期权定价：一种更简单的方法

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英文标题：
《Option pricing: A yet simpler approach》
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作者：
Jarno Talponen and Minna Turunen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We provide a lean, non-technical exposition on the pricing of path-dependent and European-style derivatives in the Cox-Ross-Rubinstein (CRR) pricing model. The main tool used in the paper for cleaning up the reasoning is applying static hedging arguments.   This can be accomplished by taking various routes through some auxiliary considerations, namely Arrow-Debreu securities, digital options or backward random processes. In the last case the CRR model is extended to an infinite state space which leads to an interesting new phenomenon not present in the classical CRR model.   At the end we discuss the paradox involving the drift parameter $\\mu$ in the BSM model pricing. We provide sensitivity analysis and the speed of converge for the asymptotically vanishing drift.
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中文摘要：
我们在考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（Cox-Ross-Rubinstein，CRR）定价模型中对路径依赖型和欧式衍生品的定价进行了精简、非技术性的阐述。本文中用于清理推理的主要工具是应用静态套期保值参数。这可以通过一些辅助考虑，即Arrow-Debreu证券、数字期权或反向随机过程，采取各种途径来实现。在最后一种情况下，CRR模型被扩展到无限状态空间，这导致了经典CRR模型中不存在的有趣的新现象。最后，我们讨论了BSM模型定价中涉及漂移参数$\\ mu$的悖论。我们提供了渐近消失漂移的灵敏度分析和收敛速度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Option_pricing:_A_yet_simpler_approach.pdf (452.08 KB)

2022-5-31 10:49:03 上传

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关键词：期权定价 Quantitative Mathematical Differential Applications

期权定价：一种更简单的方法Jarno TALPONEN和MINNA TuruneAbstract。我们在考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（Cox-Ross-Rubinstein，CRR）定价模型中对路径依赖型和欧式衍生品的定价进行了精简、非技术性的阐述。本文中用于清理推理的主要工具是应用静态套期保值参数。这可以通过一些辅助考虑（即Arrow Debreu securities、digital options或backwardrandom流程）采取各种途径来实现。在最后一种情况下，CRR模型扩展到了一个内部空间，这导致了经典CRR模型中不存在的有趣的新现象。最后，我们讨论了BSM模型定价中涉及漂移参数u的悖论。我们提供了渐近消失漂移的灵敏度分析和收敛速度。1、简介在本文中，我们提供了一种透明且财务上易于处理的方法来验证晶格模型中的金融衍生品定价公式。衍生产品定价模型起源于Black andScholes（1973）和Merton（1973）（BSM）的开创性论文，是现代衍生产品定价的基石。完全理解他们的方法需要一些相当复杂的数学机制。为了减轻这一负担，Cox、Ross和Rubinstein（1979）（CRR）引入了一种晶格模型，该模型随着时间步数的增加，以非常快的收敛速度逼近BSM（参见Leisen和Reiner 1996）。

理解CRR模型需要比BSM模型更复杂的数学知识。著名的考克斯-罗斯-鲁宾斯坦二项期权定价公式指出，期权的价格为（1.1）Cf（0）=（1+r）TTXx=0fS（1+u）x（1+d）T-x个德克萨斯州qx（1- q） T型-x个.其中，f表示欧洲风格衍生工具到期时的支付，T表示到期的时间步，r是对应于每个时间步的无风险利率，q可以通过模型的参数轻松计算。有大量关于金融晶格模型的文献。受CRR模型启发的晶格模型已应用于金融衍生品定价（Babbs2000）、隐含树状态价格密度估计（Rubinstein 1994）、实物期权估值（Nembhard et al.2002、2003）、投资科学、混合证券（Das and Sundaram 2007、Gamba and Trigeorgis 2007）和期限结构模型日期：2018年3月2日。关键词和短语。衍生工具、晶格模型、CRR模型、反向过程Jel:G13、C61.2 JARNO TALPONEN和MINNA TURUNEN（Heath et al.1990）。在此，我们还研究了在CRR二项模型中扩展状态空间的含义。此前，CRR模型已以各种方式扩展，例如，Boyle（1988）将其扩展到具有多个状态变量的价值期权，Broadie和Detemple（1996）将其扩展到美式期权的价值，byHull和White（1993）和Kascheev（2000）将其扩展到路径依赖型期权的价值。CRR模型在原则上很容易掌握，因此显然更复杂的BSM模型也可以通过扩展来理解，因为它可以被视为CRR模型的渐近极限。不幸的是，CRR文件中关键的一步被掩盖了，他们的主要定价公式实际上是合理的；在讨论了前两个步骤后，Cox等人。

