期权定价：一种更简单的方法

接下来，我们将分析潜在二项过程的风险中性方差的收敛速度。回想一下，渐近对数正态价格密度原则上可以通过风险中性预期（见下文（4.1））的二项分布的正态近似和跳跃方差来覆盖，因为它们是i.i.d。为此，我们将确定回报率对参数的以下依赖性：U=euM（t）+√M（t）σ，D=euM（t）-√M（t）σ，R=er M（t）。这里我们有时间步长M（t）和通常的BSM模型参数，u>0是基础趋势，σ>0是标准偏差或波动率项，r>0是短期利率。一些合理的值可以是u=0.1、σ=0.2和r=0.04。模拟BSM模型，基础资产的晶格模型isSt+1=SteuM（t）+√M（t）σθt其中θ皮重i.i.d.随机变量P（θ=1）=P（θ=-1） =。在此，我们将使用上述风险中性单步概率：q=R- 杜邦- D、 （1）- q） =U- 俄罗斯- D、 然后，通过简单代数，我们得到以下恒等式：（4.1）qU+（1- q） D=R- 杜邦- DU+U- 俄罗斯- DD=R，（4.2）R- 杜邦- DU+U- 俄罗斯- DD=RU+RD- U D.16 JARNO TALPONEN和MINNA TuruneEquation（4.1）指出，在风险中性的世界中，基础资产的预期回报是无风险回报，尤其不依赖于u。资产回报isR的风险中性单步方差- 杜邦- D（U- R） +U- 俄罗斯- D（D- R） 小M（t）的风险中性对数方差（ST/S）约为（4.3）TM（t）R- 杜邦- D（U- R） +U- 俄罗斯- D（D- R）.其中，theTM（t）是时间跨度中的总步数。

实际上，我们应用Var eM（t）θ≈M（t）Varθ表示小M（t）。此readsVarQlog（ST/S）≈TM（t）R- 杜邦- D（U）- 2RU+R）+U- 俄罗斯- D（D- 2RD+R）=TM（t）R- 杜邦- DU+U- 俄罗斯- DD公司- R=TM（t）（RU+RD- U D- R） 其中，第二个等式来自（4.1）和风险中性预期，最后一个等式来自（4.2）。为了分析u对风险中性方差的贡献，我们将分析上述项的泰勒展开式：RU+RD- U D- R=euM（t）+√M（t）σ+r M（t）+euM（t）-√M（t）σ+r M（t）- e2uM（t）- e2r M（t）=1+（uM（t）+pM（t）σ+r M（t））+（uM（t）+pM（t）σ+r M（t））+（uM（t）+pM（t）σ+r M（t））…+1+（uM（t）-pM（t）σ+r M（t））+（uM（t）-pM（t）σ+r M（t））+（uM（t）-pM（t）σ+r M（t））。- 1.- 2uM（t）-（2uM（t））-（2uM（t））- . . .- 1.- 2r M（t）-（2r M（t））-（2r M（t））…=M（t）σ+（M（t））（u+r）σ+。因此，我们得到了风险中性方差的近似值：VarQlog（ST/S）≈TM（t）M（t）σ+（M（t））（u+r）σ= Tσ（1+（u+r）M（T））。从这个形式中，我们可以立即看到BSM模型方差，它以M（t）的形式渐近出现→ 0：（4.4）VarBSMQlog（ST/S）=Tσ。期权定价简化17这里的结论是，在年度二项模型中，如果时间步长为1天（M（t）=1/365），则u和r对基础资产风险中性变化的影响可以忽略不计。根据（4.1）和（4.4），参数u不出现在定价选项中使用的Q分布中。最后，我们将试探性地评论u对风险中性概率的消失影响。

这有点自相矛盾，上面的计算只能让我深入了解这里到底发生了什么。修正小M（t），我们有Q=R- 杜邦- D≈r M（t）- （uM（t）-pM（t）σ）pM（t）2σ。因此，u变化对q的影响为（4.5）M q=-pM（t）Mu2σ。这意味着随着u的增加，风险中性概率的质量在树中向下移动。那么，风险中性概率测度值Q（ST）如何能渐近不变u？显然，对于小时间尺度，上述灵敏度（4.5）会降低。此外，请注意，风险中性密度明确涉及标准值，而不是上升跳跃的数量。回想一下，在（1.1）中，stapper的值与跳跃次数x成正比，因此让我们写出x=x（ST），给定终端资产价格ST所需的上升次数。将下降跳跃改为上升跳跃会导致资产的对数价格增加inpM（t）2σ。另一方面，模型的每一步都会均匀地改变u，因此相应的变化isM log（ST）=T Mu。这意味着，如果我们希望通过改变向上步数来抵消u的增加，则所需的调整isM x（ST）=-T MupM（T）2σ。因此，增加u会将风险中性概率质量沿树向下移动，但同时会沿树中的结束节点向下移动，对应于一个ExedValue ST.5。结论在本文中，我们为Cox-RossRubinstein定价公式提供了一个更简洁而非技术性的证明。通过强调定价公式背后的财务直觉，我们努力简化证明，并使其在教学上更容易接近。我们证明的基本思想是，通过使用静态对冲论证，使用Arrow Debreu证券和数字期权构建复制投资组合。我们从成熟期开始构建，然后继续向后，直到t=0。

