利用布朗运动估计交易对手风险敞口

例如，Sti是定义几何布朗运动的随机微分方程的解，Ft∈[0，T]是由标准布朗运动Wt=（Wt）T生成的自然过滤∈[0，T]和关于完全概率空间(Ohm, F、 P），其中P通常被称为所谓的真实世界概率测度，或期权定价鞅方法下的等价ntrisk中性测度，参见，例如，[32]。调整后的预期暴露EEAi由EEAk给出：=EPhMtM（tk，Sk）+i=ZД（T- tk、Sk、Θ）dP~=NNXn=1MtM（tk，Sk，n）+=[EEAk.（6）同样，我们将调整后的预期正暴露EP EAas定义为以下EP EA：=zeeadt=Z ZИ（t，Sk，Θ）dPdt。（7）对于后一种表述，巴塞尔定义只是可用于估计衍生工具未来预期公允价值的众多方法之一。备注2.4。我们跳过了关于在EEk计算中选择最合适的概率度量的任何评论，后者超出了本文的目的。对于风险中性概率所起作用的详细讨论。根据历史真实世界概率，参见例[10]。备注2.5。让我们强调一下，EPE定义中缺少通常表示为贴现因子或数字的组成部分，后者是风险监管中使用的保守方法的副产品。除了EAD（被理解为CCR措施）外，还可以规定信用价值调整（CVA）。根据巴塞尔准则[5]，CVA表示与交易对手信用状况恶化相关的潜在MTM损失的资本费用。此外，通过引入CVA，衍生品支付的表达式提供了一个新术语，与违约情况下出现的证券价值相关。

特别是r，我们有f=φ（mT，c）·{τ>T}+RRφ（mT，c）·{τ≤T}其中τ是交易对手违约时间，φ（mT，c）是成熟度T时的最终支付，其中mT，resp。c、 代表[0，T]中的市场参数路径，分别为。对于cla使用的合同，支付取决于该合同，而RR：=1-LGD是所谓的回收率，即违约债务工具的本金和应计利息可以回收的程度，以工具面值的百分比表示。因此，CVA指标对MtM值进行平均减少，并涉及另一种形式的风险，即CVA风险，表征未来CVA演变的不确定性。备注2.6。让我们注意到，一家主要的信用评级机构穆迪（Moody\'s）使用违约日后大约30天观察到的市场买价来估计违约债务回收率。回收率是以价格与面值的比率来衡量的，详情参见【40】。2.3计算挑战一个有趣且具有挑战性的问题在于EPE和CVA的具体实现。由于EPE（EAD）的波动性，必须经常监控交易对手风险，因此，内部模型验证的标准要求是每天进行一次。为了了解这种程序的计算效果的大小，让我们考虑一下，在一个旨在满足监管机构指示的中型银行集团中，我们可以在书中观察到D=10000宗交易，N=2000宗模拟，K=20个时间步。如果我们用P T表示每次C C R运行的定价任务数，我们很容易得到P T=D·N·K=4·10。（8） 后一个例子很容易说明所需的计算效果有多大，即使是因为很大一部分定价算法仍然由特定的蒙特卡罗技术表示。

因此，尽管定价软件和CPU功能足以满足前端用途，但它们对于CCR评估施工而言并不令人满意。考虑到存储要求，我们定义了新的参数α，即必须存储的执行案例数量，以允许输出结果的可追溯性和可审计性。如果我们使用1年内存支持月末备份，我们可以将α=13。当然，存储是在不同的记录类型上运行的，例如交易信息、支付信息、模拟信息等。为了简单起见，我们可以将存储视为一种独特的大型记录类型，让我们用RT表示，它考虑了所有相关信息，因此得到RT=D·N·K·α=5.2·10。（9） 由于每条记录很容易需要1000字节，因此我们将存储空间提高到5.2 TB。换言之，CCR计算涉及与信贷和市场风险领域相关的计算难题。特别是，高频率的监测意味着高效、稳健的CCR计算的大量具体实际实施。为了应对以前的挑战，利用与所谓的大数据分析相关的技术以及使用图形处理单元（GPU）取得了重要的成果，参见【16】、【41】中提供的数值研究。尽管如此，CCR评估所带来的计算挑战的解决方案既不完全，也不满足于上述软件改进。这就是为什么人们越来越广泛地关注寻找有效的理论技术和相关的应用算法过程。备注2.7。

我们想强调的是，虽然巴塞尔委员会通常定义了框架和原则，但它没有规定必须应用的强制性模型或数字技术。因此，从下一节开始，我们提出了一种新方法，通过利用BLT方法，在广泛的CCR环境中执行电子计算。3数学设置3.1 Black-Scholes市场模型在下文中，我们将参考著名的Black-Scholes分化过程，参见[7]，作为我们提案验证的理论基准。让我们考虑一个金融市场，由一个无风险证券B和一个风险资产S组成，该证券B的回报率为常数r，风险资产S通过几何布朗运动定义，即（dBt=rBtdtdSt=Studt+StσdWt，（10），其中u∈ R、 σ>0和{Wt}t≥0表示标准布朗运动。方程（10）中代表几何布朗运动的SDE承认以下唯一解T=Sexpu-σt+σWt, （11） 它描述了衍生工具基础的动态，即金融工具的动态，该金融工具给其所有者在到期日T时评估的最终支付φ=φ（mT，c）。举个例子，在考虑欧洲看涨期权的简单案例中，我们有φ：=（ST- K） +，，其中K级指期权的执行价格，因为当且仅当ST>K时，它提供了正收益。让我们回顾一下，参数r和σ分别表示无风险利率和基础的波动性。无风险利率在评估过程中起着关键作用，即从现在起，在时间0确定公允价值FV。

