利用布朗运动估计交易对手风险敞口

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英文标题：
《Estimating the Counterparty Risk Exposure by using the Brownian Motion
  Local Time》
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作者：
Michele Bonollo, Luca Di Persio, Luca Mammi, Immacolata Oliva
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In recent years, the counterparty credit risk measure, namely the default risk in \\emph{Over The Counter} (OTC) derivatives contracts, has received great attention by banking regulators, specifically within the frameworks of \\emph{Basel II} and \\emph{Basel III.} More explicitly, to obtain the related risk figures, one has first obliged to compute intermediate output functionals related to the \\emph{Mark-to-Market} (MtM) position at a given time $t \\in [0, T],$ T being a positive, and finite, time horizon. The latter implies an enormous amount of computational effort is needed, with related highly time consuming procedures to be carried out, turning out into significant costs. To overcome latter issue, we propose a smart exploitation of the properties of the (local) time spent by the Brownian motion close to a given value.
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中文摘要：
近年来，交易对手信用风险度量，即场外交易（OTC）衍生品合同中的违约风险，受到了银行监管机构的高度关注，特别是在巴塞尔协议II和巴塞尔协议III的框架内，更明确地说，以获得相关风险数字，首先，我们必须计算与给定时间的MtM头寸相关的中间输出函数，$t是一个正的、有限的时间范围。后者意味着需要大量的计算工作，需要执行相关的非常耗时的程序，从而产生巨大的成本。为了克服后一个问题，我们建议巧妙地利用布朗运动在接近给定值时所花费的（局部）时间的性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Estimating_the_Counterparty_Risk_Exposure_by_using_the_Brownian_Motion_Local_Time.pdf (312.42 KB)

2022-5-31 08:26:51 上传

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关键词：布朗运动 counterparty Quantitative Mathematical exploitation

利用布朗运动当地时间估计交易对手风险敞口Michele BONOLLO*1、Luca DI PERSIO+2、Luca MAMMI3和ImmacolataOLIVA§4IMT Lucca、Iason Ltd和Numerix LLCDept。维罗纳大学信贷集团计算机科学系。维罗纳大学经济学系，2017年4月12日摘要近年来，交易对手信用风险度量，即场外（OTC）衍生品合同中的违约风险，受到了银行监管机构的高度关注，特别是在巴塞尔协议II和巴塞尔协议III的框架内。更明确地说，为了获得相关的风险图，首先必须计算与给定时间t的市场标记（MtM）位置相关的中间输出函数∈ [0，T]，T是一个正的、有限的时间范围。后者意味着需要大量的计算工作，需要执行相关的高时间消耗程序，从而产生巨大的成本。为了克服这个问题，我们提出了一种巧妙地利用布朗运动所花费的（局部）时间接近给定值的特性的方法。关键词：交易对手信用风险、违约风险敞口、当地时间Br ownian motion、场外衍生品、巴塞尔金融框架1简介几年来，由于2007年至2008年期间发生了导致金融危机的事件，监管机构已迫使金融机构采用特别程序来预测违约，从而预防违约。换句话说，银行必须能够衡量和管理其违约风险。就信用风险和交易对手风险而言，2006年，巴塞尔银行监管委员会在著名的新巴塞尔协议改革中加入了两种计算银行资本要求的其他一般方法，即：标准化方法和内部方法。

前者基于使用外部信用评级机构的评级，后者设想评估某些风险参数，如违约风险敞口（EAD），[4]。一个有趣的观点是所谓的交易对手信用风险（CCR），它代表与场外（OTC）衍生品合约相关的违约风险。后一种情况*米歇尔。bonollo@imtlucca.it，则，mbonollo@numerix.com+卢卡。dipersio@univr.it卢卡。mammi@unicredit.eu§immacolata。oliva@univr.itimplies作为中间输出，计算与未来时间范围内，在给定时间t的头寸市值（MtM）相关的大量不同泛函∈ [0，T]，其中T<+∞ 是时间范围。评估此类暴露的标准技术基于经典蒙特卡罗方法，其特点是强烈依赖于所考虑资产的数量和相关的高计算时间成本，参见，例如，【38】。也给出了其他方法，例如，从几何角度考虑，见[45]，或一般范围的随机过程，如[21]，或一些最优投资控制问题，如[17]，即使作为一般基准，蒙特卡罗方法集是最广泛使用的。然而，如前所述，蒙特卡罗技术在计算上并不令人满意，即使是在简单的情况下。

