期权定价：一种更简单的方法

假设我们想为路径相关的广告衍生产品定价，如果基础资产的演变完全遵循ω（一系列起伏）中编码的给定轨迹，我们将支付1–n，如果资产的演变在任何时候偏离了该固定轨迹，我们将支付0–n≤ T在该广告衍生产品的定价中，我们使用了一步广告↑和AD↓上一节介绍了衍生工具。我们记得，广告↑是一种衍生工具，成本为q–n，如果基础资产价值上升，则向我们支付1–n，否则为0–n。分别为AD↓是具有价格（1）的衍生工具-q） –n，如果基础价值下降，则支付1–n。对广告衍生品进行定价的想法是构建一个复制的ROM广告组合↑和AD↓根据与广告衍生品支付相关的轨迹逐步衍生产品。构造从自然时间开始，到时间t=0，构造的思想相当简单。基本上，在每次t<t时，我们考虑轨道的坐标，ωt+1，也就是说，在那个时候底层的运动。在时间to如果ωt+1=1，即规定的轨迹上升，我们合成适当数量的AD份额↑衍生工具；如果ωt+1=0，即规定的轨迹下降，我们合成了可测量的AD份额↓衍生产品。时间t的套期保值将在时间t+1为我们提供适当的回报，以便我们也可以在以下时间步骤执行适当的套期保值。重复这种分步套期保值策略将为我们提供静态套期保值组合、该组合的贴现价值，以及作为结果的AD衍生工具的贴现价格。让我们举一个例子，对依赖路径的广告衍生品和固定轨迹进行定价，如下图2所示。让我们通过考虑到期前的情况开始套期保值，时间T- 1.

如果我们不在轨道上，那么就不需要财富来掩盖路径依赖性广告，因为它毫无价值。所以，让我们假设我们在贸易区。在时间T，如果标的股票具有固定价值ST（ω），我们希望套期保值投资组合向我们支付1–n。因为我们知道我们已经走上了正轨，所以股票满意度最高=最低-1（1+u），如图2所示。因此，我们可以通过购买广告（超级）对冲衍生品↑成本为q–n的衍生工具。然后，让我们考虑到期前两个时期的情况，时间t- 2、情况与上述几乎相同，但我们希望投资组合支付q–n，而不是在下一期从对冲组合中获得1–n。事实上，有了这么多的财富，我们可以随时进行前面描述的对冲-1，以便在到期时向我们支付1-n。同样，8贾诺·塔尔波宁和米娜·图伦图2。以对数比例为路径相关广告衍生产品定价示例中的固定路径。让我们假设该股票现在已达到-1=ST-2（1+d）。因此，我们可以通过购买AD的q股对冲衍生品↓衍生工具；这些将支付我们1–neach，因此在时间T- 1我们将有q–n。因此，在时间T- 2，所需财富为q（1- q） –n。根据类似的推理，考虑到时间T-3、我们要求财富购买Q（1-q） AD股份↓导数，即时间T-3我们需要财富q（1-q） ，以实现套期保值策略的后期阶段。我们可以一步一步地继续这种反向递归，这样在时间t=0时，我们将得到AD导数的价格，即启动策略所需的财富量。

AD衍生复制策略所需的初始财富为（2.1）Cω（0）–n（0）=qx（1- q） T型-x–n（T），其中x和T- x分别表示固定轨迹ω中的“上升”和“下降”数量，或等效地表示我们使用单步ad的相位数量↑和AD↓分别为衍生产品。我们需要记住，如果基础资产的价值在任何时候偏离固定路径≤ T，路径依赖型广告衍生产品一文不值，因此，其价格为0–n，套期保值策略也到此结束。另一方面，如果演化遵循固定轨迹，则对冲策略返回1–n。因此，所述对冲策略产生的正是与路径相关AD衍生工具相同的EPAYO FFF。根据静态套期保值原理，我们可以通过将模型中的任何路径依赖导数聚合为适当的AD证券组合Cω来构建模型中的任何路径依赖导数。也就是说，如果涉及轨道ω的支付函数是f（ω），那么我们可以在投资组合中通过包含f（ω）-许多AD证券Cω来实现这一点。因此，对于每个ω，AD安全性Cω的权重为f（ω）。路径相关期权定价的价格简化为9Cfis（2.2）Cf（0）–n（0）=Xωf（ω）Cω（0）–n（0）=Xωf（ω）qx（ω）（1- q） T型-x（ω）–n（T）。在本节末尾，我们将讨论使用此处描述的对冲策略对路径独立的欧式看涨期权进行定价，参见示例2.1.2.3.1。考虑数字期权组合的CRR定价公式。然后，让我们讨论一个带有支付函数f的一般欧洲风格衍生品的定价。通过使用退化的数字选项作为构建块，可以轻松复制这些功能。