声明他们“现在有了一个递归过程，用于查找具有任意周期的调用值”（1979年，第238页）。所需的后向替代计算变得冗长，尤其是对于一般路径依赖的支付，即使这个想法是简单的原则。尽管CRR模型是作为BSM模型的简化版本引入的，并且在这方面取得了很好的成功，但计算的某些步骤在第一眼（比如对学生而言）仍然是透明的。我们无法在定量金融文献中找到CRR定价公式（1.1）的精简论据。那里的严格论点通常有些复杂，需要概率论，例如鞅，财务直觉很容易在细节中丢失。因此，从基本考虑BSM模型的财务理解开始，有一段粗略的介绍。我们的目标是为故事中的这个“差距”提供一个x，基本上是通过使用静态对冲参数。Alsowe希望我们的方法使CRR模型更容易接近，尤其是从教育学的角度来看。理解我们的方法并不需要如此广泛的概率论知识。因此，本文的主要贡献并不是一个新的结果，而是我们将为经典的欧式衍生品定价公式和CRR模型中的一般路径依赖型期权价格公式提供一个精简的、面向财务的论点。我们将采用Arrow-Debreu型证券（Arrow和Debreu1954）和数字期权作为验证CRR定价公式的便捷中间概念。这些证券具有良好的财务动机，因为它们可以被视为其他金融衍生品的天然基石，在我们的情况下，尤其是期权。Arrow Debreu证券在实体市场上并不活跃，但数字期权却活跃。

即使Arrow Debreu证券不是自己交易的，交易的结构性产品似乎也由这些证券组成。因此，这些证券似乎比其备选的风险中性概率密度更容易处理。本文的组织结构如下。首先，我们回顾了二项式模型，并解释了模型中各种类型的原子构建块。我们展示了Arrow-Debreu（AD）证券的价格，即基础证券价格特定轨迹上的基本期权，是如何以一种相当简单的方式出现的。然后，我们通过适当地聚合这些AD证券来获得路径依赖的衍生产品价格。事实证明，经典的欧式衍生定价公式很容易通过聚合二元期权来遵循。反过来，这些证券从广告证券中聚合而来，或者，也可以通过simpleHull（2015）采用基本相同的方法进行定价。F¨ollmer和Schied（2011）用鞅严格地发展了第5章中的机制。期权定价简化了扩展状态空间中的3次反向随机游走。结果表明，在扩展的有限状态空间中，贴现值过程表现出有趣的聚合时间不变性，而在标准二项模型中不存在。本文最后讨论了BSM原则中趋势参数u的不相关性，这有点自相矛盾。我们努力仔细解释CRR模型中一般金融衍生品定价背后的策略，而不诉诸不必要的技术机制。我们主要考虑财务上可处理的基本证券，而不是实际的风险中性概率。特别是，第2.3节有望成为CRR定价原则的“执行摘要”，基本上包含了BSM模型背后的所有财务推理。1.1。预备工作。

