基于贝叶斯多重检验的稀疏投资组合选择

就年度回报而言，所有四个投资组合选择过程在所有十三年中都优于基准，但我们不能清楚地说一个策略在所有年份都优于另一个策略。在图（6:b）中，我们给出了所有选择策略的样本外年化波动率，在图7中，我们给出了样本外回报中所有四种选择策略的每日年化波动率。用GARCH（1,1）模型估计波动率。所有四种策略的波动性风险都与标准普尔500指数的波动性风险相似，并且所有四种策略的波动性风险始终在标准普尔500指数附近。然而，仔细的目视检查表明，与标准普尔500指数相比，所有四种策略都具有系统性的高可用性风险。在这四种策略中，Bayes-oracle策略的波动风险始终较低。图（6:c）显示了样本外回报中不同策略的“风险价值”（VaR）。在这四种策略中，Bayes-oracle策略的VaR往往较低。图（6:d）显示了样本中不同策略的“风险调整回报”。没有一个始终如一的赢家。有五年的时间，分层贝叶斯策略的风险调整回报率最高。除2017年外的所有年份，这四种策略中的任何一种都比基准标准普尔500指数具有更高的风险调整后回报率。风险调整后的回报率表明市场可能存在效率低下。就年度回报而言，没有明确的制胜策略。然而，所有四种策略都表明市场上可能存在着不高效。我们实施了马科维茨的投资组合优化技术，而不是平等的投资组合分配，并将结果添加到附录B中。

我们观察到，对于马科维茨的加权投资组合，样本外风险和回报是不同的。但我们没有观察到由于马科维茨的优化而带来的任何显著改善。7讨论我们通过k因子模型提出了贝叶斯投资组合选择策略。如果市场信息充分，拟议战略将模仿市场；否则，该策略的表现将优于市场。该策略取决于通过对模型参数的贝叶斯多重测试方法选择投资组合。我们提出了“离散混合先验”模型和“具有马蹄先验的层次贝叶斯模型”我们证明了在Datta和Ghosh[2013]的渐近框架下；贝叶斯规则使贝叶斯预言的风险达到O（1），常数接近预言中的常数。Bayes-oracle测试通过提供II型错误的上限来保证统计能力。仿真研究表明，当稀疏性参数p接近零时，随着样本量的增加，贝叶斯-预言检验的统计能力不断增强。作为p→ 1，即模型变得密集，不应使用Bayes-oracle测试。然而，当p=稀疏参数的0.5时，I型误差保持在5%以下。因此，即使p=0.5，也可以使用该测试，即模型是适度稀疏的。这意味着拟议的Bayes oracletest适用于价格合理的股票较少的高效市场。对于k因子模型（k>1），贝叶斯或克莱尔投资组合的统计能力一致优于单因子CAPM。我们提出了一项实证研究，其中我们考虑了2006年至2018年期间纽约证券交易所（NYSE）的500只股票，以及作为基准的美国国家标准普尔500指数。我们展示了四种不同策略的样本外风险和回报表现，并与标准普尔500指数进行了比较。

实证结果表明，市场中存在效率低下现象，因此有可能提出一种优于市场的策略。在有关“马蹄”先验的文献中，局部收缩和全局收缩参数都有一个重尾半柯西先验。虽然这在理论上对我们的分析是可能的，但我们选择在包含局部收缩参数的精度矩阵∧上指定共轭余弦先验，在全局收缩参数τ上指定半柯西先验。这是出于对计算可行性的考虑。我们正在解决财务中的一个应用问题，该程序必须在极高的维度设置中实施。在我们的例子中，这是500支股票10年的月度回报。Wishart的共轭性极大地帮助了计算。参考文献f。黑色限制借贷的资本市场均衡。《商业杂志》，45:444–4541972。F、 布莱克和R·利特曼。全球投资组合优化。《金融分析杂志》，48:28–431992年。M、 Bogdan、J.K.Ghosh、Ochman A.和S.Tokdar。关于多重测试问题的经验贝叶斯方法。质量与可靠性工程国际，23（6）：727–7392007。M、 Bogdan、A.Chakraborty、F.Fromlet和J.Ghosh。某些多重检验过程稀疏性下的渐近Bayes最优性。《统计年鉴》，39（3）：1551–15792011年。C、 Carvalho、N.Polson和J.Scott。通过马蹄铁处理稀疏性。机器学习研究杂志，5:73–802009。C、 Carvalho、N.Polson和J.Scott。稀疏信号的马蹄形估计器。Biometrika，97（2）：465–480，2010年。五、 K.Chopra和W.T.Ziemba。均值、方差和协方差误差对最优投资组合选择的影响。《投资组合管理杂志》，19:6–111993年。S、 Das、A.Halder和D.K.Dey。

