个N个模拟循环的任何模拟，不同的竞争对手可能包含复杂度和运行时间非常不同的计算，让他们接受。

因此，对于参数N的中小值，这两种算法的实际计算时间不符合渐近顺序排序，例如。，可能是t·N＞t·N3／2。（3） 最后，观察到的计算时间取决于许多实现细节：数值积分方法、有界或无界积分、嵌入到已开发编程语言中的库的效率。回到上述B SD、BSC和LT的执行时间表，也侧重于评估EE和EPE值，循环在增加计算数量方面的行为与交叉法类似，我们观察到BSC涉及对更复杂的BS公式的时间积分，而BSD的复杂性由BS·tn给出，，第二项是滤波次数，最终LT具有相当简单函数（即支付函数本身）的时空积分所赋予的复杂性。此外，我们还通过对空间积分的inf和sup进行定界来优化后者。因此，即使没有详尽的比较，也考虑到不同的技术实现，我们也可以得出结论，LT提案相对于有效贸易效应而言具有良好的准确性。我们还强调，需要扩展其他市场参数、条款和支付。5结论和进一步研究我们在Black-Scholes框架下，针对所谓的累加器衍生品，在一项风险资产的情况下，解决了CCR评估问题。

由于相应的支付取决于几何布朗运动在给定值附近花费的时间，因此我们利用了BLT的概念，它在CCR评估的衍生品定价步骤中起着至关重要的作用。然而，也可以将BLT纳入风险因素模拟步骤：粗略地说，对于每个时间段tk，我们可以使用BLT建立网格（tk、Stk、n）和相应的概率，并评估第k次预计风险敞口EEkas加权概率评估的总和。我们提出了一种基于概率密度表示BLTin项的原始方法。与EPE评估相关的实施导致了数值结果，显著改善了通过标准程序获得的结果。较小的执行时间和较好的EE评估精度使我们的方法成为一种竞争工具，建议将本地时间方法扩展到更一般的衍生工具，如障碍期权或亚洲期权。下一步是将我们的结果与[18，19]中得出的结果进行比较。此外，我们还计划使用[46]中给出的结果，即著名的Lévy正弦弧定律的推广，见lso[36]，它提供了等式（12）中给出的占用时间分布。事实上，我们打算使用相关的Takacs公式作为本文中广泛使用的（19）中所述概率密度的替代表达式。最后，我们意识到，虽然一维框架的实施相对容易，但一维案例事实证明是不现实的，尽管在一维框架中工作是具有公司客户的银行衍生工具的一个非常可接受的代理，即。

中小企业；在这些情况下，第i个客户的交易数量非常少，主要依赖于单一风险因素，如欧元利率曲线。毕竟，大量的风险因素需要对相关性进行非常困难的估计。为了克服这些缺点，金融机构求助于一些启发式且易于扩展的方法。例如，在二维情况下，通常的做法是在资产类别之间考虑DDW（1）t，dW（2）tE=0，例如利率、外汇或权益，以及资产类别内的DDW（1）t，dW（2）tE=dt。这样的过程可以很容易地扩展到N维情况，N>>1。这显然是一个复杂的问题。从理论角度来看，文献提供了与多维BLT研究相关的贡献，参见例[11]和其中的参考文献。参考文献【1】Antonov A.、Issakov S.和Me chkov S.（2015）《未来价值的反向归纳》，NumerixResearch论文。[2] 意大利银行（2006年）第263号《Circ olare n.案》——根据le banche的《普鲁登齐亚尔治安处置条例》（Nuove Dispositioni di Vigiliza prudenziale）。[3] 法国银行（2007年）2007年《20 février Arrètédu 20 février r e latif aux execcess de fonds propresapplicates a uxétablissements de crédit and aux enterprises d\'investissement》。[4] 巴塞尔银行监管委员会（2006）《巴塞尔协议II：资本计量和资本标准的国际趋同：修订后的框架-综合版》，BCBSPaper 128。[5] 巴塞尔银行监管委员会（2011年），《巴塞尔协议III：更具弹性的银行和银行系统的全球监管框架——修订版》，BCBS文件189。[6] Bernis G.和Scotti S.（2017）《在差异背景下的贝塔系数替代方案》，Quant。财务2（17），275–288。[7] Black F.and Scholes M.（1973），《期权定价与公司负债》，政治经济杂志第3期（81）。[8] Bonollo M.、Di Persio L.、Oliva I。