这些反过来又可以通过聚合广告证券来构建。在第2.3节中，我们描述了使用AD↑和AD↓衍生品分步（公式（2.1）），如何对路径相关的AD衍生品定价，如果出现给定的轨迹，该衍生品在到期时支付1-n美元。由于我们现在考虑的是路径独立期权，因此我们使用路径独立数字期权构建对冲投资组合。数字期权支付为数字期权，K=1=K，其中ST=S（1+u）x（1+d）T-x；标的股票的价值遵循哪条特定路径是无关紧要的。这样一个数字选项可以从所有此类路径相关的广告衍生品中聚合，这些衍生品遵循的轨迹正好包含x‘向上’移动。因此，（2.3）Cdigi，K（0）–n=德克萨斯州qx（1- q） T型-x–n。此处K=S（1+u）x（1+d）T-X和二项式系数德克萨斯州是完全由x‘向上’移动组成的不同路径的数量，即x‘向上’移动在相关路径中的排序方式的数量。接下来，让我们研究一个欧式支付函数f。很明显，f（K）的一对开本值——许多Cdigi，K选项，在t=0和t=t aref（K）时德克萨斯州qx（1- q） T型-x–n（0），f（K）1ST=K–n（T）。因此，一般的欧式期权支付可以通过数字期权组合π以一种简单的方式进行匹配，以使f和组合的支付在到期时完全一致。根据t=0时的静态对冲原则，衍生工具的价格等于投资组合价值：Vπ（0）–n=Cf（0）–n=TXx=0fS（1+u）x（1+d）T-x个德克萨斯州qx（1- q） T型-x–N基本上是众所周知的CRR定价公式（1.1）。示例2.1。让我们考虑一个两步模型，并假设我们要对一个执行价格为K=105–n（2）的欧式看涨期权进行定价，因此支付f（ω）=max（S- 105，0）。

设r=0.04，且基线的值过程满足S=100，u=0.2，d=-0.1，且p=1/2，如图3所示。我们将单独考虑每个可能的状态，并使用AD为这些状态构建对冲组合↑和AD↓衍生产品。10 JARNO TALPONEN和MINNA Turunen图3。以对数刻度绘制的基础资产的价值过程。o让我们从具有最明显对冲策略的最终状态开始，S=S（1+d）=81–n（2）。在这种情况下，调用的值为Cf–n（2）=f（0，0）–n（2）=max（81-105，0）–n（2）=0–n（2），由于该通知一文不值，我们不需要初始资本进行对冲。o然后让我们考虑终态S=S（1+u）。从Sto到状态S=144的唯一轨迹ω是ω=（1，1）。让我们构造hedgingportfolioπ。在到期时，我们希望投资组合的价值为f（1，1）–n（2）。为了实现这一点，在时间t=1时，我们将购买f（1，1）股AD↑衍生产品。在时间t=2时，每一项都将向我们支付1–n（2），因此我们的投资组合将具有期望的价值。这些衍生产品的成本为usf（1，1）q–n（1）。根据类似的推理，在时间t=0时，我们将购买AD的f（1，1）qshares↑衍生产品，其成本为f（1，1）q–n（0）。o让我们考虑剩余状态，S=S（1+u）（1+d）=108。现在有两条可能的轨道ω和ω来自Sto S；它们是ω=（1，0）和ω=（0，1）。再次，让我们构建对冲投资组合，使其在到期时的值为f（1，0）–n（2）=f（0，1）–n（2）。当时间t=1时，底层可以满足S=S（1+d）或S=S（1+u）。在前一种情况下，在时间t=1时，我们将购买f（1，0）股AD↓衍生工具，其成本为f（1，0）（1- q） –n（1）。