换言之，通过应用It^o-D"oblin引理，可以表明，在公允价值评估中，实际漂移u（u>r）和未知的市场风险规避或效用函数都不存在，而公允价值可以简单地计算为贴现预期收益，其中，风险中性点漂移r可以直接替换公式（11）中的预期漂移u，请参见e。g、 ，[31]了解更多详细信息。在bas-ic Black-Scholes简化模型中，无风险利率r是确定的且随时间变化是恒定的，拉特原理导致了一般的估值策略，由f Vt=e[e-r（T-t） φ（mT，ct）]。Black-Scholes模型受到了一些扩展和批评，例如：由于金融市场的自然创新过程，支付代数的复杂性。他们允许通过发布新的吸引人的产品来掩盖有效的要求或获得新的利益。一般来说，我们可以有几个条款，例如，捆绑不同的罢工、障碍、记忆效应、occ upation time子句等，或者φ对整个样本的依赖性，就像处理所谓的亚洲回顾选项时发生的那样；基础资产的新模型，源于资产类别之间的不同动态，例如，考虑利率与股票相对美国外汇，或者源于需要更好地校准经验数据，例如，波动率表面与波动率。作为基础利率的基准模型，Vasiceck模型（见[47]）和Hull-White模型（见[30]）通常会取代Black-Scholes模型；风险源数量的增加，例如，通过考虑波动性的随机行为，正如赫斯顿模型中所发生的那样，参见【29】。要全面审查模型，请分别。有关定价公式，请参见【31】，分别。

[28]。然而，让我们回顾一下，如果处理整个金融工具投资组合，独立于其特征，则按市值计价的动态可以通过对数正态过程得到充分满足，因为几个单一头寸回报之间存在补偿或聚集效应。这是资产管理部门的一种常见做法，通常被称为正常的投资组合方法，例如参见[44]。此外，在风险管理方法中，对数正态Black-Scholes模型是Quiesatisfactory，如[26]中所指出的，其中提出了一种特定类型的增量风险费用（IRC）模型。我们记得，在现实世界中，一个人购买或出售一种衍生产品是为了获得一种赠品，或者说是名义上的，也就是说，他持有一种头寸。因此，在下文中，我们通常会将公允价值替换为相关的市值计价（MtM），从而替换为带有数量和符号的公允价值。3.2当地时间和职业时间≥0是概率空间上定义的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。布朗运动的局域时间Wt，或等效的布朗局域时间（BLT），由P.Lévy在[37]中首次介绍，可以看作是一个随机过程，表明布朗运动过程花费的时间接近给定的水平a∈ R、 为了量化这种随机时间，作者在[37]中引入了以下随机域lt（a）=2εlimε→0u{0≤ s≤ t、 ：| Ws- a |≤ ε} ，其中t∈ [0，T]，a∈ R和u是Lebesgue度量。Lt（a）被定义为计量资产负债表，莱维证明了其存在、完整性和连续性，见【37】。更严格地说，让我们重新定义以下有用的定义3.1。

随机场{Lt（x，ω）：（t，x）∈ [0，T]×R，ω∈ Ohm} 称为布朗本地时间，如果随机变量Lt（x）是F-可测的，则函数（t，x）7-→ Lt（x，ω）结果为连续且Γt（B，ω）：=ZtB（Ws）ds=ZBLt（x，ω）dx，（12）带0≤ t型≤ ∞ 和B∈ B（R）。让我们还回顾一下，（12）左侧的量被称为时间t之前布朗运动的占据时间。建立BLTexistence的一个关键理论点。Trotter存在定理确保了这一点，详情参见[32，Thm 6.1.1，Ch.3]。布朗局部时间满足几个有用的性质。为了方便起见，我们只报告了我们将用于计算目的的内容，同时我们请感兴趣的读者参阅[32，第3.6节]，以便更全面地处理该主题，以及证明我们将在下面利用的结果。提案3.2。对于每个Borel可测函数f:R→ [0，T]，我们有ztf（Ws（ω））ds=ZRf（x）Lt（x，ω）dx，0≤ t型≤ T（13） 作为支柱的结果。（3.2），我们有ztr（Ws）ds=ZRLt（x，ω）dx=t。（14） 以下建议在文献中称为Tanaka Meyer分解，更多详情参见【32】。提案3.3。假设BLT存在，让a∈ R、 是一个给定的数字。然后，进程{Lt（a）}0≤t型≤这是一个满足lt（a）=（Wt）的非负、连续、加性函数- （a）+- （z）- （a）+-Zt（a+∞)（Ws）dWs，（15）对于0≤ t型≤ T和每个z∈ R、 备注3.4。值得一提的是，道具中给出的表述。3.3，可以推广到半鞅。布朗运动在任何集合a上花费一个随机时间，因此必须能够导出其密度，即BLT在一段时间内接近给定水平a的概率。这种密度由g（y；t，a）=rπte给出-（y+| a |）2t，（16）见[9，等式1.3.4，p。