例如，一家中型银行需要D=O（10）个主动交易和U=O（10）个风险因素，在K=20个时间步中使用N=2000个模拟进行评估，这就为风险因素模拟提供了K·N·U=4·10个网格点，为交易评估提供了K·N·D=4·10个任务。为了克服后一个缺点，文献最近提出了新技术，例如矢量量化[8、12、13、14]，或更多增强的硬件技术，例如在网格计算和图形处理单元（GPU）能力的情况下，参见，例如[16]、[41]和其中的参考文献。在美式期权定价的背景下，最近研究的其他方法有基于马丁格尔的拉罗杰斯方法（见[34]）和简单最小二乘法（见[1]、[26]），以了解更多详细信息。利用所谓的多项式混沌展开方法可以实现不同的解决方案，例如参见[6]、[20]和其中的参考文献。另一种可能性在于利用适当的数学模型的性质，例如在布朗当地时间下的衍生品定价案例。给定概率空间(Ohm, F、 P），我们考虑标准布朗运动{Wt}t≥0对其进行定义。那么，对于ω∈ Ohm a级，一个有趣的点是确定样本路径Wt（ω）接近a所花费的时间。一个可能的答案可以追溯到保罗·莱维（PaulLévy）1948年的著作，作者在其中引入了布朗当地时间的概念，参见[37]。正确的方法是从现在起将布朗当地时间BLT定义为以下密度：Lt（a）：=2lim-→0u{x：| x- a |≤ （1）其中u表示实线上的Lebes-gue度量。备注1。值得一提的是，这里的t并没有列出定义BLT的标准符号，因为一些作者更喜欢将公式中的限值相乘。

（1） by4，而不是by2，参见，例如，[32]。更正式地说，当地时间可以通过所谓的占用公式来定义，参见【32】，即通过以下等式ztf（Ws）ds=2ZRf（x）Lt（x）dx，（2）其中左侧是一个随机度量，称为占用度量或逗留度量，在时间t和级别x∈ R、 当f是l函数时，f:R→ R、 有关BLT属性的更详细讨论，请参阅第3.2节。关于当地时间的具体属性，例如，其分布函数和相关密度函数和矩的识别，我们参考了[23]、[32]、[46]以及其中的参考文献。另一方面，值得一提的是，对于BLT的理论应用，存在着广泛的文献，例如将It^os公式扩展到凸函数，定义布朗运动的占位测度相对于Lebesgue测度的密度，参见例[8]等，关于LT的具体应用及其特性的文献相对有限。后者很容易在与经济和金融相关的框架中得到承认。然而，BLT的理论方面可以有效地用于分析广泛的金融工具，尤其是对一些依赖于外部路径的期权的定价，例如范围应计期权和累加器的定价，其中支付效果取决于基础在低于或高于给定水平时所花费的时间。在两个边界之间。除此之外，参见例如[39]。此外，风险管理领域几乎没有使用BLT。

目前的工作旨在填补后一个空白，表明BLT密度函数的数值积分可用于评估风险敞口，从而获得与经典蒙特卡罗基准算法相比非常引人注目的结果。本文的组织结构如下：第2节我们介绍了财务框架，重点是监管观点，并重点介绍了EAD和信用价值调整（CVA）的计算说明，然后在第3节中，还介绍了数学设置，以调用BLT的主要属性，而在第4节中，我们为上述类型的财务问题提供了当地时间方法，并与EAD应用中的更多标准技术相比，分析了其性能；最后，在第5节中，我们陈述了主要结论，并概述了未来的研究方向。2交易对手风险：财务框架2.1巴塞尔协议中的信用交易对手风险接近巴塞尔协议II框架，交易对手信用风险，即从现在起的CCR，是更广泛信用风险类别的一个特定类别。让我们回顾一下巴塞尔委员会（简称BCBS）的定义，如【4】：定义2.1所述。交易对手信用风险（CCR）是指交易对手可能在交易现金流最终结算前违约的风险。如果与交易对手的交易或交易组合在违约时具有正经济价值，则会发生经济损失。与企业通过贷款面临的信贷风险不同，CCR产生了双边损失风险：交易的市场价值不确定，对任何一方都可能是正的或负的，并且随着基础市场因素的变化而变化。IRS的givenby就是一个典型的例子。

监管范围内考虑了几类金融交易，但大多数CCR来自场外（OTC）衍生品，与可违约交易对手建立对等关系。从实际角度来看，任何期权的买方或具有正MtM的衍生工具的持有人都面临CCR。如果两个交易对手就交易达成一致意见，例如在他们的交易中有一个持续的补偿过程，那么当前的风险敞口将由所有交易代数和的正部分给出。与整个巴塞尔协议一样，必须通过设定银行的监管资本金额来处理风险，该金额与称为资本要求的风险度量相关联，le t us用K表示，并在[5]中规定，如下K=EAD·1.06·LGD（Φ“1.- ρ0.5Φ-1（P D）+ρ1- ρ0.5Φ-1（0.999）#- P D）·c，（3）其中：oEAD是违约风险敞口，即对银行在违约情况下可能向交易对手暴露的程度的估计；oLGD是违约损失，即对破产情况下不可收回信贷百分比的估计；oP D是违约概率，即对违约发生可能性的估计；oρ是资产收益相关系数；oc是一个常数，它考虑了一些到期调整，并且可以根据不同的监管组合而变化，例如电子企业或零售贷款；o1.06系数取决于巴塞尔委员会的校准程序；oΦ是标准高斯随机变量的累积分布函数；oΦ-1只是Φ的倒数，一个称为分位数函数的lso。正如BCBS定义中所强调的，请参见Def。（2.1），EAD估计使交易对手风险与贷款和抵押贷款的正常信用风险非常不同。