在后一种情况下，在时间t=1时，我们应购买f（1，0）股AD↑衍生产品，其成本为f（1，0）q–n（1）。在时间t=0时，我们需要提供基础资产演变的两种可能性，即我们将购买f（1，0）（1-q） AD份额↑衍生工具和AD的f（1，0）q股↓衍生产品。这些将使我们损失总计（1，0）（1- q） q+f（1，0）q（1- q） –n（0）=2f（1，0）q（1- q） –n（0）。最后，我们将调用的对冲投资组合作为上述之和，即isCf–n（0）=0+f（1，1）q+2f（1，0）q（1- q）–n（0）。替代q=（r）后的期权定价简化11-d） /（u-d） =（0.04-(-0.1））/（0.2-(-0.1））=7月15日，并且通话的支付，我们将得到通话的价格asCf–n（0）=0+39·+ 2·3·!–n（0）≈ 9.99–n（0），与CRR价格一致，见（1.1）。3、CRR公式的另一种方法：扩展状态空间并反转随机行走让我们首先将状态空间扩展为（3.1）状态：S（1+u）k（1+d）l，k，l=0，1，2。因此，它包括有限数量的州。这里是固定的。我们希望再次为带有支付函数f的欧洲风格衍生产品定价。通过使用前面提到的静态对冲原则，我们可以通过构建一个最终状态为K=ST:Cf（0）–n=TXx=0f（K）Cdigi，K（0）–n的投资组合来实现这一点。因此，有必要对每个单独的Cdigi、Koption分别定价。当然，到目前为止，我们已经知道应该使用表单（2.3）。3.1。退化数字期权的向后递归。让我们开始构造这个衍生Cdigi，Kat，到期时间，t=t。在时间t=t时，如果基础资产的价值为K，我们希望得到1–n，否则得到0–n。时间t=t时- 1： ST有两种可能的状态-1在时间T启用1–npayo FF；这些情况为ST=ST-1（1+d）和ST=ST-1（1+u）。

IfST=ST-1（1+d），时间T- 1我们需要财富来购买或建造广告↓将在时间T向我们支付所需1-n的衍生品，即我们要求1- q–n（T-1） 。分别，如果ST=ST-1（1+u），时间T- 1我们需要thewealth获得广告↑在时间T向我们支付所需1-n的衍生品，即我们需要财富q-n（T-1） 。时间t=t时- 2： 类似地，现在有三种可能的ST状态-2通过上述两种状态，可以在时间T启用1–n支付。这些案例都是ST=ST-2（1+d），ST=ST-2（1+u），ST=ST-2（1+u）（1+d）。如果ST=ST-2（1+d），时间T- 2我们需要财富来购买1- q股AD↓衍生工具（这些衍生工具将在T时向我们支付1–n- 1，所以在时间t- 1我们将有（1- q） –n是确保在时间T获得报酬的财富量（1–n）。因此，我们需要（1- q） –n。如果ST=ST-2（1+u），具有类似推理，时间T-2我们需要q–n，以确保在到期时获得1–n。如果ST=ST-2（1+u）（1+d）=ST-2（1+d）（1+u），时间T- 2我们需要财富来购买两者1- AD的q份额↑衍生工具和AD的q股↓衍生产品。因为我们无法预测在时间T会发生何种自然状态- 1、我们需要两者兼顾。因此，我们需要财富（（1- q） q+q（1- q） ）–n=2q（1- q） –n。12 JARNO TALPONEN和MINNA Turunen图4。从AD构建所需的degenrate数字选项的第一步↑和AD↓导数（以对数刻度绘制）。我们可以从成熟到开始，时间t=0，一步一步地执行此复制策略。构建hedgingportfolio的第一步如图4.3.1.1所示。反向随机游走解释。