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在CAPM模型（2.1）下，协方差矩阵（2.4）和假设（A.1），如果P→ ∞ 和Mω：P→ 0和σmax=max{∑} < ∞, 然后跛行→∞w∑w=0。备注6。在标准资产定价理论下，随着投资组合规模的增大，任何资产的最大权重都是有界的，投资组合的特殊风险将被冲掉。投资组合的风险和回报将是由主要市场指数解释的系统风险的函数。B附录表1：真正的oracle投资组合和由推荐的▄Simethod选择的投资组合的中值回报（样本数据集中的1000个）。这表明ABOS选择和oracle选择是等效的。PσOracle投资组合回报▄SiPortfolio Return100 0.03 0.024 0.02350 0.03 0.014 0.013100.01 0.015 0.01650 0.01 0.013 0.01表2：等重投资组合的外样本年回报。

蓝色值表示特定年份与其他策略相比的最大回报。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 11.78 11.62 21.06 12.78 15.562007 3.65 22.33 5.56 13.26 10.872008-37.58-49.85-40.44-44.70-33.892009 19.67 26.70 32.02 40.51 30.972010 11.02 9.21 19.89 26.31 35.702011-0.68 0.43-4.32 2.75-7.122012 11.68 14.03 21.44 11.46 24.562013 26.39 43.69 25.04 42.50 29.452014 12.39 23.93 17.83 17.92 20.062015 0.14-9.89 4.283.73 9.642016 12.70 13.82 14.58 23.14 20.852017 18.42 12.63 12.61 26.07 10.932018 0.59-5.73-11.39 5.34-4.11表3：等重组合样本外收益的年化波动率。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 10.02 16.32 13.93 14.50 13.082007 16.02 20.31 18.59 18.88 16.672008 41.02 52.99 49.68 46.57 45.472009 27 48.49 35.50 34.14 36.222010 18.10 25.29 21.93 22.41 20.962011 23.44 29 29.04 28.76 29 29 26.22 2012 12.76 18.10 16.48 17.58 14.662013 11.07 14.83 14 14 14 14.66 2014 12.31 11.38 14.63 14.49 15.75 12.39 2015 15.54 17.19 16.4517.93 2016年16月22日12.99 18.02 14.93 16.90 15.352017 6.69 10.39 9.50 9.98 8.342018 15.26 18.85 15.59 16.33 14.78表4：等重投资组合样本外收益的风险价值（VaR）。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 1.27 2.12 1.53 1.91 1.652007 2.52 2.79 2.68 2.51 2.312008 6.19 8.51 8.01 6.96 6.182009 3.54 6.79 4.61 4.23 5.012010 2.76 3.69 2.91 2.88 3.122011 2.97 3.54 3.93 3.68 3.452012 1.60 2.19 2.18 2.15 1.882013 1.43 1.78 1.81 1.481 2014 1.65 2.13 2.11 2.49 1.582015 1.94 2.23 2.07 2.23 1.732016 1.86 2.52 2.16 2.07 1.992017 0.801.66 1.27 1.20 1.162018 2.25 2.59 2.56 2.61 2.16表5：经风险调整的等重组合外样本收益率。

蓝色值表示特定年份与其他策略相比的最大风险调整回报。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 1.18 0.71 1.51 0.88 1.192007 0.23 1.10 0.30 0.70 0.652008-0.92-0.94-0.81-0.96-0.752009 0.72 0.55 0.90 1.19 0.852010 0.61 0.36 0.91 1.17 1.702011-0.03 0.01-0.15 0.09-0.2720120 0.92 0.77 1.30 0.65 1.682013 2.38 2.95 1.1 77 2.90 2.392014 1.09 1.64 1.23 1.14 1.622015 0.01-0.58 0.26 0.21 0.592016 0.98 0.77 0.98 1.371.362017 2.75 1.22 1.33 2.61 1.312018 0.04-0.30-0.73 0.33-0.28图1：Siand▄Siin实验1的性能。我们模拟了1000个数据集。在每个数据集中，我们考虑100只股票，即P=100，有20天和50天的数据，即样本量n=20，n=50。我们允许稀疏参数p在0.01到0.9之间以0.01的间隔变化。我们选择了两个不同的σ值，分别为0.1和0.05。此外，实验1中定义了∧。对于每个数据集，我们计算Siand▄sian并做出决策。基于1000多个数据集的决策，我们计算了I型错误、II型错误、贝叶斯错误发现率（BFDR）和误分类概率（PMC）。Siand▄Si的重叠性能表明这两种统计数据是等效的。n=20，σ=0.1 n=20，σ=0.05n=50，σ=0.1 n=50，σ=0.05图2：在实验1中，我们研究了增加P对Si和Si的影响。我们模拟了1000个数据集。在每个数据集中，我们考虑10只和500只股票，即P=10和P=500，有20天的数据，即样本量n=20。我们认为σ=0.1。我们允许稀疏性参数p在0.01到0.9之间以0.01的间隔变化。对于每个数据集，我们计算Siand▄sian并做出决策。