15.5]。4 CCR4.1本地时间提案布朗本地时间金融的应用：累加器Orderivative在下文中，我们将注意力集中在一种特殊类型的衍生品上，即累加器，它是一种依赖于路径的前向增强，没有保证最坏情况。更准确地说，累加器的特点是双方商定的合同，其中规定投资者在特定观察日t，…，以固定的执行价格K购买/出售预定数量的股票，tn，tn≤ T、 合同到期。通常，累加器与一个基础利率挂钩，该基础利率为n汇率，但在广泛的利率衍生品框架中，我们有类似的支付，但名称不同，范围应计。FTSEIncome累加器就是一个例子，通过ISIN代码XS1000869211识别FTSE 100指数，计划开始日期为2014年2月14日，计划结束日期为2020年8月14日，到期日期为2020年8月28日。该计划预计每三个月支付一次，支付水平取决于富时10指数在本季度的表现。最高收入为每年6.75%，如果在每周观察日基础指数在5000到8000点之间收盘，则支付。否则，收入将根据超出范围的时间按比例减少。尽管这类衍生产品显示出一些好处，例如汇率的显著改善、产品成本的缺乏以及一些定制功能的存在，但另一方面也存在一些缺点。

后者让累加器衍生产品赢得了“我以后会杀了你”产品的绰号。为了允许灵活性和降低对冲成本，累加器合同可能包括一个或两个淘汰壁垒，以限制投资者的最大利润和/或最大损失。基本上，如果在第i个观察日结束时，基础的收盘价SIO达到了H壁垒，对于所有i=1，n、 然后选项停止。我们区分累加器单侧淘汰、累加器单侧淘汰、累加器范围淘汰、累加器范围淘汰，这取决于投资者是否以相同的执行价格购买（分别出售）单侧或范围淘汰认购（分别出售）和出售（分别购买）单侧或范围淘汰认购（分别出售），筛选日期和到期日期。因此，观察日ti，i=1，…，累加器导数的支付，n、 由PI给出=0，如果最大值为0≤τ≤tiSτ≥ 总部（Sti- K） ，如果最大值为0≤τ≤tiSτ<H，Sτ≥ KgQ（Sti- K） ，如果最大值为0≤τ≤tiSτ<H，Sτ<K，（17），其中Q是购买数量，g是杠杆比率，两者均由合同确定，详情参见，例如，[33]。出于我们的目的，我们将Q=1，g=2，因此意味着公允价值f V由f Vi=NXj=1给出Ctj公司- Ptj公司· e-r（T-ti）（18），其中Ctj：=C（S，K，T-tj，σ，H），分别为。Ptj：=P（S，K，T-tj，σ，H），代表aknock out看涨期权的公平价格，即淘汰出售期权的价格。我们记得，通过假设基础价格根据Black-Scholes模型演变，买入价格和卖出价格出现在等式中。

（18） 有一个封闭的形式，参见，例如，[3 3]。4.2 EE评估建议在下文中，我们展示了如何将loc al time用作评估累加器衍生品的缔约方信用风险（CCR）的便捷工具。在等式描述的设置中。（10） -（11），对于任何给定集，仍然可以确定几何布朗运动在任何点a附近保持多长时间。换言之，我们可以获得关于几何布朗运动的局部时间密度，有关更多详细信息，请参见，例如，[9]。特别是，我们有p（L（t，a）∈ dy）=f（y；t，a，σ，ν，S）=rπtσa像νe-νσt-（σay+| log（a/S）|）2σt+|ν|σa像ν“e-|ν|（σay+| log（a/S）|）Erf cσay+| log（a/S）|σ√2吨- |ν|σrt！-e |ν|（σay+| log（a/S）|）Erf cσay+| log（a/S）|σ√2t+|ν|σrt！#，（19） 式中，t表示对当地时间进行估值的时间，a是基础，σ是波动率参数，ν：=-+rσ，r是无风险利率，S代表现货价格，andErf c（z）是互补误差函数，命名为erf c（z）=1- Erf（z），Erf（z）=√πZze-xdx。为方便起见，从现在起，我们将不考虑是否存在敲出障碍物。回顾等式中所述的支付和公允价值的表述。（17） 和（18），假设频率较高，我们得到p（LT）=NXj=1[（Stj- K）+- 2（K- Stj）+]≈ZT[（St- K）+- 2（K- St）+]dt=ZRL（T，x）[（x- K）+- 2（K- x） +]dx，（20），其中式（20）中的最后一个等式遵循式（13），而L（t，x）是BLT直到到期时间t。因此，我们能够评估每个观察日的相应公允价值ti，i=1。