请注意，在状态空间的每个点上，我们基本上都有相同的贴现值过程；如图5所示。让我们定义一个随机游走Y（从数字期权的执行价格K开始）asY=Y=KYt+1=（1+u）ξt+1（1+d）1-ξt+1yt，其中ξ是一个有偏差的“货币流动过程”，即ξ=（ξt）t≤tξt（ω）=ωt独立且同分布（i.i.d.），其中p（ξt=1）=1- q和P（ξt=0）=q。因此，这里我们将q视为事件ξt=0的概率。这种随机行走可以描述为在时间上向后移动，如下所示。现在价格Cdigi，K（0）–n在数字上是Y击中S的概率，P（YT=S）=PTXt=1（1- ξt）=x=德克萨斯州qx（1- q） T型-x、 期权定价简化13图5。基础资产的价值过程。在状态空间的每个点上，贴现价值过程基本相同，如“放大”框所示。这里ξ为二元分布，因此为1-ξ也是二元分布的。所需概率由二元分布随机变量的概率质量函数获得。还要注意1- ξtsatis fiesp（1- ξt=0）=P（ξt=1）=1- q和P（（1- ξt）=1）=P（ξt=0）=q。这里我们需要某种形式的状态空间扩展的原因是为了使向后随机游动分支。4、一些进一步的注释4.1。扩展CRR模型中的不变性。在第3节中的extendedCRR模型中，对于每个时间t，向后处理的概率总和在状态上是统一的，参见图6。

换言之，复制——Cdigi、K选项在状态上的值不依赖于时间，因为聚合是1。再进一步观察，如果我们通过聚合退化数字期权静态对冲欧式衍生品，我们也会使用各自的权重聚合从成熟期不同状态开始的过程的概率。回顾（3.1）中的扩展状态空间，并将Vf（s，t）设为对应于状态s和时间t的payoff值。将Vf（s，t）=XKV（K）f（s，t），14 JARNO TALPONEN和MINNA Turunen设为图6。与履约价格K相对应的价值过程。其中，V（K）f（s，t）是与支付f（K）·1ST=K的退化数字期权相对应的价值过程。命题4.1。考虑第3节中的模型，并将f设为欧洲式衍生工具的收益，例如xk | f（K）|<∞ 或f≥ 0、然后是CfSatifiesxSvf（s，t）–n（t）=XKf（K）–n（t）的复制策略的价值过程≤ T、 证明。XsVf（s，t）–n（t）=XsXKV（K）f（s，t）–n（t）=XKXsV（K）f（s，t）–n（t）=XKf（K）–n（t）。根据这些假设，我们可以改变中间等式的求和顺序。最后一个等式成立，因为如果证券的支付为1，那么时间t的可能值（与概率一致）和为1（见图6）。类似地，由于退化数字期权具有payofff（K），因此时间t和的可能值为1·f（K）。标准CRR模型不符合上述属性。也就是说，考虑在时间T=0时，唯一的一种状态，并且我们在本例中的衍生工具是在时间T到期的无风险债券。

然后，键的–n-值为1，但sumPKf（K）=PK1变大，它是T时所有可能态的数目。另一方面，BSM模型具有类似的特性，即namelyZ∞-∞Z∞-∞f（ey）Д（y- x） dy dx=Z∞-∞f（ey）Z∞-∞^1（y- x） dx dy=Z∞-∞f（ey）dyOPTION定价简化15，其中我们使用y=ln ST，x=ln S，ν是BSM模型的风险中性密度函数。回想一下，分布为N（（r-σ） T，σT），相关模型参数到位。在下面的内容中，我们将提供一个示例，说明这种不变性具有有趣的含义。让我们考虑一个数字选项，apayo fff functionf（ω）=1K≤装货单≤K、 即，如果基础达到区间[K，K]，数字期权支付1–n，否则支付0–n。这里我们假设，走向K只能有离散值。如前所述，与罢工K相对应的值V（K）f（s，t）在任何时间t和为1≤ T应用此属性，通过求和与所有走向K对应的所有可能值sv（K）f（s，t），使得K≤ K≤ K、 在时间t，我们可以得出结论，总和必须等于间隔[K，K]内可能的罢工次数。4.2。为什么趋势项u没有出现在BSM价格中？趋势项u不影响BSM定价中的价格这一事实似乎有违直觉。在Black and Scholes的开创性论文发表之前，就有一些关于定价公式是如何被怀疑的轶事，甚至连作者都对他们的发现表示怀疑。我们将在这里讨论μ在BSM模型中的不相关性，从晶格模型沿消失步长的渐近性可以看出。在风险中性概率Q的形成过程中，二项框架中不能排除u参数。另一方面，随着时间尺度的确定，以及二项式模型收敛到BSM模型（在适当的意义上），u的影响应该消失。