虽然我们没有深入假设晶格模型的知识，但我们希望对相关财务文献有所了解。有关合适的背景信息，请参阅Copeland和Weston（1992）、Luenberger（1998）或Hull（2015）的专著，参见F¨ollmer和Schied（2011）、van derHoek和Elliot（2006）。1.1.1。一些符号。指示符函数在这里成为一个非常有用的概念，可以灵活地定义为，如果下标条件C有效，则表示一个值为1的函数，否则表示值为0。t时标的资产的价格用St表示。我们用f表示一些金融衍生利息的支付。它对衍生品支付信息进行编码。例如，一个欧式通话的时间Tpayo fff的形式为f（ω）=max（ST（ω）- K、 0）和障碍认沽期权payoff的形式为f（ω）=1{max0≤t型≤TSt（ω）≥五十} 最大值（K- ST（ω），0）。1.2。基本二项模型。虽然我们这里不需要太多的概率理论，但我们只需要提到我们的技术设置是一个二项模型（B，S，Ohm, F、 F，P）其中Ohm = {ω=（θ，θ，…，θT）：θT=0，1}是样本空间，F是表示事件集的σ-代数（这里我们可以选择F是Ohm), F是过滤，P是可能性度量。t=0，1，…，时标的资产的（名义）价值，T由St表示。在二项模型中，S：Ohm ×{1，…，T}→ R是一个随机变量，每一步都有两个可能的结果“向上”（1）和“向下”（0），因此St+1的可能标称值是St（1+u）和St（1+d）。假设d<0<r<u，其中r是一个恒定的短期利率，（1+d）（1+u）=1，因此二叉树正在重组。d、r和ude的合理选择取决于时间步长的长度。

概率定义如下：St+1=St（1+d+θt+1（u- d） ）4 JARNO TALPONEN和MINNA TURUNENwhereθi，1≤ 我≤ T是i.i.d，其中P（θi=1）=P，P（θi=0）=1- p对于某些给定值0<p<1。图1展示了对数和真实比例的二项模型。图1：。以对数比例和真实比例绘制的二项模型。样本空间基本上由S的所有可能轨迹组成，另请参见图5。通常，bt表示无风险资产，其面值bt=（1+r）t（1+r）t给定货币的压缩单位。这是一种面值为1.1.3的零息债券。折扣模式。为了简化论点，定量金融文献中的惯例是“传递到贴现模型”，其中贴现价格代替名义价格。为了明确地执行此转换，我们将以数字单位记账。以计价方式表示价格有点像在一段时间内报告经通货膨胀调整的价格。我们的数字–9将货币和贴现结合起来，它取决于时间t，如下所示：–n时间t=1时债券B的价值–n（t），或者简而言之，对于所有t，Bt–n（t）=Bt–n（t）=–n（t）。左手数字对应时间t，右手数字对应时间t。这导致了以下维度分析：–n（t+1）–n（t）=BtBt+1=1+r。也就是说，未来特定现金流x–n的净现值（NPV）为x–n，当前视为现金流。因此，CRR公式可以表示为（1.2）Cf（t）–n（t）=t-tXx=0德克萨斯州qx（1- q） T型-t型-x个fSt（1+u）x（1+d）T-t型-x个–n（T），其中左手数字对应于时间T的现金，而右手数字对应于到期日T的未来支付。更一般地说，期权定价简化了5时间下标对应于价值处理时间，因此终端支付总是用–n（T）表示，任何证券的时间T值用–n（T）表示。

按照这个约定，我们可以抑制下标中的时间，例如，前面的公式变成simplyCf（t）–n=t-tXx=0德克萨斯州qx（1- q） T型-t型-x个fSt（1+u）x（1+d）T-t型-x个–n2、简化CRR定价公式的论证本节的目的是以透明的方式解释CRR定价的理念。2.1。Arrow Debreu证券和数字期权的静态对冲。静态对冲（参见Derman et al.1995，Brown and Ross 1991）是指通过对一些现有证券执行买入持有策略，合成一些所需的新证券（或为现有证券定价）。复制投资组合中包含的多头/空头证券通常是比新的综合衍生证券更简单的衍生工具。如果有可能构建一个投资组合，其在欧洲风格衍生工具到期时的价值与衍生工具的价值完全匹配，那么根据“没有免费午餐”原则，投资组合的初始价格应与新衍生工具的价格相同。事实上，否则就会出现一些非常幸运的交易策略，人们可以从中赚钱，基本上是无风险的。这些都太好了，不可能是真的，随着时间的推移，由于大量的套利活动，它们应该不再存在。我们将这种经济推理称为静态套期保值原则。我们在这里考虑两种初等导数，路径相关导数，Arrow-Debreu证券和路径无关导数，即退化数字期权。如果标的资产演变遵循给定的规定轨迹ω，则Arrow Debreu证券在到期时的收益为1–n，否则为0–n。Arrow Debreu证券在经济上可能比风险中性概率更容易处理。