事实上，基本公式（3）需要一个1年的计量过程，违约时间τ可以是，也可以不是，在未来的任何时间t。对于抵押贷款，我们知道未来债务，因为它可以使用摊销计划计算。不同的是，在CCR中，EAD的估计相当困难，因为有两个不同的原因：未来的世博会肯定是随机的，而且，它通过其特定的演进定价模型取决于市场参数。换句话说，CCR既取决于信贷参数（P D，LGD），也取决于市场影响的EAD参数的大小，这就是为什么它也被称为边界风险。综上所述，必须根据公式（3）确定信用风险的CCR，但其首输入估计本身是一个严峻的挑战，巴塞尔委员会和金融运营商最为关注。2.2巴塞尔协议II-III设置中的风险敞口和CVA计算为了以稳健和保守的方式计算CCR背景下的EAD数量，巴塞尔协议II框架[4]定义了两种重要的不同方法：标准模型和内部模型，也称为基于EPE的方法。在标准模型中，我们有EAD=M tM+附加项，其中附加项是利用一个表计算的，该表取决于基础资产类别和到期时间。在这种情况下，我们的想法是，这样一个附加项考虑到了加法系数的未来波动性。例如，对于到期日为M年的股票期权，1≤ M≤ 5，我们得到的附加值是名义金额的8%，而对于利率衍生品，它只有0.5%。

在本工作所涉及的基于EPE的方法中，必须指出一些符号给定衍生工具到期时间0<T<+∞, 我们考虑K∈ N+时间步长0<t<t<···<tK，构成所谓的桶数组，用BT，K表示，其中通常，但不是强制性的，tK=t。o对于每个tK∈ BT，K，我们用MtM（tk，Sk）表示：=M tM（tk，Stk）时间段tk衍生工具的公允价值，标记为市场，相对于时间tk考虑的基础价值对于每个tk∈ BT，K，我们用MtM表示tk，Sk:= MtM（tk，Stk）在时间段tk，相对于整个样本路径Sk：={St:0）衍生工具的公允价值（市值）≤ t型≤ tk}，且初始时间t=0考虑到之前的定义，我们用Д=Д（T）表示-tk，Sk，Θ）给定导数的pricingfunction，其中Θ表示该apricing function可能依赖的一组参数，例如自由风险率r或波动率σ。我们对主要金额进行了说明，因为这些金额在Bas el III[4]中有定义，稍后将用于估算EAD。我们表示在时间tk时衍生工具的预期风险敞口∈ BT，K（EEk），如下所示SEEK：=NNXn=1MtM（tk，Sk，n）+，n∈ N+，（4）是在k-时间段tk，关于基础S。备注2.2。如果我们管理对称衍生工具，如利率掉期或衍生工具组合，则正部分运算符有效。然而，如果我们考虑单一期权，这是多余的，因为从业务方面来看，期权的公允价值总是正的。

我们想强调的是，卖方并不意味着交易对手风险，因此这是断章取义的。我们评估预期阳性暴露（EPE）如下：E=TKXk=1EEk·k、 （5）其中k=tk- tk公司-1指示k-THL级别上两个连续时间段之间的时间空间。如果时间段的间隔相等，则公式将减少到EP E=KPKk=1EEk。因此，EPE值给出了EEE的时间平均值，并反映了一个假设，即作为第一个近似值，默认值可能在任何时间以相同的概率发生。我们确定了受影响的预期风险a如下：=EE；和EEEk：=最大值{EEk，EEEk-1} ，k=1，K，观察到，由于其非递减特性，EEEK考虑到这样一个事实，即一旦时间衰减效应降低MtM以及交易对手风险敞口，英国银行将推出一些新交易。我们还通过EEP E定义了受影响的预期正位置（EEPE）：=TKXk=1eek·k、 备注2.3。为了避免太多不必要的监管细节，我们将研究EEkandEPE，其他数量只是对它们的算术修正。在接下来的内容中，我们将连续改写之前定义的数量，并添加指数a以表示调整后的定义。此外，我们还考虑了底层St的动力学：={St}t∈[0，T]，T∈ R+是某个到期日，作为一个It^o过程，定义在某个过滤概率空间上Ohm, F、 英尺∈[0，T]，P.