为了实现向后递归，我们扩展了状态空间。在这个扩展的CRR模型中，存在一个有趣的不变性：在每个时间t≤ T，与18 JARNO TALPONEN和MINNA Turunen相对应的股票所有可能价值的总和与到期时所有可能支付的总和。我们举了一个例子，说明这种不变性属性可以用于金融衍生品的分析。除了我们的示例之外，不变性属性在金融数学中也有各种应用。最后，我们讨论了趋势参数u不影响衍生品价格的悖论。我们通过显示定价公式中出现的风险中性密度Q与参数u无关，为这一众所周知的事实提供了依据。参考文献[1]Arrow，K.J.，Debreu，G.（1954年）。竞争经济中均衡的存在。《计量经济学》，第22卷，第3期，第265-290页。[2] Babbs，S.（2000年）。回望期权的二项式估值。《经济动力与控制杂志》，第24期，1499-1525页。[3] Black，F.，Scholes，M.（1973年）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》（Journalof Political Economics），第81卷。3，第637-654页。[4] Boyle，P.P.（1988）。具有两个状态变量的期权定价格框架。《金融与定量分析杂志》，第23卷，第1期，第1-12页。[5] Breeden，D.T；Litzenberger，R.H.（1978年）。国家未定权益价格隐含操作价格。《商业杂志》，第51卷，621-651页。[6] Broadie，M.，Detemple，J.（1996年）。美式期权估价：新界限、近似值和现有方法的比较。《金融研究评论》，第9卷，Is。4，第1211-1250页。[7] Brown，D.J.，Ross，S.A.（1991年）。跨越、估值和期权。《经济理论》，1，第3-12页。[8] Copeland，T.E.，Weston，J.F.（1992年）。财务理论与公司政策。

第三版。艾迪生·韦斯莱出版公司，马萨诸塞州。[9] Cox，J.C.、Ross，S.A.、Rubinstein，M.（1979）。期权定价：一种简化的方法。《金融经济学杂志》，第7期，第229-263页。[10] Das，S.R.，Sundaram，R.K.（2007）。混合证券的综合模型。《管理科学》，第53卷，第9期，第1439-1451页。[11] Derman，E.、Ergener，D.、Kani，I.（1995）。静态选项复制。《衍生品杂志》，第2卷，第4期，第78-95页。[12] F¨ollmer，H.，Schied，A.（2011年）。随机融资。离散时间简介。第三修订版和扩展版。Walter de Gruyter，柏林。[13] Gamba，A.，Trigeorgis，L.（2007年）。多维期权的改进二项式格方法。《应用数学金融学》，第14卷，第5期，第453-475页。[14] Heath，D.，Jarrow，R.，Morton，A.（1990年）。债券定价和利率期限结构：离散时间近似。《金融与定量分析杂志》，第25卷，第4期，第419-440页。[15] van der Hoek，J.，Elliot，R.J.（2006）。金融中的二项式模型。Springer Verlag，纽约。[16] 赫尔，J.C.，怀特A.（1993）。评估欧洲和美国路径依赖型期权的有效程序。《衍生品杂志》，1，第21-31页。[17] 赫尔，J.C.（2015）。期权、期货和其他衍生品。第九版。皮尔逊教育公司，波士顿。[18] Kascheev，D.E.（2000年）。关于期权定价的一个推广二项式模型。《数学科学杂志》，第99卷，第3期，第1267-1272页。[19] 雷森，D.P.J.，雷默，M.（1996）。期权估价的二项式模型——检验和改进收敛性。《应用数学金融》，第3期，第319-346页。[20] Luenberger，D.G.（1998年）。投资科学。牛津大学出版社，纽约。[21]默顿，R.（1973）。理性期权定价理论。《贝尔经济学和管理科学杂志》，第4卷，第1期，第141-183页。[22]Nembhard，H。

B、 ，Shi，L.，Aktan，M.（2002年）。质量控制图的实物期权设计。《工程经济学家》，第27卷，第1期，第28-59页。期权定价简化19【23】Nembhard，H.B.，Shi，L.，Aktan，M.（2003）。产品外包的实物期权设计。《工程经济学家》，第48卷，第3期，第199-217页。[24]Rubinstein，M.（1994）。隐含二叉树。《金融杂志》，第49卷。3，第771-818页。芬兰东部大学物理和数学系，芬兰JoensuFI-80101信箱111。电子邮件地址：talponen@iki.fi还有米娜。turunen@iki.fi

阿罗-德布罗意