它们都不是直接交易的。如果基础资产在时间T达到给定的规定“执行价格”K，则（退化）数字期权在到期T时支付1–n，否则支付0–n。数字期权进行交易，其价格可根据欧式期权价格进行估算。Breeden和Litzenberger早在（1978年）就表明，对于纯香草调用和放置，有一种优雅的无模型方法可以做到这一点。2.2。一步两态模型中的AD证券。让我们考虑时间为0和1的一步模型中的Arrow-Debreu导数。t=0状态为Sand t=1时间可能的状态为S=S（1+u），S（1+d）。支付功能是↑= 1{S=S（1+u）}和fAD↓= 1{S=S（1+d）}，在时间t=1时已知。换句话说，派生广告↑当标的资产价值上升时，支付1-n，衍生工具和↓资产价值下降时支付1–n。事实证明，在t=0时，这些衍生产品的价格↑（0）–n=q–n：=r- 杜邦- d–n和AD↓（0）–n=（1- q） –n=u- 俄罗斯- d–n。6 JARNO TALPONEN和MINNA Turunen注意到，通过组合这些广告证券，可以静态对冲无风险零息票债券B和–n单位面值，因为它们的总收益是时尚的↑–n+时尚↓–n=1–n，债券的支付，时间t=1。因此，AD↑（0）–n（0）+AD↓（0）–n（0）=q–n（0）+（1- q） –n（0）=1–n（0）=B–n（0）。那么，在有多头和空头头寸的情况下，如何通过资产和债券的买入和持有策略复制广告证券呢？复制广告的收益↑证券我们只需在t=0的条件下投资一定数量的股票，如–n，以及一定数量的无风险债券，如bB–n。回想一下，B–n（1）=（1+r）B–n（1）。

广告的付费复制条件↑可以形式化如下：（aS（1+u）–n+b（1+r）b–n=1–naS（1+d）–n+b（1+r）b–n=0–n在没有失去一般性的情况下，我们可以假设（通过拆分资产或将其捆绑）上述S=1。因此，我们得到（a（1+u）+b（1+r）=1a（1+d）+b（1+r）=0，可以通过高斯消去或系数矩阵求逆来解决。然而，有一种非常自然的财务方法来确定正确的权重a和b。由股票和债券组成的投资组合的可变性仅取决于股票的数量。因此，1-0=a（u-d） ，因此a=1/（u-d） 。这里a>0，因为投资组合，广告↑安全和S朝着同一方向移动。请注意，在熊市情景中，时间t=1债券价值（做空）应为投资组合中股票价值的负值，bB=-aS（1+d）sob=-aS（1+d）/（1+r）=-（1+d）/（（u- d） （1+r）），因此投资组合的面值为↑（0）=（aS+bB）=（1+r）- （1+d）（u- d） （1+r）=r- d（1+r）（u- d） andAD公司↑（0）–n=q–n。同样，我们在计算AD的复制时观察到↓安全我们必须有一个=-1/（u）- d） （与上述绝对变化量相同，但这次与资产变动相反）和a（1+u）+b（1+r）=0，thusb=-a（1+u）/（1+r）=（1+u）/（（u- d） （1+r）），AD↓（0）=a+b=-（1+r）+（1+u）（u- d） （1+r）=u- r（u- d） （1+r）和↓（0）–n=（1- q） –n.期权定价简化7我们可以通过静态套期保值论证来检查资产是否具有假定的价格：S–n=Xx=↓,↑fS（x）ADx（0）–n=（1+d）u- r（u- d） （1+r）–n（0）+（1+u）r- d（1+r）（u- d） –n（0）=u- r+du- dr+r- d+ur- du（1+r）（u- d） –n（0）=（1+r）（u- d） （1+r）（u- d） –n（0）=1–n（0）。2.3。CRR定价：简化了路径依赖的情况。让我们首先讨论路径依赖的Arrow-Debreu衍生品的定价。