基于1000多个数据集的决策，我们计算了Ierror类型、II类错误、贝叶斯错误发现率（BFDR）和误分类概率（PMC）。（a） P=10，n=20，σ=0.1（b）P=500，n=20，σ=0.1表6：使用马科维茨权重的外样本年回报率。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 11.78 11.63 31.21 0.95 15.572007 3.65 22.32 8.36 6.66 10.882008-37.58-50.16-31.41-47.88-34.042009 19.67 26.75 31.90 35.98 31.102010 11.02 9.17 27.87 20.10 35.712011-0.68 0.49-1.36 10.18-7 102012 11.68 14.03 23.10 9.07 24.552013 26.39 43.70 21.23 39.77 29.462014 12.39 23.91 18.44 9.99 20.072015 0.14-9.88 2.93 3.749.652016 12.70 13.74 15.70 21.99 20.842017 18.42 12.63 18.32 23.04 10.942018 0.59-5.72-9.71 8.75-4.12表7：马科维茨投资组合样本外收益率的年化波动率和标普500 CAPM LARS-LASSO模型因子模型和HS因子模型，BO2006 10.02 16.31 11.65 12.59 13.072007 16.02 20.30 16.14 17.08 16.662008 41.02 52.61 42.13 38.62 45.262009 27 48.05 28.05 28 25.25 36.012010 18.1025.28 17.71 18.80 20.942011 23.44 29.03 23.61 25.53 26.202012 12.76 18.09 13.99 14.76 14.662013 11.07 14.82 13.30 13.73 12.312014 11.38 14.63 13.35 14.41 12.382015 15.54 17.19 15.51 16.27 16.22 2016 12.99 18.00 13.96 15.05 15.342017 6.69 10.38 8.96 9.41 8.332018 15.26 18.85 14.06 15.35 14.78图3：我们在此展示绩效ABO的比较，使用实验2中的Previor和LARS-LASSO。我们独立模拟了1000个数据，每个数据有500只股票和20天的回报。我们考虑实验2中定义的σ=0.1和∧。基于对1000个数据集的决策，我们计算了I型错误、II型错误、贝叶斯错误发现率（BFDR）和误分类概率（PMC）。这里我们展示了结果。当稀疏度趋于0时，ABOS的I型误差变为0。

在可能性测试中（即，使用DiffusePrevior），i型误差在稀疏度的不同值中固定在5%的水平。LARS-LASSO方法也显示了一种弯曲行为。如果我们比较这三种方法的II型误差、BFDR和PMC，则本文提出的theABOS检验一致优于其他两种方法。这意味着，当市场接近饱和时，一些股票的αod为非零，ABO应该是首选。图4：所选投资组合包含oracle投资组合的概率并排方框图。真实oracle投资组合和基于▄Si选择的投资组合的1000份样本回报的方框图。目视检查告诉我们，ABOS产品组合的性能与oracle产品组合相似/相当。P=100，σ=0.03P=50，σ=0.03P=100，σ=0.01P=50，σ=0.01表8：马科维茨投资组合样本外回报的风险价值（VaR）。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 1.27 2.12 1.29 1.45 1.652007 2.52 2.79 2.26 2.36 2.312008 6.19 8.58 6.42 6.172009 3.54 6.75 3.77 3.19 4 962010 2.76 3.69 2.19 2.41 3.122011 2.97 3.54 3.31 3.60 3.452012 1.60 2.19 1.83 2.03 1.882013 1.43 1.78 1.83 1.481 2014 1.65 2.13 1.99 2.04 1.582015 1.94 2.23 2.18 1.94 1.732016 1.86 2.51 1.83 1.66 1.992017 0.801.66 1.09 1.17 1.162018 2.25 2.59 2.38 1.94 2.16图5：所选投资组合包含oracle投资组合的概率折线图。概率是使用1000个样本外返回进行估计的。在x轴上，我们考虑不同的特质风险。